第二節(jié) 收斂數(shù)列的性質(zhì)

§2收斂數(shù)列的性質(zhì)（3學(xué)時(shí)）教學(xué)目的與要求理解掌握收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號(hào)性、保不等式性，并會(huì)利用這些性質(zhì)證明相關(guān)命題.掌握數(shù)列極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理，會(huì)利用其求數(shù)列極限.掌握數(shù)列極限迫斂性定理、數(shù)列與其子列的收斂關(guān)系，會(huì)利用其討論數(shù)列的收斂性.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：收斂數(shù)列的性質(zhì).難點(diǎn)：收斂數(shù)列的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.講授內(nèi)容在前面，我已經(jīng)講過極限理論是數(shù)學(xué)分析的核心，貫穿在數(shù)學(xué)分析的全部內(nèi)容中。后面要學(xué)的函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，積分，廣義積分，級(jí)數(shù)等都和極限密不可分，整個(gè)數(shù)學(xué)分析可以說就是研究各種形式的極限的。希望全體同學(xué)對(duì)這一部分知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)引起高度重視。在上一次課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的定義。請(qǐng)大家一起來回顧一下（敘述教材定義）Vn>N，使得a一a<s.lima=a0Vs>0Vn>N，使得a一a<s.nsn在這個(gè)定義中，同學(xué)們要注意以下問題：一、其一定義中的s是誤差error的第一個(gè)字母的大寫，是用來衡量氣逼近】的程度的，它具有二重性，即可固定，又可以變化。當(dāng)s固定時(shí)，逼近的程度也就確定了，當(dāng)s不定時(shí)，任意小時(shí)，逼近的無限性也就刻劃出來了。s愈小，表示an與a接近得愈好，它除限于正數(shù)外，不受任何限制，正說明a”與a能接近到任何程度。另外，由于s是任何正數(shù)，因此定義中不等式右邊可用2s，3s，s2,■足等代替其二定義中的N只要求存在，不要求唯一，一旦合乎定義中的N找到了，用比它大的任何自然數(shù)來代替均可，即N具有可大性。N只管后不管前，即大于N的自然數(shù)n要無一例外地滿足不等式|a-a<s，或者說從第N+1項(xiàng)起a都要進(jìn)入a的s鄰域u（a,nn￡）中，至于小于N的自然數(shù)，則無此要求，這即是說饑2最多只有N項(xiàng)在u（a,￡）之n外。其三s，N的關(guān)系：s是預(yù)先給定的具有獨(dú)立性，N存在于后，一般依s而定，具有依賴性（一般N隨s變小而變大）。常記為N（s），強(qiáng)調(diào)N依賴于s。由于s的既固定又變化，N的存在與管后，就使得極限定義中看似靜態(tài)的，定量的一些不等式，能夠表達(dá)動(dòng)態(tài)的，定性的兩個(gè)無限及其關(guān)系，從而使極限概念得以精確化。如何給出數(shù)列｛a｝不收斂于a的正面陳述:n3n>N，使得a-a>s.一n0lima。a033n>N，使得a-a>s.一n0nT3n00在第一節(jié)里同學(xué)們除了要認(rèn)真掌握理解數(shù)列極限的定義外，還要掌握利用數(shù)列極限的分析定義去證明（或驗(yàn)證）某數(shù)列｛an｝收斂于a。即對(duì)每一個(gè)給定的正數(shù)s，證明存在一個(gè)正整數(shù)N，使它滿足下列要求："當(dāng)n>N時(shí)，不等式|a〃—a|<s成立。這是基本功。在由不等式|an-a\<8求N時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們注意采用“適當(dāng)放大法”。在學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的基本概念后，我們將要對(duì)收斂數(shù)列作進(jìn)一步的研究。這就是今天要學(xué)習(xí)的新課：介紹§2收斂數(shù)列的性質(zhì)在研究比較復(fù)雜的數(shù)列極限問題時(shí)，通常先考慮該數(shù)列是否有極限（極限的存在性問題）；若有極限，再考慮如何計(jì)算此極限（極限值的計(jì)算問題）。這是極限理論的兩個(gè)基本問題。本節(jié)我們將介紹收斂數(shù)列的一些基本性質(zhì)，主要是唯一性，有界性，保號(hào)性，保不等式性，迫斂性，四則運(yùn)算法則等。這些性質(zhì)對(duì)我們研究數(shù)列極限的存在性及極限的計(jì)算是有非常大的幫助。希望同學(xué)們要認(rèn)真掌握這些性質(zhì)，不僅要記住結(jié)論，學(xué)會(huì)使用，還應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)它們的證明方法。因?yàn)檫@些證明的基本方法在數(shù)學(xué)分析中是非常有用的。學(xué)會(huì)了這些方法才能說真正懂得了數(shù)列收斂的定義和實(shí)質(zhì)。另外，學(xué)習(xí)數(shù)列極限的這些性質(zhì)對(duì)我們?cè)诘谌聦W(xué)習(xí)函數(shù)極限的性質(zhì)時(shí)是有直接幫助的。下面具體介紹。定理2.1（唯一性）若數(shù)列｛氣｝收斂，則它只有一個(gè)極限.證法一設(shè)a和b為｛x｝的兩個(gè)極限，下證a=b。若a。b，不妨設(shè)a>b，b—a取8^―>0（為什么？使a的8鄰域和b的8鄰域不相交），由a是｛a｝的極限定義知，02003正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有|an即有，an由b是｛a｝的極限定義知n|an即有，anb—3正整數(shù)N2<8b+ab—當(dāng)n>N2時(shí),有(2)令N=max｛N1,N2｝，當(dāng)n>N時(shí)，（1）,（2）同時(shí)成立。矛盾。故a=b。證法二設(shè)a和b為｛aj的兩個(gè)極限，下證a=b。由極限的定義，對(duì)V8>0，必分別3正整數(shù)N「N2，當(dāng)n>%時(shí)，有l(wèi)an-a<2（3）8當(dāng)n>%時(shí)，有|a〃—b|<方（4）令N=max｛N「N2｝，當(dāng)n>N時(shí)，（3），（4）同時(shí)成立?，F(xiàn)考慮:|a—b=|(a—b)—(a—a)|V|a—b+|由于a,b均為常數(shù)二a=b,所以｛a〃｝的極限只能有一個(gè)。例1證明數(shù)列｛^｝，。〃=（一1）〃是發(fā)散的。［注：在第一節(jié)已經(jīng)證明過，現(xiàn)給出另一證明方法］證（反證法）假設(shè)｛a｝收斂，由唯一性，設(shè)lima=a，按定義，對(duì)8=：,3正整數(shù)sn2N，當(dāng)n>N時(shí)，|a—a|<8=方，考慮|a—a|V|a—a|+|a—a]<_+_=1n+1nn+1n122

