2021年高考數(shù)學經典例題專題四平面向量與不等式【含答案】

平面向量與不等式一、單選題1．已知向量，則（）A． B．2C．5 D．50A由已知，，所以，故選A2．已知向量，，若向量與向量共線，則（）A． B．C． D．B由向量坐標運算得到，根據(jù)向量共線可構造方程求得，由模長的坐標運算得到結果.【詳解】，又向量與向量共線，，解得：，.故選：B.結論點睛：若與共線，則.3．在中，D是AB邊上的中點，則=（）A． B． C． D．C根據(jù)向量的加減法運算法則算出即可.【詳解】故選：C4.已知均為單位向量，且，則（）A． B． C． D．C由兩邊平方得，又因為可得，再計算即可得結果．【詳解】由得因為均為單位向量，則，所以，又，所以故選：C．5．已知是相互垂直的單位向量，與共面的向量滿足則的模為（）A． B． C． D．D根據(jù)是相互垂直的單位向量，利用坐標法以及數(shù)量積的坐標表示，建立方程進行求解即可.【詳解】是相互垂直的單位向量，不妨設，，設，由可得，即，則的模為.故選：D6．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）A． B． C． D．B首先畫出可行域，然后結合目標函數(shù)的幾何意義確定目標函數(shù)在何處能夠取得最大值和最小值從而確定目標函數(shù)的取值范圍即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)即：，其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最小值，聯(lián)立直線方程：，可得點A的坐標為：，據(jù)此可知目標函數(shù)的最小值為：且目標函數(shù)沒有最大值.故目標函數(shù)的取值范圍是.故選：B.7．已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）A． B． C． D．D根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運算性質，結合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質逐一判斷即可.【詳解】由已知可得A：因為，所以本選項不符合題意；B：因為，所以本選項不符合題意；C：因為，所以本選項不符合題意；D：因為，所以本選項符合題意.故選：D.8．已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．D計算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.9．已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．A首先根據(jù)題中所給的條件，結合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結果.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.10．若x，y滿足，且y≥?1，則3x+y的最大值為（）A．?7 B．1 C．5 D．7C由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設,當直線經過點時,取最大值5.故選C.11．設，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．C由已知得且，然后結合基本不等式與中間值1比較，用不等式的性質比較大小可得．【詳解】易知：,，，，顯然成立.所以．故選：C．12．已知是平面向量，滿足，且，記與的夾角為，則的最小值是（）A． B． C． D．B先給兩邊平方然后展開，代入，得到，然后利用，然后當時，求解的最小值.【詳解】由得，，所以.則令函數(shù)，因為在上單調遞減.又因為，故當時，取得最小值，最小值為.故選：B本題考查向量間夾角余弦值的取值范圍的計算問題，解答的一般思路為：當已知，和(其中為常數(shù))時，一般采用平方法，得到然后展開，得到的值.13．已知a，b，，若關于x不等式的解集為，則（）A．不存在有序數(shù)組，使得B．存在唯一有序數(shù)組，使得C．有且只有兩組有序數(shù)組，使得D．存在無窮多組有序數(shù)組，使得D根據(jù)，不等式轉化為一元二次不等式的解的問題，利用兩個一元二次不等式解集有交集的結論，得出兩個不等式解集的形式，從而再結合一元二次方程的根與系數(shù)關系確定結論．【詳解】由題意不等式的解集為，即的解集是，則不等式的解是或，不等式的解集是，設，，，所以，，和是方程的兩根，則，，又，所以是的一根，所以存在無數(shù)對，使得．故選：D．14．已知a，bR且ab≠0，對于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（）A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0C對分與兩種情況討論，結合三次函數(shù)的性質分析即可得到答案.【詳解】因為，所以且，設，則的零點為當時，則，，要使，必有，且，即，且，所以；當時，則，，要使，必有.綜上一定有.故選：C15．已知，則的最小值是（）A． B．3 C． D．4B將，變形為，令，根據(jù)確定，得到，然后由，，進一步確定，然后由，利用三角函數(shù)性質求解.【詳解】因為，，令，則，因為，所以，即，解得，所以，，，，因為，所以，因為，所以，解得，所以，則，所以，所以的最小值是3，故選：B關鍵點點睛：本題關鍵是將，變形為，利用三角換元，轉化為三角函數(shù)求解.二、多選題16．已知且，則下列結論中一定成立的是（）A． B． C． D．BCD由且，可以得到，，然后結合不等式的性質容易對A，B，C選項進行判斷，然后利用基本不等式可對D選項進行判斷.【詳解】A：因為且，所以，即，，不一定等于1，故A項不一定成立；B：因為，所以，所以B項一定成立；C：因為，所以，C項一定成立；D：，D項一定成立.17．已知均為正實數(shù)，且，則（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為AC對于選項A，直接根據(jù)基本不等式可求得結果；對于選項B，化為積為定值的形式后，根據(jù)基本不等式求出最小值可得答案；對于選項C，變形后利用二次函數(shù)求出最小值可得答案；對于選項D，變形后利用基本不等式求出最小值可得答案.【詳解】對于選項A，，當且僅當時取“”，故A正確；對于選項B，，當且僅當時取“”，故B錯誤；對于選項C，，當且僅當時取“”，故C正確；對于選項D，，令，，則，所以，當且僅當，即，時取“”，所以，所以，當且僅當，時取“”，故選項D錯誤.故選：AC.方法點睛：利用基本不等式求解最值問題常采用常數(shù)代換法，其解題步驟為：（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）；（2）把定值（常數(shù)）變形為1；（3）把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積為定值的形式；（4）利用基本不等式求解最值．18．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A． B．