牛頓–萊布尼茨公式課件

第六章定積分及其應(yīng)用

1第六章定積分及其應(yīng)用

1一、定積分問題舉例二、定積分的定義§1

定積分的概念2一、定積分問題舉例二、定積分的定義§1定積分的概念一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積3一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得4解決步驟:1)大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積53)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積52.變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動,且求在運(yùn)動時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度n個(gè)小段過的路程為62.變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動,且求在運(yùn)動時(shí)間內(nèi)3)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問題的共性:解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限73)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問題的共性:解決問題二、定積分定義任一種分法任取總趨于確定的極限I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱f(x)在[a,b]上可積.記作8二、定積分定義任一種分法任取總趨于確定的極限I,則稱積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即9積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被三、定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和10三、定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面四、可積的充分條件:定理.11四、可積的充分條件:定理.11

作業(yè)P136

1-812作業(yè)P1361-812§2

定積分的性質(zhì)(k為常數(shù))合理規(guī)定性質(zhì)一性質(zhì)二性質(zhì)三13§2定積分的性質(zhì)(k為常數(shù))合理規(guī)定性質(zhì)一性質(zhì)二性質(zhì)三性質(zhì)四若在[a,b]上則性質(zhì)五.若在[a,b]上則14性質(zhì)四若在[a,b]上則性質(zhì)五.若在[a,性質(zhì)六（估值定理）設(shè)則性質(zhì)七（定積分中值定理）則至少存在一點(diǎn)使得15性質(zhì)六（估值定理）設(shè)則性質(zhì)七（定積分中值定理）則至少存在一點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)16內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性作業(yè)

p1409.12

第二節(jié)17作業(yè)第二節(jié)17一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、牛頓–萊布尼茨公式§3定積分的基本公式（牛頓-萊布尼茲公式）18一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、牛頓–萊布尼茨公式一、變上限的定積分則變上限函數(shù)證:則有定理一.

若19一、變上限的定積分則變上限函數(shù)證:則有定理一.若19說明:1)定理一證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)其他變限積分求導(dǎo):所以也可以把定理一叫做原函數(shù)存在定理.20說明:1)定理一證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)例1求解：例2求解：21例1求解：例2求解：21二、基本公式(牛頓-萊布尼茨公式)

證:根據(jù)定理1,故因此得記作定理二.函數(shù),則或22二、基本公式(牛頓-萊布尼茨公式)證:根據(jù)定理1,例3.計(jì)算解:例4.計(jì)算正弦曲線的面積.解:23例3.計(jì)算解:例4.計(jì)算正弦曲線的面積.解內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茨公式2.變限積分求導(dǎo)公式24內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓作業(yè)第三節(jié)P14414;17;18;20；21；24;27;25作業(yè)第三節(jié)P14414;17;18;二、定積分的分部積分法§4

定積分的換元法

和分部積分法

不定積分一、定積分的變量置換法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法26二、定積分的分部積分法§4定積分的換元法

一、定積分的變量置換法

定理.設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上證:所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),因此積分都存在,且它們的原函數(shù)也存在.是的原函數(shù),因此有則則27一、定積分的變量置換法定理.設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)說明:1)當(dāng)<,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必需注意換元必?fù)Q限,原函數(shù)中的變量不必代回.3)換元公式也可反過來使用,即或配元配元不換限28說明:1)當(dāng)<,即區(qū)間換為定理1仍成立.例1.計(jì)算解:令則∴原式=且29例1.計(jì)算解:令則∴原式=且29例2.計(jì)算解:令則∴原式=且30例2.計(jì)算解:令則∴原式=且30例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零31例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零31例4.計(jì)算解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，積分區(qū)間對稱原點(diǎn)，所以32例4.計(jì)算解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，積分區(qū)間對稱原點(diǎn)，所以32二、定積分的分部積分法則證:33二、定積分的分部積分法則證:33例5.計(jì)算解:原式=34例5.計(jì)算解:原式=34內(nèi)容小結(jié)基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限思考與練習(xí)1.提示:令則35內(nèi)容小結(jié)基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限思考與練習(xí)2.設(shè)解法1.解法2.對已知等式兩邊求導(dǎo),思考:若改題為提示:兩邊求導(dǎo),得得362.設(shè)解法1.解法2.對已知等式兩邊求導(dǎo),思考:若改題為提3.設(shè)求解:(分部積分)373.設(shè)求解:(分部積分)37作業(yè)P14933;34;38;40;