而an，a”】總是一個(gè)是“1”，一個(gè)是“-1”，所以|a〃+1—a\=2，矛盾。所以數(shù)列｛an｝，七=（—1）n發(fā)散。在前面，我們介紹亍數(shù)列有界的概念，請(qǐng)同學(xué)們回顧。下面討論數(shù)列收斂與有界的關(guān)系。再回顧lima〃=a的幾何意義。任給8>0,在U（a,8）內(nèi)含數(shù)列的幾乎所有項(xiàng)，在nsC）U（a,8）之外數(shù)列l(wèi)aj中的項(xiàng)至多只有有限個(gè)?？刹碌檬諗繑?shù)列必為有界數(shù)列，下面給出n定理2.2（有界性）若數(shù)列｛a〃｝收斂，則｛a〃｝為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n有〃〃IaIVM.證設(shè)lima=a，取8=1，存在正整數(shù)N，對(duì)一切n>N有nsnIa-aI<1,，而|a-aV|a-aI，從而a<a+1.記M=max｛IaI,IaI,IaI,|a+1）則對(duì)一切正整數(shù)n都有a|<M.數(shù)列收斂是數(shù)列有界的充分條件，數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件。數(shù)列有界是否也是數(shù)列收斂的充分條件呢？否反例如例1。有界性只是數(shù)列收斂的必要條件而非充分條件。由定理2.2得：若數(shù)列｛a〃）無界，則數(shù)列｛a〃）一定發(fā)散。這是判定數(shù)列發(fā)散的一個(gè)方法之一。請(qǐng)大家注意。例如｛（—1）nn2）發(fā)散?！ㄋ伎迹喝魯?shù)列｛a）收斂，則在此數(shù)列中一定有最大數(shù)或最小數(shù)，但不一定同時(shí)有最大n數(shù)和最小數(shù)。證明方法與收斂數(shù)列的有界性定理的證明方法幾乎是相同的。證設(shè)lima〃=a。若此數(shù)列的每一項(xiàng)都等于a，則已不必討論。否則，設(shè)數(shù)列的某ns一項(xiàng)a豐a，若有a>a，則取8=a—a，由lima=a知，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)mmmnsnn>N時(shí)成立a—a|<8，即n>N時(shí)，a<a。由于有8=a—a，顯然mVN。令M=max｛a『a2,,a^）,則M是數(shù)列｛a〃）的最大數(shù)。類似地可以證明，在a”<a時(shí)，數(shù)列有最小數(shù)。2村nm1、不同時(shí)存在最大數(shù)和最小數(shù)的收斂數(shù)列的例子是很多的。例如數(shù)列｛—）收斂于0，它有n

