李正元高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化講義

PAGEPAGE31第一講極限、無窮小與連續(xù)性一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：①掌握求極限的各種方法．②掌握無窮小階的比較及確定無窮小階的方法．③判斷函數(shù)是否連續(xù)及確定間斷點(diǎn)的類型（本質(zhì)上是求極限）．④復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)及函數(shù)記號(hào)的運(yùn)算．§1極限的重要性質(zhì)1．不等式性質(zhì)設(shè)，且A＞B，則存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)有xn＞yn．設(shè)，且存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)有xn≥yn，則A≥B．作為上述性質(zhì)的推論，有如下的保號(hào)性質(zhì)：設(shè)，且A＞0，則存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)有xn＞0．設(shè)，且存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)有xn≥0，則A≥0．對(duì)各種函數(shù)極限有類似的性質(zhì)．例如：設(shè)，且A＞B，則存在δ＞0，使得當(dāng)＜δ有f（x）＞g（x）．設(shè)，且存在δ＞0，使得當(dāng)0＜｜x－x0｜＜δ時(shí)f（x）≥g（x），則A≥B．2．有界或局部有界性性質(zhì)設(shè)，則數(shù)列｛xn｝有界，即存在M＞0，使得｜xn｜≤M（n=1，2，3，…）．設(shè)則函數(shù)f（x）在x=x0的某空心鄰域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得當(dāng)0＜｜x－x0｜＜δ時(shí)有｜f（x）｜≤M．對(duì)其他類型的函數(shù)極限也有類似的結(jié)論．§2求極限的方法1．極限的四則運(yùn)算法則及其推廣設(shè)，則只要設(shè)存在或是無窮大量，上面的四則運(yùn)算法則可以推廣到除“”，“”，“0·∞”，“∞－∞”四種未定式以外的各種情形．即：1°設(shè)，則.（）又B≠0，則．2°設(shè)，當(dāng)x→x0時(shí)局部有界，（即，使得時(shí)），則．設(shè)，當(dāng)x→x0時(shí)｜g（x）｜局部有正下界，（即δ＞0，b＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ時(shí)｜g（x）｜≥b＞0），則．3°設(shè)，，則，又δ＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ時(shí)f（x）g（x）＞0，則．4°設(shè)，x→x0時(shí)g（x）局部有界，則（無窮小量與有界變量之積為無窮小．）2．冪指函數(shù)的極限及其推廣設(shè)只要設(shè)存在或是無窮大量,上面的結(jié)果可以推廣到除“1∞”，“00”及“∞0”三種未定式以外的各種情形．這是因?yàn)閮H在這三個(gè)情況下是“0·∞”1°設(shè)=0（0＜｜x－｜＜δ時(shí)f（x）＞0），，則2°設(shè)=A＞0，A≠1，=+∞，則3°設(shè)=+∞，，則【例1】設(shè)【分析】【例2】設(shè)｛an｝，｛bn｝，｛cn｝均為非負(fù)數(shù)列，且則必有（A）an＜bn對(duì)任意n成立．（B）bn＜cn對(duì)任意n成立．（C）極限不存在．（D）不存在．用相消法求或型極限【例1】求【解】作恒等變形，分子、分母同乘．【例2】求【解】作恒等變形，分子、分母同除得利用洛必達(dá)法則求極限【例1】設(shè)f（x）在x=0有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，又求．【例2】求．【例3】求．【例4】求．【例5】若，則．【例6】求．【例7】設(shè)＞0，≠0為常數(shù)且，則（，）=__________．【分析】∞－∞型極限．因此（，）=．分別求左、右極限的情形，分別求的情形【例1】設(shè)，求．【例2】求利用函數(shù)極限求數(shù)列極限【例1】求．【例2】求．【解1】轉(zhuǎn)化為求【解2】用求指數(shù)型極限的一般方法．轉(zhuǎn)化為求（等價(jià)無窮小因子替換），余下同前．§3無窮小和它的階1．無窮小、極限、無窮大及其聯(lián)系（1）無窮小與無窮大的定義（2）極限與無窮小，無窮小與無窮大的關(guān)系其中o（1）表示無窮小量．在同一個(gè)極限過程中，u是無窮小量（u≠0）是無窮大量．反之若u是無窮大量，則是無窮小量．2．無窮小階的概念（1）定義同一極限過程中，（x），（x）為無窮小，設(shè)定義設(shè)在同一極限過程中（x），（x）均為無窮小，（x）為基本無窮小，若存在正數(shù)k與常數(shù)使得稱（x）是（x）的k階無窮小，特別有，稱x→x0時(shí)（x）是（x－x0）的k階無窮小．（2）重要的等價(jià)無窮小x→0時(shí)sinx~x，tanx~x，㏑（1+x）~x，ex－1~x；ax－1~xlna，arcsinx~x，arctanx~x；（1+x）a―1~ax，1―cosx~．（3）等價(jià)無窮小的重要性質(zhì)在同一個(gè)極限過程中1°若~，~~．2°~=+o（）3°在求“”型與“0·∞”型極限過程中等價(jià)無窮小因子可以替換【例1】求．【例2】設(shè)．【分析】由已知條件及．又在x=0某空心鄰域f（x）≠0，又3x－1~xln3．于是．【例3】設(shè)x→a時(shí)（x），（x）分別是x－a的n階與m階無窮小，又，則x→a時(shí)（1）（x）h（x）是x－a的__________階無窮?。?）（x）（x）是x－a的__________階無窮小．（3）n＜m時(shí)，（x）±（x）是x－a的__________階無窮?。?）n＞m時(shí)是x－a的__________階無窮?。?）k是正整數(shù)時(shí)，k是x－a的__________階無窮小．以上結(jié)論容易按定義證明。例如，已知，f（x）g（x）是x－a的n+m階無窮小．【例4】設(shè)f（x）連續(xù)，x→a時(shí)f（x）是x－a的n階無窮小，求證：是x－a的n+1階無窮小．【例5】x→0時(shí)，是x的________階無窮??；是x的_________階無窮??；是x的_________階無窮小，是x的_________階無窮?。纠?】x→0時(shí)，下列無窮小中（）比其他三個(gè)的階高，（A）x2（B）1－cosx（C）（D）x－tanx【例7】當(dāng)x→0時(shí)，與比較是（）的無窮小．（A）等價(jià)（B）同階非等價(jià)（C）高階（D）低階§4連續(xù)性及其判斷1．連續(xù)性概念（1）連續(xù)的定義：函數(shù)f（x）滿足，則稱f（x）在點(diǎn)x=x0處連續(xù)；f（x）滿足（或，則稱f（x）在x=x0處右（或左）連續(xù)．若f（x）在（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)；若f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，且在x=a處右連續(xù)，在點(diǎn)x=b處左連續(xù)，則稱f（x）在[a，b]上連續(xù)．（2）單雙側(cè)連續(xù)性f（x）在x=x0處連續(xù)f（x）在x=x0處既左連續(xù)，又右連續(xù)．（3）間斷點(diǎn)的分類：設(shè)f（x）在點(diǎn)x=x0的某一空心鄰域內(nèi)有定義，且x0是f（x）的間斷點(diǎn)．若f（x）在點(diǎn)x=x0處的左、右極限f（x0－0）與f（x0+0）存在并相等，但不等于函數(shù)值f（x0）或f（x）在x0無定義，則稱點(diǎn)x0是可去間斷點(diǎn)；若f（x）在點(diǎn)x=x0處的左、右極限f（x0－0）與f（x0+0）存在但不等，則稱點(diǎn)x0是跳躍間斷點(diǎn)：它們統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)．若f（x）在點(diǎn)x=x0處的左、右極限f（x0－0）與f（x0+0）至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn)x0為第二類間斷點(diǎn)．2．函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型的判斷：若f（x）為初等函數(shù)，則f（x）在其定義域區(qū)間D上連續(xù)，即當(dāng)開區(qū)間（a，b）D，則f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)；當(dāng)閉區(qū)間[c，d]D，則f（x）在[c，d]上連續(xù)．若f（x）是非初等函數(shù)或不清楚它是否為初等函數(shù)，則用連續(xù)的定義和連續(xù)性運(yùn)算法則（四則運(yùn)算，反函數(shù)運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算）來判斷．