44;50;51;52;習(xí)題課38作業(yè)P14933;34;38;40;三、旋轉(zhuǎn)體的體積§5定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

二、直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積一、概述39三、旋轉(zhuǎn)體的體積§5定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、直角坐標(biāo)一、概述

用定積分解決面積問題時(shí)的方法和步驟。

總的思路：

1、將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間；

所求之曲邊梯形A的面積為每個(gè)子區(qū)間小曲邊梯形的面積之和，即

40一、概述用定積分解決面積問題時(shí)的方法和步驟?？偟乃悸罚?、2、第i個(gè)子區(qū)間上取的近似值3、得總和4、取極限得412、第i個(gè)子區(qū)間上取的近似值3、得總和4、取極限得41實(shí)際問題中有很多其他的幾何量和物理量的類似問題，具體做法（微元法）如下：設(shè)所求量為Q1、在區(qū)間[a,b]內(nèi)任取一個(gè)子區(qū)間，用[x,x+dx]表示,在此區(qū)間上的部分量記為即即2、求和、取極限后，得42實(shí)際問題中有很多其他的幾何量和物理量的類似問題二、直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積

設(shè)曲線與直線及x軸所圍曲則邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為43二、直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積

設(shè)曲線與直線及x軸所圍例1.計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:由得交點(diǎn)44例1.計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:例2.計(jì)算拋物線與直線的面積.解:由得交點(diǎn)所圍圖形為簡便計(jì)算,選取y作積分變量,則有45例2.計(jì)算拋物線與直線的面積.解:由得交點(diǎn)所圍圖形三、旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),則對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),46三、旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有47特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考例4計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對稱性)48例4計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a時(shí),就得半徑為a的球體的體積49方法2利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a時(shí),就得半內(nèi)容小結(jié)1.直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積2.已知平行截面面積函數(shù)A(x)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞x軸:繞y軸:(柱殼法)50內(nèi)容小結(jié)1.直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積2.已知平行截面面思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A及邊界長s.提示:交點(diǎn)為弧線段部分直線段部分以x為積分變量,則要分兩段積分,故以y為積分變量.51思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A及邊界長作業(yè)P15553;55;56;57;58;61;65;

補(bǔ)充題:設(shè)有曲線過原點(diǎn)作其切線,求由此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.52作業(yè)P15553;55;56;§6定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一、由邊際函數(shù)求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)（一）需求函數(shù)（二）總成本函數(shù)（三）總收入函數(shù)（四）利潤函數(shù)