最大數(shù)，但沒有最小數(shù)。定理2.3(保號(hào)性)若lim七=a>0(或<0)，則對(duì)任何are(0,a)(或nsa'g(a,0))，存在正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有a>a'(或a<a').證設(shè)a>0.取￡=a-a'(>0)，則存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有a>a一8=a'，這就證得結(jié)果.對(duì)于avb的情形，也可類似地證明.注在應(yīng)用保號(hào)性時(shí)，經(jīng)常取a'=?.A思考：若lima=a二0，則存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有ns定理2.4(保不等式性)設(shè)=｝與b｝均為收斂數(shù)列.若存在正整數(shù)N，使得當(dāng)nnn>N時(shí)，有a<b，則lima<limb.0nnnnnsnT3證法一設(shè)lima=a,limb=b。nT3nnsn(5)任給g>0,分別存在正整數(shù)》1與N2，使得當(dāng)n>N1時(shí)，有當(dāng)n>N2時(shí)有a(5)當(dāng)n>N2時(shí)有bvb+8.取N=maxN0,N1,N2)，則當(dāng)n>N時(shí)，按假設(shè)及不等式(5)和(6)有a-8va<bvb+8,由此得到avb+2&.由8的任意性推得a<b，即lima<limb.TOC\o"1-5"\h\znT3ns\o"CurrentDocument"證法二設(shè)lima=a,limb=b，下證a<b.若a>b.取8nT3nnsn0由lima=a知，3自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有\(zhòng)o"CurrentDocument"nFn11a一b|a-a|v8=—2—即有，b+aa>—2—由limb=b知，nsn3自然數(shù)N2，當(dāng)時(shí),有bn-^v80即有，,b+a(8)同時(shí)成立。這不可能。bv2(8)同時(shí)成立。這不可能。令N=max{N,N,N}，當(dāng)n>N時(shí)，a<b及(7)，(8)012nn故a<b，即lima<limb.nsnnsn思考：如果把定理2.4中的條件a<b換成嚴(yán)格不等式a<b，那么能否把結(jié)論換并給出理由nnnn成lima<limb?n—3nn—3n思考：設(shè)liman—3=a,limbnn—3且a<b.證明：存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)，有an<b.（保序性）,a+b

由a<b，有a<<^2使得當(dāng)n>N1時(shí)有aN2>0a+b,

a<—2—<b.使得當(dāng)n>N2時(shí)有b例2設(shè)a>Q(n-1,2,證由定理2.4可得a>0.若a-0,則由lima-0n—3ns2，從而如<s即Ja

若a>0,則有任給s>0,由lima-an—3n從而q'a—<a<sn定理2.5（迫斂性）N0，當(dāng)n>N0時(shí)有則數(shù)列立｝收斂

n證任給s:取N=maxN因?yàn)閘ima-a<竺羅，由保號(hào)性定理2.4，存在n—32<^+^.又因?yàn)閘im^-b>^+^，所以，又存在2n—3n2a+b.于是取N-max｛N1,N2｝，當(dāng)n>N時(shí)，有).證明：若lima-a,貝ijlima=pa.n—3nn—3n，任給s>0,存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有a,<-0<￡,故有l(wèi)imja—0.*/—1la一aa一a.a—va\—-―!_n}—;-1j〈-—nj—1na+Lax'an存在正數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)有n—3n|a一a<yas,.故lim：a=、a.n設(shè)收斂數(shù)列E｝b｝都以a為極限，數(shù)列｛?｝滿足：存在正整數(shù)nnnan且limcn

n—3>0,由lman—3-Umb-a，分別存在正整數(shù)N與N—3使得當(dāng)n>N1時(shí)(10)（11）則當(dāng)n>N時(shí),不等式（9）、（10）、（11）同時(shí)成立，即有a-s<a<c<b<a+s.，這就證得所要的結(jié)果.""從而有|c—a\<￡定理2.5不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法，而且也提供了一個(gè)求極限的工具.n且hmnsx：n2+n所以limnsn2+2例3求極限：limns?<—+—

