初三數(shù)學(xué)寒假講義第1講三角形教師版

中考第一輪復(fù)習(xí)三角形施中考大綱剖析考試內(nèi)容考試要求層次ABC三角形了解三角形的有關(guān)概念；了解三角形的穩(wěn)定性；會(huì)按邊和角對(duì)三角形進(jìn)行分類；理解三角形的內(nèi)角和、外角和及三邊關(guān)系；會(huì)畫三角形的主要線段；知道三角形的內(nèi)心、外心和重心會(huì)用尺規(guī)作給定條件的三角形；掌握三角形內(nèi)角和定理及推論；會(huì)按要求解決三角形的邊、角的計(jì)算問(wèn)題；能用三角形的內(nèi)心、外心的知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；會(huì)證明三角形的中位線定理，并會(huì)應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)解決有關(guān)1可題等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會(huì)識(shí)別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題會(huì)運(yùn)用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形與全等三角形之間的關(guān)系掌握兩個(gè)三角形全等的條件和性質(zhì)；會(huì)應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)1可題會(huì)運(yùn)用全等三角形的知識(shí)和方法解決有關(guān)問(wèn)題勾股定理及其逆定理已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，會(huì)求第三邊長(zhǎng)會(huì)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題相似三角形了解兩個(gè)三角形相似的概念會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算；會(huì)利用三角形的相似解決一些實(shí)際問(wèn)題銳角三角函數(shù)了解銳角三角函數(shù)(sinA,cosA,tanA);知道30M45°,60口角的三角函數(shù)值由某個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，會(huì)求這個(gè)角的其余兩個(gè)三角函數(shù)值；會(huì)計(jì)算含有30°,450,60◎角的三角函數(shù)式的值能運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題解直角三角形知道解直角三角形的含義會(huì)解直角三角形；能根據(jù)問(wèn)題的需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形；會(huì)解由兩個(gè)特殊直角三角形構(gòu)成的組合圖形的問(wèn)題能綜合運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題特殊三角形之等腰三角形與直角三角形三角形］全等三角形相似三角形知識(shí)導(dǎo)航、等腰三角形三角形］全等三角形相似三角形知識(shí)導(dǎo)航、等腰三角形1.直角三角形的邊角關(guān)系.1.直角三角形的邊角關(guān)系.①.直角三角形的兩銳角互余.②.三邊滿足勾股定理.③.邊角間滿足銳角三角函數(shù).2.特殊直角三角形2.特殊直角三角形等腰直角三角形”含30◎和60?的直角三角形”邊的比：1:1:夜邊的比：1：J3：23.直角三角形中的特殊線.三.尺規(guī)構(gòu)造等腰三角形和直角三角形問(wèn)題作圖求點(diǎn)坐標(biāo)萬(wàn)能法”其他方法等腰三角形A/l已知點(diǎn)A、B和直線l,在l上求點(diǎn)P,使△PAB為等腰三角形PhP2、PtZ匕餐巾5l兩圓一W”分別表示出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)，再表小出線段AB、BP、AP的長(zhǎng)度，由①AB=AP②AB=BP③BP=AP列方程解出坐標(biāo)作等腰三角形底邊的高，用勾股或相似建立等里夫系直角三角形_^BA^^l已知點(diǎn)A、B和直線l,在l上求點(diǎn)P,使△PAB為直角三角形lPlP2f-JP3P4兩垂一圓”分別表示出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)，再表小出線段AB、BP、AP的長(zhǎng)度，由AB2=BP2+AP2BP2=AB2+AP2AP2=AB2+BP2列方程解出坐標(biāo)作垂線，用勾股或相似建立等量關(guān)系.全等三角形全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.全等三角形的判定：⑴SSS;⑵SAS;⑶ASA;⑷AAS;⑸HL.在證明圖形的線或角關(guān)系時(shí)，通常需要將全等與圖形變換（旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱等）相結(jié)合.相似三角形相似三角形的性質(zhì)：⑴相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，其比值稱為相似比.