二、由邊際函數(shù)求最優(yōu)問題

三、在其它經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用53§6定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一、由邊際函數(shù)求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)53（一）需求函數(shù)由第一章知,需求量Q是價(jià)格P的函數(shù)一般地,價(jià)格時(shí),需求量最大,為即若已知邊際需求為則總需求函數(shù)為設(shè)最大需求量其中,積分常數(shù)可由條件確定.或用變上限的定積分表示為54（一）需求函數(shù)由第一章知,需求量Q是價(jià)格P的函數(shù)一般地,價(jià)格例1已知對某種商品的需求量是價(jià)格的函數(shù)，且邊際需求該商品的最大需求量為80求需求量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系.解由邊際需求的不定積分公式，可得需求量為積分常數(shù)).代入于是需求量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系是時(shí)，(即55例1已知對某種商品的需求量是價(jià)格的函數(shù)，且邊際需求該商品的最（二）總成本函數(shù)設(shè)產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本為固定成本為則產(chǎn)量為時(shí)的總成本函數(shù)為其中,積分常數(shù)由初始條件確定.或者變上限的定積分公式直接求得總成本函數(shù)其中,為固定成本,為變動成本.56（二）總成本函數(shù)設(shè)產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本為固定成本為則產(chǎn)量為時(shí)的例2若一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本是產(chǎn)量的函數(shù)固定成本求總成本函數(shù).解由不定積分公式得為積分常數(shù))由固定成本即時(shí)，代入上式得于是總成本函數(shù)為57例2若一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本是產(chǎn)量的函數(shù)固定成本求總成本（三）總收入函數(shù)設(shè)產(chǎn)銷量為時(shí)的邊際收入為則產(chǎn)銷量為時(shí)的總收入函數(shù)其中,積分常數(shù)由確定定產(chǎn)銷量為0時(shí)總收入為0).或由變上限的定積分公式直接求得總收入函數(shù)(一般地假可由不定積分公式得58（三）總收入函數(shù)設(shè)產(chǎn)銷量為時(shí)的邊際收入為則產(chǎn)銷量為時(shí)的總收入例3已知生產(chǎn)某產(chǎn)品單位時(shí)的邊際收入為(元/單位)，求生產(chǎn)40單位時(shí)的總收入及平均收入，并求再增加10個(gè)單位時(shí)所增加的總收入.解由變上限定積分公式直接求出(元)平均收入(元)在生產(chǎn)40單位后再生產(chǎn)10單位所增加的總收入可由增量公式求得59例3已知生產(chǎn)某產(chǎn)品單位時(shí)的邊際收入為(元/單位)，求生產(chǎn)40（四）利潤函數(shù)設(shè)某產(chǎn)品邊際收入為邊際成本總收入為總成本為為固定成本)(邊際利潤為利潤則60（四）利潤函數(shù)設(shè)某產(chǎn)品邊際收入為邊際成本總收入為總成本為為固即其中,稱為產(chǎn)銷量為時(shí)的毛利,減去固定成本即為純利.毛利61即其中,稱為產(chǎn)銷量為時(shí)的毛利,減去固定成本即為純利.毛利61例4已知某產(chǎn)品的邊際收入邊際成本固定成本為求當(dāng)5時(shí)的毛利和純利.解法一由邊際利潤當(dāng)時(shí)的純利為可求得時(shí)的毛利為62例4已知某產(chǎn)品的邊際收入邊際成本固定成本為求當(dāng)5時(shí)的毛利和純解法二總收入總成本純利63解法二總收入總成本純利63二、由邊際函數(shù)求最優(yōu)問題64二、由邊際函數(shù)求最優(yōu)問題64例5某企業(yè)生產(chǎn)噸產(chǎn)品時(shí)邊際成本為(元/噸)且固定成本為900元，試求產(chǎn)量為多少時(shí)平均成本最低?解首先求出成本函數(shù).得平均成本函數(shù)為65例5某企業(yè)生產(chǎn)噸產(chǎn)品時(shí)邊際成本為(元/噸)且固定成本為900得平均成本函數(shù)為令舍去).因此，僅有一個(gè)駐點(diǎn)66得平均成本函數(shù)為令舍去).因此，僅有一個(gè)駐點(diǎn)66三、在其它經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用67三、在其它經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用67例6某國某年國民收入在國民之間分配的勞倫茨曲線可近似地由表示，試求該國的基尼系數(shù).解如圖，基尼系數(shù)68例6某國某年國民收入在國民之間分配的勞倫茨曲線可近似地由表示§7反常積分常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣無窮區(qū)間的反常積分反常積分(廣義積分)69§7反常積分常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣無窮區(qū)間的反常定義一.設(shè)若存在,則稱此極限為f(x)的無窮限反常積分,記作這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若則定義無窮區(qū)間的反常積分70定義一.設(shè)若存在,則稱此極限為f(x)的無窮限反常則定義(c為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.無窮區(qū)間的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明:上述定義中若出現(xiàn)它表明該反常積分發(fā)散.71則定義(c為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,引入記號則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:72引入記號則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:72例1計(jì)算積分解：73例1計(jì)算積分解：73例2.計(jì)算反常積分解:思考:分析:原積分發(fā)散!注意:對反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤.74例2.計(jì)算反常積分解:思考:分析:原積分發(fā)散!注意:例3.計(jì)算解：75例3.計(jì)算解：75P16380;81；82；85；86；87；91；

作業(yè)76P16380;81；82；85；86；87；91；第六章定積分及其應(yīng)用

77第六章定積分及其應(yīng)用

1一、定積分問題舉例二、定積分的定義§1

定積分的概念78一、定積分問題舉例二、定積分的定義§1定積分的概念一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積79一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得80解決步驟:1)大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積813)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積52.變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動,且求在運(yùn)動時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度n個(gè)小段過的路程為822.變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動,且求在運(yùn)動時(shí)間內(nèi)3)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問題的共性:解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限833)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問題的共性:解決問題二、定積分定義任一種分法任取總趨于確定的極限I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱f(x)在[a,b]上可積.記作84二、定積分定義任一種分法任取總趨于確定的極限I,則稱積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即85積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被三、定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和86三、定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面四、可積的充分條件:定理.87四、可積的充分條件:定理.11