、：n2+1\n2+2「11lim,=1,n—811+-n+,+?..+<.n<二=1、n2+nvn2+1vn2IJn2+111+—-+.??+\：n2+2\：n2例4求數(shù)列｛nn｝的極限.nn=1+h，這里h>0(n>1),解記a=

nn由上式得0<h<G>1),則有n從而有n(n-1)[>—2—h2-(12)2｝是收斂于1的,因?qū)θ谓o的￡>0，取N=1+--,則當(dāng)5J2,時(shí)有1+\|號(hào)-1傘.于是,不等式（12）的左右兩邊的極限皆為、故由迫斂性證得limnn=1.n—8思考：1、設(shè)an<c<b,n=1,2,，又已知lim(b—a)=0,問數(shù)列｛c｝是否收斂?nnnnnn—8=?(-1)n,b=(-1)n+但｛c｝發(fā)散)n=0，問limb(取a=(-1)n,cnn2、設(shè)a<c<b,n=1,2,(正確)3、設(shè)a<c<b,n=121n,且lim(b—a)n—8nn，且lim(b—a)nn(否a=1+—,c=2,=(—1)n,b=3+—n—8思考：設(shè)ak>0,k=1,2,…,p.證明：limU證：M=maxla,a,Ua；kVk=1JM=Mn)n<n—8,a,｝,1nnn—8存在，問limbnn—8ankvk=1J則有=lima=c成立嗎？n—8n=lima=c成立嗎？n—8n故由nP—1（n—8）及迫斂性即得結(jié)論。思考：設(shè)lima=a，證明:n—3[na]n，(1)limns(2)若a>0,a>0，^ijlim<a=1「na一1lim—nnnT3，&r=liman—3\[na]<na<[na]+1n1\且lima=anT3n:a■n

nT3na-1v[na]nn從而lim[nan]=a.nsna使得當(dāng)n>N時(shí)，有5vaA（2）因?yàn)閘ima=a>0，存在N>0，n—3nI:a"—一，3、，一'a3是n3v%avn*a，并且lim=lim”a=1，所以lim%a=1.2VnA'2n—3、2n—J12n-3n在求數(shù)列極限時(shí)，常需要使用極限的四則運(yùn)算法則.定理2.6（四則運(yùn)算法則）若%｝與為收斂數(shù)列，則%+b「，=b｝也都是收斂數(shù)列，且有"""nn{an特別當(dāng)bn為常數(shù)c時(shí)有nnslim(a+b)=lima+limb,n—3nnn—3nnsnlim\a.b)=lima.limb.n—3nnnn

nT3+c)=lima若再假設(shè)b。0及1imb二0，nn—3nn—3Ia

叫bnnlimca=clima.n—3nnns證由于a—bnn=an+(-1》alimn八bnsuna'及了

nbn也是收斂數(shù)列，limann>3.limbnn—31=an.—，因此我們只須證明關(guān)于和、積與倒數(shù)n且有運(yùn)算的結(jié)論即可.設(shè)lima=a,limb=b,則對(duì)任給的￡>0,分別存在正整數(shù)氣與N2，使得nnsnns取N=maxN1.(a+b|ab—ab|=|va—a由收斂數(shù)列的有界性定理，2.,N*則當(dāng)n>N時(shí)上述兩不等式同時(shí)成立，從而有)—(a+b)<|a一a+\b-b\v2.nlim(a+b)=a+b.—ab|=|(a—a》+a(b-b)<\a—a||b|+a||b-b|.存在正數(shù)M，對(duì)一切n有b|vM.于是，當(dāng)n>N時(shí)有ab-abvM+a=ab.由.的任意性，得limab^n—3nn3.由于lim^=b。0,根據(jù)收斂數(shù)列的保號(hào)性，存在正整數(shù)N3，則當(dāng)n>N3時(shí)有n—3n|b|>2|b|.取N'=maxN,N｝則當(dāng)n>N'時(shí)有11由e的任意性，這就證得lim=-nT8bbnanm+anm-i+?,，+an+alimm—1o，n*bnk+bnk-i++bn+bkk-110其中m<k，a豐0,b豐0.解以n-k同乘分子分母后，所求極限式化為anm-k+anm-1-k++an1-k+an-klimm-110.b+bk-1n-1++bn1-k+bn-k當(dāng)a>0時(shí)有l(wèi)imn-^=0.于是，ns當(dāng)m=k時(shí)，上式除了分子分母的第一項(xiàng)分別為am與bm外，期于各項(xiàng)的極限皆為0，故此nT8時(shí)所求的極限等于尸；b當(dāng)mvk時(shí)，由于nm-kt0（nT3），故此時(shí)所求的極限等于0.綜上所述，得到l，anm+anm-1++a+abnk+bknk-1++b+bIa—m,k=m,b0,k>m.an求lim-,其中a。-1.nT^an+1an解若a=1,則顯然有l(wèi)imn*an+12若a|v1,則由liman=0得nT^lim—=limalimlima+1L0nsan+1nSnnT8nsnan若a\>1,則annT^nx-n-x=1.1+0思考：求lim——n*nx+n-x思考：設(shè)lim^存在，若limb=0

