九年級(jí)四邊形基礎(chǔ)講解

九年級(jí)四邊形基礎(chǔ)講解一．解答題(共30小題)如圖，AABC與厶CDE都是等邊三角形，點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn).求證：四邊形EFCD是菱形；如果AB=8，求D、F兩點(diǎn)間的距離.在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別在AD及其延長(zhǎng)線上，CE〃BF,連接BE、CF.求證：ABOF竺ACDE；若DE=IBC,試判斷四邊形BFCE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.

如圖1,正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過(guò)B作BG丄AE于G,延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F使ZCFB=45圖2M求證：AG=FG；如圖2延長(zhǎng)FC、AE交于點(diǎn)M,連接DF、BM,若C為FM中點(diǎn)，BM=10,求FD的長(zhǎng)．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E,F分別在BC,AB上，點(diǎn)M在BA的延長(zhǎng)線上，且CE=BF=AM,過(guò)點(diǎn)M,E分別作NM丄DM,NE丄DE交于N,連接NF.求證：DE丄DM；猜想并寫(xiě)出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想.如圖，點(diǎn)E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE=DF.(1)試判斷四邊形AECF的形狀;(2)(2)若AE二BE,ZBAC=90°,求證：四邊形AECF是菱形.已知：如圖，AE〃BF,AC平分ZBAD，交BF于點(diǎn)C,BD平分ZABC,交AE于點(diǎn)D,連接CD.求證：四邊形ABCD是菱形.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BC相交于點(diǎn)O,BE〃AC,CE〃DB.求證:四邊形OBEC是矩形.如圖，將?ABCD的邊BA延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使AE=AB，連接EC,交AD于點(diǎn)F,連接AC、ED.(1)求證：四邊形ACDE是平行四邊形；(2)若ZAFC=2ZB，求證：四邊形ACDE是矩形.已知：矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,CE平分ZBCD,交AB于點(diǎn)E,Z0CE=15°，求ZBEO的度數(shù).如圖，四邊形ABCD是正方形，AECF是等腰直角三角形，其中CE=CF,BC=5,CF=3，BF=4.求證：DE〃FC.已知：如圖，AABC中，ZBAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn),且AE二AC，EF〃BC交AD于點(diǎn)F,求證：四邊形CDEF是菱形.如圖，已知?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于0,且Z1=Z2.

(1)求證:?ABCD是菱形;(2)F為AD上一點(diǎn)，連結(jié)BF交AC于E,且AE=AF，求證：AO二2(AF+AB).如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O,BE丄AC,CF丄BD,垂足分別為E，F(xiàn).求證：BE=CF.如圖，在△ABC中，AB=AC，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到厶ADE，連接BD、CE、BD、CE相交于點(diǎn)F,且ZADB=ZBAC.求證：四邊形ABFE為菱形.如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作ME丄AC,MF丄AD,垂足分別為E、F.(1)求證：ZCAB二ZDAB；(2)若ZCAD=90°，求證：四邊形AEMF是正方形.如圖，在?ABCD中，BE平分ZABC交AD于點(diǎn)E,DF平分ZADC交BC于點(diǎn)F.求證：AABE竺ACDF；若BD丄EF，則判斷四邊形EBFD是什么特殊四邊形，請(qǐng)證明你的結(jié)論.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CD丄AB,AE平分ZBAC交CD于F，EG丄AB于G,求證：四邊形CEGF是菱形.如圖，已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF．(1)填空：ZB二度；2)求證：四邊形AECF是矩形如圖，在?ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E,交AD于F.求證：四邊形AECF為菱形；若AC丄CD，AB=6，BC=10，求四邊形AECF的面積.如圖，BD為矩形ABCD的對(duì)角線，ZADB,ZDBC的平分線分別交于AB,CD于E，F(xiàn)點(diǎn).求證：四邊形DEBF為平行四邊形；連接EF,若EF丄BD,且AD=6，求菱形DEBF的面積.如圖，矩形ABCD,過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂線交AD于E,交BC于F,連結(jié)EB、DF.(1)求證：四邊形DEBF是菱形;（2）若AD=3,AB=,求AE的長(zhǎng).如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，作DE〃AC,CE〃BD,DE、CE相交于E,求證：四邊形OCED是矩形.在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,E、F分別是AD、BC上兩點(diǎn)，并且AC垂直平分EF,垂足為O.(1)連接AF、CE.說(shuō)明四邊形AFCE為菱形；2)求AF的長(zhǎng).

