浪費(fèi)的時(shí)間和功夫

3SPH光滑函數(shù)3.1綜述常用平滑函數(shù)之一的中心議題為無網(wǎng)格的方法是如何在不使用預(yù)定義的網(wǎng)狀或網(wǎng)格，提供節(jié)點(diǎn)的連通性，以有效地執(zhí)行基于一組分散在任意方式的節(jié)點(diǎn)的函數(shù)逼近。在SPH方法中，所述平滑函數(shù)是用于核和粒子近似。它是在SPH方法極為重要，因?yàn)樗鼪Q定來內(nèi)插所述圖案，并限定了粒子的影響區(qū)域的截止距離。許多研究者已經(jīng)調(diào)查了平滑核，希望能改進(jìn)SPH方法的性能，和/或概括構(gòu)造平滑核函數(shù)的要求。富爾克數(shù)值研究在一維空間中的數(shù)的平滑核函數(shù)，得到的結(jié)果基本有效期規(guī)則分布的粒子[39，75]。Swegle等。顯示的拉伸不穩(wěn)定，這是密切相關(guān)的平滑核函數(shù)[45]。莫里斯研究了幾種不同的平滑函數(shù)的性能，并發(fā)現(xiàn)，通過適當(dāng)?shù)剡x擇平滑函數(shù)，所述SPH仿真的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定性特性可以提高[46，80]。Omang提供替代核函數(shù)調(diào)查的SPH圓柱對(duì)稱性[81]。晉鼎調(diào)查準(zhǔn)則的光滑粒子動(dòng)力學(xué)核穩(wěn)定領(lǐng)域[82]?？ㄆ沾?Dolcetta給了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的插值核的SPH選擇[83]?？f松和他的同事提出的插值核為SPH研究[84]的一個(gè)參數(shù)的家庭。不同的平滑函數(shù)在SPH方法已被用于如圖出版文獻(xiàn)。各種要求或?qū)傩缘钠交瘮?shù)進(jìn)行了討論。主要屬性或要求現(xiàn)在總結(jié)在下面的討論中描述。平滑函數(shù)必須在標(biāo)準(zhǔn)化的支持域（團(tuán)結(jié)）

這種規(guī)格化屬性確保平滑函數(shù)的在支撐結(jié)構(gòu)域的積分是統(tǒng)一。它可以顯示在下一節(jié)，它也保證了一個(gè)連續(xù)函數(shù)的積分表示的零級(jí)一致性（C0）。2.平滑函數(shù)應(yīng)該緊支撐（緊湊支持），即

所述緊湊支持的尺寸被平滑長(zhǎng)度h和縮放因子κ，其中h是光滑長(zhǎng)度限定，并且κ確定指定平滑函數(shù)的擴(kuò)散。|X-X_|≤κh定義了粒子在點(diǎn)x的支持域。這種緊湊supportness財(cái)產(chǎn)轉(zhuǎn)換從全球操作的SPH近似到本地運(yùn)行。這將在后面導(dǎo)致的一組稀疏離散系統(tǒng)矩陣，因此是非常重要的，只要計(jì)算的努力而言。3.W（X-x_）≥0，在點(diǎn)x粒子（積極性）的支持域內(nèi)的任何點(diǎn)X_。該屬性指出平滑函數(shù)應(yīng)該是非負(fù)在載體域。它不是數(shù)學(xué)上必要的，因?yàn)橐粋€(gè)收斂條件，但要保證的一些物理現(xiàn)象的有意義（或穩(wěn)定）表示它是重要的。在一些文獻(xiàn)中使用的一些平滑的函數(shù)是否定的，在支持域的部分。然而，在流體動(dòng)力模擬中，平滑函數(shù)的負(fù)值可以產(chǎn)生嚴(yán)重的后果，可能會(huì)導(dǎo)致一些非物理參數(shù)，如負(fù)密度和能量。

4.粒子平滑函數(shù)值應(yīng)與距離的增加遠(yuǎn)離粒子（衰減）單調(diào)遞減。這個(gè)屬性是基于一個(gè)物理的考慮近粒子應(yīng)該對(duì)所考慮的粒子更大的影響力。換言之，有兩個(gè)相互作用粒子的距離的增加，所述相互作用力減小。5.平滑函數(shù)應(yīng)滿足狄拉克函數(shù)條件作為平滑長(zhǎng)度接近零（三角洲的函數(shù)屬性）

趨于零，近似值接近的函數(shù)值，即_f（x）的_=F（X）。

6.平滑函數(shù)應(yīng)該是偶函數(shù)（對(duì)稱屬性）。這意味著，從相同的距離，但不同位置的粒子應(yīng)該具有在給定的粒子同等的效果。這不是非常嚴(yán)格的條件，并且它有時(shí)違反在于提供更高的一致性一些無網(wǎng)格粒子的方法。7.平滑函數(shù)應(yīng)當(dāng)足夠光滑（平滑性）。此屬性的目的是獲得更好的逼近精度。對(duì)于函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的近似值，平滑函數(shù)需要足夠連續(xù)取得良好的效果。隨著函數(shù)的順暢價(jià)值和衍生工具的平滑函數(shù)，通常會(huì)產(chǎn)生更好的結(jié)果和數(shù)值穩(wěn)定性更好的性能。這是因?yàn)?，?duì)平滑函數(shù)不會(huì)對(duì)粒子病癥敏感，并且在近似積分插值誤差是小的，只要該粒子病癥是不極端[6，49，75]。具有上述特性的任何函數(shù)可被用作SPH平滑函數(shù)和多種平滑函數(shù)已被使用。露在原SPH論文[36]中使用的鐘形函數(shù)

其中αD是5/4H，5/πh2和在單105/16πh3，二維和三維空間，分別使統(tǒng)一的條件能夠滿足所有的三個(gè)維度。R是在點(diǎn)x和X_兩個(gè)點(diǎn)（粒子）之間的相對(duì)距離，R=RH=|X-X_|h，其中r是兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。Gingold和莫納漢在其原始文獻(xiàn)[37]中選擇以下高斯核模擬非球形恒星

其中αD為1/π1/2H，1/πh2和1/π3/2H3，分別在一，二和三維空間，為統(tǒng)一規(guī)定。高斯核甚至是衍生品的高訂單足夠光滑，并且被認(rèn)為是“黃金”的選擇，因?yàn)樗欠浅７€(wěn)定的，特別是準(zhǔn)確的無序粒子。它是，但是，不是真的緊湊，因?yàn)樗肋h(yuǎn)不會(huì)為零，理論上，除非?接近無窮大。因?yàn)樗咏銛?shù)值非?？?，它實(shí)際上是緊湊。需要注意的是它在計(jì)算上更昂貴的，因?yàn)樗赡苄枰粋€(gè)較長(zhǎng)的距離為核，以接近零。這可能會(huì)導(dǎo)致與粒子近似更多的粒子大的支撐結(jié)構(gòu)域。最經(jīng)常使用的平滑函數(shù)可以是三次B樣條函數(shù)，它最初是用莫納和拉坦佐[85]

