用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式例題

用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式例題◎共Preparedon用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式例題◎共Preparedon22November2020用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列----等差數(shù)列?等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些數(shù)列要通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，之后再應(yīng)用各自的通項(xiàng)公式求解，體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用TOC\o"1-5"\h\z例1：(06年福建高考題)數(shù)列匕中,a二1,a二2a+1則a二()n1n+1nnA.2nB.2n+1C.2n—1D.2n+1解法1：a=2a+1n+1n又a1+1=2匕+1｝是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列na+1=2-2n-1=2na=2n—1,所以選Cnn解法2歸納總結(jié)：若數(shù)列匕｝滿足a=pa+q(p豐1,q為常數(shù))，則令TOC\o"1-5"\h\znn+1na+九=p(a+九)來(lái)構(gòu)造等比數(shù)列，并利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等求九的值，求通項(xiàng)公n+1n式。例2:數(shù)列｛a｝中，a=1,a=3,a=3a一2a，則a=。n12n+2n+1nn解：a—a=2(a—a)n+2n+1n+1na—a=2.?.｛a—a｝為首項(xiàng)為2公比也為2的等比數(shù)列。21nn—1a—a=2n—1,(n>1)nn—1n>1時(shí)顯然n=1時(shí)滿足上式小結(jié)：先構(gòu)造匕—a｝等比數(shù)列，再用疊加法，等比數(shù)列求和求出通項(xiàng)公式，n—1nTOC\o"1-5"\h\z例3:已知數(shù)列｛a｝中a=5,a=2,a=la+3a,(n>3)求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公n12nn-1n-2式。解：Ta二2a+3ann-1n-2又a+a=7,｛a+a｝形成首項(xiàng)為7,公比為3的等比數(shù)列，12nn-1貝9a+a=7x3n-2①nn-1又a-3a=-(a-3a),nn-1n-1n-2a-3a=-13,L-3a｝形成了一個(gè)首項(xiàng)為—13,公比為一1的等比數(shù)列21nn-1貝a-3a=(-13)?(-1)n-2②nn-1①x3+②4a=7x3n-1+13?(-1)n-1n小結(jié)：本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列，屬于構(gòu)造方面比較級(jí)，最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例4：設(shè)數(shù)列｛a｝的前項(xiàng)和為S,若2a-2”=S成立，⑴求證：I-n?2”-1TOC\o"1-5"\h\znnnnn等比數(shù)列。（2）求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式證明：⑴當(dāng)n=1,b?a-2=(b-1)aa=2111又b?a-2n=(b-1)?Snnb?a-2n+1=(b-1)?S②n+1n+1②一①b?a-b?a-2n=(b-1)?an+1nn+1a=b?a+2nn+1n當(dāng)b=2時(shí)，有a=2a+2nn+1n又a-21-1=11...[-n?2n-J為首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,n(2)a—n?2n-1=2n-1,.a=(n+1)?2n-1nn

小結(jié)：本題構(gòu)造非常特殊，要注意恰當(dāng)?shù)幕?jiǎn)和提取公因式，本題集中體現(xiàn)了構(gòu)造等比數(shù)列的價(jià)值與魅力,同時(shí)也彰顯構(gòu)造思想在高考中的地位和作用。例5:數(shù)列｛a｝滿足a=3,a=2a+3-2n+i，則a=n1n+1nnA.（3n一1）-2nB.（6n一3）-2n-iC.3（2n一1）-2n+1D.（3n一2）-2n-1解：???an解：???an+1=2an+3X2n+1a2n+1構(gòu)成了一個(gè)首項(xiàng)這3，公差為3的等差數(shù)列,3a=2x2n-1-（3n-—）=（6n一3）x2n-1所以選B。TOC\o"1-5"\h\zn2小結(jié)：構(gòu)造等比數(shù)列，注意形?，當(dāng)nTn+1時(shí)，變?yōu)榧?n2n+1例6：已知函數(shù)f（x）=（任+邁）2,（x>0），又?jǐn)?shù)列（a｝中a=2，其前n項(xiàng)和為n1S,（nGN），對(duì)所有大于1的自然數(shù)n都有S=f（S），求數(shù)列L｝的通項(xiàng)公nnn一1n式。解：?f(X)=(云+迂)2,S=f(S)=(亍+迂)2nn-1“n-1?\.;S=、a=匚f1—-堤首項(xiàng)為迂，公差為的等差數(shù)列。nS=七：2+(n~!)y2=\.：2n,?S=2n2o'nnn>2時(shí)，a=S一S=2n2一2(n一1)2=4n一2nnn一1且當(dāng)n=1時(shí)，a=2=4x1-2符合條件1.通項(xiàng)公式為a=4n一2n例7：（2006山東高考題）=2，141681915=2知a=2，點(diǎn)（a,a）在函數(shù)f（x）二x2+x的圖象上，其中n=1,2,3,求數(shù)1nn+1列t｝的通項(xiàng)公式。n解：???f（x）二x2+2x又/.（a,a）在函數(shù)圖象上nn+1｛g（a+1）｝是首項(xiàng)為lg3公比為2的等比數(shù)列n小結(jié)：前一個(gè)題構(gòu)造出\；廠為等差數(shù)列，并且利用通項(xiàng)與和的關(guān)系來(lái)確定數(shù)列的乍n通項(xiàng)公式，后一個(gè)題構(gòu)造￡g（a+1）｝為等比數(shù)列,再利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求解。數(shù)列與函n數(shù)的綜合運(yùn)用是當(dāng)今高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問(wèn)題時(shí)應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識(shí)，以它的概念與性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁，揭示它們之間內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問(wèn)題。例8:（2007天津高考題）已知數(shù)列匕｝滿足a二2,a二九a+九n+1+（2-九）?2”,n1n+1n（neN*）其中九〉0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法指導(dǎo)：將已知條件中的遞推關(guān)系變形，應(yīng)用轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列形式，從而為求匕｝的通項(xiàng)公式提供方便，一切問(wèn)題可迎刃而解。n解：a=ka+九n+1+（2一九解：a=ka+九n+1+（2一九）?2n,（neN*,九〉0）n+1nn其首項(xiàng)為0，公差為1o二1,v弋一久例9:數(shù)列｝中，若an+11+3a，則解：a11+3a1?/a_n——,/._n_+3n+11+3aaaann+1nn變式題型：數(shù)列匕｝中，a_2,a_—，求a_TOC\o"1-5"\h\zn1n+11+3ann2a11+3a311解：???a_—_n_—+n+11+3aa2a22ann+1nn.令一-—+九_(tái)丄(丿一+九),貝寸——_—,.X_—3a2a22n+1n.\一-3\是首項(xiàng)為-卞公比為■的等比數(shù)列[aJ22n小結(jié)「：a_f(a)且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)-造出倒數(shù)加