2020年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講義設(shè)計(jì)第3講幾何模型之雙子型

第3講幾何模型之雙子型模型講解【雙等邊類型】BDEC△BCD^AACE【雙等腰直角類型】△ABD^AACE△BOEs^cof△BCDACE△BCE^ADCF△ABDaceBDEC△BCD^AACE【雙等腰直角類型】△ABD^AACE△BOEs^cof△BCDACE△BCE^ADCF△ABDace【一般情況】基本條件：△ABCs^EDC,連接AE、BD后，有△AECs^BDC,相似比為AC邊與BC邊之比?？梢姡厦鎺追N有圖形中有全等情況出現(xiàn)，只因圖形中有邊長相等。AB CAB C【例題講解】例題1、（直接用雙子）如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB,點(diǎn)C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC>1）,連接BC,以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD,直線DA交y軸于點(diǎn)E.（1）AOBC與4ABD全等嗎？判斷并證明你的結(jié)論；（2）著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若有變化，請(qǐng)說明理由.解：①全等.理由：AOB和△CBD是等邊三角形，.?.OB=AB,ZOBA=ZOAB=60°,BC=BD,/CBD=60°,./OBA+ZABC=ZCBD+ZABC,即/OBC=ZABD,在△OBC和△ABD中，f0B=A&JZOEOZABD,[bc=bdOBC^AABD(SAS).②不變.理由：.「△OBC^AABD,./BAD=ZBOC=60°,又?./OAB=60°,，/OAE=180°-ZOAB-ZBAD=60°,?.Rt^OEA中，AE=2OA=2,OE=V3,.??點(diǎn)E的位置不會(huì)發(fā)生變化， E的坐標(biāo)為E(0,心).例題2、如圖，4ABC和4ADE都是等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90°AB=AC=2,O為AC中點(diǎn)，若TOC\o"1-5"\h\z點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE,則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE的最小值是為（ ）2 一A.2B.2 C.1 D.42解：設(shè)Q是AB的中點(diǎn)，連接DQ,./BAC=ZDAE=90°,??/BAC-/DAC=/DAE-/DAC,即/BAD=ZCAE,.AB=AC=2,O為AC中點(diǎn)，AQ=AO,在△AQD和AAOE中，[AQ=AC1ZQAD=Z0AE,AD=ACAQD^AAOE(SAS),.?.QD=OE,??點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，??當(dāng)QD^BC時(shí)，QD最小,??△ABC是等腰直角三角形，,.QDXBC,. QBD是等腰直角三角形，k/2?.QD=XQB,2.QB=LaB=1,23=返，2???線段OE的最小值是為筆例題3、如圖1,在RtAABC中，/B=90°,cosC=5,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE,6AE △EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針萬向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為。.當(dāng)0w0<360時(shí)，京的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖BD的情況給出證明.

當(dāng)0°wa<360°時(shí),AAD（圖當(dāng)0°wa<360°時(shí),AAD（圖1）（圖2）生的大小沒有變化,DB?./ECD=/ACB,?./ECA=/DCB,又「?.△ECA^ADCB,ABEC-V5.DBDCDBDC【鞏固練習(xí)】1.【鞏固練習(xí)】1.如圖所示，已知△ABC和^BDE均為等邊三角形,連接AD、CE,若/BAD=39°那么/ACE=.如圖,AABC為等邊三角形，AB=2,點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD,以AD為一邊向右作等邊△ADE,連接CE⑴在點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長為；2）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在/DEC=60°,若存在，求出BD的長，若不存在，請(qǐng)說明理由⑶取AC中點(diǎn)P,連接PE,在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求PE的最小值.

ADBCADBC.在銳角^ABC中，AB=4,BC=5,/ACB=45°將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)Cl在線段CA的延長線上時(shí)，求/CC1A1的度數(shù);(2)如圖2,連接AA1,CC1.若^ABA1的面積為4,求ACBC^面積;.【提出問題】(1)如圖1,在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn) B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等邊△AMN,連結(jié)CN,求證：BM=CN.【類比探究】(2)如圖2,在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn) C),其它條件不變，(1)中結(jié)論BM=CN還成立嗎？請(qǐng)說明理由.【拓展延伸】(3)如圖3,在等腰△ABC中，BA=BC,AB=6,AC=4,點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角/AMN=ZABC,連結(jié)CN.試探究BM與CN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖1 圖2 圖3.如圖，正方形ABCD、BGFE邊長分別為2、1,正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，直線AE、GC相交于點(diǎn)H.(1)在正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中，/AHC的大小是否始終為900請(qǐng)說明理由；(2)連接DH、BH,在正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中，求DH的最大值；