⑵相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.相似三角形的判定:⑴平行于三角形一邊的直線，截其他兩邊所得的三角形與原三角形相似;⑵兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似;⑶(4)⑶(4)相似三角形的基本模型:(4)(5)C(8)【編寫思路】由于三角形的知識(shí)點(diǎn)非常多,本講只針對(duì)三角形中的重要考點(diǎn)來(lái)編寫的，側(cè)重于等腰三⑵(6)C(4)(5)C(8)【編寫思路】由于三角形的知識(shí)點(diǎn)非常多,本講只針對(duì)三角形中的重要考點(diǎn)來(lái)編寫的，側(cè)重于等腰三⑵(6)C角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值較少，而且簡(jiǎn)單，TOC\o"1-5"\h\z所以本講也只是針對(duì)相似中的重要模型進(jìn)行復(fù)習(xí)，不對(duì)學(xué)生做太高要求^另外，我們?cè)诿恳恢v中，針對(duì)當(dāng)前考試的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種“系列探究”，使得每一講有個(gè)復(fù)習(xí)亮點(diǎn)，為我們第一輪復(fù)習(xí)錦上添花.本講的探究是：由“直角三角形斜邊中線”引發(fā)的“幾何最Y&模塊一特殊三角形值問(wèn)題”.Y&模塊一特殊三角形【例1】（1）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A.6B.7C.8D.9（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,10），點(diǎn)C在y軸上，且4ABC是直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2010順義一模）（3）已知：如圖，在4ABC中，/B=/ACB,點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊的延長(zhǎng)線上，且BD=CE,連接DE交BC于連接DE交BC于F.求證：DF=EF.（2012海淀期中）C(4)如圖所示，在4ABC中，BC=6,E,F分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于1_D,點(diǎn)Q在CE上且BQ平分/CBP,設(shè)BP=y,PE=X.當(dāng)CQ=-CE時(shí)，y與X之間的函數(shù)關(guān)系式是【解析】(1)C,兩圓一垂(2)(0,0),(0,10),(0,2),(0,8).兩垂一圓”確定四個(gè)點(diǎn)之后，用勾股求得；(3)證明：過(guò)D點(diǎn)作AC的平行線交BC于點(diǎn)G,貝U/B=/ACB=/BGD;，BD=DG=CE;易證ADFGQEFC;.,.DF=EF.注：本題方法很多，還可以過(guò)D作BC平行線，或過(guò)E作AB的平行線，由平行線截等腰三角形”得新等腰三角形.”得到等腰三角形.能力提升【例2】(1)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,將長(zhǎng)為2的線段QF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng).如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿圖中所示方向按At”得到等腰三角形.能力提升【例2】(1)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,將長(zhǎng)為2的線段QF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng).如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿圖中所示方向按AtBtCtDtA滑動(dòng)到點(diǎn)A為止，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按BtCtDtAtB滑動(dòng)到點(diǎn)B為止，那么在這個(gè)過(guò)程中，線段QF的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線圍成的圖形的面積為()(2010宣武一模)A.2B.4—冗C.冗D.冗一1(2)如圖，在4ABC中，/C=90°,AC=4,BC=2,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是()A.272+2B.2&C.2而D.6(2010西城二模)以下探究主題為：幾何最值問(wèn)題【探究1】如圖，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)AB=4,點(diǎn)A、C分別在x軸、軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是.【探究2】如圖，在△ABC中，/C=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最小距離是.