如圖.在△ABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,AE平分ZBAC,分別于BC、CD交于E、F,EH丄AB于H.連接FH,求證：四邊形CFHE是菱形.如圖，在?ABCD中，EF〃BD，分別交BC,CD于點(diǎn)P,Q,交AB,AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F.已知BE=BP.求證：（1）ZE二ZF；（2）?ABCD是菱形.在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接AF、CE.連接AC,當(dāng)CA=CB時(shí)，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)G,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，ZAEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.證明：ZBAE二ZFEC；求AAEF的面積.探究：如圖，分別以厶ABC的兩邊AB和AC為邊向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于點(diǎn)P．求證：ZANC二ZABE.應(yīng)用：Q是線段BC的中點(diǎn)，若BC=6，則PQ=.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F.問(wèn)四邊形AFCE是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG,DE.我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系.（1）猜想圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；（2）將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度a,得到如圖2、如圖3情形.請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷.九年級(jí)四邊形基礎(chǔ)講解參考答案與試題解析一.解答題（共30小題）（2016?費(fèi)縣一模）如圖，AABC與厶CDE都是等邊三角形，點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn).1)求證：四邊形EFCD是菱形；(2)如果AB=8，求D、F兩點(diǎn)間的距離.【解答】(1)證明：?「△ABC與厶CDE都是等邊三角形???AB二AC二BC,ED=DC=EC「點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)???EF二AB,EC二AC,FC=BC?EF=EC=FC?EF=FC=ED=DC,?四邊形EFCD是菱形．(2)解：連接DF,與EC相交于點(diǎn)G,???四邊形EFCD是菱形???DF丄EC，垂足為GTEF二AB=4,EF〃ABAZFEG=ZA=60在RtAEFG中，ZEGF=90???DF=2FG=2X4sinZFEC=8sin60°=4(2016?黃岡二模)在厶ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別在AD及其延長(zhǎng)線上，CE〃BF，連接BE、CF.(1)求證：ABOF竺ACDE；(2)若DE=BC,試判斷四邊形BFCE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.【解答】（1）證明：???CE〃BF,???ZCED二ZBFD,???D是BC邊的中點(diǎn)，?BD=DC,在厶BDF和厶CDE中Vbfd=Zced、ZBDF=ZCDEHD二DC?△BDF竺△CDE（AAS）；（2）四邊形BFCE是矩形,證明：???△BDF竺ACDE,?DE=DF,?BD=DC,???四邊形BFCE是平行四邊形,TBD二CD,DE二BC，???BD二DC二DE,???ZBEC=90°,???平行四邊形BFCE是矩形.（2016?重慶模擬）如圖1,正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過(guò)B作BG丄AE于G,延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F使ZCFB=45°(1)求證:AG=FG；（2）如圖2延長(zhǎng)FC、AE交于點(diǎn)M,連接DF、BM,若C為FM中點(diǎn)，BM=10,求FD的長(zhǎng).【解答】（1）證明：過(guò)C點(diǎn)作CH丄BF于H點(diǎn),\*ZCFB=45?CH=HF,VZABG+ZBAG=90°,ZFBE+ZABG=90AZBAG=ZFBE,TAG丄BF,CH丄BF,???ZAGB二ZBHC=90°,在厶AGB和厶BHC中，\*ZAGB=ZBHC,ZBAG=ZHBC,AB二BC,???