當(dāng)f（x）為分段函數(shù)時(shí)，在其分界點(diǎn)處則需按定義或分別判斷左、右連續(xù)性．判斷f（x）的間斷點(diǎn)的類型，就是求極限．3．有界閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大值和最小值定理：設(shè)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則存在ξ和η[a，b]，使得f（ξ）≤f（x）≤f（η），（a≤x≤b）有界性定理：設(shè)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則存在M＞0，使得｜f（x）｜≤M，（a≤x≤b）介值定理：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）≠f（b），則對(duì)f（a）與f（b）之間的任意一個(gè)數(shù)c，在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=c推論1（零值定理）：設(shè)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）f（b）＜0，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=0推論2：設(shè)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且m和M分別是f（x）在[a，b]上最小值和最大值，若m＜M，則f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇m，M]．【例1】函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界．（A）（－1，0）．（B）（0，1）．（C）（1，2）．（D）（2，3）．【分析一】這里有界．只須考察，g(x）是初等函數(shù)，它在定義域（x≠1，x≠2）上連續(xù)，有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界，[－1，0]定義域，g(x）在[－1，0]有界，選（A）．【分析二】設(shè)h(x）定義在（a，b）上，若或，則h(x）在（a，b）無界．因，在（0，1），（1，2），（2，3）均無界．選（A）．【例2】設(shè)，討論y=f（g（x））的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)并指出類型．【分析與解法1】先求f（g（x））的表達(dá)式．在（－∞，1），（1，2），（2，5），（5，+∞），f（g(x））分別與初等函數(shù)相同，故連續(xù)．x=2或5時(shí)可添加等號(hào)，左、右連接起來，即左連續(xù)又右連續(xù)f（g(x））在x=2或5連續(xù)．x=1時(shí)x=1是f（g（x））的第一類間斷點(diǎn)（跳躍間斷點(diǎn)）．【分析與解法2】不必求出f（g（x））的表達(dá)式．g(x）的表達(dá)式中，x=2或5處可添加等號(hào)，左、右連接起來g(x）在（－∞，+∞）處處連續(xù)．，u≠1時(shí)連續(xù)．u=g（x）=1x=1因此，x≠1時(shí)由連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的f（g（x））連續(xù).x=1時(shí)x=1是f（g（x））的第一類間斷點(diǎn)．第二講一元函數(shù)微分學(xué)的概念、計(jì)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是①導(dǎo)數(shù)與微分的定義、幾何意義，討論函數(shù)的可導(dǎo)性及導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，特別是分段函數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系．②按定義或微分法則求各種類型函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)或微分（包括：初等函數(shù)，冪指數(shù)函數(shù)，反函數(shù)，隱函數(shù)，變限積分函數(shù)，參數(shù)式，分段函數(shù)及帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)），求n階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式．③求平面曲線的切線與法線，描述某些物理量的變化率．④導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用如“彈性”，“邊際”等（只對(duì)數(shù)三，數(shù)四）．§1一元函數(shù)微分學(xué)中的基本概念及其聯(lián)系1．可導(dǎo)與可微的定義及其聯(lián)系2．幾何意義與力學(xué)意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f(x0））處切線的斜率．是相應(yīng)于x該切線上縱坐標(biāo)的增量．質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為x=x(t），是t=t0時(shí)刻的速度．3．單側(cè)導(dǎo)數(shù)與雙側(cè)導(dǎo)數(shù)f（x）在x=x0可導(dǎo)均存在且相等．此時(shí)【例1】說明下列事實(shí)的幾何意義（1）（2）f(x)，g(x)在x=x0處有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，，（3）f(x）在x=x0處存在，但.（4）y=f(x）在x=x0處連續(xù)且【例2】，＞0為某常數(shù)．設(shè)均存在且.求證：.【例3】請(qǐng)回答下列問題：（1）設(shè)y=f（x）在x=x0可導(dǎo)，相應(yīng)于x有y=f（x0+x）－f（x0），x→0時(shí)它們均是無窮?。嚤容^下列無窮?。簓是x的__________無窮??；y－dy是x的________無窮小；時(shí)y與dy是________無窮小．（2）du與u是否相等？【例4】設(shè)f（x）連續(xù)，試討論的存在性與的存在性之間的關(guān)系．（1）考察下列兩個(gè)函數(shù)圖形，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義來分析存在與存在之間的關(guān)系．（2）f（x0）≠0時(shí)，求證：存在存在．【證明】因≠0，由連續(xù)性，＞0，使得當(dāng)｜x－x0｜＜時(shí)有f（x）＞0或f（x）＜0，于是在x0該鄰域內(nèi)必有｜f（x）｜=f(x）或｜f（x）｜=－f(x）之一成立，故在點(diǎn)x=x0處兩個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性是等價(jià)的．（3）f（x0）=0時(shí)，求證：存在．【證明】設(shè)f（x0）=0．存在綜合可得，題目中結(jié)論（2）和（3）成立．也可以概括為：點(diǎn)x=x0是可導(dǎo)函數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)｜｜的不可導(dǎo)點(diǎn)的充分必要條件是它使得f（x0）=0但．【評(píng)注】論證中用到顯然的事實(shí)：．【例5】設(shè)函數(shù)f(x）連續(xù)，且，則存在＞0，使得（A）在（0，）內(nèi)單調(diào)增加．（B）在（－，0）內(nèi)單調(diào)減少．（C）對(duì)任意的x（0，）有＞f（0）．（D）對(duì)任意的x（－，0）有＞f（0）．§2一元函數(shù)求導(dǎo)法反函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)f（x）在區(qū)間Ix可導(dǎo)，，值域區(qū)間為Iy，則它的反函數(shù)x=（y）在Iy可導(dǎo)且【例】設(shè)y=y（x）滿足，求它的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．【解】變限積分求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，則在[a，b]上可導(dǎo)，且，（a≤x≤b）設(shè)在[c，d]上連續(xù)，當(dāng)x[a，b]時(shí)函數(shù)u（x），v（x）可導(dǎo)，且的值域不超出[c，d]，則在[a，b]上可導(dǎo)，且，（a≤x≤b）【例1】設(shè)f（x）在（－∞，+∞）連續(xù)且，求．【例2】設(shè)f（x）在（－∞，+∞）連續(xù)，又，求．【例3】設(shè)，求．【例4】設(shè)f（x）為連續(xù)函數(shù)，，則等于（A）2f（2）．（B）f（2）．（C）－f【分析一】先用分部積分法將F（t）化為定積分．選（B）．【分析二】轉(zhuǎn)化為可以用變限積分求導(dǎo)公式的情形．．選（B）．【分析三】交換積分順序化為定積分．【分析四】特殊選取法．取f（x）=1（滿足條件）選（B）．隱函數(shù)求導(dǎo)法：【例1】y=y（x）由所確定，則【例2】y=y（x）由下列方程確定，求（1）x+arctany=y；【解】對(duì)x求導(dǎo)，解出．