在一，二和三維空間，αD=1/小時(shí)，15/7πh2和3/2πh3分別。三次樣條函數(shù)已經(jīng)在出現(xiàn)SPH文獻(xiàn)最廣泛使用的平滑函數(shù)，因?yàn)樗浅ｎ愃朴诟咚购瘮?shù)，同時(shí)具有窄緊湊支持。然而，三次樣條的二階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)分段線性函數(shù)，并且相應(yīng)地，穩(wěn)定性能可不如那些更平滑核莫里斯引入了較高階（四次和五次）花鍵更密切近似高斯和更穩(wěn)定的[46，80]。四次樣條

其中αD是1/24小時(shí)在一維空間中。該quantic樣條

其中αD是120/小時(shí)，分別為7/478πh2和在單3/359πh3，twoand三維空間。

約翰遜等人。使用了以下的二次平滑函數(shù)，以模擬高速?zèng)_擊的問題[86]

其中在一維，二維和三維空間，αD=1/小時(shí)，2/πh2和5/4πh3分別。不像其他的平滑函數(shù)，此二次平滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)總是增加的粒子靠攏，并總是隨它們移動(dòng)分開。這被認(rèn)為由作者為在三次樣條函數(shù)的一個(gè)重要的改進(jìn)，而且據(jù)報(bào)導(dǎo)，以減輕壓不穩(wěn)定的問題。一些高階平滑個(gè)從較低階的形式設(shè)計(jì)的函數(shù)已經(jīng)構(gòu)建，如超級(jí)高斯核[85]

其中αD為1/√π在一維空間中。高階平滑函數(shù)的一個(gè)缺點(diǎn)是，該核是負(fù)在其支持域一些區(qū)域。這可能會(huì)導(dǎo)致非物理結(jié)果流體力學(xué)問題[75]。

平滑函數(shù)已數(shù)學(xué)詳細(xì)研究由劉和他的同事。他們提出了一個(gè)系統(tǒng)化的方法來構(gòu)造一個(gè)平滑函數(shù)，可以適應(yīng)不同的需要[38]。新的四次平滑函數(shù)已建成以證明該方法的有效性構(gòu)建平滑函數(shù)如下。

其中αD為1/h時(shí)，分別為15/7πh2和在單315/208πh3，twoand三維空間。注意，這四次平滑函數(shù)的中心峰值被定義為2/3。四次平滑函數(shù)的行為很像（36）給出的廣泛使用的三次B樣條函數(shù)，但只有一塊，因此更加便捷，高效的使用。在這四次平滑函數(shù)更多的討論將使在下一節(jié)。3.2通用構(gòu)造條件一個(gè)SPH平滑函數(shù)的主要要求，已在教派。3.1。其中的一些要求，可以通過進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)分析來導(dǎo)出。這種分析是在該SPH核逼近函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的階段。它表明，為了準(zhǔn)確地近似一個(gè)函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)，某些條件需要被滿足。這些條件可以被用來構(gòu)造平滑函數(shù)。考慮到SPH核近似場(chǎng)函數(shù)f（x）為秀（4），當(dāng)f（x）是在X收益附近足夠光滑，運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)展開式f（X_）的

其中Rn是泰勒級(jí)數(shù)展開的剩余部分。

代（42）代入式（4）導(dǎo)致

比較LHS用的RHS（43）中，為了對(duì)于f（x）至近似為n階，所述（x）的系數(shù)的Ak必須等于向同行對(duì)于f（k）的在的LHS（43）。因此，trivil變換后，為平滑函數(shù)W以下條件可以如下得到

其中的Mk是對(duì)平滑函數(shù)的第k個(gè)瞬間。注意，在（45）的第一個(gè)方程中，事實(shí)上，在統(tǒng)一的條件（31）中表達(dá)的，并且在（45）的第二方程表示的對(duì)稱屬性。這兩個(gè)條件的滿意度，確保為SPH核逼近一個(gè)函數(shù)的一階的一致性。還進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)分析現(xiàn)場(chǎng)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)的SPH核近似，采用分部積分法，和分歧定理的概念，一些瑣碎的轉(zhuǎn)變，下列公式

可以得到。方程式（46），實(shí)際上指定平滑函數(shù)消失支撐域的表面上。這是兼容的平滑函數(shù)的緊湊狀態(tài)。公式（47）限定與該平滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)滿足的條件。需要注意的是（45）和（47）實(shí)際上是兼容的考慮分部積分法，發(fā)散定理和邊界值消失的影響（見（46））的平滑函數(shù)。

進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)分析的SPH核近似的二階導(dǎo)數(shù)，類似的公式可以得到。除了對(duì)動(dòng)量的二階導(dǎo)數(shù)的要求，平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)也需要消失的表面上，這是對(duì)方程（45）-（48）可以被用來構(gòu)造平滑函數(shù)?？梢钥闯觯交瘮?shù)的條件可被分成兩組。第一組顯示的一個(gè)平滑函數(shù)以再現(xiàn)多項(xiàng)式的能力。滿足第一組中，所述函數(shù)可以近似到n階的精度。第二組限定的一個(gè)平滑函數(shù)以及它的一階導(dǎo)數(shù)的表面的值，并且是對(duì)平滑函數(shù)和它的一階導(dǎo)數(shù)緊湊支持的屬性的要求。滿足這些條件，則該函數(shù)的前兩個(gè)導(dǎo)數(shù)可精確地近似為第n階。3.3構(gòu)造SPH平滑函數(shù)通過使用上述的條件下，有可能必須構(gòu)建SPH平滑函數(shù)的系統(tǒng)方法。如果平滑函數(shù)被假定為一個(gè)多項(xiàng)式僅取決于關(guān)注點(diǎn)的相對(duì)距離，它可被假定為具有與κh的影響寬度支承域以下形式。很顯然，在上述形式的平滑函數(shù)是一種距離函數(shù)，因?yàn)樗蕾囉谙鄬?duì)距離。這是很容易表明，對(duì)于平滑函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)存在，A1應(yīng)消失。代此多項(xiàng)式形式的平滑函數(shù)進(jìn)條件（見（45）-（48）），該參數(shù)A0，A2，。。。中，可以從所得的線性方程來計(jì)算，并然后將平滑函數(shù)可以被確定。

有跡象表明，需要進(jìn)一步考慮的幾個(gè)問題。首先，從該組條件衍生的平滑函數(shù)（見（45））不一定會(huì)在整個(gè)支撐域正，特別是當(dāng)高階再現(xiàn)性是必需的。這樣的否定平滑函數(shù)可能導(dǎo)致非物理的解決方案，例如，負(fù)密度（質(zhì)量）和負(fù)能量。出于這個(gè)原因，在SPH文獻(xiàn)中使用的平滑函數(shù)是一般非負(fù)對(duì)CFD問題。另一方面，對(duì)于偶數(shù)的時(shí)刻（K=2，4,6，。。。）是零，平滑函數(shù)必須是負(fù)的，該區(qū)域的一些部分。這意味著人們不能兼得非負(fù)和高階重復(fù)性同時(shí)。其次，在構(gòu)造一個(gè)平滑函數(shù)，中心峰值是一個(gè)需要考慮的一個(gè)因素。的平滑函數(shù)的中心峰值是非常重要的，因?yàn)樗鼪Q定了粒子本身會(huì)向近似。重溫（45）中，如果一肯定的平滑函數(shù)的情況下，準(zhǔn)確度為函數(shù)逼近的最高階是二階。