△AGB竺ABHC,?AG=BH,BG=CH,TBH=BG+GH,?BH=HF+GH=FG,?AG=FG；(2)解:TCH丄GF,???CH〃GM,TC為FM的中點(diǎn),?CH二IGM,???BG二22GM，???BM=10,Vs???BG=2Vs，GM=4?AG=4,AB=10,???HF=2???CF=2X=2Vio???CM=2Vio過(guò)B點(diǎn)作BK丄CM于K,TCK二CM==2=2CF=CF=???BK=3V10過(guò)D作DQ丄MF交MF延長(zhǎng)線于Q,/.△BKC^^CQD???CQ二BK=3V10DQ=CK=?QF=3-2V10?QF=3-2VioVioVio?DF=Vio+io(2016?云南模擬)如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E,F分別在BC,AB上，點(diǎn)M在BA的延長(zhǎng)線上，且CE=BF=AM,過(guò)點(diǎn)M,E分別作NM丄DM,NE丄DE交于N,連接NF.(1)求證:DE丄DM；(2)猜想并寫(xiě)出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想.【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形,ADC=DA,ZDCE=ZDAM=90°,在△。。已和厶MDA中，'DC=DA、ZDCE=ZDMlCE=AM???△DCE竺△MDA(SAS),???DE二DM,ZEDC二ZMDA.又VZADE+ZEDC=ZADC=90°,???ZADE+ZMDA=90°,???DE丄DM；（2）解：四邊形CENF是平行四邊形,理由如下???四邊形ABCD是正方形，???AB〃CD,AB=CD.VBF=AM,?MF=AF+AM=AF+BF=AB，即MF=CD,又TF在AB上，點(diǎn)M在BA的延長(zhǎng)線上，???MF〃CD,???四邊形CFMD是平行四邊形，???DM二CF,DM〃CF,TNM丄DM,NE丄DE,DE丄DM,???四邊形DENM都是矩形，???EN二DM,EN〃DM,???CF二EN,CF〃EN,???四邊形CENF為平行四邊形.（2016春?澄城縣期末）如圖，點(diǎn)E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn),且BE=DF．（1）試判斷四邊形AECF的形狀；（2）若AE=BE,ZBAC=90°,求證：四邊形AECF是菱形.【解答】(1)解：四邊形AECF為平行四邊形.???四邊形ABCD是平行四邊形，???AD二BC,AD〃BC,又VBE=DF,AAF=CE,???四邊形AECF為平行四邊形；(2)證明:VAE=BE,AZB=ZBAE,又VZBAC=90°,AZB+ZBCA=90°,ZCAE+ZBAE=90°,AZBCA=ZCAE,?AE=CE,又???四邊形AECF為平行四邊形,???四邊形AECF是菱形.（2016春?夏津縣期末）已知：如圖，AE〃BF,AC平分ZBAD，交BF于點(diǎn)C,BD平分ZABC，交AE于點(diǎn)D,連接CD.求證：四邊形ABCD是菱形.【解答】證明：TAC平分ZBAD,AZBAC=ZCAD.又VAE#BF,AZBCA=ZCAD,AZBAC=ZBCA.?AB=BC,同理可證AB=AD.?AD=BC,又AD〃BC,???四邊形ABCD是平行四邊形，又AB=BC,???平行四邊形ABCD是菱形.7．(2016春?歷下區(qū)期末)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BC相交于點(diǎn)O，BE〃AC,CE〃DB.求證：四邊形OBEC是矩形.【解答】證明:?.?BE〃AC,CE〃DB,???四邊形OBEC是平行四邊形，又???四邊形ABCD是菱形，???AC丄BD,???ZA0B=90°,?平行四邊形OBEC是矩形.(2016春?德惠市期末)如圖，將?ABCD的邊BA延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使AE二AB,連接EC,交AD于點(diǎn)F,連接AC、ED.求證：四邊形ACDE是平行四邊形；若ZAFC=2ZB,求證：四邊形ACDE是矩形.【解答】證明：（1）T?ABCD中，AB=CD且AB〃CD,又VAE=CD,???AE二CD,AE〃CD,???四邊形ACDE是平行四邊形；（2）T?ABCD中，AD〃BC,AZEAF=ZB,又VZAFC=ZEAF+ZAEF,ZAFC=2ZBAZEAF=ZAEF,?AF=EF,又???平行四邊形ACDE中AD=2AF,EC=2EF?AD=EC,???平行四邊形ACDE是矩形.（2016春?郴州校級(jí)期中）已知：矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,CE平分ZBCD,交AB于點(diǎn)E,ZOCE=15°，求ZBEO的度數(shù).【解答】解：???