再對(duì)x求導(dǎo)得．（2），其中．【解】對(duì)x求導(dǎo)得利用方程化簡(jiǎn)得再將的方程對(duì)x求導(dǎo)得解出，并代入表達(dá)式若先取對(duì)數(shù)得lnx+f（y）=y然后再求導(dǎo)，可簡(jiǎn)化計(jì)算．【例3】設(shè)y=y（x）由方程y－xey=1確定，求的值．【解】原方程中令x=0y（0）=1．將方程對(duì)x求導(dǎo)得令．將上述方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得分段函數(shù)求導(dǎo)法：【例1】設(shè)f（x）=x2｜x｜，則使處處存在的最高階數(shù)n為________．【例2】設(shè)（A）不連續(xù)（B）連續(xù)，但不可導(dǎo)（C）可導(dǎo)但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)（D）可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)【分析】先按定義討論f（x）在x=0的可導(dǎo)性問題．．進(jìn)一步考察在x=0的連續(xù)性．當(dāng)x＞0時(shí)，由此可知，在x=0不連續(xù)．因此，選（C）．【例3】求常數(shù)a，b使函數(shù)處處可導(dǎo)，并求出導(dǎo)數(shù)．【分析與求解】對(duì)常數(shù)a，b，x≠3時(shí)f（x）均可導(dǎo)．現(xiàn)要確定a，b使存在．f（x）在x=3必須連續(xù)且，由這兩個(gè)條件求出a與b．由f（x）在x=3連續(xù)，a，b滿足f（3+0）=f（3－0）=f（3）即3a+b在此條件下，即a=6代入3a+b=9b=－9．因此，僅當(dāng)a=6，b=－9時(shí)f（x）處處可導(dǎo)且【評(píng)注】求解此類問題常犯以下錯(cuò)誤1°沒說明對(duì)常數(shù)a，b，x≠3時(shí)f（x）均可導(dǎo)．2°先由x=3處可導(dǎo)求出a值，再由連續(xù)性求出b值．請(qǐng)看以下錯(cuò)誤表達(dá)：“因由得a=6．再由連續(xù)性f（3+0）=f（3－0）即9=3a+b，b=－9”錯(cuò)誤在于①當(dāng)3a+b≠9時(shí)不存在，也不可能有．②f（3+0）=f（3－0）不能保證f（x）在x=3連續(xù)．僅當(dāng)f（3+0）=f（3－0）=f（3）時(shí)才能保證x=3連續(xù)．必須先由連續(xù)性定出3a+b=9，在此條件下就可得高階導(dǎo)數(shù)與n階導(dǎo)數(shù)的求法常見的五個(gè)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式：§3一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)（微分）概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用設(shè),在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，則【例2】若周期為4的函數(shù)f（x）可導(dǎo)且則曲線y=f（x）在點(diǎn)（5，f（5））處的切線斜率k=________．【例3】設(shè)y=f（x）由方程e2x+y－cos（xy）=e－1所確定，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，1）處的法線方程為________．【例4】已知曲線Γ的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，點(diǎn)M0的極坐標(biāo)為（1，），則點(diǎn)M0處Γ的切線的直角坐標(biāo)方程為________．【分析一】（數(shù)學(xué)一，二）點(diǎn)M0在Γ上，直角坐標(biāo)為：．Γ的參數(shù)方程為，Γ在M0點(diǎn)處的切線的斜率：Γ在M0處的切線方程．【分析二】Γ的方程可化為2=，于是Γ的隱式方程為x2+y2=2y．由隱函數(shù)求導(dǎo)法，得．，于是切線方程為．第三講一元函數(shù)積分學(xué)一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：①不定積分、原函數(shù)及定積分概念，特別是定積分的主要性質(zhì)．②兩個(gè)基本公式：牛頓—萊布尼茲公式，變限積分及其導(dǎo)數(shù)公式．③熟記基本積分表，掌握分項(xiàng)積分法、分段積分法、換元積分法和分部積分法計(jì)算各類積分．④反常積分?jǐn)可⑿愿拍钆c計(jì)算．⑤定積分的應(yīng)用．§1一元函數(shù)積分學(xué)的基本概念與基本定理1．原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)：（1）定義．若F（x）的導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上成立，則稱F（x）是f（x）在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)：f（x）的全體原函數(shù)稱為f（x）的不定積分，記為．（2）原函數(shù)與不定積分的關(guān)系．若已知F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則其中C是任意常數(shù)．（3）求不定積分與求導(dǎo)是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，即其中C也是任意常數(shù)．（4）不定積分的基本性質(zhì)：2．定積分的概念與性質(zhì)：（1）定義．設(shè)，若對(duì)任何存在，則稱f（x）在[a，b]上可積，并稱此極限值為f（x）在[a，b]上的定積分，記為定積分的值與積分變量的名稱無關(guān)，即把積分變量x換為t或u等其他字母時(shí)，有另外，約定．（2）可積性條件．可積的必要條件：若f（x）在[a，b]上可積，則f（x）在[a，b]上有界．可積函數(shù)類（可積的充分但非必要的條件）：1°f（x）在[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，2°f（x）在[a，b]上有界且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f（x）在[a，（3）定積分的幾何意義：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，則表示界于x軸、曲線y=f（x）以及直線x=a，x=b之間的平面圖形面積的代數(shù)和，其中在x軸上方部分取正號(hào)，在x軸下方部分取負(fù)號(hào)．特別，若f（x）在[a，b]上連續(xù)且非負(fù)，則表示x軸，曲線y=f（x）以及直線x=a，x=b圍成的曲邊梯形的面積．（4）定積分有以下性質(zhì)：1°線性性質(zhì)：若f（x），g（x）在[a，b]上可積，且A、B為兩個(gè)常數(shù)，則Af（x）+Bg（x）也在[a，b]上可積，且2°對(duì)積分區(qū)間的可加性：若f（x）在由a、b、c三數(shù)構(gòu)成的最大區(qū)間上可積，則3°改變有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值不改變可積性與積分值．4°比較性質(zhì)：若f（x），g（x）在[a，b]上可積，且f（x）≤g（x）在[a，b]上成立，則進(jìn)一步又有：若f（x），g（x）在[a，b]上連續(xù)，且f（x）≤g（x），f（x）g（x）在[a，b]上成立，則若f（x）在[a，b]可積，則｜f（x）|在[a，b]可積且5°積分中值定理：若f（x）在[a，b]上連續(xù)，則存在ξ∈（a，b），使得3．變限積分，原函數(shù)存在定理，牛頓—萊布尼茲公式：（1）變限積分的連續(xù)性：若函數(shù)f（x）在[a，b]上可積，則函數(shù)在[a，b]上連續(xù)．（2）變限積分的可導(dǎo)性，原函數(shù)存在定理：若函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)就是f（x）在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，即x[a，b]．（3）不定積分與變限積分的關(guān)系．由原函數(shù)存在定理可得．若f（x）在［a，b］上連續(xù)，則不定積分，其中x0[a，b]為一個(gè)定值，C為任意常數(shù)．（4）牛頓—萊布尼茲公式：設(shè)在上連續(xù)，是在上的任一原函數(shù)，則．這個(gè)公式又稱微積分基本公式．推廣形式：設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)（x）是f（x）在（a，b）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，又極限F（a+0）和F（b－0）存在，則．（5）初等函數(shù)的原函數(shù)4．