因此，第二動(dòng)量（M2=__（X-X_）2W（X-X_，H）dx_）可被用作粗略指標(biāo)來衡量核近似的精度。較小的第二力矩M2，越準(zhǔn)確核近似。的平滑函數(shù)的中心峰值是密切相關(guān)的M2。有一個(gè)大的中心峰值的正平滑函數(shù)將有一個(gè)較小的第二力矩M2。這意味著平滑函數(shù)更接近達(dá)函數(shù)，并且因此是在核近似值而言更為準(zhǔn)確。第三，在某些情況下，一個(gè)分段平滑函數(shù)是優(yōu)選的，因?yàn)榉侄纹交瘮?shù)的形狀是比較容易通過改變片的數(shù)目和連接點(diǎn)的位置來控制。例如，用兩片考慮的一個(gè)平滑函數(shù)的一般形式，

在連接點(diǎn)的函數(shù)本身與前兩個(gè)導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是連續(xù)的，也就是說，W1（R1）=W2（R1），W_1（R1）=W_2（R1）和W__1（R1）=W__2（R1）?？紤]在這些點(diǎn)的要求，以及在緊湊支持屬性時(shí)，平滑函數(shù)的一個(gè)可能的形式是

它也是可行構(gòu)造的平滑函數(shù)通過使用類似的用語更多件。展現(xiàn)給廣大構(gòu)造SPH平滑函數(shù)Liu等人這種方法的有效性。[38]得到的新四次平滑函數(shù)使用以下條件

?統(tǒng)一的條件，

?緊湊支持平滑函數(shù)，

?緊湊支持平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，

?中心的峰值。

構(gòu)造的平滑函數(shù)被給定為W（R，H）=αD（23-98R2+1924R3-532R4），0≤?≤2，其中αDIS1/小時(shí)，15/7πh2和在單315/208πh3，二-和三維空間，分別。注意，這四次平滑函數(shù)的中心峰值被定義為2/3。根據(jù)定義，這四次函數(shù)滿足歸一化條件，而函數(shù)本身及其一階導(dǎo)數(shù)具有緊湊的支持。它是非常接近的最常用的三次樣條（見（36）），與2/3的同一中心峰值，并且隨著距離為顯示在圖1的增加而單調(diào)減小。4.然而，這種四次函數(shù)產(chǎn)生比立方一個(gè)較小的第二動(dòng)量樣條函數(shù)，并且因此可以產(chǎn)生對(duì)核近似更好的精度。也此四次平滑函數(shù)具有平滑的二階導(dǎo)數(shù)比三次樣條平滑函數(shù)，從而穩(wěn)定性能應(yīng)優(yōu)于三次樣條函數(shù)的，所報(bào)告的許多研究人員，一個(gè)平滑的二階導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)致在SPH仿真更少的不穩(wěn)定[80，87]。4一致性在早期的研究中，SPH方法通常被報(bào)告有二階精度。這是合理的，作為一個(gè)字段函數(shù)核近似具有二階余數(shù)（見（8））。然而，一個(gè)函數(shù)和/或它的導(dǎo)數(shù)的核近似不一定是二階精度平滑函數(shù)未必是偶函數(shù)，因?yàn)樗咏倪吔鐓^(qū)域時(shí)被截?cái)唷４送?，核近似高階精度并不一定意味著該SPH模擬高階的精度，因?yàn)樗橇Ｗ咏?，而不是在核近似最終確定SPH模擬的準(zhǔn)確性。圖。4由劉等人構(gòu)建了四次平滑函數(shù)。通過使用平滑函數(shù)構(gòu)成條件[38]。四次函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的形狀非常接近的三次樣條函數(shù)的形狀和它的一次導(dǎo)數(shù)。然而，這一塊平滑函數(shù)預(yù)計(jì)將產(chǎn)生更好的精度，因?yàn)樗休^小的第二動(dòng)量。它也有望成為更穩(wěn)定的，因?yàn)樗哂幸粋€(gè)連續(xù)的第二導(dǎo)數(shù)LAX-Richtmyer等價(jià)定理，我們知道，如果一個(gè)數(shù)值模型穩(wěn)定，解決了適定性問題的融合將隨后由函數(shù)逼近的一致性決定。因此SPH近似的一致性是重要的。在有限元法，以保證一個(gè)有限元近似的精度和收斂，有限元形函數(shù)必須滿足一定程度的一致性。一致性度可特征在于可以通過使用形狀函數(shù)的近似精確地再現(xiàn)的多項(xiàng)式的階。在一般情況下，如果一個(gè)近似值可以再現(xiàn)一個(gè)多項(xiàng)式最多到k階確切地說，該近似據(jù)說有k個(gè)順序的一致性或CK一致性。從傳統(tǒng)的有限元法的一致性的概念也可用于無網(wǎng)格粒子的方法，例如光滑粒子[3，6，13，72，74，88]。因此，這是同樣可行，調(diào)查在用平滑函數(shù)再現(xiàn)多項(xiàng)式SPH核和粒子近似的一致性。在核逼近4.1一致性（核的一致性）為一常數(shù)（0階多項(xiàng)式）函數(shù)f（x）=C（其中，c是常數(shù)），以精確地由SPH核近似再現(xiàn)時(shí)，下述（1），我們要求

方程式（53）正是前面所描述的歸一化條件。

此外，對(duì)于一個(gè)線性函數(shù)f（x）=C0+C1X（其中，C0和C1為常數(shù)），以精確地再現(xiàn)，就必須有

利用（52），（54）可以簡(jiǎn)化為

乘x到兩側(cè)（53），我們有以下的定義從上面的標(biāo)識(shí)產(chǎn)量減去（55）方程（57）是在派描述的對(duì)稱狀態(tài)。3.1。

更一般地，通過在函數(shù)f（x）的核進(jìn)行近似泰勒級(jí)數(shù)analys_es（=F（X_）W，（X-X_，H）dx_）在一維空間中，我們已經(jīng)獲得了一組在派平滑函數(shù)的要求。3.2，所表達(dá)的（45）。式（53）（歸一化條件）和（57）（對(duì)稱條件）實(shí)際上是在（45），它描述了第0和第一時(shí)刻的組件。