四邊形ABCD是矩形,???ZACB=90°DC〃AB,???ZDCE二ZCEB,VCE平分ZDCB,AZBCE=ZDCE=45°,AZBCE=ZCEB,?BE=BC,VZDCE=45°,ZOCE=15°,???ZDC0=30°,???ZBC0-90°-30°=60°,???四邊形ABCD是矩形，?AC=2AO=2OC,BD=2BO=2DO,AC=BD?AO=OC=CO=BO,???△BOC是等邊三角形，?BC=OB=BE,?DC〃AB,?ZCAB=ZDBA=30°,AZBEO=ZBOE=2(180°-ZDBA)二X(180°-30°)=75°.10．如圖，四邊形10．如圖，四邊形ABCD是正方形，AECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3,BF=4.求證：DE〃FC.【解答】證明：延長(zhǎng)BF父DE于H，???四邊形ABCD是正方形，???ZBCD=90°,BC=CD，???ZBCF+ZFCD=90°，???△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，AZECD+ZFCD=90°，AZBCF=ZECD.在DCE中，'EC二DC、ZBCF=ZDCElCF=CE???△BCF竺△DCE(SAS),延長(zhǎng)BF交DE于H,BF=DE,ZCBF=ZCDE,VZCBF+Z1=90°,Z1=Z2,Z2+ZCDE=90°,???ZDHF=90°,BF丄DE,在^BFC中，BC=5,CF=3,ZBFC=90°,?BF==4．?/△BCF^^DCE,?DE=BF=4,ZBFC=ZDEC=ZFCE=90???DE〃FC.（2016春?沐陽(yáng)縣校級(jí)月考）已知：如圖，AABC中，ZBAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE二AC,EF〃BC交AD于點(diǎn)F,求證：四邊形CDEF是菱形.【解答】證明：TAD平分ZCAB，AZCAD=ZEAD，在AADE和AADC中，rAC=AE、ZCAD=ZEADiAD二AD，???△ADE竺△ADC(SAS)；ADE=DC，ZADE=ZADC，同理△AFE^^AFC，?EF=CF，???EF〃BC?ZEFD=ZADC，?ZEFD=ZADE，???DE二EF,???DE二EF二CF二DC,???四邊形CDEF是菱形.(2016秋?江陰市校級(jí)月考)如圖，已知?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于0,且Z1=Z2.求證：?ABCD是菱形；F為AD上一點(diǎn)，連結(jié)BF交AC于E,且AE=AF，求證：A0=i(AF+AB).【解答】解：(1)證明:???？ABCD中，AD〃BC,AZ2=ZACB,又VZ1=Z2,AZ1=ZACB?AB=BC，??ABCD是菱形；(2)T?ABCD中，AD〃BC,???ZAFE二ZEBC,又VAF=AE,AZAFE=ZAEF=ZBEC,AZEBC=ZBEC,?BC=CE,?AC=AE+CE=AF+BC=2OA,???0A二(AF+BC),又VAB=BC,???0A二(AF+AB).（2015?南平）如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O,BE丄AC,CF丄BD,垂足分別為E,F.求證：BE二CF.【解答】證明：???四邊形ABCD為矩形,???AC二BD，則BO=CO.TBE丄AC于E,CF丄BD于F,AZBEO=ZCFO=90又VZBOE=ZCOF,???△BOE竺ACOF.?BE=CF．（2015?常州二模）如圖，在△ABC中，AB=AC,將^ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD、CE、BD、CE相交于點(diǎn)F,且ZADB=ZBAC.求證：四邊形ABFE為菱形.【解答】證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AADE竺AABC,?AD=AB,AE=AC,ZDAE=ZBAC,?ZABD=ZADB,ZACE=ZAEC,ZBAD=ZCAE,VZADB=ZBAC,???ZDAE二ZADB,???AE〃BD,VZBAD+ZABD+ZADB=180°,ZCAE+ZACE+ZAEC=180°,AZABD=ZACE,AZBAC=ZACE,???AB〃CE,?四邊形ABFE是平行四邊形,又VAB=AE,?四邊形ABFE為菱形．(2015?蘭州一模)如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作ME丄AC,MF丄AD，垂足分別為E、F.求證：ZCAB二ZDAB；若ZCAD=90°，求證：四邊形AEMF是正方形.【解答】（1）證明：TAB是CD的垂直平分線,???AC二AD,又TAB丄CDAZCAB=ZDAB（等腰三角形的三線合一）；（2）證明：TME丄AC,MF丄AD,ZCAD=90°,即ZCAD=ZAEM=ZAFM=90°,?四邊形AEMF是矩形,又VZCAB=ZDAB,ME±AC,MF丄AD,?ME=MF,?矩形AEMF是正方形．