周期函數(shù)與奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：（1）周期函數(shù)的積分性質(zhì)：設(shè)f（x）在（－∞，+∞）連續(xù)，以T為周期，則1°（a為任意實(shí)數(shù)）2°3°（即f（x）的全體原函數(shù)）為T周期的【證明】1°證法1證法2，其中代入上式得。（此種證法不必假定f（x）連續(xù)，只須假定f（x）在[0，T]）可積)．2°3°只須注意例（08，數(shù)三，數(shù)四）設(shè)f（x）是周期為2的連續(xù)函數(shù).（Ⅰ）證明對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，有；（Ⅱ）證明G（x）=是周期為2的周期函數(shù)?！痉治雠c證明】（Ⅰ）（它是結(jié)論1°的特例，a=2，見證明1°）（Ⅱ）由題（Ⅰ）的結(jié)論，G（x）=由于對(duì)x，G（x+2）－G（x）===G（x）是周期為2的周期函數(shù)．（2）奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：設(shè)f（x）在[－a，a]連續(xù)，且為奇函數(shù)或偶函數(shù)1°2°令3°若f（x）為奇函數(shù)，則在[－a，a]上f（x）的全體原函數(shù)為偶函數(shù)．若f（x）為偶函數(shù)，則在[－a，a]上f（x）只有惟一的一個(gè)原函數(shù)為奇函數(shù)【證明】2°設(shè)f（x）為奇函數(shù)．證法1．考察[－a，a]F（x）=F（－x）（x[－a，a]），即F（x）為偶函數(shù)．證法2．x[－a，a]），即F（x）為偶函數(shù)．（此種證法只須假設(shè)f（x）在[－a，a]可積）3°只須注意2°的結(jié)論．【例1】．【例2】，且f（1）=0，則f（x）=________．【例3】設(shè)f（x）的導(dǎo)數(shù)是sinx，則f（x）的原函數(shù)是________．【例4】設(shè)f（x）連續(xù)，f（x）=x+2，則f（x）=________．【例5】下列命題中有一個(gè)正確的是________．（A）設(shè)f（x）在［a，b］可積，f（x）≥0，0，則＞0．（B）設(shè)f（x）在［a，b］可積，[α，β][a，b]，則（C）設(shè)在[a，b]可積，則f（x）在[a，b]可積．（D）設(shè)f(x）在［a，b］可積，g(x）在［a，b］不可積，則f(x）+g(x）在［a，b］不可積．【分析1】f（x）在［a，b］可積，g(x）在［a，b］不可積f(x）+g(x）在［a，b］不可積．反證法．若不然，則f(x）+g(x）在［a，b］可積，由線性性質(zhì)g（x）＝［f（x）+g（x）］－f（x）在［a，b］可積，得矛盾，選（D）．【分析2】舉例說明（A），（B），（C）不正確．由（A）的條件只能得≥0．如，x0（a，b）f（x）≥0，0（x[a，b]），但=0．（A）不正確．關(guān)于（B），請(qǐng)看右圖，由定積分的幾何意義知＜0，＞0，（B）不正確．這里［α，β］[a，b]，但＞．關(guān)于（C），是f（x）與的可積性的關(guān)系．f（x）在[a，b]可積在[a，b]可積如=1在[a，b]可積，但f（x）在[a，b]不可積，（C）不正確，因此選（D）．【例６】判斷積分值的大?。骸纠?】把積分值①②③按大小排序，其中f（x）在［a，b］上滿足：＞0，＞0，＜0．【例8】設(shè)Ｆ則Ｆ（x）（A）為正數(shù)．（B）為負(fù)數(shù)．（C）為0．（D）不為常數(shù)．【例9】設(shè)g（x）=則g(x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)（A）無界．（B）遞減．（C）不連續(xù)．（D）連續(xù)．【分析】這是討論變限積分的性質(zhì)．已知結(jié)論可以用：若f（x）在［a，b］可積，則g(x）＝在［a，b］連續(xù)，這里f（x）在［0，2］可積（有界，只有一個(gè)間斷點(diǎn)），則在［0，2］連續(xù)．選（D）．5．利用定積分求某些n項(xiàng)和式的極限【例10】§2基本積分表與積分計(jì)算法則§3積分計(jì)算技巧【例1】求．求（b＞a）．求，n為自然數(shù)．【例4】對(duì)實(shí)數(shù)，求．【解】【例5】求．【解】．§4反常(廣義)積分1．基本概念（1）若，稱收斂，并記否則稱發(fā)散．若，稱收斂，并記否則稱發(fā)散．若，均收斂，稱收斂且=+．否則稱發(fā)散．（2）設(shè)f（x）在（a，b］內(nèi)閉子區(qū)間可積，在a點(diǎn)右鄰域無界，若極限，稱收斂，并記=,否則稱發(fā)散．這里x=a稱為瑕點(diǎn)．若b為瑕點(diǎn)，類似定義．設(shè)f（x）在[a，c）（c，b]內(nèi)閉子區(qū)間可積，在x=c鄰域無界．若，均收斂，稱收斂．且=+．否則稱發(fā)散．（3）幾個(gè)重要的反常積分．1°a＞0，2°a＞1，3°4°5°，，，均發(fā)散【例1】反常積分（）發(fā)散．（A）（B）（C）（D）【例2】下列命題中正確的有________個(gè)．（1）設(shè)f（x）在（－∞，＋∞）連續(xù)為奇函數(shù)，則＝0．（2）設(shè)f（x）在（－∞，＋∞）連續(xù)，存在，則收斂．（3）若與均發(fā)散，則不能確定是否收斂．（4）若均發(fā)散，則不能確定是否收斂．【分析】要逐一分析．（1）f（x）在（－∞，＋∞）連續(xù)，收斂．例如f（x）=sinx在（－∞，＋∞）連續(xù)，為奇函數(shù)，但發(fā)散．（1）是錯(cuò)的．（2）f（x）在（－∞，＋∞）連續(xù)，收斂存在如f（x）=sinx，=0，但發(fā)散．故（2）是錯(cuò)誤的．（3）正如兩個(gè)函數(shù)的極限均不存在，但它們相加后的極限可能存在，也可能不存在一樣，若，均發(fā)散，則不能確定是否收斂．如f（x）=，均發(fā)散，但＝收斂．若取g（x）==發(fā)散．因此（3）是正確的．（4）按斂散性的定義，僅當(dāng)，均收斂時(shí)，才是收斂的，否則為發(fā)散．因此，，均發(fā)散時(shí)是發(fā)散的．（4）也不正確．共有1個(gè)是正確的．2．廣義積分的計(jì)算【例3】(1)求．(2)求．(3)求．(4)求．§5一元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用1．一元函數(shù)積分學(xué)的幾何應(yīng)用【例1】曲線Ｌ1︰y=1－x2（0≤x≤1），x軸和y軸所圍區(qū)域被L2︰y=ax2（a＞0）分成面積相等的兩部分，確定a的值．【解】先求Ｌ1與Ｌ2的交點(diǎn)（x0，y0）：被分成的兩部分面積分別記為.由．【例2】求由x2+y2≤2x與y≥x確定的平面圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．【解一】該平面圖形可表示為，在此平面圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體中縱坐標(biāo)滿足的一層形狀為圓環(huán)形薄片，其外半徑為，內(nèi)半徑為，從而，這個(gè)圓環(huán)形薄片的體積為．故旋轉(zhuǎn)體的體積為．【解二】該平面圖形可表為作垂直分割，相應(yīng)的小豎條繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的體積微元yxyx【例3】求曲線的全長(zhǎng)（a＞0）．（只對(duì)數(shù)一，數(shù)二）【解】以6為周期．在［0，6］中，r≥0[0，3]．，于是，曲線的全長(zhǎng)．曲線C是光滑，選定一端點(diǎn)作為度量弧S的基點(diǎn)。曲線C上每一點(diǎn)M對(duì)應(yīng)有弧長(zhǎng)S，點(diǎn)MPAGEPAGE119處切線的傾角為，稱K=為平面曲線C在點(diǎn)M的曲率，為C點(diǎn)M的曲率半徑，過點(diǎn)M作曲線C的法線，在曲線凹的一側(cè)，在法線上取一點(diǎn)D，便，以D為圓心，為半徑作一個(gè)圓，稱它為曲線C在點(diǎn)M處的曲率圓，圓心D稱為曲率中心。設(shè)曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=y（x），y（x）二階可導(dǎo)，則曲率K=曲線C上點(diǎn)的曲率中心（，）是=x－=y+2.一元函數(shù)積分學(xué)的物理應(yīng)用（數(shù)一，數(shù)二）【例4】設(shè)在很大的池中放有兩種液體，上層是油，比重＜1，厚度為h1，下層是水，厚度為h2（＞2R），現(xiàn)有半徑為R，比重（＞1）的球沉入池底，如將球從液體中取出需作多少功？（設(shè)移動(dòng)過程中兩種液體厚度均不變）．（只對(duì)數(shù)一，數(shù)二）【解】設(shè)球心Ｏ為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸正向垂直向上，建立坐標(biāo)系如圖，可把球上的一個(gè)薄片看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)把球從池底完全取出液體的過程中，該薄片在水中移動(dòng)的距離是h2－（R＋x），這時(shí)外力的大小是重力減去浮力即，該薄片在油中移動(dòng)的距離是h1，這時(shí)外力的大小是；該薄片在空氣中移動(dòng)的距離是R＋x，這時(shí)外力的大小是，故出取出該薄片的過程中需作功：從－R到R積分dW，并利用奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分為零的性質(zhì)和球體積公式可得到將球從液體中取出需作的功：．