作業(yè)P136

1-888作業(yè)P1361-812§2

定積分的性質(zhì)(k為常數(shù))合理規(guī)定性質(zhì)一性質(zhì)二性質(zhì)三89§2定積分的性質(zhì)(k為常數(shù))合理規(guī)定性質(zhì)一性質(zhì)二性質(zhì)三性質(zhì)四若在[a,b]上則性質(zhì)五.若在[a,b]上則90性質(zhì)四若在[a,b]上則性質(zhì)五.若在[a,性質(zhì)六（估值定理）設(shè)則性質(zhì)七（定積分中值定理）則至少存在一點(diǎn)使得91性質(zhì)六（估值定理）設(shè)則性質(zhì)七（定積分中值定理）則至少存在一點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)92內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性作業(yè)

p1409.12

第二節(jié)93作業(yè)第二節(jié)17一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、牛頓–萊布尼茨公式§3定積分的基本公式（牛頓-萊布尼茲公式）94一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、牛頓–萊布尼茨公式一、變上限的定積分則變上限函數(shù)證:則有定理一.

若95一、變上限的定積分則變上限函數(shù)證:則有定理一.若19說明:1)定理一證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)其他變限積分求導(dǎo):所以也可以把定理一叫做原函數(shù)存在定理.96說明:1)定理一證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)例1求解：例2求解：97例1求解：例2求解：21二、基本公式(牛頓-萊布尼茨公式)

證:根據(jù)定理1,故因此得記作定理二.函數(shù),則或98二、基本公式(牛頓-萊布尼茨公式)證:根據(jù)定理1,例3.計(jì)算解:例4.計(jì)算正弦曲線的面積.解:99例3.計(jì)算解:例4.計(jì)算正弦曲線的面積.解內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茨公式2.變限積分求導(dǎo)公式100內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓作業(yè)第三節(jié)P14414;17;18;20；21；24;27;101作業(yè)第三節(jié)P14414;17;18;二、定積分的分部積分法§4

定積分的換元法

和分部積分法

不定積分一、定積分的變量置換法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法102二、定積分的分部積分法§4定積分的換元法

一、定積分的變量置換法

定理.設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上證:所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),因此積分都存在,且它們的原函數(shù)也存在.是的原函數(shù),因此有則則103一、定積分的變量置換法定理.設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)說明:1)當(dāng)<,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必需注意換元必?fù)Q限,原函數(shù)中的變量不必代回.3)換元公式也可反過來使用,即或配元配元不換限104說明:1)當(dāng)<,即區(qū)間換為定理1仍成立.例1.計(jì)算解:令則∴原式=且105例1.計(jì)算解:令則∴原式=且29例2.計(jì)算解:令則∴原式=且106例2.計(jì)算解:令則∴原式=且30例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零107例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零31例4.計(jì)算解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，積分區(qū)間對稱原點(diǎn)，所以108例4.計(jì)算解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，積分區(qū)間對稱原點(diǎn)，所以32二、定積分的分部積分法則證:109二、定積分的分部積分法則證:33例5.計(jì)算解:原式=110例5.計(jì)算解:原式=34內(nèi)容小結(jié)基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限思考與練習(xí)1.提示:令則111內(nèi)容小結(jié)基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限思考與練習(xí)2.設(shè)解法1.解法2.對已知等式兩邊求導(dǎo),思考:若改題為提示:兩邊求導(dǎo),得得1122.設(shè)解法1.解法2.對已知等式兩邊求導(dǎo),思考:若改題為提3.設(shè)求解:(分部積分)1133.設(shè)求解:(分部積分)37作業(yè)P14933;34;38;40;

44;50;51;52;習(xí)題課114作業(yè)P14933;34;38;40;三、旋轉(zhuǎn)體的體積§5定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

二、直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積一、概述115三、旋轉(zhuǎn)體的體積§5定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、直角坐標(biāo)一、概述

