第14講根的判別式與韋達(dá)定理

第14講根的判別式與韋達(dá)定理模塊一一元二次方程根的判別式知識(shí)導(dǎo)航式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)根的判別式，通常用希臘字母，△”來表示，即△=b2—4ac.當(dāng)^>0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a/0)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)^=0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a/0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)^<0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a/0)無實(shí)數(shù)根.計(jì)算判別式的值，可以判斷一元二次方程根的情況；反之，若一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則△>0;若一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則△=0；若一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則△<0.注意：當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，不能說方程只有一個(gè)根當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根(一元二次方程有實(shí)根).例1已知關(guān)于x的一元二次方程x2—2x+m=0有解，求m的范圍.己知關(guān)于x的一元二次方程x2—Ex—m=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.求證：關(guān)于x的一元二次方程ax2—(3a+Z)x+2(a+Z)=0(a/0)總有實(shí)數(shù)根已知關(guān)于x的方程ax2—(3a+l)x+2(a+l)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍(2016武漢元月調(diào)考第9題)關(guān)于x的方程(m—2)x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.拓展己知關(guān)于x的方程(〃一1)x2+mx+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試說明關(guān)于j的方程m2j2—2mj—m2—2n2+3=0的根的情況【總結(jié)】1、在處理【例1】和【練1】這類問題時(shí)，一定要注意先判斷方程類型，若方程類型不確定，則需要分類討論2、關(guān)于方程類型，題目在設(shè)問方面會(huì)有下列說法：“關(guān)于x的一元二次方程有解”則方程一定為一元二次方程.“關(guān)于x的方程有兩實(shí)根”則方程一定為一元二次方程.“關(guān)于x的方程有解”則方程類型不確定，需要分類討論例2己知a、b、c是三角形三邊，求證：關(guān)于x的方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0無實(shí)根.己知：a、b、c分別是△ABC的三邊長，求證：關(guān)于x的方程b2x2+(b2+c2—a2)x+c2=0沒有實(shí)數(shù)根.練習(xí)己知△ABC三邊a，b，c，關(guān)于x的方程(a+c)x2+2bx—a+c=0，x2+2ax+b2=0均有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷^ABC的形狀.模塊二一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知識(shí)導(dǎo)航：由因式分解法可知，方程(X一呵)(x—x2)=0(X1,x2為已知數(shù))的兩根為X1和x2，將方程化為X2+px+q=0的形式，即X2一(x1+x2)x+X]X2=0,則二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為p=—(x1+x2),q=X1X2.于是，上述方程兩個(gè)根的和、積與系數(shù)的關(guān)系分別有如下關(guān)系：X]+^2=—p，1產(chǎn)2=q對于一般地一元二次方程ax2+bx+c=0，二次項(xiàng)系數(shù)a未必是1.根據(jù)求根公式，-b+v'-b+v'b2一4acX]=12a-b-\b2一4acX2=2a由此可知，Ibcx.+x2=——，X.X2=—aa這表明任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.