平面曲線的質(zhì)心（形心）公式（數(shù)一，數(shù)二）：設(shè)質(zhì)量均勻分布的平面曲線，其線密度為常數(shù)，參數(shù)方程有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則的質(zhì)心:．平面圖形的質(zhì)心（形心）公式（數(shù)一，數(shù)二）：設(shè)有平面圖形：a≤x≤b，g（x）≤y≤f（x），其中f（x），g（x）在[a，b]連續(xù)，質(zhì)量均勻分布，面密度為常數(shù)，則它的質(zhì)心；，．【例5】（數(shù)一，數(shù)二）質(zhì)量均勻分布的平面光滑曲線，全長(zhǎng)l，以A點(diǎn)作為計(jì)算弧長(zhǎng)的起點(diǎn)，取弧長(zhǎng)s為自變量，參數(shù)方程為x=x（s），y=y（s）（0≤s≤l）．（Ⅰ）寫出的質(zhì)心的積分表達(dá)式.（Ⅱ）在x軸上方，證明繞x軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積等于曲線的質(zhì)心繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的圓周之長(zhǎng)乘以曲線的弧長(zhǎng)l．（Ⅲ）求圓周繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的圓環(huán)體的側(cè)面積A．【解】（Ⅰ）用微元法可導(dǎo)出的質(zhì)心的表達(dá)式，．（Ⅱ）由題（Ⅰ）得等式右端即繞x軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，左端正是的質(zhì)心繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的圓周之長(zhǎng)與l之積，因此結(jié)論成立．（Ⅲ）由題（Ⅱ），又質(zhì)心＝（0，a），圓周長(zhǎng)為，于是圓環(huán)體的側(cè)面積．§6積分等式與不等式的證明【例1】設(shè)f（x）在[a，b]有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，求證明：【證】用分部積分法

．【例2】0＜a＜b，f（x）在[a，b]連續(xù)，并滿足：，求證：【證】用換元積分法．令，故于是．【例3】設(shè)f（x），g（x）在[a，b]連續(xù)且滿足,求證：．【分析與證明】已知（*）要證：．因所以將（*）式從a到b積分即得證．第四講一元函數(shù)微分學(xué)中的基本定理及其應(yīng)用一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖拐點(diǎn)拐點(diǎn)二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：①羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其應(yīng)用．②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（函數(shù)為常數(shù)，單調(diào)性與極值點(diǎn)，凹凸性與拐點(diǎn)，漸近線）．③最值問題及應(yīng)用題．④利用微分學(xué)方法證明函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)零點(diǎn)的存在性并確定個(gè)數(shù)，證明函數(shù)不等式等．§1一元函數(shù)微分學(xué)中的基本定理——中值定理費(fèi)馬定理：設(shè)f（x）在x=x0取極值，存在羅爾定理：設(shè)f（x）在［a，b］連續(xù)，在（a，b）可導(dǎo)，且．【例1】設(shè)f（x）在（a，b）可導(dǎo)且a＜x1＜x2＜b，則至少存在一點(diǎn)c使（）成立．（A）（B）（C）（D）【例2】回答問題：設(shè)f（x）在[a，b]有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)且，又f（x）在（a，b）二階可導(dǎo)，是否存在，為什么？【例3】設(shè)f（x）在x=x0連續(xù)，在（）除x0點(diǎn)可導(dǎo)且，求證：．§2微分中值定理的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的變化1．函數(shù)為常數(shù)的條件與函數(shù)恒等式的證明2．函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)（1）函數(shù)的單調(diào)性的充要判別法．設(shè)f（x）在[a，b]連續(xù)，在（a，b）可導(dǎo)，則f（x）在[a，b]單調(diào)不減（單調(diào)不增）．f（x）在[a，b]單調(diào)增加（單調(diào)減少），2°在（a，b）的子區(qū)間上0．（2）函數(shù)取極值的充分判別法．設(shè)f（x）在x=x0連續(xù)，在可導(dǎo)，當(dāng)時(shí)＞0（＜0）．時(shí)＜0（＞0），則x=x0是f（x）的極大（?。┲迭c(diǎn)．設(shè)=0，＞0（＜0），則x=x0是f（x）的極?。ù螅┲迭c(diǎn)．3．函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)（1）函數(shù)的凹凸性的充要判別法．設(shè)f（x）在[a，b]連續(xù)，在（a，b）可導(dǎo)，f（x）在[a，b]是凸（凹）的：（＞）（曲線y=f（x）（a＜x＜b）在點(diǎn)處的切線除該點(diǎn)外總在曲線的上方（下方））．在（a，b）是單調(diào)減（增）函數(shù)．設(shè)f（x）在[a，b]連續(xù)，在（a，b）二階可導(dǎo)，則f（x）在[a，b]是凸（凹）的≤0（≥0），，又在（a，b）的子區(qū)間上0．（2）拐點(diǎn)的充分判別法與必要條件．設(shè)f（x）在x0鄰域連續(xù)，在x=x0兩側(cè)凹凸性相反，稱（x0，f（x0））是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)．充分判別法1°設(shè)f（x）在x=x0鄰域連續(xù)，在x=x0空心鄰域二階可導(dǎo)，且在x=x0兩側(cè)變號(hào)，則（x0，f（x0））為y=f（x）的拐點(diǎn)．2°=0，，則（x0，f（x0））為y=f（x）的拐點(diǎn)．必要條件設(shè)（x0，f（x0））為y=f（x）的拐點(diǎn)，則=0或不存在．【例1】設(shè)f（x）在[0，1]上＞0，則（）成立．（A）＞＞（B）＞－＞（C）－＞＞（D）＞－＞【例2】設(shè)恒正可導(dǎo)且＜0，則當(dāng)a＜x＜b時(shí)有（A）＞（B）＞（C）＞（D）＞【例3】設(shè)f（x）在x=0某鄰域連續(xù)且f（0）=0，，則f（x）在x=0處（）．（A）不可導(dǎo)（B）可導(dǎo)且0（C）有極大值（D）有極小值【例4】設(shè)f（x）有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，=0，，則（）成立．（A）f（0）不是f（x）的極值，（0，f（0））不是y=f（x）的拐點(diǎn)（B）f（0）是f（x）的極大值（C）f（0）是f（x）的極小值（D）（0，f（0））是y=f（x）的拐點(diǎn)【例5】設(shè)f（x）滿足且=0則（A）f（0）是f（x）的極大值（B）f（0）是f（x）的極小值（C）點(diǎn)（0，f（0））是y=f（x）的拐點(diǎn)（D）f（0）不是f（x）的極值，（0，f（0））也不是y=f（x）的拐點(diǎn).設(shè)f（x）在（a，b）可導(dǎo)，求證：在（a，b）為減函數(shù)f（x）＜f（x0）+（x－x0），．【分析與證明】（1）設(shè)在（a，b）為減函數(shù)，f（x）－[f（x0）+]=＜0（），其中由微分中值定理知，在x與x0之間，f（x）－f（x0）=．（2）設(shè)對(duì)，f（x）＜f（x0）+．現(xiàn)對(duì)＜x2,x1，x2,有f（x1）＜f（x2）+,f（x2）＜f（x1）+兩式相加得＞0＞，即在（a，b）為減函數(shù)．【例7】求y=（x+6）的單調(diào)性區(qū)間，極值點(diǎn)，凹凸性區(qū)間，拐點(diǎn)與漸近線．【解】1）定義域x≠0，間斷點(diǎn)x=0．2）由．單調(diào)增區(qū)間：（－，－2]，[3，+）；單調(diào)減區(qū)間[－2，0），（0，3]．極大值點(diǎn)x=－2，極小值x=3．凹區(qū)間：（－，－]，凸區(qū)間[－，0），（0，+），拐點(diǎn)（－，）．3）只有間斷點(diǎn)x=0，是垂直漸近線．還有斜漸近線y=x+7．§3一元函數(shù)的最值問題【例1】求f（x）=x+2cosx在[0，]上的最大值．【例2】某公園在一高為a米的雕塑，其基高為b米，試問觀賞者離基座底部多遠(yuǎn)處，使得其視線對(duì)塑像張成的夾角最大，設(shè)觀賞者高為h米．§4微分中值定理的應(yīng)用——證明不等式試證：x＞0，x≠1時(shí)（x2－1）lnx＞（x－1）2．