為表示（45）的積分，積分域被假定為是不被截?cái)嗟倪吔缤耆B續(xù)支撐結(jié)構(gòu)域。公式（45）指出在一個(gè)平滑函數(shù)的轉(zhuǎn)矩要求來重現(xiàn)多項(xiàng)式的某階。公式（45）因此，可以用來作為一種近似準(zhǔn)確度指數(shù)。如果一個(gè)平滑函數(shù)滿足（45），一個(gè)函數(shù)可以近似為n階精度。此外，在（45）的第0時(shí)刻狀態(tài)的歸一化條件，以及第一時(shí)刻規(guī)定的平滑函數(shù)的對(duì)稱性。類似于傳統(tǒng)FEM一致性概念，如果一個(gè)SPH近似值可以再現(xiàn)多達(dá)n階多項(xiàng)式恰好，則SPH近似據(jù)說有n階或CN的一致性。如果在連續(xù)的形式的SPH核近似的一致性被稱為核的一致性，一個(gè)SPH核近似的核一致性的n階時(shí)平滑函數(shù)滿足（45）。因此，在（45）的表達(dá)也平滑函數(shù)為SPH核近似的核一致性的條件。需要注意的是，如果SPH核近似值進(jìn)行用于通過邊界截?cái)嗟膮^(qū)域，恒定和線性函數(shù)不能精確自（53）和（57）再生的不滿意對(duì)這些區(qū)域。因此，我們可以得出這樣的結(jié)論，由于以往的平滑函數(shù)滿足一般化和對(duì)稱的條件下，傳統(tǒng)的SPH方法具有最多為所述內(nèi)部區(qū)域C1的一致性。然而，對(duì)于邊界區(qū)域，它甚至不具有C0核的一致性。4.2在粒子逼近一致性（粒子一致性）滿足一致性條件在核近似階段并不一定意味著離散SPH模式將有這樣的一致性。這是因?yàn)檫@樣的稠度可通過在離散SPH模型中的粒子近似處理被扭曲。因此，一致性分析應(yīng)在粒子近似處理離散的SPH模型中進(jìn)行，并且這種一致性可以被稱為微粒的一致性。

的恒定和線性一致性條件所表達(dá)的（53）和所述離散的對(duì)應(yīng)（57）是這些離散的一致性條件不滿足一般。一個(gè)明顯的和簡(jiǎn)單的例子是粒子近似在邊界粒子（圖5a）。即使對(duì)均勻的粒子分布，由于不平衡的粒子有助于離散求和，的LHS（58）是小于1并且LHS（59）將不會(huì)消失，由于平滑函數(shù)的由邊界截?cái)?。?duì)于具有不規(guī)則分布的粒子的情況下（圖5b），它也很容易驗(yàn)證，即使對(duì)于內(nèi)部粒子的支撐結(jié)構(gòu)域不被截?cái)啵愣ê途€性一致性條件在離散形式可能不完全滿意。因此原SPH方法甚至沒有在粒子近似C0一致性。很顯然，所引起的粒子近似的不一致性是密切相關(guān)的相應(yīng)核近似和參與近似粒子。這樣的不一致的問題導(dǎo)致直接在原始SPH方法的溶液的不準(zhǔn)確。圖。5SPH粒子近似在一維的情況。（一）粒子近似粒子的支持域由邊界截?cái)?。（二）粒子近似與支持領(lǐng)域不規(guī)則的粒子分布的粒子除了與邊界的粒子或不規(guī)則分布的粒子相關(guān)聯(lián)的粒子近似特征，平滑長(zhǎng)度的選擇也是在粒子近似處理很重要。在一個(gè)與三次樣條平滑函數(shù)的一維結(jié)構(gòu)域，很容易驗(yàn)證為均勻分布的內(nèi)部粒子，原始SPH方法具有C0粒子一致性如果平滑長(zhǎng)度取完全相同的粒子間距（H=_x）自（58）成立。然而，變化的平滑長(zhǎng)度可以導(dǎo)致（58）一不滿，導(dǎo)致準(zhǔn)確性差在原始SPH方法。這是一個(gè)原因，我們常常需要檢查的SPH近似結(jié)果平滑長(zhǎng)度的影響。

綜上所述，原SPH模型，在一般情況下，甚至沒有C0一致性。這樣的不一致來源于SPH核和粒子近似值之間的差異。邊界的粒子，不規(guī)則分布的粒子，以及可變光滑長(zhǎng)度通常能產(chǎn)生不一致的粒子近似處理。在接下來的章節(jié)中，我們討論如何恢復(fù)SPH模型的一致性。4.3綜述途徑的一致性恢復(fù)它已經(jīng)表明，原SPH方法甚至不具有第0粒子的一致性。不同的方法已經(jīng)被提出來改善粒子的不一致，因此SPH近似精度。他們中的一些涉及重建一個(gè)新的平滑函數(shù)，以便滿足離散一致性的條件。然而，這些方法通常是不優(yōu)選的流體動(dòng)力學(xué)模擬，因?yàn)橹亟ǖ钠交瘮?shù)可以是部分地否定的，非對(duì)稱的，而不是單調(diào)遞減。方法能改善粒子一致性，而不改變以往的平滑函數(shù)是通常在模擬流體力學(xué)更優(yōu)選的。一種早期方法[49，52]的基礎(chǔ)上的一個(gè)平滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的反對(duì)稱假設(shè)

其中無線，α=?Wi（X）/?xα，其中α是從1重復(fù)至d（d為維數(shù)）的維的索引。近似函數(shù)f的導(dǎo)數(shù)。因此，當(dāng)時(shí)，粒子近似可以被改寫為

還應(yīng)當(dāng)指出的是（60）不一定是有效的，即使它的相應(yīng)的連續(xù)的對(duì)應(yīng)

