數(shù)學(xué)解題的策略

數(shù)學(xué)解題的策略南京師范大學(xué)耿長松從高考試題談——認識高考命題的基本思想江蘇省高考命題基本成熟江蘇省自主命題基本成熟

第一年——平穩(wěn)過渡，第二年——預(yù)期準確難度適中均分難度低:中:高

95.470.634.3:3.1:2.604年——05年——82.920.553:4.3:2.7對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提出三個不同層次的要求全體學(xué)生，大多數(shù)學(xué)生，少數(shù)學(xué)生受到考生,教師,家長及全社會肯定和歡迎不同層次學(xué)生都能獲得與其相稱的成績堅持考查基礎(chǔ)知識和重點內(nèi)容試題以課本例習(xí)題為主要來源源于課本而不高于課本,源于課本而略高于課本,源于課本之外的不常見新穎題堅持考查基礎(chǔ)知識和重點內(nèi)容

小題重在對基礎(chǔ)知識的直接運用，大題重在對重點內(nèi)容的思維探索能力立意,強調(diào)創(chuàng)新意識

小題重在區(qū)分思維層次,大題重在解決新問題淡化在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計命題

對綜合性有一定要求但不高,設(shè)置小題,梯度合理,大多數(shù)題起點低、思路寬、方法多,利于施展才華試題不過分追求新穎

新穎而不過分,難度適中,表面容易,得滿分也非易事.

具體數(shù)據(jù)統(tǒng)計選擇題(5)三角(9)解幾(11)解幾(12)排列組合總計均分2.853.463.112.3046.02難度

0.570.690.620.460.77填空題(13)(14)(15)(16)(17)(18)總計均分2.332.582.652.262.610.8713.30難度0.580.650.660.570.650.220.55知識點邏輯切線定義域估值解析式向量解答題(19)(20)(21)(22)(23)總計均分5.348.015.753.321.1933.26難度0.450.670.410.240.090.45知識點解幾概率立幾最值數(shù)列“小題”對能力的考查從不同思維層次上進行考查——解題過程蘊涵不同的思維層次

以簡縮思維解題直接抓住本質(zhì)甚至于無須動筆大大節(jié)省時間

模仿訓(xùn)練的套路機械作答花費時間形成簡縮思維的最有效途徑

勤于反思，善于概括，獲得“生成性知識”——自己的知識

大題對能力的考查大題——解決“新問題”的能力“新問題”：情景新題型新設(shè)問新方法新

解決新問題——“從無到有”——探索能力和創(chuàng)造意識

怎樣在陌生的情境下,從題意的挖掘開始,一步一步找到解決問題的途徑,是從不知到知,從不懂到懂,從不會到會,從不明白到明白的“從無到有”的實現(xiàn)過程,這就是探索能力.不是說，只能按照熟悉的題型,習(xí)慣的方法,見過的面孔去解決問題,自己完全不知道在陌生的情境下,怎樣從條件出發(fā)找到問題的解決.數(shù)學(xué)解題的基本策略策略(1):怎么著手解題1)它是一個什么問題？它要求(證)的是什么？

——是什么范疇的問題？——“盯著目標”——求(證)什么？2)現(xiàn)有哪些材料——題設(shè)中的條件3)有哪些工具——已經(jīng)學(xué)過的相關(guān)知識和方法4)還缺少什么材料？

能否從現(xiàn)有的材料和工具中找到它們？5)如何利用這些材料和工具？6)是否還有條件沒有利用？如何利用？

策略(2):運用“提示語”理解題意運用提示語理解題意——提高探索能力的要訣

它是什么？如何表示？它有什么性質(zhì)？這些性質(zhì)如何表示？它們之間有什么關(guān)系?這些關(guān)系如何表示?它是否與其它問題,方法,信息相聯(lián)系?理解題意——解題最重要的環(huán)節(jié)

