第六章測量誤差的基本知識

第六章測量誤差的基本知識第一節(jié)概述在測量工作中，對某量(如某一個角度、某一段距離或某兩點間的高差等)進行多次觀測，所得的各次觀測結果總是存在著差異，這種差異實質上表現為每次測量所得的觀測值與該量的真值之間的差值，這種差值稱為測量真誤差，即：測量真誤差=真值-觀測值一、誤差產生的原因：觀測者由于觀測者感覺器官鑒別能力有一定的局限性，在儀器安置、照準、讀數等方面都產生誤差。同時觀測者的技術水平、工作態(tài)度及狀態(tài)都對測量成果的質量有直接影響。測量儀器每種儀器有一定限度的精密程度，因而觀測值的精確度也必然受到一定的限度。同時儀器本身在設計、制造、安裝、校正等方面也存在一定的誤差，如鋼尺的刻劃誤差、度盤的偏心等。外界條件觀測時所處的外界條件，如溫度、濕度、大氣折光等因素都會對觀測結果產生一定的影響。外界條件發(fā)生變化，觀測成果將隨之變化。上述三方面的因素是引起觀測誤差的主要來源，因此把這三方面因素綜合起來稱為觀測條件。觀測條件的好壞與觀測成果的質量有著密切的聯(lián)二觀測誤差分類：系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，若觀測誤差的符號及大小保持不變，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。這種誤差往往隨著觀測次數的增加而逐漸積累。如某鋼尺的注記長度為30m，經鑒定后，它的實際長度為30.016m，即每量一整尺，就比實際長度量小0.016m，也就是每量一整尺段就有+0.016m的系統(tǒng)誤差。這種誤差的數值和符號是固定的，誤差的大小與距離成正比，若丈量了五個整尺段，則長度誤差為5X(+0.016)=+0.080m。若用此鋼尺丈量結果為167.213m，則實際長度為：167.213+16；213X0.0016=167.213+0.089=167.302(m)系統(tǒng)誤差對測量成果影響較大，且一般具有累積性，應盡可能消除或限制到最小程度，其常用的處理方法有：檢校儀器，把系統(tǒng)誤差降低到最小程度。加改正數，在觀測結果中加入系統(tǒng)誤差改正數，如尺長改正等。采用適當的觀測方法，使系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱，如測水平角時采用盤左、盤右現在每個測回起始方向上改變度盤的配置等。偶然誤差在相同觀測條件下，對某量作一系列的觀測，若觀測誤差的大小及符號變化沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差，如估讀誤差，照準誤差等。從大量的測量實踐中發(fā)現，雖然偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是在相同的觀測條件下，當觀測次數愈多時，誤差群的取值范圍卻服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。1）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。2）絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多。3）絕對值相等的正、負誤差出現的機會基本相等。4）偶然誤差的算術平均值隨著觀測次數的無限增加而趨于零。&lim—=0（5-i）n一3式中：￡A=△]+&+???+An；i=1n——觀測次數。第二節(jié)算術平均值研究誤差的目的之一，就是把帶有誤差的觀測值給予適當處理，以求得最可靠值。取算術平均值的方法，就是其中最常見的一種。一、原理在等精度觀測條件下對某量觀測了n次，其觀測結果為L1，L2，…Ln。設該量的真值為X，觀測值的真誤差為A，A2…，An，即Ai=X-LiA2=X-L2An=X-L將上列各式求和得：EA=nX-乙i=1i=1EaEl上式兩端各除以n得：二二=X-茸一A￡L令4-1—=84-4—=X代入上式移項后得：X=X+65為n個觀測值真誤差的平均值，根據偶然誤差的第四個性質，出8時，6—0，則有：￡A5=lim^_=0nn—s這時算術平均值就是某量的真值。即：￡LX=4=1—

n在實際工作中，觀測次數總是有限的，也就是只能采用有限次數的觀測值來求得算術平均值，即：￡LX=-4-1—nx是根據觀測值所能求得的最可靠的結果，稱為最或是值或算術平均值。二、最或是誤差（改正數）及特性最或是值與觀測值之差稱為最或是誤差，又名觀測值改正數，用V表示，即：Vi=X-Li（i=］，2，.“n）取其和得：￡V=nx-￡Li=1i=1￡L?/X=-i=1—n:.￡V-0（5-4）i=1這是最或是誤差的一大特征，用作計算上的校核。第三節(jié)評定觀測值精度的標準

研究誤差的又一目的，是評定觀測值的精度。要判斷觀測誤差對觀測結果的影響，必須建立衡量觀測值精度的標準，其中最常用的有以下幾種：—、中誤差用真誤差來確定中誤差在等精度觀測條件下，對真值為X的某一量進行n次觀測，其觀測值為L,L…Ln，相應的真誤差為△『△2"?An。取各真誤差平方的平均值的平方根，稱為該量各觀測值的中誤差，以m表示，即：A.=X-L.乙2m=±丫4-1一(5-5)用改正數來確定中誤差在實際工作中，未知量的真值往往不知道，真誤差也無法求得，所以常用最或是誤差即改正數來確定中誤差。即：V.=x-L.(i=1,2，^n)(5-6)叩=±\切(5-7)例一設用經緯儀測量某角五次，觀測值列于表5-2中，求觀測直的中誤差。表5-2觀測次數觀測值LA=L-L0V=x-LVV計算1234556°32，20〃56°32，00〃56°31，40〃56°32，00〃56°32，30〃+2000-2000+30-14+6+26+600-241963667636576交ALx=L+T5——=56°32，00〃校核^V=0i=1糙V2|——11520m=±]i4=1=J\n-1\5-1±19.49〃L0=56°32，00〃+30-200+1520

