微積分高等數(shù)學(xué)完整版

關(guān)于微積分高等數(shù)學(xué)完整版第一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集第二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.第三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日2.區(qū)間:是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,第四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.第五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日3.鄰域:第六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日4.常量與變量:

在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對(duì)“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.第七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日5.絕對(duì)值:運(yùn)算性質(zhì):絕對(duì)值不等式:第八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日因變量自變量數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域二、函數(shù)概念第九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.第十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．第十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日(1)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo第十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線第十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)第十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日(4)取最值函數(shù)yxoyxo第十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日在自變量的不同變化范圍中,

對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號(hào)的電壓第十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例2解故第十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:第二十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日2．函數(shù)的單調(diào)性:xyo第二十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日xyo第二十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x第二十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日奇函數(shù)yxox-x第二十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日4．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.第二十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.四、反函數(shù)第二十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日五、小結(jié)基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對(duì)值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)第二十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題第二十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題解答設(shè)則故第二十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)題第三十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第三十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第三十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第三十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)第三十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日2.指數(shù)函數(shù)第三十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日3.對(duì)數(shù)函數(shù)第三十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日4.三角函數(shù)正弦函數(shù)第三十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日余弦函數(shù)第三十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日正切函數(shù)第三十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日余切函數(shù)第四十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日正割函數(shù)第四十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日余割函數(shù)第四十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日5.反三角函數(shù)第四十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第四十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第四十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第四十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日二、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)定義:第四十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.2.初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).第四十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例1解第四十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日綜上所述第五十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)第五十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日奇函數(shù),有界函數(shù),第五十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日雙曲函數(shù)常用公式第五十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日2.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),第五十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第五十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日奇函數(shù),第五十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日四、小結(jié)函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))第五十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題第五十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題解答不能．第五十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、填空題:練習(xí)題第六十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第六十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第六十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第六十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第六十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：播放——?jiǎng)⒒找?、概念的引入第六十五頁，共二百五十九頁?022年，8月28日正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積第六十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”第六十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日二、數(shù)列的定義例如第六十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)第六十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日播放三、數(shù)列的極限第七十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日問題:當(dāng)無限增大時(shí),是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:第七十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第七十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：第七十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日幾何解釋:其中第七十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：第七十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.第七十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例3證第七十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例4證第七十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無界第七十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日定理1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.第八十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日2.唯一性定理2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.第八十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時(shí)位于長度為1的區(qū)間內(nèi).第八十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a第八十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日五.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.第八十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題證明要使只要使從而由得取當(dāng)時(shí)，必有成立第八十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題解答~（等價(jià)）證明中所采用的實(shí)際上就是不等式即證明中沒有采用“適當(dāng)放大”的值第八十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日從而時(shí)，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為第八十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)題第八十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入第八十九頁，共二百五十九頁?022年，8月28日三、數(shù)列的極限第九十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第九十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第九十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第九十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第九十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第九十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第九十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第九十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第九十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第九十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第一百頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第一百零一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、數(shù)列的極限第一百零二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百零三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日播放一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第一百零四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.第一百零五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百零六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日2.另兩種情形:第一百零七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日3.幾何解釋:第一百零八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例1證第一百零九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限第一百一十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百一十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日2.幾何解釋:注意：第一百一十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例2證例3證第一百一十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例4證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.第一百一十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例5證第一百一十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日3.單側(cè)極限:例如,第一百一十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日左極限右極限第一百一十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日左右極限存在但不相等,例6證第一百一十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性2.唯一性第一百一十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日推論3.不等式性質(zhì)定理(保序性)第一百二十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日定理(保號(hào)性)推論第一百二十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理第一百二十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日證第一百二十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.第一百二十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例7證第一百二十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日二者不相等,第一百二十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)第一百二十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日過程時(shí)刻從此時(shí)刻以后過程時(shí)刻從此時(shí)刻以后第一百二十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題第一百二十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.第一百三十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、填空題:練習(xí)題第一百三十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百三十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第一百三十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第一百三十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第一百三十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第一百三十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第一百三十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第一百三十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第一百三十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第一百四十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第一百四十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第一百四十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百四十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、無窮小1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.第一百四十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).第一百四十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性第一百四十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證第一百四十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日注意

無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.第一百四十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證第一百四十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小第一百五十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日二、無窮大絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大.第一百五十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第一百五十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日不是無窮大．無界，第一百五十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日證第一百五十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證第一百五十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.第一百五十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日四、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對(duì)于過程而言的.（1）無窮小（大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.第一百五十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題第一百五十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題解答不能保證.例有第一百五十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、填空題:練習(xí)題第一百六十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百六十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第一百六十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百六十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、極限運(yùn)算法則定理證由無窮小運(yùn)算法則,得第一百六十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百六十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2有界，第一百六十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日二、求極限方法舉例例1解第一百六十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日小結(jié):第一百六十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例2第一百六十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日解例3(消去零因子法)第一百七十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例4解(無窮小因子分出法)第一百七十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.第一百七十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例5解先變形再求極限.第一百七十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例6解第一百七十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例7解左右極限存在且相等,第一百七十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、小結(jié)1.極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2.極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.第一百七十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題

在某個(gè)過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？第一百七十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題解答沒有極限．假設(shè)有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．第一百七十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、填空題:練習(xí)題第一百七十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日二、求下列各極限:第一百八十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百八十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第一百八十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百八十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、無窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限第一百八十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日定義:第一百八十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例1解例2解第一百八十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日常用等價(jià)無窮小:用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如,第一百八十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日二、等價(jià)無窮小替換定理(等價(jià)無窮小替換定理)證第一百八十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例3解不能濫用等價(jià)無窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意第一百八十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例4解解錯(cuò)第一百九十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例5解第一百九十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、小結(jié)1.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.2.等價(jià)無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價(jià)無窮小;無窮小的階.第一百九十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎？第一百九十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題解答不能．例當(dāng)時(shí)都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當(dāng)時(shí)第一百九十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)題第一百九十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百九十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百九十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第一百九十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第一百九十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第二百頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量第二百零一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日2.連續(xù)的定義第二百零二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第二百零三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例1證由定義2知第二百零四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日3.單側(cè)連續(xù)定理第二百零五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例2解右連續(xù)但不左連續(xù),第二百零六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,第二百零七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例3證第二百零八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日二、函數(shù)的間斷點(diǎn)第二百零九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日1.跳躍間斷點(diǎn)例4解第二百一十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日2.可去間斷點(diǎn)例5第二百一十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).第二百一十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)第二百一十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日3.第二類間斷點(diǎn)例6解第二百一十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例7解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).第二百一十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★★第二百一十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).★判斷下列間斷點(diǎn)類型:第二百一十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例8解第二百一十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見下圖)第二百一十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx第二百二十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題第二百二十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日思考題解答且第二百二十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日但反之不成立.例但第二百二十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)題第二百二十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第二百二十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第二百二十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第二百二十七頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日第二百二十八頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日一、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1例如,第二百二十九頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第二百三十頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日定理3證第二百三十一頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日將上兩步合起來:第二百三十二頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例1解第二百三十三頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日例2解同理可得第二百三十四頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,第二百三十五頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★第二百三十六頁，共二百五十九頁，2022年，8月28日定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理6一切