C． D．ABD根據(jù)，結合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.【詳解】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：ABD三、填空題19．已知向量，，且，則___________.由垂直的坐標表示求得，再由模的坐標運算求解．【詳解】由得，，則，所以．故．20．已知點在線段上運動，則的最大值是____________．直接利用基本不等式計算可得；【詳解】解：由題設可得：，即，∴，即，當且僅當時取“=”，故．21．已知，為實數(shù)，則______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）≥利用作差法，配方即可比較大小.【詳解】，當且僅當，取等號．故≥22．若x，y滿足約束條件則的最大值是__________．在平面直角坐標系內畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后平移直線，在平面區(qū)域內找到一點使得直線在縱軸上的截距最大，求出點的坐標代入目標函數(shù)中即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域為下圖所示：平移直線，當直線經過點時，直線在縱軸上的截距最大，此時點的坐標是方程組的解，解得：，因此的最大值為故答案為23．若，則的最大值是___________.根據(jù)約束條件作出可行域以及直線過點A時在軸上的截距最小，有最大值，得出答案.【詳解】根據(jù)約束條件作出可行域如圖所示，

由解得將目標函數(shù)化為，表示直線在軸上的截距的相反數(shù)的故當直線在軸上的截距最小時，有最大值.當直線過點（2,1）時在軸上的截距最小，最大，由A(2,1)知的最小值為故24．已知向量，滿足，．若，且，則的最大值為______．令，，利用已知作出以為直徑作直角三角形的外接圓，令，連接．設，由已知點在直線上，【詳解】令，，則，故，又，所以．以為直徑作直角三角形的外接圓，進而得出當時，即取得最大值．令，連接．設，因為，所以點在直線上，又，所以，即，所以．結合圖形可知，當時，即取得最大值，且．故25．已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.首先求得向量的數(shù)量積，然后結合向量垂直的充分必要條件即可求得實數(shù)k的值.【詳解】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得故．26．設為單位向量，且，則______________.整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對變形可得：，問題得解.【詳解】因為為單位向量，所以所以解得：所以故27．平面向量??，滿足，，，則對任意，的最大值為___________.建立平面直角坐標系，可得點的軌跡方程為，然后化簡所求式子，轉化為兩個圓的點之間的最大值問題，簡單判斷即可.【詳解】由，，可設由，把坐標代入化簡可得：所以點點的軌跡方程為又，所以求的最大值即兩個圓、上動點最大值，如圖所示;當過兩圓的圓心時，有最大即故28．已知向量，，滿足，與的夾角為，則的最大值為______．根據(jù)題意設，，，則，，，，由條件可得，后能結合正弦定理得到動點的軌跡，利用得到動點的軌跡，然后數(shù)形結合得到的最大值，即的最大值.【詳解】因為，所以，．設，，，則，，，．因為與的夾角為，所以，的外接圓的直徑為：則動點的軌跡是半徑為的圓中的優(yōu)?。ú缓c，），由，則動點的軌跡是以點為圓心、半徑為的圓，如圖，結合圖形可知，當點，，，四點共線，且在線段的延長線上時，最大，且最大值是，故的最大值為．故關鍵點睛：本題考查向量的運算和模長的最值問題，解答本題的關鍵是在中，根據(jù)題意得到，后能結合正弦定理得到動點的軌跡，利用得到動點的軌跡，然后數(shù)形結合得到的最大值，即的最大值．屬于中檔題.29．李明自主創(chuàng)業(yè)，經營一家網店，每售出一件商品獲利8元．現(xiàn)計劃在“五一”期間對商品進行廣告促銷，假設售出商品的件數(shù)（單位：萬件）與廣告費用（單位：萬元）符合函數(shù)模型．若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用應投入_______萬元．設李明獲得的利潤為萬元，求出關于的表達式，利用基本不等式可求得的最小值及其對應的的值.【詳解】設李明獲得的利潤為萬元，則，則，當且僅當，因為，即當時，等號成立.故答案為30．已知正實數(shù)，，，滿足，其中，，則的最小值為______.12解法一根據(jù)可知，得到，然后變形所求的式子并結合基本不等式可知結果.解法二對取對數(shù)可知，，然后代入所求式子并結合基本不等式可知結果.【詳解】解法一由得，，所以，所以，即，所以.因為，所以，當且僅當時等號成立.故，所以的最小值為12.解法二對兩邊同時取對數(shù)，得，，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為12.故12關鍵點定睛：解法一關鍵在于得到，解法二結合對數(shù)，同時兩種解法都使用基本不等式.31．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，，則的最大值是______．由等差數(shù)列得通項公式可的設，，則不等式組等價為，，利用線性規(guī)劃知識求最值即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由題設知，，設，，則不等式組等價為，對應的可行域為如圖所示的三角形及其內部，由，由可得，作沿著可行域的方向平移，當直線過點時，取得最大值．由解得，所以，故32．設，為單位向量，滿足，，，設，的夾角為，則的最小值為_______．利用復數(shù)模的平方等于復數(shù)的平方化簡條件得，再根據(jù)向量夾角公式求函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)單調性求最值.【詳解】，，，.故答案為四、雙空題33．如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設點，則點（其中），得出關于的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的基本性質求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，,∵，∴的坐標為,∵又∵,則，設，則（其中），，，，所以，當時，取得最小值.故；.五、解答題34．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經調研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關系：，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）元．已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水