二、容許誤差由偶然誤差的第一特性可以知道，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不超過一定的限值。根據誤差理論和大量的實踐證明，在一系列等精度觀測誤差中，大于兩倍中誤差的個數占總數的5%，大于三倍中誤差的個數占總數的0.3%，因此，測量上常取2倍或3倍中誤差為誤差的限值，稱為容許誤差，即：A=±2m\△容=±3m/°一7)三、相對誤差衡量測量成果的精度，有時用中誤差還不能完全表達觀測結果的優(yōu)劣。例如用鋼尺分別丈量兩段距離，其結果為100m和200m，中誤差均為2cm。顯然，后者的精度比前者要高。也就是說觀測值的精度與觀測值本身的大小有關。相對誤差是中誤差的絕對值與觀測值的比值。通常以分子為1的分數形式來表示，即：KlmlK=L(5-8)0.020，后者的相對誤差K=—200110000一，一0.02010.020，后者的相對誤差K=—200110000如上述前者的相對誤差K==——JL說明后者比前者精度高。相對誤差是個無名數，而真誤差、中誤差、容許誤差是帶有測量單位的數值。第四節(jié)誤差傳播定律及其應用在測量工作中，有些未知量不可能直接測量，或者是不便于直接測定，而是利用直接測定的觀測值按一定的公式計算出來。如高差h=a-b，就是直接觀測值a、b的函數。若已知直接觀測值a、b的中誤差ma、mb后，求出函數h的中誤差mh，即為觀測值函數的中誤差。3(5-9)一、線性函數F=K1X1±K2X2土…土KnXn式中：F——為線性函數；(5-9)K1為常數；x1為觀測值。設x1的中誤差為m1，函數F的中誤差為mF，經推導得：(5-10)即，觀測值函數中誤差的平方，等于常數與相應觀測值中誤差乘積的平方和。二、非線性函數Z=F[xL?r2?……山m2F=(K1m1)2+(K2m2)2+(5-10)即，觀測值函數中誤差的平方，等于常數與相應觀測值中誤差乘積的平方和。二、非線性函數Z=F[xL?r2?……山其分微分為TOC\o"1-5"\h\z“那，即，抨，dL—dx.+ax^.++axvrXrXir%dx2%…泌\dFhdFAAZ-——Ax+++M里目X]遂0XB可寫成\o"CurrentDocument"國=gi++其相應的函數中誤差式為dF歐衛(wèi)二l/i跳1+h維：dFdFm2m2+十◎J例二在1：500比例尺地形圖上，量得A、B兩點間的距離S=163.6mm，其中誤差ms=0.2mm。求A、B兩點實地距離D及其中誤差mD。解：D=MS=500X163.6(mm)=81.8(m)(M為比例尺分母)mD=MmS=500X0.2(mm)=±0.1(m)?.?D=81.1±0.1(m)例三在三角形ABC中ZA和NB的觀測中誤差mA和mB分別為±3〃和土4〃，試推算NC的中誤差mC。解：ZC=180°-(ZA+ZB)因為180°是已知數沒有誤差，則得；m2C=m2A+m2BmC=±5〃例四某水準路線各測段高差的觀測值中誤差分別為h1=18.316m±5mm，h2=8.171m±4mm，h3=-6.625m±3mm，試求總的高差及其中誤差。解：h=加+h2+h3=15.316+8.171-6.625=16.862(m)

m7—m0-i-m7—I—m7—So-i-A^-i-S?，〃匕1—，〃匕.+，m，〃匕c—。乙+‘i匕丁。匕h123mh=±7.1(mm).,.力—16.882m±7.1mm例五設對某一未知量已在相同觀測條件下進行多次觀測，觀測值分別為L「L2-Ln，其中誤差均為m,求算術平均值x的中誤差M。解：X=4=1-n1式中的一為常數，n根據公式(5-10)，算術平均值的中誤差為:1式中的一為常數，n根據公式(5-10)，算術平均值的中誤差為:M2—(—m)2+(_m)2(—m)2n1nnn因為m1—m2—???mn—m，得:m(5-11)M=±『(5-11)<n1從公式中可知，算術平均值中誤差是觀測值中誤差的『倍，觀測次數愈多，算■vn術平均值的誤差愈小，精度愈高。但精度的提高僅與觀測次數的平方根成正比，當觀測次數增加到一定次數后，精度就提高得很少，所以增加觀測次數只能適可而止。例六表5-2中，觀測次數n-5，觀測值中誤差m-±19.5〃，求算術平均值的中誤差。解：m=±解：m=±m(xù)=竺—±8.7〃例七三角形的三個內角之和，在理論上等于180°，而實際上由于觀測時的誤差影響，使三內角之和與理論值會有一個差值，這個差值稱為三角形閉合差。設等精度觀測n個三角形的三內角分別為%、?和勺其測角中誤差均為m廣ma—mb—mc，各三角形內角和的觀測值與真值180°之差為三角形閉合差偵、七2、……/；n即真誤差，其計算關系式為/p.—a.+b.+c.-180°根據(5-10)式得中誤差關系式為：M111m2fB—m2a+m2b+m2c—3m2Bmfb—土m十3由此得測角中誤差為：mm—±~by3

按中誤差定義，三角形閉合差的中誤差為：fy土\匚將此式代入上式得：叩士十-￡(5一12)式(5-12)稱為菲列羅公式，是小三角