【例2】設(shè)f（x）在[0，1]可導(dǎo)，f（0）=0，0＜＜1，求證：＞【分析與證明1】引進(jìn)輔助函數(shù)F（x）=要證：F（x）＞0（x（0，1]）．由條件知，f（x）在[0，1]單調(diào)上升，f（x）＞f（0）=0（x（0，1]）．從而與g（x）=＞0（x（0，1）]）g（x）在[0，1]單調(diào)上升，g（x）＞g（0）=0（x（0，1]），＞0（x（0，1]）F（x）＞F（0）=0（x（0，1]）．因此F（1）＞0，即結(jié)論成立．【分析與證明2】要證＞1（由條件知f（x）＞0，x（0，1]）令F（x）=則由柯西中值定理=＞1（對(duì)）【例3】設(shè)a＞1，n≥1，證明：＜＜．§5微分中值定理的應(yīng)用——討論函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)有方程xn+nx－1=0，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在惟一正根xn，并求．【例2】設(shè)f（x）在［a，b］要導(dǎo)，＜0，求證：存在c（a，b），．【例3】設(shè)f（x）在[a，b]連續(xù)，在（a，b）二階可導(dǎo)，并在（a，b）內(nèi)曲線y=f（x）與弦相交，其中A（a，f（a）），B（b，f（b）），求證：存在（a，b）使得=0．【例4】設(shè)f（x）在（—，+）可導(dǎo)，=A，求證：存在（—，+）使得=0．【例5】設(shè)f（x），g（x）在[a，b]連續(xù)，在（a，b）可導(dǎo)且g（a）=0，f（b）=0，x（a，b）時(shí)f（x）≠0，g（x）≠0，求證：存在（a，b）使得．【例6】設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），證明：存在（a，b），使得．【分析與證明一】令F（x）=f（x）－g（x）F（x）在[a，b]連續(xù)，在（a，b）可導(dǎo)，在題設(shè)條件下，要證存在（a，b），=0．已知F（a）=F（b）=0，只須由題設(shè)再證c（a，b），F(xiàn)（c）=0．由題設(shè)x1（a，b）M=，．若x1=x2，取c=x1=x2，F(xiàn)（c）=0．若x1≠x2，不妨設(shè)x1＜x2，則F（x1）=f（x1）－g（x1）≥0，F(xiàn)（x2）=f（x2）－g（x2）≤0．c[x1，x2]，F(xiàn)（c）=0．（2）由F（a）=F（c）=F（b）=0，對(duì)F（x）分別在［a，c］，［c，b］用羅爾定理1（a，c），2（c，b），使得，，再對(duì)用羅爾定理（1，2）（a，b），使得，即．【分析與證明二】（利用以下兩個(gè)已知的結(jié)論：1°設(shè)h（x）在（a，b）可導(dǎo)，若（x）在（a，b）恒不為零，則（x）＞0（x（a，b））或（x）＜0（x（a，b））．2°設(shè)h（x）在[a，b]連續(xù)，在（a，b）可導(dǎo)，若h（a）=h（b）=0．h（x）在［a，b］為凸（凹）函數(shù)，則h（x）＞0（＜0）（x（a，b）．）同前，由題設(shè)x1（a，b），，．令F（x）=f（x）－g（x），若結(jié)論不對(duì)，則＞0或＜0（x（a，b））．（1）若＞0（x（a，b））F（x）在[a，b]為凹函數(shù)，又F（a）=F（b）=0F（x）＜0（x（a，b）），但F（x1）=f（x1）－g（x2）≥0，得矛盾．（2）若＜0（x（a，b））F（x）在[a，b]為凹函數(shù)，又F（a）=F（b）=0F（x）＞0（x（a，b）），但F（x2）=f（x2）－g（x2）≥0，得矛盾．因此必（a，b），使得=0，即=．設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，1]連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）=0．求證：至少存在一點(diǎn)（0，1），使得4f（）+（）=0．【例8】確定方程ex=ax2（a＞0為常數(shù)）的根的個(gè)數(shù)．【解】令f（x）=．（1）（2）考察區(qū)間（）．f（x）在（）單調(diào)上升，又，對(duì)＞0，f（x）在（）有唯一零點(diǎn)．（3）考察區(qū)間（0，+）．f（x）在（0，2]單調(diào)下降，在[2，+）單調(diào)上升，又于是，當(dāng)f（2）＞0即a＜時(shí)f（x）在（0，+）無零點(diǎn)．當(dāng)a=時(shí)f（x）在（0，+）有唯一零點(diǎn)（即x=2），當(dāng)a＞時(shí)f（x）在（0，2）（2，+）分別有唯一零點(diǎn)，即在（0，+）有且僅有二個(gè)零點(diǎn)．§6用微分中值定理證明函數(shù)成導(dǎo)數(shù)存在某種特征點(diǎn)【例1】已知函數(shù)f（x）在[0，1]連續(xù)，在（0，1）可導(dǎo)，且f（0）=0，f（1）=1．證明（1）存在ξ（0，1）使得f（ξ）=1－ξ．（2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，（0，1）【分析與證明】（1）即證在（0，1）零點(diǎn)．因F（x）在[0，1]連續(xù)，又F（0）=－1，F(xiàn)（1）=1異號(hào)，由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，ξ（0，1）F（ξ）=0，即F（ξ）=1－ξ．（2）由上題的ξ，分別在［0，ξ］與［ξ，1］對(duì)f（x）用拉格朗日中值定理得，（0，ξ）使得（ξ，1）使得兩式相乘得．【例2】設(shè)f（x）在［a，b］連續(xù)，在（a，b）可導(dǎo)，0≤a＜b≤，求證：存在ξ1，ξ2（a，b）使得【證】第一步，將中值ξ1，ξ2分離到等式兩端，得：．第二步，根據(jù)上式兩端的形式，將等式兩端的表達(dá)式寫成適當(dāng)?shù)闹兄刀ɡ硭媒Y(jié)果注意，按柯西中值定理，存在ξ1，ξ2（a，b）分別使得由此可得，最后，利用題設(shè)條件驗(yàn)算原等式是否成立，與第二步所得結(jié)果比較，只需驗(yàn)證當(dāng)0≤a＜b≤時(shí)成立三角恒等式．為此，將以下兩個(gè)和差化積公式，做商即可，故，本題結(jié)論成立得證．【例3】（08，數(shù)二）（Ⅰ）證明積分中值定理，若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)［a，b］，使得（Ⅱ）若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足證明至少存在一點(diǎn)ξ（1，3），使得＜0．分析與證明：（Ⅰ）f（x）在[a，b]連續(xù)，于是存在最大，最小值．，m≤f（x）≤M（x[a，b]）m（b－a）≤m≤由[a，b]上連續(xù)函數(shù)f（x）達(dá)到最大值與最小值定理取中間值定理[a，b]，f（）=即（Ⅱ）先由積分中值定理可知，[2，3]，使得現(xiàn)條件變成（2）＞（1），（2）＞（），（2，3]要證：（1，3），（）＜0．方法10：分別在[1，2]，[2，]上同拉格朗日中值定理（1，π），2（2，）使得＞0，＜0再在[1，2]上對(duì)（x）用拉格朗日中值定理（1，2）（1，3），＜0．證法20：用反證法證明．若不然對(duì)x（1，3），≥0（x）在（1，3）單調(diào)不減．若（x）在（1，3）恒正或恒負(fù)（x）在[1，3]單調(diào)與（1）＜（2），（2）＞（）矛盾，于是（1，3），（）=0，由（x）在（1，3）單調(diào)不減（）（x）在[1，]單調(diào)不增，在[，3]單調(diào)不減．若2[1，]（1）≥（2）與（2）＞（1）矛盾．若2[，]（2）≤（）與（2）＞（）矛盾．因此≥0（x（1，3））是不可能的，即（1，3），＜0．證法3：用反證法證明．已知結(jié)論：若≥0（x（1，）），連接點(diǎn)（1，（1）），（，（））的直線做方程是y=（1）+，則（x）≤g（x）（x[1，]）[證明如下：令F（x）=（x）－g（x），則F（1）=0，F(xiàn)（）=0，于是（1，），，又F（x）≤F（1）=0（x[1，]）F（x）≤F（）=0（x[，]）因此F（x）≤0（x[1，]）即（x）≤g（x）（x[1，]）]但由（2）＞（1），（2）＞（）（2）＞g（2）這便矛盾了，因此（1，3），＜0．微積分學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用（數(shù)三，數(shù)四）一元函數(shù)微積分學(xué)中與經(jīng)濟(jì)有關(guān)的概念與公式1．復(fù)利與貼現(xiàn)設(shè)A1是現(xiàn)有本金，r是年利率，連續(xù)復(fù)利計(jì)息，At是t年末的未來值．則有復(fù)利公式：（已知A0求At）．貼現(xiàn)公式：（已知At求A0）．2．“邊際”概念在經(jīng)濟(jì)函數(shù)中，因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)一般用“邊際”概念．C（x）是總成本函數(shù)，則MC=稱為邊際成本函數(shù)，其中x為產(chǎn)品的產(chǎn)量，（x）的經(jīng)濟(jì)意義是：（x）近似于產(chǎn)量為x時(shí)再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所需增加的成本，這是因?yàn)镃（x十1）－C（x）=C（x）≈（x）．