【探究3】如圖，在Rt^ABC中，/ACB=90°,/B=30°,CB=3衣,點(diǎn)D是平面上一點(diǎn)且CD=2【探究3】如圖，在Rt^ABC中，/ACB=90°,/B=30°,CB=3衣,點(diǎn)D是平面上一點(diǎn)且CD=2，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABC繞點(diǎn)C任意旋轉(zhuǎn)時(shí)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段DP長(zhǎng)度的最大值為,最小值為.【解析】（1）C,由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半半，于是M的軌跡圍成一個(gè)半徑為1的圓；”可知BM、CM、CM、AM均等于FQ的一（2）A,如右圖1,取AC中點(diǎn)D,連結(jié)OD、BD,當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線時(shí)，OB的值最大；探究1：2+2褥，方法同上，取AC中點(diǎn)D,連結(jié)OD、BD,當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線時(shí)，OB的值最大；探究2:如右圖2,取AC中點(diǎn)D,連結(jié)OD、BD,當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線時(shí)，OB的值最小，最小值為??3-2;探究3:3BC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)”等價(jià)于CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)”，如下圖1,連結(jié)CP,當(dāng)PD=PC+CD時(shí)，PD最大，當(dāng)PD=|PC-CD|時(shí)，PD最小.如圖2,當(dāng)P與B重合，PD取最大值為3J3+2,如圖3,當(dāng)CPLAB時(shí)，PD取最小值為3J3—22,圖1BD圖2A圖3【點(diǎn)評(píng)】動(dòng)線段最值的求法一般可總結(jié)為兩種方法（僅供參考）：（1）將動(dòng)線段作為一個(gè)三角形的一邊，且另兩邊為定值，但是形狀可變化，如下左圖，外共線”值最大，內(nèi)共線”值最小（已知AB、BP為定值，求動(dòng)線段AP的最大或最小值）；（2）如下右圖，垂線段最短，端點(diǎn)處最大（已知點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AP的最大或最小值）.

【例3】AABC與4CDE均為等邊三角形，點(diǎn)C為公共頂點(diǎn)，連結(jié)AD、BE相交于點(diǎn)P,BE交AC于點(diǎn)M,AD交CE于點(diǎn)N,(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)B、C、D在同一直線上，請(qǐng)證明以下結(jié)論：AD=BE;②連結(jié)PC,則PC平分/BPD;/APB=60*;連結(jié)MN,則4MCN為等邊三角形；PB=PA+PC,PD=PE+PC(⑥連ZAE,點(diǎn)P為4ACE的費(fèi)馬點(diǎn).學(xué)生版上沒(méi)有)(2)如圖2,當(dāng)4CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)，(1)中的5個(gè)結(jié)論仍成立嗎？【解析】(1)由△ACD^^BCE可得①；過(guò)點(diǎn)C分別作AD、BE邊上的高，由全等三角形面積相等”或者通過(guò)證明全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等”可得兩高相等，證得②；由八”字模型倒角證得③；由△BMC^^ACN或者△CND^^CME得CN=CM,證得④；由/APC=/EPC=120*,在四邊形ABCP和EDCP中利用旋轉(zhuǎn)可證得⑤；由⑤中的結(jié)論可知PA+PC+PE=BE,ZAPC=NEPC=NAPE=120,，點(diǎn)P到9CE的三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小，即可證得⑥.(2)結(jié)論①②③⑤⑥均成立.能力提升能力提升【例4】在4ABC中，AB=AC,ZBAC=a(0*<a<60口)，將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD.(1)如圖1,直接寫出/ABD的大小(用含a的式子表示)；(2)如圖2,/BCE=150°,/ABE=60°,判斷△ABE的形狀并加以證明;（2013北京中考）（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE,若/DEC=45°,求a的值.（2013北京中考）【解析】（1）30°-1a;2△ABE為等邊三角形，連接AD、CD、EB??線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60%導(dǎo)到線段BD則BC=BD,NDBC=60。又「/ABE=60白1一ZABD=60O_/DBE=/EBC=30久且△BCD為等邊二角形2在4ABD與4ACD中AB=AC-1-1-1-1BAD=.CAD=—.BAC=-22AD=AD.?.△ABD^MCD(SSS)BD=CD11/BCE=150°..ZBEC=1804-(30°—a)-150°=-a22在^ABD與AEBC中二BEC=.BAD/EBC=ZABDAABD^AEBC(AAS)，AB=BE，4ABE為等邊三角形BC二BDZBCD=60。/BCE=150/DCE=150。-60。=90口又/DEC=45。△DCE為等腰直角三角形，DC=CE=BC.BCE=150-1?