ECGHECGH備用圖.如圖1,已知點(diǎn)A(0,—3)和x軸上的動(dòng)點(diǎn)C(m,0),^AOB和4BCD都是等邊三角形.(1)在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有兩點(diǎn)的距離等于 OC的長度，請(qǐng)將它找出來，并說明理由.(2)如圖2,WABCD沿CD翻折得△ECD,當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)E(x,y),請(qǐng)你用m來表示點(diǎn)E的坐標(biāo)并求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)所在圖象的解析式.(3)在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)m>43時(shí)，直接寫出^ABD是等腰三角形時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).【旋轉(zhuǎn)構(gòu)造雙子型】此類圖的特點(diǎn)在于圖形的不完整。一且補(bǔ)全圖形，答案即可解出，而方法不僅僅是構(gòu)造，亦可用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造與旋轉(zhuǎn)本就可互相代替，但我們常常選用旋轉(zhuǎn)來解決！不過本專題打算用構(gòu)造的思路去解決！面轉(zhuǎn)的方法讀者可自行嘗試，圖是一樣的！【例題講解】例題4.如圖所示，在四邊形 ABCD中，AD=3,CD=2,/ABC=/ACB=/ADC=45°則BD的長為解：作AD'±AD,AD'=AD,連接CD',DD',如圖：??/BAC+ZCAD=ZDAD'+/CAD,即/BAD=ZCAD',在△BAD與△CAD'中，[BA=CAZBAD=ZCAD7,AD二AD'.△BAD^ACAD'（SAS,BD=CD',/DAD'=90°,由勾股定理得DD'= 和/）2=3近，/D'DA+/ADC=90°,由勾股定理得CD'=J0c々（DD，）2=夜，?.BD=CD'=【雜說】若用旋轉(zhuǎn)，只需將△ADB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，連接DD,再證明△ADD是等腰直角三角形即可。例題5.如圖，在4ABC中，/ABC=60°AB=2M3,BC=8,以AC為腰，點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰△ACD,且/DAC=120°則BD的長為.

DD解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，把4BAC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到△EAD,連接BE,作解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，把4則/BAE=120°,AB=AE,./ABE=ZAEB=30°,.BP=AB?cos/ABP=3,/AEB=90°,BE=2BP=6,在RUBED中，BD=Jeo2+be2=10,故答案為：10.a故答案為：10.a【鞏固練習(xí)】.【問題探究】(1)如圖1,銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰AABE和等腰△ACD,使AE=AB,AD=AC,/BAE=/CAD,連接BD,CE,試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由.【深入探究】(2)如圖2,四邊形ABCD中，AB=7cm,BC=3cm,/ABC=/ACD=/ADC=45°求BD的長.(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)^ACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長.圖1圖1ABC外作等邊^(qū)ABC外作等邊^(qū)ABD

,并證明：BE=CD;和等邊△ACE,連接BE、CD,請(qǐng)你.(1)如圖1,已知^ABC,以AB、AC為邊分別向△完成圖形(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)(2)如圖2,利用(1)中的方法解決如下問題：在四邊形ABCD中，AD=3,BD=2,ZABC=ZACB=Z

ADB=45°求BD的長；(3)如圖3,四邊形ABCD中,/BAC=90°，/ADB=/ABC=a,tankg,BD=5,AD=12,求BD的長.3參考答案.解：.「△ABC和4BDE均為等邊三角形，ABC=/DBE=60°,AB=BC,BE=BD,./CBD=60°,./ABD=ZCBE=120°,rAB=BC在^ABD和^CBE中，/ABD=/CBE,［阪BDABD^ACBE,(SAS)./AEC=ZADB,./ADB=180°-ZABD-ZBAD=21°,./AEC=21°, ACE=99°,故答案為：99°(1)AABD^AACE可得BD=CE,E的運(yùn)動(dòng)路徑的長即D的運(yùn)動(dòng)路徑長，BC=2..因此不存在(2)/DEC=60°相當(dāng)于/AEC=ZADB=120°,即/EDC=0°此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合.因此不存在1(3)/ACE=60°，當(dāng)PE^CE時(shí)取最小值.PE=PCcos60°《.3.解：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：/A1C1B=ZACB=45°,BC=BC1,CCiB=ZCiCB=45°,CCiAi=ZCCiB+ZAiCiB=45°+45°=90°.(2)/AABC^AA1BC1,BA=BAi,BC=BC1,/ABC=/AiBCi,BAB%「，ZABC+ZABCi=ZA1BC1+ZABC1,BCBC1