_無線，αdx=0是

有效（內(nèi)陸地區(qū)）。這也是粒子不一致性的一種表現(xiàn)。因此（61）和（62）實(shí)際使用的粒子不一致近似的平滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以抵消或平衡粒子不一致近似的場(chǎng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以一個(gè)希望提高近似的精度。蘭德爾斯和Libersky[52]導(dǎo)出的歸一化制劑的密度近似ρI=？N·J=1ρjWij？VJ？N·J=1Wij？VJ，（63）和應(yīng)力張量σ的發(fā)散正?；?·σ）I=？N·J=1（σj-ΣI）？??iWijVJ？N·J=1？（XJ-喜）??iWijVJ，（64）其中?是張量積。再次，（63）和（64）也使用的不一致性在近似的平滑函數(shù)和它的衍生物，以抵消不一致近似一個(gè)場(chǎng)函數(shù)及其衍生物，還具有一個(gè)目的是提高近似的精度?；谔├占?jí)數(shù)展開的一個(gè)函數(shù)，陳等人的SPH近似。[54]提出了一個(gè)修正光滑粒子法（CSPM）。在一維空間中，CSPM的過程可如下簡(jiǎn)要介紹。進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開在附近的一個(gè)點(diǎn)x1，一個(gè)足夠光滑函數(shù)f（x）可以表示為F（X）=網(wǎng)絡(luò)+（X-xi）音響，X+（X-xi）22！科幻，XX+···。（65）通過對(duì)平滑函數(shù)W乘法（65）兩側(cè)，在整個(gè)計(jì)算域收率積分？F（X）無線（x）的DX=網(wǎng)絡(luò)？無線（x）的DX+網(wǎng)絡(luò)，X？（X-喜）無線（x）的DX+網(wǎng)絡(luò)，XX2？（X-xi）2Wi（x）的DX+···。（66）如果涉及的衍生物這個(gè)方程式中的術(shù)語被忽略，糾正內(nèi)核近似函數(shù)f（x）在粒子i被獲得作為音響=？F·（x）的無線網(wǎng)絡(luò)（x）的DX無線（x）的DX。（67）對(duì)于常規(guī)的平滑函數(shù)（非負(fù)和對(duì)稱的），第二項(xiàng)在的RHS（66）是零為內(nèi)部區(qū)域和不是零為邊界區(qū)域。因此，在（67）的糾正內(nèi)核近似表示為二階精度內(nèi)部區(qū)域和一階精度的邊界地區(qū)也。用（16）比較（67），它被發(fā)現(xiàn)，對(duì)于內(nèi)部區(qū)域，內(nèi)核近似原始SPH和CSPM實(shí)際上是相同的，由于正?；瘲l件的滿足（以連續(xù)的形式）。為邊界區(qū)域中，由于平滑函數(shù)的積分是由邊界截?cái)啵瑲w一化條件不能得到滿足。通過保留非統(tǒng)一分母，CSPM恢復(fù)C0內(nèi)核的一致性。相應(yīng)的粒子近似為在粒子，我可以利用求和最接近顆粒在（66）的每個(gè)術(shù)語，并再次忽略相關(guān)的衍生物的條件而獲得的函數(shù)f（x）的科幻=？N·J=1fjWij？VJ？N·J=1Wij？VJ。（68）應(yīng)該注意的是，第二學(xué)期的RHS（66）的粒子近似不一定即使對(duì)于內(nèi)部粒子零由于顆粒的不規(guī)則性。因此嚴(yán)格地講，粒子近似（68）表示的是第一階精度為內(nèi)部和邊界的顆粒。只有當(dāng)顆粒被均勻地分布可在第二項(xiàng)中的（66）的RHS的粒子近似是零。在這種情況下，粒子近似中（68）所表示的是第二階精度為均勻分布室內(nèi)的顆粒。如果在（66）與無線，X更換無線（x）和忽略第二和高階導(dǎo)數(shù)，矯正內(nèi)核近似的一階導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生科幻，X=？[函數(shù)f（x）-f（十一）？無線網(wǎng)絡(luò)，X（x）的DX（X-xi）無線網(wǎng)絡(luò)，X（x）的DX。（69）對(duì)應(yīng)于（69）是網(wǎng)絡(luò)連接中，x=粒子近似？N·J=1（FJ-FI）無線網(wǎng)絡(luò)中，xVJ？N·J=1（XJ-喜）無線網(wǎng)絡(luò)中，xVJ？（70）同樣，CSPM內(nèi)核近似的衍生物也是二階精度（或第一順序的一致性）的內(nèi)陸地區(qū)，但一階的精度（或0次的一致性）的邊界地區(qū)。除了有均勻分布的內(nèi)部顆粒的情況下，CSPM顆粒近似的衍生品是一階精度（或0次的一致性）為內(nèi)部和邊界的粒子。4.4一個(gè)SPH配方的不連續(xù)性很顯然，CSPM可以具有比常規(guī)的SPH方法更高的精度，因?yàn)樗纳屏诉吔绮蛔愕膯栴}。據(jù)報(bào)道，該CSPM還可以減少固有的傳統(tǒng)SPH方法[89，90]所謂拉伸不穩(wěn)定。在CSPM一個(gè)值得注意的一點(diǎn)是，它是基于上的場(chǎng)函數(shù)及其衍生物內(nèi)核近似泰勒級(jí)數(shù)分析。要執(zhí)行泰勒級(jí)數(shù)分析，所考慮的功能應(yīng)該是足夠光滑。因此，CSPM是不適用的問題的不連續(xù)性，例如產(chǎn)生沖擊波的流體動(dòng)力問題。劉和他的同事解決問題的不連續(xù)性提出了進(jìn)一步改進(jìn)的SPH，他們稱這是一個(gè)不連續(xù)的SPH或DSPH[55]。DSPH一維空間的想法是在這里介紹如下。檢查內(nèi)核逼近任何函數(shù)f（x）在西安的支持領(lǐng)域。所述支撐結(jié)構(gòu)域圍邊a和b與維度2κh的，在圖中所示。6.假設(shè)函數(shù)f（x）具有連續(xù)積在d中的支持域，它位于支撐域的右半邊，即Xi<D≤B，F(xiàn)的乘法集成（X）和平滑函數(shù)W在整個(gè)支撐結(jié)構(gòu)域可以被劃分成兩部分？BAF（X）無線（x）的DX=？DAF（X）無線（x）的DX+？BDF（X）無線（x）的DX。（71）擴(kuò)大的f（x）在上圍繞點(diǎn)十一右手側(cè)的第一積分，并圍繞另一個(gè)任意點(diǎn)XK在第二積分，其中d≤XK≤B給出？BAF（X）無線（X）DX=F（十一）？DA無線（x）的DX+F（XK）？BD無線（x）的DX+F？（十一）？DA（X-xi）無線（x）的DX+F？（XK）？BD（X-xk）無線（x）的DX+R（H2）。（72）通過結(jié)合一些類似的條款與一些轉(zhuǎn)換率重新排列？BAF（x）的無線（X）DX=F（十一）？BA無線（x）的DX+[F（XK）-F（十一）]？BD無線（x）的DX+F？（十一）？BA（X-喜）無線（x）的DX+？BD[（X-xk）F？XK）-（X-xi）F？（十一）無線（x）的DX+R（H2）。（73）由于內(nèi)核W被假定為偶數(shù)，歸一化，并具有緊湊的支持，我們有|X-xk|≤κh。另外，在上述公式中，我們假定了f？（x）的必須存在并是有界的[A，D）∪（D，B]。換言之，f的衍生物（x）的存在，并且當(dāng)x接近d從兩側(cè)，它是在一個(gè)有限的范圍內(nèi)的限。因此，最后兩項(xiàng)（不包括剩余項(xiàng)）對(duì)上述方程的RHS可以通過分別順序?yàn)閔而言為界。因此，上面的公式可改寫為：？BAF（X）無線（X）DX=F（十一）？BA無線（x）的DX+[F（XK）-F（十一）]？BD無線（x）的DX+R（H）。（74）該方程可被重新寫為F（十一）=？BAF（X）無線（x）的DX？BA無線（x）的DX-？[F（XK）-F（十一）]？BD無線（x）的DX？BA無線（x）的DX？+R（h）中，（75）這是該領(lǐng)域的功能與連續(xù)性的內(nèi)核近似。圖。6內(nèi)核逼近一個(gè)具有不連續(xù)點(diǎn)d的一維函數(shù)。喜的支持域是由界和B用2κh的尺寸同樣地，該衍生物的內(nèi)核近似得到作為？F（十一）=BA[F（X）-f（十一）維克斯（x）的DXBA（X-xi）維克斯（x）的DX-？[F（XK）-f（十一）？BD維克斯（x）的DX巴？（X-喜）維克斯（x）的DX+BD[？（X-XK）F（XK）-（X-喜）F？（十一）]維克斯（x）的DX？BA（X-xi）維克斯（x）的DX？+R（H）。（76）上述兩個(gè)方程是一個(gè)字段函數(shù)（和其衍生物）與所述支撐結(jié)構(gòu)域的不連續(xù)性內(nèi)核近似值。內(nèi)核近似為（75）和（76）在RHS由兩部分組成。第一部分是相同的，在（67）和（69）在RHS，描述的場(chǎng)函數(shù)及其衍生物內(nèi)核近似值。它是在描述該中斷的行為的大括號(hào)內(nèi)的第二部分。忽略的（75）和（76）的第二部分應(yīng)導(dǎo)致數(shù)值誤差，因?yàn)樗玫膬?nèi)核近似中的不連續(xù)性的存在不一致。如果第二條件被保留，所得到的內(nèi)核近似一致到一階。的粒子近似為字段的功能和它的衍生物在顆粒i是從粒子近似在常規(guī)SPH和CSPM有點(diǎn)不同，由于不連續(xù)性的存在。當(dāng)該域是由粒子離散的，因?yàn)閮蓚€(gè)粒子不能定位在相同的位置，不連續(xù)應(yīng)該總是位于兩個(gè)顆粒之間。在推導(dǎo)（75）和（76）中，由于點(diǎn)XK是任意選擇的，它可以被取作顆粒的最接近于與上的右手側(cè)不連續(xù)性（圖7）。不連續(xù)函數(shù)的粒子近似是科幻=？N·J=1（MJρj）fjWij？N·J=1（MJρj）WIJ-[F（XK）-f（十一）？N·J=K（MJρj）WIJ？N·J=1（MJρj）WIJ？。（77）同樣，非連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的粒子近似是科幻=？N·J=1（MJρj）（F（XJ）-f（十一））?iWij？