例3⑴若X1，X2是一元二次方程X2—5x+6=0的兩個(gè)根，則x1+x2的值是―一元二次方程X2—4x—c=0的一個(gè)根是3，則另一個(gè)根是，c=若方程X2—3x一1=0的兩根為X]、x2，則的值為X1x2⑷關(guān)于X的一元二次方程X2一mx+2m—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1>x2，且x12+x22=7，貝MX]—X2)2的值是練習(xí)⑴方程X2—2X—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為X]、X2，(x1—Z)(X2—1)=cz，設(shè)X]、X2是方程2X2—6X+l=o的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(X]—2)(X2一土)的值為TOC\o"1-5"\h\zX2X1【總結(jié)】1、用韋達(dá)定理，常見的恒等變形有：1,1X+X,,-+一=2,X]2+x22=(X]+x2)2—2X]X2，(X]—X2)2=(X]+x2)2—4X]X2\o"CurrentDocument"X1X2X1X2x—x=、:(X+X)2—4xX1212，12X]3+x?3=(X]+X2)(X]2+X22—X1X2)=(X]+X2K—aX^IX]+x?)2、韋達(dá)定理只有在兩根存在的情況下才成立，故使用韋達(dá)定理的前提條件是b2—4ac>0例4已知X]，X2是方程X2—3x+l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則X]2+x22=(X1—2)(X(X1—2)(X2—2)=；X]2+X],X2+x?2=X1—X2=,X]2—X22=11,——,,X1___,X2+土=X1X2XXL——X1練習(xí)已知X]，x2是方程2x2一3x—5=0的兩個(gè)根，求下列代數(shù)式的值:x,xXx2+x22=，—+—=X]x2Xx2+x22=X，—X?2=xx2例5已知關(guān)于x的方程X2—2(k—l)x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X],x2.求k的取值范圍.若xl+x2=1—x]x2，求k的值.練習(xí)關(guān)于x的方程x2+2(a—l)x+a2—7a—4=0的兩根為x].x2，且x]x2—3xl—3x2+2=0,求a的值例6關(guān)于一兀二次方程x2+2x+k+l=0的實(shí)數(shù)解是乂]和x2.求k的取值范圍；如果x1+x2—x1x2<—1且k為整數(shù)，求k的值.練習(xí)己知關(guān)于x的方程x2+2(m+2)x+m2—5=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)根的平方和比這兩個(gè)根的積大16,求m的值.例7己知△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2—(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長是5.k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長.練習(xí)在等腰△ABC中，/A、/B、/C的對邊分別為a、b、c，已知a=3，b和c是關(guān)于x的方程x2+mx+2—1m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長.2課后作業(yè)A基礎(chǔ)鞏固已知x=l是方程x2+bx—2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是()TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2C.—2D.—1已知一元二次方程x2—4x+3=0兩根為x],x2,則x1,x2=()A.4B.3C.—4D,—3己知關(guān)于x的一元二次方程(1—2k)x2—2、Ex—1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是關(guān)于x的方程kx+(l—k)x—1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則k的取值范圍是.關(guān)于x的方程kx2+(l—k)x—l=0有實(shí)根，則k的取值范圍是求證：不論m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程x2—2mx—2m—4=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)根.如果一直角三角形的三邊長分別為a，b，c，b為斜邊，求證：關(guān)于x的方程a(x2—1)—2cx+b(x2+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根己知x1，x2是方程x2—5x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x12+x22=

(xx—2)(x2—2)=；(xx—2)(x2—2)=；X]2+x「X2+^22=X]—了2=,"—易2=X,X