ABAi=ZCBCi?.△ABAis^CBCi.SACBC.SaABAI=4,SaCBCi4.(1)證明：ABC、AAMN是等邊三角形,?.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,???在△BAM和^CAN中，fAB=AC&NBAM=/CAN[4二AMBAMCAN(SAS),?./ABC=ZACN.(2)解：結(jié)論/ABC=/ACN仍成立；理由如下：ABC、AAMN是等邊三角形，.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,/BAM=/CAN,??在△BAM和^CAN中，網(wǎng)二ACNBAM=/CAN〔AM二AMBAMCAN(SAS),./ABC=ZACN.(3)解：/ABC=ZACN;理由如下：:BA=BC,MA=MN,頂角/ABC=ZAMN,?底角/BAC=/MAN,ABC^AAMNACAN又.?/BAM=/BAC—/MAC,/CAN=/MAN—/MAC,/BAM=/CAN,.△BAMCAN,./ABC=ZACN.5.解：（1）是，理由如下：如圖，由旋轉(zhuǎn)知，/ABE=CBG,在正方形ABCD,BGFE中，AB=BC,BE=BG,/ADC=/BCD=/BAD=/ABC=90°,ABE^ACBG,./BAE=ZBCG,記AH與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)P,./APB=ZCPH,/ABC+ZBAE+ZAPB=180°ZAHC+ZBCG+ZCPH=180°,./AHC=ZABC=90°,⑵DHWDE+EG=BD=2/

?「△AOB?「△AOB和^BCD都是等邊三角形，AB=OB,BD=BC,ZABO=ZCBD=60°,?./ABD=ZABO+ZOBD,/OBC=ZOBD+ZDBC,?./ABD=ZOBC.'AB二OB在^ABD和△OBC中，有*ZABD=Z0BC,tBD=BCABD^AOBC(SAS),AD=OC.(2)過D作DF^y軸于F,連接BE,如圖2所示.EE圖2由(1)可知△ABD^AOBC,AD=OC=m,/DAF=/BAO—/BAD=60°-(90°-60°)=30°DF=AD?sinZDAF=,AF=AD?cosZDAF=—m,2DF=AD?sinZDAF=,AF=AD?cosZDAF=—m,2-A(0,—3),1.D（—m,l/_?_m-3）.2 2???將△BCD沿CD翻折得△ECD且4BCD是等邊三角形,???四邊形BCED是菱形，??.BE、CD互相平分..△AOB是等邊三角形，且點(diǎn)0（0,0）,點(diǎn)A（0,-3）,'點(diǎn)B￥???點(diǎn)E'點(diǎn)B￥???點(diǎn)E在圖形v二垣頭上運(yùn)動(dòng).3返返m-3),2(3)二.點(diǎn)A(0,—3),點(diǎn)B(汽-,―,點(diǎn)D(Em(3)二.點(diǎn)A(0,?.AB=3,AD=m,BD=出知邛■產(chǎn)+［亭巾甸^"△ABD為等腰三角形分三種情況:①當(dāng)AB=AD時(shí)，有3=m,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為②當(dāng)ab=BD時(shí)，有3=^mi__3^3nr1-9,解得：m=0（舍去），或m=3/3,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3四，3）;③當(dāng)ad=bd時(shí)，有m=Jm?T nfi"9，當(dāng)m＞立時(shí)，4ABD是等腰三角形時(shí)E當(dāng)m＞立時(shí)，4ABD是等腰三角形時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上可知：在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中,7T）或（3心，3）.1.解：(1)BD=CE.理由是：BAE=/CAD,BAE+ZBAC=ZCAD+ZBAG,即/EAC=ZBAD,在△EAC和^BAD中，fAE=ABJzeac=Zbad,[m=AD.△EAC^ABAD,BD=CE;(2)如圖2,在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角^BAE,使/BAE=90°,AE=AB,連接EA、EB、EC../ACD=ZADC=45°,.AC=AD,/CAD=90°,./BAE+ZBAC=ZCAD+/BAC,即/EAC=/BAD,在△EAC和^BAD中，fAE=AB1/EAC=/BAD,[ac=ad.△EAC^ABAD,BD=CE.AE=AB=7,?.BE=y^T|7p=7迎,ZABE=ZAEB=45°,又?./ABC=45°,?.ZABC+ZABE=45°+45°=90°,EC=心淤+3。2=J(7的)2+32=^^107，BD=CE=M107.(3)如圖3,在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)A作AE^AB于點(diǎn)A,交BC的延長線于點(diǎn)巳連接BE.??AEXAB,./BAE=90°,又?./ABC=45°,./E=ZABC=45°,AE=AB=7,BE=J?2十72=7>/2,又?./ACD=ZADC=45BAE=ZDAC=90°,./BAE-ZBAC=ZDAC-/BAC,即/EAC=/BAD,在△EAC和^BAD中,fAE=ABJzeac=Zbad,AC=AD.△EAC^ABAD,BD=CE,BC=3,BD=CE=（1、技-3）cm.2.解：（1）如圖1,分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB為半徑畫弧，交于點(diǎn)D,連接AD、BD,再分別以A、