N·J=1（MJρj）（XJ-xi）?iWij-[F（XK）-f（十一）？N·J=K（MJρj）?iWij？N·J=1（MJρj）（XJ-十一）?iWij+？N·J=K（MJρj）（XJ-XK）F？（XK）-（XJ-喜）F？（十一）]?iWij？N·J=1（MJρj）（XJ-xi）?iWij？。（78）另外，粒子的近似由兩部分組成，第一主部件類似于那些在CSPM近似和第二附加部分中的不連續(xù)治療開發(fā)的大括號(hào)。應(yīng)當(dāng)指出的是，額外的部件而分子的求和只進(jìn)行了粒子在支撐域的右側(cè)部分并[d，b]的陰影所示。7.坐標(biāo)這些粒子都XJ（J=K，K+1，...，N）滿足（XK-Xj）（XK-xi）≤0顆粒上的同一側(cè)，因?yàn)槲也焕谠谇蠛透郊硬糠?。否則，附加的部分將成為零，并且修改術(shù)語將消失圖。7粒子近似為與不連續(xù)點(diǎn)d的函數(shù)。在從內(nèi)核近似粒子近似的過程中，一個(gè)任意點(diǎn)XK與顆粒K表是對(duì)不連續(xù)的右手側(cè)最接近的粒子相關(guān)聯(lián)。在支持域粒子的總數(shù)[A，B]為N方程（75）和（76），（77）和（78）是基本的DSPH制劑用于逼近的不連續(xù)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)。這是可能的DSPH延伸到高階導(dǎo)數(shù)，和多維空間。的SPH，CSPM和DSPH解決不連續(xù)的不同性能已被證明由若干數(shù)值試驗(yàn)。其中之一是草皮管的問題，已經(jīng)研究了許多研究者用于驗(yàn)證[47，91]。沖擊管是長(zhǎng)的直管填充有氣體，這是通過膜分離成不同的壓力和密度兩部分。在每個(gè)部分的氣體是首先在恒定的壓力，密度和溫度的平衡狀態(tài)。當(dāng)膜被帶走突然，震動(dòng)波，稀疏波和接觸間斷就會(huì)產(chǎn)生。沖擊波移動(dòng)到低濃度瓦斯的區(qū)域;稀疏波行進(jìn)到與較高密度的氣體的區(qū)域;而接觸間斷形成在中心附近，并行進(jìn)到后面的沖擊低密度區(qū)域。確切的解決方案，適用于比較這一個(gè)層面的問題。圖。使用不同版本SPH配方獲得了激波管問題8密度分布。DSPH給出了最好的結(jié)果。CSPM未能捕捉到的主要沖擊物理學(xué)（T=0.2秒）在本實(shí)施例中，三次樣條函數(shù)作為平滑函數(shù)來模擬這種激波管的問題。初始條件是相同的那些草皮[92]×≤0，ρ=1，V=0時(shí)，E=2.5，p值=1，X=0.001875介紹中，x>0，ρ=0.25，V=0，E=1.795，p值=0.1795，X=0.0075其中ρ，P，E，和v是密度，壓力的氣體，內(nèi)部能量和速度，分別。？x是粒子間距。共有400粒子被部署在一維問題域。所有粒子具有英里的相同質(zhì)量=0.001875。320顆粒被均勻地分布在高密度區(qū)域〔-0.6，0.0]，和80的顆粒被均勻地分布在低密度區(qū)域[0，0.6]。初始顆粒分布是獲得沿管所需的不連續(xù)密度分布。狀態(tài)的理想氣體P=方程（γ-1）ρE采用與γ=1.4的模擬。在該模擬中，時(shí)間步長(zhǎng)為0.005s和模擬被進(jìn)行40步。在解決了震蕩，莫納漢型人工粘度使用，這也有助于防止非物理穿透[49]。圖8,9，10和11分別示出了密度，壓力，速度和內(nèi)部能量分布。可以看出，從DSPH得到的結(jié)果吻合得很好，在該區(qū)域[-0.4，0.4]的精確解。震蕩是在大約X=0.3觀測(cè)中的幾個(gè)平滑長(zhǎng)度。稀疏波位于之間X=-0.3和x=0的接觸不連續(xù)性為x=0.1并且x=0.2之間。正如報(bào)道Hernquist和Katz[91]和莫納亨[47]，傳統(tǒng)的SPH人工粘度收益率可比較的結(jié)果捕獲震驚物理學(xué)。該D'SPH提供了比傳統(tǒng)的SPH方法雖然只有40通過步驟稍微好一點(diǎn)的結(jié)果。如果涉及更有活力的步驟，該DSPH的性能更好更明顯[55]。圖。使用不同版本SPH配方獲得了激波管問題9壓力分布圖。使用不同版本SPH配方獲得了激波管問題10速度曲線圖。使用不同版本SPH配方獲得了激波管問題11節(jié)能型材CSPM未能抓住了主要的沖擊物理。在這個(gè)例子中，CSPM執(zhí)行較差甚至比傳統(tǒng)SPH方法。應(yīng)該出現(xiàn)的CSPM在模擬沖擊波表現(xiàn)不佳的，其實(shí)作為一個(gè)歸一化因子的分母。重溫（67），可以發(fā)現(xiàn)，繞不連續(xù)區(qū)域中的平滑函數(shù)的總和是遠(yuǎn)離的統(tǒng)一。當(dāng)它被用于標(biāo)準(zhǔn)化的密度的總和，沖擊波的局部特征可以平滑，因而沖擊物理學(xué)可被隱藏。與此相反，傳統(tǒng)的SPH不會(huì)從該平滑效果，并且從加法部在解決休克物理學(xué)DSPH好處受到損害。其性能，因此，應(yīng)比CSPM更好。很顯然，CSPM和DSPH的不同性能從DSPH附加糾正部分的近似的不連續(xù)性起源。4.5的一般方法，以恢復(fù)粒子不一致性Liu等人。送給通過重構(gòu)所述平滑函數(shù)[6]還原粒子不一致的一般方法。在一般情況下，一個(gè)平滑函數(shù)可以寫成下面的形式W（X-XJ，H）=B0（X，H）+B1（X，H）？X-XjH++B（X，H）？X-XjH+2+···=？KI=0二（X，H）？X-XjH+我。（79）代上述平滑函數(shù)代入式（45），以及一些瑣碎變換后，（45）的離散形式可以寫成？KI=0二（X，H）？N·J=1（X-XJ八）我？XJ=1？KI=0二（X，H）？N·J=1（X-XJ八）I+1？XJ=0...？KI=0二（X，H）？N·J=1（X-XJ八）I+K+XJ=0?????????????。（80）第k+1個(gè)系數(shù)二（X，H）然后可以通過求解下面的矩陣方程式?????確定????M0（X，H），M1（X，H）···MK（X，H）M1（X，H），M2（X，H）···M1+K（X，H）......。。。...MK（X，H）MK+1（X，H）···MK+K（X，H）?????????？？？M?????????B0（X，H），B1（X，H）...BK（X，H）?????????？？？B=?????????10...0?????????？？？我，（81）或MB=1，（82）其中，MK（X，H）=？N·J=1？X-XJH+K+XJ，（83）M是時(shí)刻矩陣，b為系數(shù)的向量，I是給定的常數(shù)的載體。后確定系數(shù)（BI的x，h）中，對(duì)平滑函數(shù)中（79）所表示，可以計(jì)算。該程序確保顆粒一致性k階。因此，顆粒一致性恢復(fù)的過程，其實(shí)是給予構(gòu)建某種平滑功能的SPH方法的方法。與傳統(tǒng)的平滑函數(shù)，它僅依賴于粒子的距離和適用于所有的顆粒相比，稠度恢復(fù)的平滑函數(shù)是粒子，明智的。因此它取決于兩者的距離和相互作用粒子的位置。需要costeffectiveness在構(gòu)建顆粒明智的平滑功能，這種方法，因?yàn)樗鼤?huì)被認(rèn)為是需要額外的CPU時(shí)間來解決顆粒逐方程（79）對(duì)于所有的粒子。此外，由于所有粒子移動(dòng)時(shí)，粒子的位置被改變?yōu)楹?。因此，顆粒的明智平滑函數(shù)需要計(jì)算對(duì)于每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。另一個(gè)問題是，為了解決（81），所述力矩矩陣M是必需是非奇異的。因此，顆粒分布必須滿足一定條件，以避免奇異動(dòng)量矩陣。這意味著，當(dāng)我們執(zhí)行的一致性，我們將面臨所示的SPH設(shè)置壞了空調(diào)的時(shí)刻矩陣的穩(wěn)定性問題。與此相反，在原有的SPH方法，粒子可以是任意分布的，雖然所得到的結(jié)果可能不準(zhǔn)確。至于近似而言，恢復(fù)粒子一致性是在顆粒近似的精度的改進(jìn)，只要該時(shí)刻矩陣M不是單數(shù)。然而，應(yīng)該注意的是，在恢復(fù)離散形式的一致性導(dǎo)致在模擬水動(dòng)力問題的一些問題。首先，將得到的平滑函數(shù)是負(fù)，該區(qū)域的一些部分。負(fù)平滑函數(shù)罐的值導(dǎo)致了一些場(chǎng)變量，如負(fù)密度，負(fù)能量，可導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算的細(xì)目的非物理表示。其次，將得到的平滑函數(shù)可能不單調(diào)的粒子（節(jié)點(diǎn)）的距離的增加而減少。此外，構(gòu)建平滑功能可能不是對(duì)稱的，用這種非對(duì)稱平滑功能違反了物理學(xué)中的平等的雙向互動(dòng)。4.6有限粒子法考慮在構(gòu)建逐點(diǎn)平滑函數(shù)上述粒子不一致恢復(fù)方法的缺點(diǎn)，Liu等人。設(shè)計(jì)了另一個(gè)粒子稠度恢復(fù)的方法，其中保留了重建一個(gè)新的平滑函數(shù)[56，57]的常規(guī)的非負(fù)平滑函數(shù)來代替。這一方法已被稱為有限粒子法（FPM），在其中的一組基函數(shù)所用的數(shù)值逼近中使用。點(diǎn)x={X，Y，Z}在執(zhí)行泰勒級(jí)數(shù)展開，在附近的一個(gè)點(diǎn)喜={喜，苡仁，紫}并保留二階導(dǎo)數(shù)，足夠光滑的函數(shù)f（x）可表示如下F（X）=網(wǎng)絡(luò)+（Xα-xα我）音響，α+（Xα-xαI）（Xβ-Xβ我）2！科幻，αβ+R（（X-xi）3），（84）其中，α，β是重復(fù)1至3個(gè)維度指數(shù)（或從x到z）。R（（X-xi）3）是膨脹的剩余部分?？苹茫苹?，α和音響，αβ被定義為