bnnTsnTsn則lima=0ntsn思考:判斷正確與否：若｛a｝收斂，則成立lim（a-a）=0和limn+1nnT8a1—n+1=1。nsan思考:思考:若｛a+a月和｛a+a2）都收斂，證明｛a｝收斂由｛a+aJ收斂，得｛a1+a2）收斂，再由｛。+an+2｝收斂，得｛a-a+1斂，從而｛a｝收斂。）nTOC\o"1-5"\h\z思考：若{a}與為收斂，則nnlimmax{a,b}=max{lima,limb}，nnnnnsnsnslimmin{a,b}=min{lima,limb}。nnnnnsnT8ns奶'-+/冉一2a31思考：lim不=一，a+k=最后，我們給出數(shù)列的子列概念和關(guān)于子列的一個(gè)重要定理.定義1設(shè)%｝為數(shù)列，｛nkj為正整數(shù)集N,的無限子集，且n1<n2<???<氣〈…,則數(shù)列na,a,…，a,…｛?,,.,,r.nn2n,｛[…稱為數(shù)列bj的一個(gè)子列，記為｛a｝.這就是說取數(shù)列）aj的第n項(xiàng)作為子列的第一項(xiàng)，一｛V"n｛j.…七，一一1-,一十取iaj的第n項(xiàng)作為子列的第二項(xiàng)，,?“4aj中的第n作為子列的第k項(xiàng)，…。n、2｛?,,_,｛j｛?,_、，，—｛?,,,TOC\o"1-5"\h\z注1由定乂1可見，^a^j的子列a^J的各項(xiàng)都選自aj，且保持這些項(xiàng)在^a^j中的先后次序.不等式匕>k對(duì)一切k成立."例如七=2是不可能的，也就是說取數(shù)列的第2項(xiàng)作為子列的第三項(xiàng)是不可能的。3例如，子列｛aj由數(shù)列｛aj的所有偶數(shù)項(xiàng)所組成，而子列bj則由｛a｝的所有奇C2企Cn2k-1n數(shù)項(xiàng)所組成.又ia十本身也是iaj的一個(gè)子列，此時(shí)七=k，k=1,2，.…注2數(shù)列=〃｝本身以及｛anj去掉有限項(xiàng)后得到的子列，稱為｛aj的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱為｛aj的非平凡子列.例如｛a｝和｛a｝都是｛aj的非平凡子列.數(shù)n2k2k-1n列｛anj與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)有相同的極限.定理2.7數(shù)列｛anj收斂的充要條件是：｛anj的任何非平凡子列都收斂.nk.由于n>k，故當(dāng)k>N時(shí)更有n>N，從而也有），，a彳攵斂（且與｛a｝有相同的極限）.證必要性設(shè)lim2〃=a，1奴｛nk.由于n>k，故當(dāng)k>N時(shí)更有n>N，從而也有），，a彳攵斂（且與｛a｝有相同的極限）.a-a<&nk，這就證明了nn充分性考慮｛aj的非平凡子列｛a｝，｛a｝與｛aj.按假設(shè)，它們都收斂.由于JInJI2k2k-13k｛a6k｝既是ia2kj，又是的子列，故由剛才證明的必要性，（13）lima=lima-a<&nk（13）JI[）Jk氣32kk—36kk—33k又｛a6k3j既是｛a2k1j又是la3kj的子列，同樣可得

（13）式與（14）式給出所以由上節(jié)例6可知=｝收斂。（13）式與（14）式給出所以由上節(jié)例6可知=｝收斂。nlimak*2k-1limak*2k=lima.k*3k=limak*2k-1(14)思考：數(shù)列｛a」收斂的充要條件是：｛a2k1｝和｛?？欤际諗壳覙O限相等。證必要性設(shè)lima=a。任給&>0，存在正整數(shù)N>1，使得當(dāng)k>N時(shí)有n—3ak-a\<￡.因此，當(dāng)k>N時(shí)，有2k-1>N,2k>N，從而有a-a<￡,a-a<￡，lima=ak—32k使得當(dāng)k>N1時(shí)有a2k-1-a故lima=a，lima=ak—32k使