（2015秋?李滄區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，BE平分ZABC交AD于點(diǎn)E,DF平分ZADC交BC于點(diǎn)F.（1）求證：AABE竺ACDF；（2）若BD丄EF,貝V判斷四邊形EBFD是什么特殊四邊形，請(qǐng)證明你的結(jié)論.【解答】（1）證明：T四邊形ABCD是平行四邊形,???AB二CD,AD二CB,AD〃CB,ZA二ZC,ZABC二ZADC,?「BE平分ZABC,DF平分ZADC,.\ZABE=ZABC,ZCDF=ZADC,AZABE=ZCDF,在厶ABE和厶CDF中，VA=ZCAB=CDlZABE=ZCDF???△ABE竺△CDF（ASA）；（2）解：四邊形EBFD是菱形；理由如下由（1）得：AABE竺ACDF,?AE=CF,?DE=BF,又?.?DE〃BF,?四邊形EBFD是平行四邊形VBDXEF,???四邊形EBFD是菱形.（2015秋?大竹縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CD丄AB,AE平分ZBAC交CD于F,EG丄AB于G,求證：四邊形CEGF是菱形.【解答】證明：TAE平分ZBAC交CD于F,ACE=EG,ZAEG=ZAEC,在△。已卩和厶GEF中，GE=CEZAEG=ZAEC[EF=EF???△CEF竺△GEF(SAS),AFG=FC,ZCFE=ZGFE,TCD丄AB,EG丄AB,???CD〃EG,?ZCFE=ZGEF,又VZCFE=ZGFE,???ZCFE二ZCEF,???CF二CE,又VFG=FC,CE二EG,?CF=CE=EG=FG,?四邊形CEGF是菱形．18．（2014?沙坡頭區(qū)校級(jí)模擬）如圖,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF.（1）填空：ZB二60度；（2）求證：四邊形AECF是矩形.【解答】解：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,?AB=BC,VAC=AB,???△ABC為等邊三角形，?ZB=60°,故答案為：60；2）證明：由（1）得三角形ABC為等邊三角形，同理可得，AACD為等邊三角形，???E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，???AE丄BC,CF丄AD,AE〃CF,???AF〃CE,???四邊形AECF為矩形.（2013秋?姜堰市期末）如圖，在?ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E,交AD于F．（1）求證：四邊形AECF為菱形；（2）若AC丄CD，AB=6，BC=10，求四邊形AECF的面積.【解答】解：（1）TEF垂直平分AC,?AO=OC，AZ1=Z2，Z3=Z4，又???四邊形ABCD是平行四邊形，???AD〃BC，AZ1=Z4=Z3,???AF二AE,???AE二EC二CF二FA,???四邊形AECF是菱形.(2)TAC丄CD,AC丄EF???EF〃CD?EF=AB=6???BC=10,???由勾股定理得:AC=8,???四邊形AECF的面積為：AC?EF=X6X8=24；（2013秋?西陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，BD為矩形ABCD的對(duì)角線，ZADB,ZDBC的平分線分別交于AB,CD于E,F點(diǎn).1)求證：四邊形DEBF為平行四邊形；(2)連接EF,若EF丄BD，且AD=6，求菱形DEBF的面積.【解答】(1)證明：在矩形ABCD中，DC〃AB,AD〃BC,AZADB=ZCBD,ZADB=ZCBD即ZEDB=ZFBD,???DE〃BF,???四邊形DEBF是平行四邊形；(2)解：由ZEDB=ZFDB=ZADE,且ZADC=90°,???ZADE=30°,又ZA=90°AD=6,?BE=2???DE=4???S菱形DEBF=BEXAD=24（2014春?高安市期中）如圖，矩形ABCD,過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂線交AD于E,交BC于F,連結(jié)EB、DF.（1）求證：四邊形DEBF是菱形；（2）若AD=3，AB=，求AE的長(zhǎng).【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是矩形,???AD〃BC,.\ZEDB=ZDBF,ZDEF=ZBFE,在△已。0和4FBO中，Vedb=Zdbf、ZDEF=ZBFElDO=BO???△EDO竺△FBO(AAS),???E0二FO,???四邊形DEBF是平行四邊形，又VDEXEF,???平行四邊形DEBF是菱形；(2)解：設(shè)AE=x，則BE=DE=3-x,而AB=，在RtAAEB中，根據(jù)勾股定理BE2二AE2+AB2,?(3-x)2=x2+()2,解得：x=1，?AE=1．(2014春?