/EBC=（805。'=15口而/EBC=30'——a=150a=30。22【點(diǎn)評(píng)】第（2）問(wèn)考察的是一類由旋轉(zhuǎn)形成的全等模型，如圖，若NBAC=/DAE①△ABC為等腰三角形（AB=AC）;②4ADE為等腰三角形（AD=AE）;③MBDACE△ABE為等邊三角形，已知4DBC為等邊三角形，則需證△ABD0^EBC即可.、C△ABE為等邊三角形，已知4DBC為等邊三角形，則需證△ABD0^EBC即可.、C1分別是AB、AC的中點(diǎn)，則線段B1C1的長(zhǎng)AB、AC的三等分點(diǎn)，則線段B1C1+B2c2的值【例5】（1）已知在△ABC中，BC=a.如圖1,點(diǎn)B1是;如圖2,點(diǎn)B1、B2C1、C2分別是A圖3,點(diǎn)口哨C1B「B?……、BnTOC\o"1-5"\h\zB2.C2':Bn-1Cn-1BnCnBCB.D*B.D*C1、C2、......、Cn分別是AB、AC的（n+1）等分點(diǎn)，則線段BiCi+B2c2+……+BnCn的值是（2）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,當(dāng)直角三角板MPN的直角頂點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)時(shí)，直角邊MP始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,設(shè)直角三角板的另一直角邊PN與CD相交于點(diǎn)Q.BP=x,CQ=y,那么y與x之間的函數(shù)圖象大致是（）11【解析】（1）—a,a,—na提示：由“A字相似模型來(lái)求BnCn的長(zhǎng);22（2）D提示：蘭垂”相似模型；（2012（2012東城期末）【例6】如圖1,在等腰直角4ABC中，/BAC=90°,AB=AC=2,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，/DEF=45°且角的兩邊分別與邊AB,射線CA交于點(diǎn)P,Q.（1）如圖2,若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，將/DEF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點(diǎn)P,EF與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.設(shè)BP為x,CQ為y,試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）如圖3,點(diǎn)E在邊BC上沿B至ijC的方向運(yùn)動(dòng)（不與B,C重合），且DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,EF與邊AC交于Q點(diǎn).探究：在/DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，4AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長(zhǎng);若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)???/BAC=90°,AB=AC=2,又?/FEB=/FED+/DEB=/EQC+/C,/DEF=/C,/DEB=/EQC.ABPEs^CEQ.BPBECE/DEB=/EQC.ABPEs^CEQ.BPBECECQ設(shè)BP為x,CQ為y,24y=一自變量x的取值范圍是0VXV1.(2)解：???/AEF=/B=/C,且/AQE>/C,/AQE>/AEF.AE+Q.當(dāng)AE=EQ時(shí)，可證AABE^ECQ.CE=AB=2.BE=BC-EC=272-2.當(dāng)AQ=EQ時(shí)，可知/QAE=ZQEA=45°.???AEXBC.點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).BE=J2.綜上，在/DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，那EQ能成等腰三角形，此時(shí)BE長(zhǎng)為2啦-2或后.【思維拓展訓(xùn)練】

提高班訓(xùn)練1.如圖，直角三角形紙片ABC中，/ACB=90°,AC=8,BC=6.折疊該紙片使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕與AB、BC的交點(diǎn)分別為D、E.(1)DE的長(zhǎng)為;(2)將折疊后的圖形沿直線AE剪開(kāi)，原紙片被剪成三塊，其中最小一塊的面積等于.【解析】4,4E作EFLBD于點(diǎn)F,EGLAC于訓(xùn)練2.⑴如圖1,已知矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)E作EFLBD于點(diǎn)F,EGLAC于⑵若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EFLBD于點(diǎn)F,EG，AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,CH±BD于點(diǎn)H,則EF、EG、CH三者之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；⑶如圖3,BD是正方形ABCD的對(duì)角線，L在BD上，且BL=BC,連接CL,點(diǎn)E是CL上任一點(diǎn)，EFXBD于點(diǎn)F,EGXBC于點(diǎn)G,猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；(4)觀察圖1、圖2、圖3的特性，請(qǐng)你根據(jù)這一特性構(gòu)造一個(gè)圖形，使它仍然具有EF、EG、CH這樣的線段，并滿足⑴或⑵的結(jié)論，寫出相關(guān)題設(shè)的條件和結(jié)論.(2010房山二模)【解析】(1)設(shè)對(duì)角線交點(diǎn)為O,連結(jié)OE,用面積法證明；