R（x）是總收益函數(shù)（x為銷售量），則MR=（x）稱為邊際收益函數(shù)，它的經(jīng)濟(jì)意義是：（x）近似于銷售量為x時(shí)再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加（或減少）的收入．L（x）是總利潤(rùn)函數(shù)（x為銷售量），則MR=（x）稱為邊際利潤(rùn)，注意L（x）=R（x）－C（x），（x為銷售量，只考察銷售部分的成本），則．3．彈性（1）彈性概念設(shè)經(jīng)濟(jì)量x，y有函數(shù)關(guān)系y=f（x），x在x0時(shí)，相對(duì)變化為，引起函數(shù)y的相對(duì)變化，它們的比值為為f（x）的平均彈性極限值稱為f（x）在x0的彈性，它反映出當(dāng)充分小時(shí)f（x）在x0引起的“相對(duì)變化率”稱為y=f（x）的彈性函數(shù)．（2）需求對(duì)價(jià)格的彈性設(shè)某商品的需求量Q是價(jià)格P的函數(shù)，稱Q=Q（P）為需求函數(shù)，則需求對(duì)價(jià)格的彈性為Ep=，也記為．也稱之為需求彈性關(guān)于需求彈性（1）一般說來Ep＞0（Q（P）是價(jià)格P的減函數(shù)），當(dāng)我們比較商品需求彈性的大小時(shí)，是指彈性的絕對(duì)值．（2）提價(jià)（＞0）或降價(jià)（＜0）對(duì)總收益的影響．由需求彈性可得出價(jià)格變動(dòng)如何影響銷售收益的結(jié)論．由需求彈性定義及收益與需求的關(guān)系得PdQ=EpQdp，R=Q（P）P求收益函數(shù)的微分得dR=QdP+PdQ=Q（1+Ep）dP用微分近似改變量得＜1（低彈性）時(shí)，＜0＜0（降價(jià)使收益減少）；＞1（高彈性）時(shí)，＜0＞0（降價(jià)使收益增加）：=1時(shí)，提或降價(jià)對(duì)收益無明顯影響．（3）收益對(duì)價(jià)格的彈性（4）若干關(guān)系式1°（將Ｒ＝Q·P代入表達(dá)式得到）2°（將R=Q·P求導(dǎo)得兩邊都除Q得到）3°（1°、2°兩式合起來）4°當(dāng)需求函數(shù)Q=Q（p）存在反函數(shù)p=p（Q）時(shí)，【證明】．【例1】設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)Q=Q（P）是單調(diào)減少的，收益函數(shù)R=PQ，當(dāng)價(jià)格為P0，對(duì)應(yīng)的需求量為Q0時(shí)，邊際收益而．需求對(duì)價(jià)格的彈性Ｅp，=b＞1，求P0和Q0．【解】Q＝Q（P）存在反函數(shù)P＝P（Q），可用上述公式令Q＝Q0得a=．又令p=p0得c=Q0（1－b），Q0=．【例2】設(shè)總成本C關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)C（x）＝400＋3x+，需求量x關(guān)于價(jià)格p的函數(shù)為p=，求：邊際成本，邊際收益，邊際利潤(rùn)以及收益對(duì)價(jià)格的彈性．【解】1）由邊際成本的定義邊際成本ＭC＝2）總收益函數(shù)Ｒ＝px=100，邊際收益ＭＲ＝.3）（設(shè)產(chǎn)量＝需求量），邊際利潤(rùn)ＭＬ＝．4）先求出需求量x為p的函數(shù)關(guān)系．P=．【例3】設(shè)某商品的需求量Q與價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系為Q=100－5P，若需求彈性絕對(duì)值大于1，則商品價(jià)格P的取值范圍是多少？【解】首先由Q≥0得P≤20＞1＜5P（P≥0）P10因此，10＜P≤20．4．定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用．（1）設(shè)x是產(chǎn)品的產(chǎn)量，已知邊際成本MC（x）＝（x），求總成本函數(shù)C（x）：C（x）=C0+．其中C0是產(chǎn)品的固定成本（即C（0）＝C0）．（2）設(shè)x是商品的銷售量，已知邊際收益MR（x）=，求總收益函數(shù)R（x）．．（R（0）=0）【例4】生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50，產(chǎn)量為x時(shí)的邊際成本函數(shù)為（x）＝x2－14x+111，邊際收益函數(shù)為＝100－2x，求：（1）總利潤(rùn)函數(shù)：（2）產(chǎn)量為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？【解】C（x）=50+R（x）=總利潤(rùn)L（x）=R（x）－C（x）=－（2）求Ｌ（x）在［0，）的最大值點(diǎn),由，得駐點(diǎn)x1=1，x2=11．L（0）=－50，L（11）=＞0，L（1）＜0x=x2=11時(shí)總利潤(rùn)最大．（3）已知某產(chǎn)品的總產(chǎn)量Q的變化率f（t），t為時(shí)間變量，則從t=a到t=b，該產(chǎn)品的產(chǎn)量變化為Q（b）－Q（a）=，（Q（t）是從開始到t，產(chǎn)品的產(chǎn)量），這段時(shí)間產(chǎn)量的平均值為已知t=t0時(shí)總產(chǎn)量為Q0，則總產(chǎn)量函數(shù)是Q（t）=Q0+．第五講泰勒公式及其應(yīng)用一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)會(huì)用泰勒公式求某些型板限，并確定無窮小的階，會(huì)用泰勒公式證明某些不等式并會(huì)用適當(dāng)階數(shù)的泰勒公式解決與某階導(dǎo)數(shù)中間值有關(guān)的命題．§1泰勒公式及其余項(xiàng)1、帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式：設(shè)f（x）在x=x0處有n階導(dǎo)數(shù)，則f（x）=Tn（x）+Rn（x），其中，2．帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式：設(shè)f（x）在含x=x0的區(qū)間（a，b）內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，在[a，b]有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)，，其中，，ξ在x與x0之間，ξ也可表示為ξ=x0+θ（x－x0），0＜θ＜1．x0=0時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林公式．3．五個(gè)基本初等函數(shù)的麥克勞林公式：Rn（x）=o（xn）（），．，．cosx=R2n+1（x）=o（x2n+1）（x），R2n+1（x）=．ln（1+x）=xRn（x）=o（xn）（x）．Rn（x）=o（xn）（x），這五個(gè)公式是求其他初等函數(shù)泰勒公式的基礎(chǔ)，應(yīng)當(dāng)牢記并會(huì)寫出它們的余項(xiàng)．§2泰勒公式的求法1、帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的求法【例1】求的麥克勞林公式．【例2】求ln（1+x+x2）的6階泰勒公式．【例3】求【解】2．帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的求法【例】求f（x）=帶拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式．§3泰勒公式的應(yīng)用帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用【例1】設(shè)f（x）二次可導(dǎo)且________，______，______．【例2】求【解】注意，于是分子＝又因從而因此．【例3】設(shè)f（x）=x2ln（1+x），求f（n）（0）（n≥3）【解】=．【例4】試確定常數(shù)A，B，C的值，使得ex（1+Bx+Cx2）=1+Ax+o（x3），其中o（x3）是當(dāng)x→0時(shí)比x3高階的無窮?。痉治雠c求解一】用泰勒公式．因?yàn)閑x=，將其代入題設(shè)等式，整理得.解得【分析與求解二】用洛必達(dá)法則．由ex（1+Bx+Cx2）=1+Ax+o（x3），（x→0）（要求分子極限為0，即1+B－A=0，否則J=∞）（要求分子極限為0，即2A+2C-1=0，否則J=∞即=0．解得2．帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用【例5】求證：【例6】設(shè)f（x）在［0，1］有二階導(dǎo)數(shù)，≤a，≤b，其中a，b均為非負(fù)常數(shù)，c是（0，1）內(nèi)任意一點(diǎn)，證明：．【分析與證明】把f（0），f（1）分別在c（0，1）展成帶拉格朗日余項(xiàng)的一階泰勒公式得（0＜ξ0＜c）（c＜ξ1＜1）兩式相減得其中（1－c）2+c2＜（1－c）+c=1．【例7】設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［－1，1］上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（－1）=0，f（1）=1，，證明：在開區(qū)間（－1，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f（3）（ξ）=3．【分析與證明】分別把f（－1）和f（1）在x=0展成泰勒公式，并由題設(shè)得，－1＜ξ1＜0，，0＜ξ2＜1，兩式相減消去其中未知的f（0）與得