波利亞：理解了題意，相當(dāng)于解決了問題的一半.理解了題意，往往能直接找到問題的解法“它”——名詞、句子、概念、關(guān)系、符號、表達式、上下標、圖形、圖中的點線面，等還可以如何表示6.拋拋物物線線y=4x2上的的一一點點M到焦焦點點的的距距離離為為1,則則點點M的縱坐坐標標是()(A)(B)(C)(D)0y0=1-M與F距離離為為1,準線線““是什什么么”———畫圖圖———MF=MG=1,(B)———走走彎彎路路常規(guī)規(guī)方方法法,兩點點距距離離拋物物線線““是什什么么”————定定義義.策略略(3):畫畫一一張張圖圖縱坐坐標標是是什什么么?16.若若3a=0.618,a∈[k,k+1],k∈Z.則k=.3-1=0.33a∈[-1,0]k=-1.☆3a函數(shù)數(shù)圖象象y=3xa∈[k,k+1]是什什么么?3a=0.618是什什么么?是什什么么?3a———a是什什么么?問題題數(shù)學(xué)學(xué)符符號號怎么么表表示示？？還可可以以怎么么表表示示？？———用“函函數(shù)數(shù)思思想想””＜3a=0.618＜30=1抽象象符符號號具具體體化化0.618→→3a→a3-1＜3a＜30-1＜＜a＜0觀察察f(x)=(x∈R)，，區(qū)區(qū)間間M=[a,b](a<b)，，集集合合N={y︱y=f(x)，，x∈M}，，使使M=N成立立的的實實數(shù)數(shù)對對(a,b)有().(A)0個個(B)1個個(C)2個個(D)無無數(shù)數(shù)個個1.它它是是什什么么?————每每個個對對象象的的意意義義(數(shù)學(xué)表示?)2.它有何性性質(zhì)?——每每個對象的性性質(zhì)(數(shù)學(xué)表示?)3.它們有什什么關(guān)系?(數(shù)學(xué)表示?)它有什么性質(zhì)質(zhì)?它們有有什么關(guān)系?它是什么?———M,N,(a,b)…每個對象的意意義是什么？？M與N不可能相相等.選A.③[a,b]數(shù)集;(a,b)數(shù)對①M,N都是數(shù)集,表表示不同.理解題意理解什么②MM的象集合f(x)N—①f(x)與對應(yīng)x反號(“反號性”)f(x):(+)(-),或(-)(+)f(x):M(跨原點區(qū)間)→N,縮小②|f(x)|＜1|f(x)|＜|x|(“收縮性”)④問題是什么么？策略(5)：生成知識遷遷移方法簡簡縮思維雖然,通法法是基本的,但隨著解解題的深入,不斷形成新的的概括,從從而不斷生生成新知識,新新方法,新新認識,新新體驗,思思維層次也也應(yīng)隨之提高高.如果知識和方方法不具有生成力,遷遷移力,始終停留在最最初的層面,那么思維層次就只能停留在較低的的水平上,達達不到提高能能力的作用立幾題:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,O是上底面中心心,P在CC1上,CC1=4CP.(2)點O在面APD1上的射影是H,求證HD1⊥AP.H是點O的射影D1H是D1O的射影.D1O⊥面AC1D1O⊥APO,H是什么?射影有什么性性質(zhì)？三垂線定理D1H,D1O,AP有什么關(guān)系?D1H⊥AP(2)Q是已知橢圓上一點,過過Q點和焦點F的直線l交y軸于點M,,求直線l的斜率M(0,km),圖形語言文字語言有|x|=2|-m-x|,得x=±2(m+x).x1=-2my1=-km將(x1,y1),(x2,y2)代入已知橢圓方程得k=0,畫圖(0,km)(x,y),(-m,0)解析幾何語言言解此方程得圖形語言符號語言設(shè)Q(x,y),向量語言焦點F(-m,0),直線l:y=k(x+m)還可怎么表示示是什么?怎么表示?幾何對象性質(zhì)質(zhì)表示22．已知a∈R，函數(shù)f(x)=x2|x-a|

(ⅡⅡ)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值.首先脫去絕對值號,a<11≤a≤2a>2(分類特點:按a與x所在區(qū)間分類關(guān)系)a<xa在[1,2]左a=xa在[1,2]內(nèi)a>x→(≥0)怎么脫?畫圖a在[1,2]右策略(9)：解題回顧解題回顧是數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重重要的環(huán)節(jié)新問題的解決決往往在“一一念之間””回顧思考的過程問題的理解涉及的知識聯(lián)聯(lián)系的問問題數(shù)學(xué)學(xué)的思想方方法與與策略簡簡縮與優(yōu)化元元認知體體驗策略(10)：提高悟性是根根本①學(xué)之道在于““悟”,教教之道在于““度”達到熟練的程程度需要也正正常.但““熟能生巧””多指操作而而言,熟練只能培養(yǎng)養(yǎng)解決已知問題題的能力,而不是解決新問題能能力.培養(yǎng)解決新問題能力,最好好的辦法就是是自己感悟.②要獨立地學(xué)學(xué)習(xí)一點新東東西獨立地去讀點點書,獨立立做題和獨獨立地研究所做的題題,要學(xué)會自己思思考和感悟.③“師傅領(lǐng)領(lǐng)進門，修行行在個人”教師不能包辦辦代替，教師師只能引導(dǎo)，，領(lǐng)悟必須也只只能靠學(xué)生自自己祝同學(xué)學(xué)們