CH=EF-EG;(3)連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,由(1)的結(jié)論可知CO=EF+EG,于是【BD=EF+EG；2(4)只要有等腰三角形就行，例如可以在等腰梯形中構(gòu)造^訓(xùn)練3.如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE_LAG于點(diǎn)E,BF_LAG于點(diǎn)F.⑴求證：DE-BF=EF.⑵當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí)，試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.⑶若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變.請(qǐng)你在圖2中畫出圖形，寫出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).【解析】(1)由△AED^^BFA可得;一一一一ABAFBFEF=2GF,易證△AFBs^BFGs^ABG,于是——=——=——=2,所以AF=2BF,BGBFFGBF=2FG,所以EF=2FG;(3)DE+BF=EF模塊一特殊三角形課后演練【演練1】⑴如圖，等腰4ABC中，AB=AC,/A=20?,線段AB的垂直平分線交AB于D,交AC于E,連接BE,則/CBE等于()A.80°B,70°C.60°D,50°⑵在等腰4ABC中，AB=AC,中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別為15和12兩個(gè)部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為.⑶如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的點(diǎn)，AD=BE,AGAE與CD交于點(diǎn)F,AG-LCD于點(diǎn)G,則——=AF【解析】(1)C;(2)7或11;(3)巨2【演練2】如圖，P為邊長(zhǎng)為2的正三角形中任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC,過(guò)P點(diǎn)分別做三邊的垂線，垂足分別為D、E、F,則PD+PE+PF=;陰影部分的面積為.模塊二全等三角形課后演練【演練3】在△ABC中，AB=AC,CG_LBA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F,一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.⑴在圖1中請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；⑵當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE_LBA于點(diǎn)E.此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；⑶當(dāng)三角尺在⑵的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，⑵中的猜想是否仍然成立？（不用說(shuō)明理由）【解析】⑴BF=CG;在MBF和MCG中，???.F=./G=90,.FAB=/GAC,AB=AC,MBF9MCG（AAS）,BF=CG.⑵DE+DF=CG;過(guò)點(diǎn)D作DH_LCG于點(diǎn)H（如圖4）.DE_LBA于點(diǎn)E,ZG=90°,DH±CG,GBC四邊形EDHG為矩形，DE=HG,DH//BG,ZGBCZHDC,AB=AC,NFCD=NGBC=NHDC,又「ZF=NDHC=90口，CD=DC,AFDC9AHCD(AAS),，DF=CH.GH+CH=DE+DF=CG,即DE+DF=CG.⑶仍然成立.（注：本題還可以利用面積或三角函數(shù)來(lái)證明，比如⑵中連結(jié)AD）【演練4】圖中是一副三角板，45。的三角板Rt△DEF的直角頂點(diǎn)D恰好在30?的三角板RtAABC斜邊AB的中點(diǎn)處，/A=30°,ZE=45s,/EDF=/ACB=90。DE交AC于點(diǎn)G,GM_LAB于M.⑴如圖1,當(dāng)DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，作CN_LAB于N,求證：AM=DN.⑵如圖2,當(dāng)DF//AC時(shí)，DF交BC于H,作HN_LAB于N,⑴的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)【解析】⑴???/A=30口，/ACB=90-D是AB的中點(diǎn)，，BC=BD,ZB=60°，△BCD是等邊三角形.1又?CN_LDB,??DN=—DB,2???ZEDF=90',iBCD是等邊三角形.???/ADG=30°,而ZA=3