用定積分解決面積問題時(shí)的方法和步驟。

總的思路：

1、將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間；

所求之曲邊梯形A的面積為每個(gè)子區(qū)間小曲邊梯形的面積之和，即

116一、概述用定積分解決面積問題時(shí)的方法和步驟?？偟乃悸罚?、2、第i個(gè)子區(qū)間上取的近似值3、得總和4、取極限得1172、第i個(gè)子區(qū)間上取的近似值3、得總和4、取極限得41實(shí)際問題中有很多其他的幾何量和物理量的類似問題，具體做法（微元法）如下：設(shè)所求量為Q1、在區(qū)間[a,b]內(nèi)任取一個(gè)子區(qū)間，用[x,x+dx]表示,在此區(qū)間上的部分量記為即即2、求和、取極限后，得118實(shí)際問題中有很多其他的幾何量和物理量的類似問題二、直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積

設(shè)曲線與直線及x軸所圍曲則邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為119二、直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積

設(shè)曲線與直線及x軸所圍例1.計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:由得交點(diǎn)120例1.計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:例2.計(jì)算拋物線與直線的面積.解:由得交點(diǎn)所圍圖形為簡便計(jì)算,選取y作積分變量,則有121例2.計(jì)算拋物線與直線的面積.解:由得交點(diǎn)所圍圖形三、旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),則對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),122三、旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有123特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考例4計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對稱性)124例4計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a時(shí),就得半徑為a的球體的體積125方法2利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a時(shí),就得半內(nèi)容小結(jié)1.直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積2.已知平行截面面積函數(shù)A(x)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞x軸:繞y軸:(柱殼法)126內(nèi)容小結(jié)1.直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積2.已知平行截面面思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A及邊界長s.提示:交點(diǎn)為弧線段部分直線段部分以x為積分變量,則要分兩段積分,故以y為積分變量.127思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A及邊界長作業(yè)P15553;55;56;57;58;61;65;

補(bǔ)充題:設(shè)有曲線過原點(diǎn)作其切線,求由此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.128作業(yè)P15553;55;56;§6定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一、由邊際函數(shù)求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)（一）需求函數(shù)（二）總成本函數(shù)（三）總收入函數(shù)（四）利潤函數(shù)

二、由邊際函數(shù)求最優(yōu)問題

三、在其它經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用129§6定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一、由邊際函數(shù)求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)53（一）需求函數(shù)由第一章知,需求量Q是價(jià)格P的函數(shù)一般地,價(jià)格時(shí),需求量最大,為即若已知邊際需求為則總需求函數(shù)為設(shè)最大需求量其中,積分常數(shù)可由條件確定.或用變上限的定積分表示為130（一）需求函數(shù)由第一章知,需求量Q是價(jià)格P的函數(shù)一般地,價(jià)格例1已知對某種商品的需求量是價(jià)格的函數(shù)，且邊際需求該商品的最大需求量為80求需求量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系.解由邊際需求的不定積分公式，可得需求量為積分常數(shù)).代入于是需求量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系是時(shí)，(即131例1已知對某種商品的需求量是價(jià)格的函數(shù)，且邊際需求該商品的最（二）總成本函數(shù)設(shè)產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本為固定成本為則產(chǎn)量為時(shí)的總成本函數(shù)為其中,積分常數(shù)由初始條件確定.或者變上限的定積分公式直接求得總成本函數(shù)其中,為固定成本,為變動成本.132（二）總成本函數(shù)設(shè)產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本為固定成本為則產(chǎn)量為時(shí)的例2若一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本是產(chǎn)量的函數(shù)固定成本求總成本函數(shù).解由不定積分公式得為積分常數(shù))由固定成本即時(shí)，代入上式得于是總成本函數(shù)為133例2若一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本是產(chǎn)量的函數(shù)固定成本求總成本（三）總收入函數(shù)設(shè)產(chǎn)銷量為時(shí)的邊際收入為則產(chǎn)銷量為時(shí)的總收入函數(shù)其中,積分常數(shù)由確定定產(chǎn)銷量為0時(shí)總收入為0).或由變上限的定積分公式直接求得總收入函數(shù)(一般地假可由不定積分公式得134（三）總收入函數(shù)設(shè)產(chǎn)銷量為時(shí)的邊際收入為則產(chǎn)銷量為時(shí)的總收入例3已知生產(chǎn)某產(chǎn)品單位時(shí)的邊際收入為(元/單位)，求生產(chǎn)40單位時(shí)的總收入及平均收入，并求再增加10個(gè)單位時(shí)所增加的總收入.解由變上限定