在學(xué)習(xí)習(xí)中取得更大大進步

在高高考中獲得滿滿意成績已知i,m,n是正整數(shù),且1＜i≤m＜n.求證：niAim＜miAin它是什么?———抽象符符號具體化，m,n,i用具體數(shù)代換換。niAim<miAin←→………….策略(4)抽抽象符號具體體化(i項)(i項)03’(5)O是定點,A,B,C是不共線三點點,點P滿足,則P點軌跡通過過△ABC的(A)外心(B)內(nèi)心(C)重重心(D)垂心心(0.2)這涉及對向量夾角公公式的理解①夾角公式應(yīng)該被看成單位向量的乘乘積不清楚是是單位向量,①③③由此遷移“×”變變?yōu)椤埃保?，且是單位向量運算②正是單位向量乘積，結(jié)果才與向量長度無無關(guān)②☆①②③都是一種“生成性知識識”策略(6):深入研究和把把握空間基本本圖形研究特殊點性性質(zhì)及其構(gòu)成成的線和面.策略(8):熟練掌握曲線或圖象草圖畫法定位,定性,定形,定量量,四者具其其二.達到自自動化總結(jié),概括自自己畫圖的方方法和規(guī)律——生成性知識識數(shù)學(xué)的語語言按性質(zhì)分類文字語言符號語言圖形語言數(shù)表語言邏輯語言按學(xué)科分類幾何語言代數(shù)語言三角語言向量語言解幾語言策略(7)：：不斷進行數(shù)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換換通過“語義的轉(zhuǎn)換”(語文的和數(shù)學(xué)的閱讀能力)從題意中提取信息——概念,對對象,關(guān)系系的信息學(xué)習(xí)策略(7):利利用生活的常常識棱柱底面是菱菱形,當(dāng)值值為為多少時,使使A1C⊥面C1BD學(xué)習(xí)策略(8)：逆向思考剪拼問題(正三角形剪拼拼成正三棱錐錐、正三棱柱柱)數(shù)學(xué)的悟性和和靈性很難通過應(yīng)試試復(fù)習(xí)做準備備善于多向思考考比較機智的的人卻能做出出來逆向思考，很很容易解決學(xué)數(shù)學(xué),學(xué)解解題——學(xué)習(xí)思考的策策略,思路路的尋找不能被動記憶憶解法,套套用解法考察2＜a＜3時,f(x)單調(diào)性令f’(x)=0,解得x=0,∈[1,2](f(x)極值點).x=[1,2]分為1＜x＜,f’(x)=＞0,fmin=f(1)=1-a(左端點)＜x＜2,f’(x)=＜0,fmin=f(2)=4a-8(右端點)先何時相等?再對不等等比較大小.f(1)=f(2),有有a-1=4a-8,得a=,2＜a≤,f(1)和f(2)哪個更更小?f(1)≥f(2),取取右;＜a≤2,f(2)≥f(1),取取左;結(jié)論1-a(a＜1)0(1≤a≤2)a-1(1≤a≤2)4a-8(2＜a＜)10.若sin(-α)=，，則cos(+2α)=(A)(A)-(B)-(C)(D)cos(+2α)sin(-α)=-cos(π-+2α)]=-cos[π-(-2α)]=cos[2(-α)]=2×()2-1=-。選選A.★=cos[-(-α)]=cos(+α)=,cos(+2α)=cos[2(+α)]=2cos2(+α)-1=2×()2-1=-。選A.(★互余)’01(19)拋物線y2=2px(p>0)焦焦點為F,一直線過焦點F,交拋物線于A,B.BC∥x軸,且點點C在拋物線準線線上。證明直直線AC經(jīng)過原點O。焦點坐標F(,0)(2分)AB方程y=k(x-)(2分)用代數(shù)符號表表示幾何對象———點,直線,幾何性質(zhì)———平行,垂垂直,斜率率,基本量11.點P(-3,1)在橢圓圓=1(a>b>0)的的左準線線上.過點P且方向為為=(2,-5)的的光線線,經(jīng)經(jīng)直線y=-2反射后通過過橢圓圓的左焦點點,則這個個橢圓圓的離心率率是(A)(B)(C)(D)P作AB=e==經(jīng)y=-2反射交x軸點C,OC=1,c=1=3,選A.BD=DC=AC=2,畫圖DF平分BC橢圓,P左準線線上,光線方方向直線y=-2,反反射射,離離心心率(求)是什么平行線線有什么么性質(zhì)質(zhì)左準線線方程程x=-3a=.交x軸B；設(shè)數(shù)列列{an}的前n項和為為Sn,已已知a1=1,a2=6,a3=