富寧縣校級(jí)期中)如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，作DE〃AC,CE〃BD,DE、CE相交于E,求證：四邊形OCED是矩形.【解答】證明:?.?DE〃AC,CE〃BD,???四邊形OCED是平行四邊形,???四邊形ABCD是菱形，???AC丄BD,???ZD0C=90°,???四邊形OCED是矩形.23．（2014春?東臺(tái)市校級(jí)月考）在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，E、F分別是AD、BC上兩點(diǎn)，并且AC垂直平分EF,垂足為0.（1）連接AF、CE.說(shuō)明四邊形AFCE為菱形；（2）求AF的長(zhǎng).【解答】證明：（I）：'四邊形ABCD矩形,???AD〃BC,AZEAC=ZACF,???EF平分AC,?AO=OC,Veac=Zacf、AO=COtZAOE=ZCOF???△AOE竺ACOE,???EO=OF,???四邊形AFCE是平行四邊形，TEF丄AC,???四邊形AFCE是菱形.（2）設(shè)AF=FC=x,則BF=8-x；在RtAABF中，AB2+BF2=AF2,即：42+（8-x）2=x2,解得：x=5,?AC的長(zhǎng)為5cm．（2013?烏魯木齊）如圖.在△ABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,AE平分ZBAC，分別于BC、CD交于E、F,EH丄AB于H.連接FH,求證：四邊形CFHE是菱形.【解答】證明：?.?ZACB=90°,AE平分ZBAC,EH丄AB,???CE二EH,在RtAACE和RtAAHE中，AE二AE,CE=EH，由勾股定理得：AC二AH,VAE平分ZCAB,AZCAF=ZHAF,在厶CAF和AHAF中'AC=AHZCAF=ZHAFtAF=AF???△CAF竺△HAF(SAS),AZACD=ZAHF,VCD±AB,ZACB=90°,ZCDA=ZACB=90°,ZB+ZCAB=90°,ZCAB+ZACD=90°,ZACD=ZB=ZAHF,???FH〃CE,TCD丄AB,EH丄AB,???CF〃EH,???四邊形CFHE是平行四邊形，VCE=EH,???四邊形CFHE是菱形.（2013?東營(yíng)模擬）如圖，在?ABCD中，EF〃BD，分別交BC,CD于點(diǎn)P,Q,交AB，AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn).已知BE=BP.求證：（1）ZE二ZF；（2）?ABCD是菱形.【解答】證明：(1)VBE=BP,AZE=ZBPE,???BC〃AF,AZBPE=ZF,AZE=ZF.(2)TEF〃BD,AZE=ZABD,ZF=ZADB,???ZABD二ZADB,???AB二AD,???四邊形ABCD是平行四邊形,???□ABCD是菱形.（2013?云龍區(qū)校級(jí)三模）在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接AF、CE.連接AC,當(dāng)CA=CB時(shí)，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.【解答】解：四邊形AECF是矩形，理由：??在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),???AB〃CD，AE=BE=CF=DF，AE￡FC，???四邊形AECF是平行四邊形，AC=BC，E為AB的中點(diǎn)，???ZAEC=90°,???平行四邊形AECF是矩形.(2013?棗陽(yáng)市模擬)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)G,E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，ZAEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.證明：ZBAE二ZFEC；求AAEF的面積.解答】證明：如右圖，(1)???四邊形ABCD是正方形,???ZB=90°,AB=BC，???G、E是AB、BC中點(diǎn),???BG二AB，BE=BC，???BG二BE,???ZBGE二ZBEG=45°,AZBGE=Z1+Z2=45°,???ZAEF=90°,???Zl+Z4=180°-45°-90°=45°,AZ2=Z4,即ZBAE=ZFEC；(2)由(1)知ZBGE=45°,???ZAGE=135°,???CF是ZDCH的角平分線，???ZFCH二X90°=45°,???ZECF=135°,???四邊形ABCD是正方形，?AB=BC,???G、E是AB、BC中點(diǎn)，?AG=AB,EC二BC,???AG二EC,在厶AGE和厶ECF中，rZ4=Z2乂AG二EClZAGE=ZECF=135°???△AGE竺AECF,?AE=EF,在RtAABE中，TAE2二AB2+BE2,???AE2二_5a2,?SAAEF二iXAEXEF=AE2=X§a2=

§a2.（2013?長(zhǎng)春模擬）探究：如圖，分別以厶A