___，—+—=X]X2XX?———=;X]X2(2015年漢陽區(qū)九上期中)己知關(guān)于x的方程X2—2(k—l)X+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X],x2.求k的取值范圍；若x]+x2=1—x]x2，求k的值.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2—2x+1=0.若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的范圍；若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x,x，且xx一X一X=1,求m的值1212122111.己知，關(guān)于x的方程X2一kx+k—1=0求證：無論k取何值，方程總有兩實(shí)數(shù)根若等腰△ABC的一邊長為2,另兩邊為這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長數(shù)學(xué)故事“石頭剪刀布”或能揭示演化策略“石頭剪刀布”是游戲中解決爭端的常用方式，每人各出剪刀、石頭、布中的一種，通過石頭砸剪刀、剪刀剪布、布包住石頭的規(guī)則，可以在兩人甚至多人中決出勝負(fù).不過，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，大自然也用自己的方式玩著類似'石頭剪刀布”這樣的游戲，數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家利用這種方式研究了從人類社會(huì)到培養(yǎng)皿中的細(xì)菌的各種現(xiàn)象.如今，研究者又發(fā)現(xiàn)，當(dāng)玩家不斷改變策略時(shí)，三種武器的使用頻率會(huì)輪流上升與下降，呈現(xiàn)出一種固定的模式.這一發(fā)現(xiàn)或許可以幫助我們理解生物在生存之爭中是如何維持競爭策略的.一旦應(yīng)用到生物中來，石頭剪刀布就不僅僅是兩個(gè)小孩子的游戲，而變成多玩家之間的復(fù)雜關(guān)系了.比方說，某些蜥蜴用來贏得伴侶的策略就有三種：侵略、合作與欺騙，這三種策略就和石頭剪刀布一樣，有著環(huán)狀的勝負(fù)關(guān)系(侵略戰(zhàn)勝合作，欺騙戰(zhàn)勝侵略，合作戰(zhàn)勝欺騙)，而對于蜥蜴來說，成功繁衍后代就意味著贏得游戲，在生物的“石頭剪刀布”游戲中，通常是大的種群中隨機(jī)產(chǎn)生一對玩家開始比拼，每個(gè)玩家通常都保持一種固定的策略一一即對每一個(gè)對手都出同樣的姿勢(石頭、剪刀或者布).每次對決之后，贏家就增加一個(gè)(對應(yīng)著繁衍后代)，使用同樣的策略，而輸家則消失.對這種模型進(jìn)行仔細(xì)的數(shù)學(xué)研究以后發(fā)現(xiàn)，出石頭、剪刀和布的玩家會(huì)隨著時(shí)間波動(dòng).隨著初始情況中每種策略所占比例不同，整個(gè)群體的情況會(huì)分別演變成不同的長期行為，比如用石頭、剪刀、布的個(gè)體各占三分之一，或者一種策略大幅減少另兩種上升，過一段時(shí)間又反過來，呈現(xiàn)劇烈的周期波動(dòng).受到計(jì)算機(jī)模擬的啟發(fā)，康奈爾大學(xué)的兩位數(shù)學(xué)家StevenStrogatz和DanielleToupo決定研究一下如果玩家中途改變策略會(huì)發(fā)生什么.“我覺得這個(gè)想法很吸引人，就想找到一種最簡潔的數(shù)學(xué)模型來描述它，Strogatz說.他們試圖回到最基礎(chǔ)的原理，尋找純粹的公式，而非復(fù)雜的計(jì)算機(jī)模擬.Strogatz和Toupo修正了“石頭剪刀布”方程，允許一些“突變子女”存在，它們所采用的策略和親代不同.此前的研究者也研究了突變，但一直假設(shè)突變是對稱的，即每種策略變成其他策略的幾率相同，但Strogatz和Toupo考慮到了其他的模式，比如出石頭的玩家可能會(huì)生下出布的子女，但反過來則不盡然.每種突變最終都會(huì)導(dǎo)致一種循環(huán)，即出石頭、剪刀和布的玩家數(shù)都各自不停地上下波動(dòng)，循環(huán)不息.而更令人驚訝的是，他們還證明哪怕突變率極低甚至接近于0,整個(gè)游戲還是會(huì)進(jìn)入這種循環(huán)模式，論文發(fā)表于本月的《物理評(píng)論E》(PhysicalReviewE)中，只是增加了一點(diǎn)點(diǎn)突變的因素，游戲結(jié)果就不再是三種各占三分之一的穩(wěn)定態(tài)或是劇烈波動(dòng)態(tài)了，“我認(rèn)為該研究最吸引入的一點(diǎn)是，這種‘游戲’在自然界中真的存在，”加州大學(xué)圣克魯茲分校的生態(tài)學(xué)家BarrySinervo說，他沒有參與這項(xiàng)工作，“哪怕你不是數(shù)學(xué)家，也會(huì)欣賞這一研究.”Sinervo-直在研究加州一種側(cè)斑鬣蜥，該蜥蜴的種群行為也會(huì)進(jìn)入像，石頭剪刀布”一樣的振蕩狀態(tài).Sinervo和同事通過野外的長期觀察發(fā)現(xiàn)，采取侵略、合