科幻=F（十一），（85）科幻，α=Fα（十一）=（?F/?xα）我，（86）科幻，αβ=fαβ（十一）=（?2f/?xα?xβ）我。（87）乘以（84）兩側(cè)的功能φ1（X-喜）和在問題空間整合？可以得到下面的方程？？F（X）φ1（X-xi）DX=網(wǎng)絡(luò)？？φ1（X-xi）DX+網(wǎng)絡(luò)，α？？（Xα-xαI）φ1（X-十一）DX+網(wǎng)絡(luò)，αβ2？？（Xα-xαI）（Xβ-xβI）φ1（X-十一）DX+R（（X-喜）3）。（88）可以看出，在積分進(jìn)行在整個(gè)問題的空間，并且可以是相當(dāng)費(fèi)時(shí)。一個(gè)通常的假設(shè)是，在點(diǎn)喜字段變量只強(qiáng)烈的字段變量在附近點(diǎn)的影響，該字段變量在點(diǎn)遠(yuǎn)離點(diǎn)喜的影響是非常微弱的，因此可以忽略不計(jì)。因此，全局整合可以通過定義在其中的場(chǎng)變量在點(diǎn)十一可以被確定為點(diǎn)十一支承域被轉(zhuǎn)換成當(dāng)?shù)厝诤?。所述支撐結(jié)構(gòu)域的形狀可方便地作為一個(gè)圓（在2D）或球體（在3D）具有半徑κh，其中κ是常數(shù)標(biāo)量因子，h是一個(gè)長(zhǎng)度表征支持域。功能φ1（X-喜）也僅限于本地支持域，可以改寫為φ1（X-喜，H）。由于分布在問題空間中的點(diǎn)實(shí)際上是顆粒，每一個(gè)人占有量集中，（88）可以通過求和進(jìn)行數(shù)值近似在周圍點(diǎn)喜如下顆粒？NJ=1F（XJ）φ1（XJ-xi，H）？VJ=網(wǎng)絡(luò)？NJ=1φ1（XJ-xi，H）？VJ+網(wǎng)絡(luò)，α？NJ=1（xαj-xαi）φ1（XJ-xi，H）VJ+網(wǎng)絡(luò)，αβ2？NJ=1（xαj-xαi）（xβj-xβi）φ1（XJ喜，H）？VJ，（89）其中，N是粒子我的支持域內(nèi)的粒子數(shù)。余項(xiàng)R（（X-ⅹ?。?）在（88）中省略了（89）為求簡(jiǎn)明。在粒子的總和示出在圖3。公式（89）可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為以下等式在點(diǎn)喜B1I=A1kiFki，（90）其中，F(xiàn)KI=[網(wǎng)絡(luò)連接，α音響，αβ]T，（91）B1I=？N·J=1F（XJ）φ1（XJ-xi，H）？VJ，（92）？A1ki=NJ=1φ1（XJ-xi，H）VJ×NJ=1（Xα的J-Xα我）？？？？φ1（XJ-xi，H）×VJ12NJ=1（Xα?-xαI）（Xβ?-xβ我）φ1（XJ-喜，H）VJ？