若則已得證．否則，界于f（3）（ξ1）與f（3）（ξ2）之間，由連續(xù)函數(shù)的中間值定理知，ξ（ξ1，ξ2），f（3）（ξ）=3．【例8】設(shè)f（x）在區(qū)間[－a，a]（a＞0）上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f（0）=0．（1）寫出f（x）的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式；（2）證在[－a，a]上至少存在一點(diǎn)，使．【分析與證明】（1）對(duì)x[－a，a]ξ在0，x之間（2）將上式兩邊積分得由于在［－a，a］連續(xù)，從而存在，其中x1[－a，a]，其中x2[－a，a]于是若有一等號(hào)成立，則已得證，否則由連續(xù)函數(shù)中間值定理，存在[－a，a]使得故得證．第六講向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)一）一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形曲面與曲線概念及表示法二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形曲面與曲線概念及表示法二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：①向量概念與向量的各種運(yùn)算，特別是它們的計(jì)算與應(yīng)用．②求直線與平面方程的方法，判斷平面、直線間相互關(guān)系的方法．§1向量代數(shù)向量的加（減）與數(shù)乘向量．向量的數(shù)量積（又稱點(diǎn)積，內(nèi)積）：定義：兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)，且，其中θ是與的夾角．坐標(biāo)表示：若＝{a1，a2，a3}，={b1，b2，b3}，則·=a1b1+a2b2+a3b3．特征性質(zhì)：⊥·=0，即a1b1+a2b2+a3b3=0主要應(yīng)用：①判定兩向量垂直；②求兩向量、兩直線、兩平面以及直線與平面間的夾角；③建立平面的點(diǎn)法式方程．向量的向量積（又稱叉積，外積）：定義：兩向量的向量積×是一個(gè)向量，其模，其中是與的夾角，又×同時(shí)與和都垂直且、、×構(gòu)成右手系．坐標(biāo)表示：若＝{a1，a2，a3}，={b1，b2，b3}，則×=特征性質(zhì)：．主要應(yīng)用：①判定兩向量平行；②求平行四邊形面積，求點(diǎn)到直線的距離；③求兩平面交線的方向向量，化直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程．向量的混合積：定義：三向量，，的混合積［，，］是一個(gè)數(shù)，且［，，］＝（×）·．坐標(biāo)表示：若＝{a1，a2，a3}，={b1，b2，b3}，＝｛c1，c2，c3｝則［，，］=特征性質(zhì)：，，共面［，，］=0主要應(yīng)用：①判定三向量或四個(gè)點(diǎn)共面，建立平面方程；②求平行六面體的體積，求點(diǎn)到平面或兩條異面直線間的距離；③建立異面直線公垂線的方程．【例1】設(shè)（×）·＝2，則［（＋）×（＋）］·（＋）＝________．【例2】＝2，＝，·=2，則＝________．【例3】指出下列等式成立的充要條件，并證明：（1）；（2）＋與共線，其中，．【證明】（1）（＋）·（＋）＝（）·（）·=0⊥（2）＋與平行（＋）×（）＝×－×＝×與平行．§2平面與直線【例1】過直線L1：且平行于直線L2：的平面方程是________．【例2】過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程是________．【例3】設(shè)直線L為，平面為4x－2y+z－2=0，則（）．（A）L∥（B）L在上（C）L⊥（D）L與斜交【例4】已知直線Ｌ在平面：x+y+z－1=0上，并且與直線垂直相交，求L的方程．【分析與解法】1）將L0的參數(shù)方程代入平面的方程，得（t+1）+（－t+1）+t－1=0，t=－1Ｌ0與的交點(diǎn)Ｍ0（0，2，－1），它就是Ｌ與的交點(diǎn)．2）L0的方向向量＝（1，－1，1），平面的法向量＝（1，1，1），Ｌ的方向向量∥3）L即是過Ｍ0以為方向向量的直線另解若用兩面式更簡(jiǎn)單．過Ｍ0與Ｌ0垂直的平面是，即x－y+z+3＝0L為交線§3曲面方程【例1】求①直線Ｌ：在平面：x－y+2z－1＝0上的投影Ｌ0的方程．②直線Ｌ0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面方程．【分析與求解】①求Ｌ0即求過Ｌ與平面垂直的平面1與的交線．平面1由點(diǎn)及與之平行的向量與所確定．方程為即x－3y－2z+1=0L0的方程為②為求Ｌ0繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程，先把Ｌ0的交面式方程化為以y為參數(shù)的方程．按參數(shù)式表示的旋轉(zhuǎn)面方程得消去得即【評(píng)注】旋轉(zhuǎn)曲面用參數(shù)方程來描述是方便的．求一條直線Ｌ繞某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面方程，如繞y軸，先將Ｌ寫成以y為參數(shù)的方程．旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)方程消去得旋轉(zhuǎn)面方程【例2】求直線Ｌ：繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)面方程．【解】直線Ｌ的參數(shù)方程是，旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)方程是消去得旋轉(zhuǎn)面方程x2+y2=1+z2§4空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線【例1】求曲線C：在xy平面上的投影曲線的方程．【解】投影曲線的方程是第七講常微分方程一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、重點(diǎn)考核點(diǎn)①掌握方程類型的判別，根據(jù)類型選擇合適的方法求解方程，會(huì)利用初值條件定出任意常數(shù)。②掌握列方程的常用方法．根據(jù)題意，分析條件，搞清問題所涉及的物理或幾何意義，結(jié)合其他相關(guān)的知識(shí)和掌握的方法列出方程和初條件．③一、二階線性方程解的性質(zhì)．④對(duì)數(shù)三還要求差分方程，其重點(diǎn)是求解一階線性差分方程與簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用．（注意，全微分方程的求解放在多元積分學(xué)部分介紹）§1微分方程的有關(guān)基本概念微分方程：含有自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的函數(shù)方程，稱為微分方程．當(dāng)方程中的未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，稱為常微分方程．微分方程的階：出現(xiàn)在微分方程中的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)稱為微分方程的階．設(shè)x為自變量,為未知函數(shù)，則n階微分方程的一般形式為F（x，y，）=0，且在方程中一定要出現(xiàn)．微分方程的解：若把已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分代入微分方程后能使其成為恒等式，則稱該函數(shù)為這個(gè)微分方程的一個(gè)解．含有與方程階數(shù)相同個(gè)數(shù)的獨(dú)立任意常數(shù)的解，稱為微分方程的通解；不含任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解．為了確定微分方程的特解，需要給出方程中未知函數(shù)應(yīng)滿足的附加條件，這種條件稱為定解條件，通常給出的是未知函數(shù)及其若干階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的值，稱為初始條件．例如：對(duì)方程F（x，y，）=0，初始條件可設(shè)為其中x0，y0，y1，y2，…，yn－1都是給定的常數(shù)．求微分方程滿足初始條件的特解的問題稱為初值問題．§2一階微分方程的解法（1）變量可分離方程變量可分離方程的常見形式是，若，方程可改寫為，求積分即得通解．若存在y0使g（y0）=0，直接驗(yàn)算可知常值函數(shù)y=y0也是原方程的一個(gè)解．更一般的變量可分離方程是．當(dāng)時(shí)，經(jīng)分離變量，方程可改寫成，于是，積分可得通解．若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則也