。（93）對(duì)應(yīng)于1,2，和3維的情況下，有一函數(shù)值，1，2和3的第一衍生物，和1,3和將被近似6秒衍生物。顯然，中的k（91），（93）和（90）為3，6和10分別對(duì)應(yīng)于1,2，和3維的情況。計(jì)算函數(shù)值，所述第一和喜，2,5二衍生物和其他9方程類似于（90）是必需的。因此，在1，2，和3維的情況下，共3，6和10的功能（φM（X-xi，h）中，M=3，6，或10）是必需的，以近似的函數(shù)值，所述第一和二階導(dǎo)數(shù)。這些功能形成一套用于近似函數(shù)值，其第一和第二導(dǎo)數(shù)的基函數(shù)。傳統(tǒng)的SPH光滑函數(shù)及其第一和第二衍生物可形成在FPM一套基礎(chǔ)的功能。例如，在二維空間中，平滑函數(shù)W，它的兩個(gè)一階導(dǎo)數(shù)，Wα和Wβ，及其三個(gè)二階導(dǎo)數(shù)，Wαα，Wαβ和Wββ形成了一組6個(gè)基本功能?？傊喑说膬蓚?cè)（84）的一組基函數(shù)，在問題域結(jié)合，粒子的本地支持域內(nèi)求和過最近的顆粒I，一組矩陣方程可以產(chǎn)生近似函數(shù)值以及在粒子我在第一和第二導(dǎo)數(shù)。該矩陣方程的粒子，在我可以寫為BMI=AMkiFki或B=AF（94）其中，BMI=？N·J=1F（XJ）φM（XJ-xi，H）？VJ，（95）？AMki=NJ=1φM（XJ-xi，H）VJ×NJ=1（Xα的J-Xα我）？？？？φM（XJ-xi，H）×VJ12NJ=1（Xα?-xαI）（Xβ?-xβ我）φM（XJ-喜，H）VJ？（96公式（94）是有限的粒子方法的基礎(chǔ)上，并且可以用于近似函數(shù)值和它的字段變量的衍生物。可以看出，僅當(dāng)系數(shù)矩陣A不是奇異，可以將這些M個(gè)方程確定在顆粒i表示M個(gè)未知數(shù)的矢量F.求解上述逐點(diǎn)矩陣方程，函數(shù)值以及所述第一一套獨(dú)特的解決方案并在每一個(gè)粒子第二衍生物可以同時(shí)近似。需要注意的是矩陣的調(diào)理反映了FPM模型的穩(wěn)定性。因?yàn)樵谟?jì)算流體力學(xué)控制方程只涉及在第一和第二導(dǎo)數(shù)，只有衍生到第二階被保持在（84）。在其他方面的問題，如計(jì)算固體力學(xué)，高階導(dǎo)數(shù)可能參與。如果第三或更高階導(dǎo)數(shù)是近似，在擴(kuò)大的f（x）在喜，感興趣的衍生物需要在（84）被保留。要獲得未知數(shù)量的增加，像φM更多的功能（X-喜，H）是必要的，以完成矩陣方程（94）。因此，除了為未知數(shù)的數(shù)量增加，基函數(shù)數(shù)量增加，因此更多的計(jì)算努力，對(duì)于有興趣的未知數(shù)的解過程是相同的。比較常規(guī)SPH和FPM，很明顯，這兩個(gè)FPM和SPH是其中集總體積被用來表示一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)無網(wǎng)格粒子粒子的方法。這些顆粒形成的插值，差分或整合在一定的近似框架。既FPM和SPH可以如果使粒子在問題空間中移動(dòng)被用作拉格朗日方法。然而，該FPM和SPH之間的區(qū)別是顯而易見的。1.FPM使用一組基函數(shù)的近似函數(shù)值和它的衍生物，而SPH采用平滑函數(shù)和它的衍生物，以近似函數(shù)值和相應(yīng)的衍生物。在SPH平滑函數(shù)應(yīng)該在教派所描述的一些特殊性能。3。但是，在FPM的基礎(chǔ)功能也越來越普遍。任何一組的功能不導(dǎo)致奇異系數(shù)矩陣A可以作為基函數(shù)。因此，平滑函數(shù)和它的特定的衍生物實(shí)際上可以是一種可能的選擇為一組合適的基函數(shù)。2.SPH可以視為FPM的一種特殊情況，而FPM是SPH的一般化版本進(jìn)行修改。忽略不計(jì)，（84）兩側(cè)與所述平滑函數(shù)W相乘，并整合在問題空間可導(dǎo)致在SPH近似。求和最近的粒子的粒子的支持域內(nèi)進(jìn)一步產(chǎn)生字段變量的粒子近似在那個(gè)粒子（見（89））。3.FPM應(yīng)該比SPH更好的精度。由于沒有微分項(xiàng)保留在（84）中，SPH方法實(shí)際上是一階精度。如果一個(gè)對(duì)稱平滑函數(shù)的情況下，相關(guān)的一階導(dǎo)數(shù)的術(shù)語是用于問題域的內(nèi)部顆粒實(shí)際上為零。因此SPH是二階精度內(nèi)飾件。與此相反，由于上升到第二階導(dǎo)數(shù)被保持在擴(kuò)張的過程中，F(xiàn)PM的準(zhǔn)確性是第三order.Moreover，如果更高的衍生物被保留，更好的精確度可以實(shí)現(xiàn)的。FPM應(yīng)具有比無論對(duì)于內(nèi)部粒子和邊界粒子SPH更好的精度。4.FPM的精度不通過平滑長(zhǎng)度的選擇，并極其不規(guī)則顆粒分布敏感。這在測(cè)試一維和二維情況下，被證實(shí)由劉和他的同事。5.由于溶液是被從求解矩陣（94）得到的，有良好的矩陣求逆算法是必要防止共有效的矩陣為負(fù)。6.矩陣（94）是在每一個(gè)粒子要解決，并且每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。它可以比傳統(tǒng)的SPH方法計(jì)算上更昂貴。FPM的一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是，只考慮在（84）的一階導(dǎo)數(shù)。使用的平滑函數(shù)和它的一階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)的功能，下面的方程可以得到？F（X）無線（x）的DX=網(wǎng)絡(luò)？無線（x）的DX+網(wǎng)絡(luò)，α？（Xα-Xα我）無線（x）的DX，（97）和？F（x）的無線網(wǎng)絡(luò)，βdx=網(wǎng)絡(luò)？無線網(wǎng)絡(luò)，βdx+網(wǎng)絡(luò)，α？（Xα-xα我）無線，β（x）的DX。（98）再次β是從1重復(fù)到d維的索引。相應(yīng)的離散形式（97）和（98）是？NJ=1fjWij？VJ=科幻·？NJ=1Wij？VJ+網(wǎng)絡(luò)，α·？NJ=1（xαj-x