人口模型專題課件

ThomasRobertMalthus（1766-1834）是美國(guó)的一名牧師。1798年提出Malthus人口模型，此模型對(duì)1700—1961年這段時(shí)期的人口應(yīng)用十分的精準(zhǔn)。（指數(shù)增長(zhǎng)模型）

在人口自然增長(zhǎng)的過(guò)程中，經(jīng)相對(duì)增長(zhǎng)率（出生率和死亡率）是常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與人口成正比，比例系數(shù)為r。1、主要假設(shè)Malthus模型2、模型的建立ThomasRobertMalthus（1766-18由荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst于1838年提出Logistic模型（阻滯增長(zhǎng)模型）1、主要假設(shè)

此模型修改了Malthus模型r為常數(shù)的假設(shè)，認(rèn)為r應(yīng)為N的函數(shù)。設(shè)自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量為Nm，并設(shè)定凈增長(zhǎng)率：當(dāng)N(t)→Nm時(shí)，r(N)？由荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst于1838年提出Logist2、模型的建立由左式可知，可用分離變量法求解非線性微分方程，且Logistic模型就是一個(gè)Bernoulli方程的初值問(wèn)題。3、模型求解2、模型的建立由左式可知，可用分離變量法求解非線性微分方程，

本模型在1790-1930年間較為符合實(shí)際，但是在1940-1980年間，卻與實(shí)際的偏差較大。為什么？1、人口數(shù)已經(jīng)超出了所設(shè)的Nm。2、大幅度的移民和戰(zhàn)爭(zhēng)等相關(guān)因素。3、Nm不易確定，隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，Nm的值不斷增大。

前面的兩種模型，都將總數(shù)看作是處于同等地位的成員組成。這簡(jiǎn)化了問(wèn)題，但是嚴(yán)格來(lái)講是不科學(xué)的，應(yīng)該根據(jù)成員的年齡分組，并且將性別分別考慮。本模型在1790-1930年間較為符合實(shí)際，但是在1人口發(fā)展方程1、主要假設(shè)

只考慮自然的出生死亡，不考慮遷移等社會(huì)因素的影響，考慮年齡結(jié)構(gòu)。2、模型的建立

在時(shí)刻t，年齡小于r的人口數(shù)記作F(r,t)，t和r均為連續(xù)變量。設(shè)F是連續(xù)可微函數(shù)，稱為為人口分布函數(shù)。時(shí)刻t的人口總數(shù)為N(t)。最高年齡記作rm

。于是對(duì)于非負(fù)非降函數(shù)F(r,t)有：將p(r,t)定義為年齡密度函數(shù)。p(r,t)非負(fù)且p(rm,t)=0記p(r,t)dr為時(shí)刻t年齡在區(qū)間[r,r+dr)內(nèi)的人數(shù)。人口發(fā)展方程1、主要假設(shè)只考慮自然的出生死亡，不考慮

記μ(r,t)為時(shí)刻t年齡r的人的死亡率。其含義是：μ(r,t)p(r,t)dr表示時(shí)刻t年齡在[r,r+dr)內(nèi)單位時(shí)間死亡的人數(shù)。為了得到p(r,t)滿足的方程，考察時(shí)刻t年齡在[r,r+dr)內(nèi)的人到時(shí)刻t+dt的情況。他們中活著的那一部分人的年齡變?yōu)閇r+dr1,r+dr+dr1)。這里dr1=dt.而在dt這段時(shí)間內(nèi)死亡的人數(shù)為μ(r,t)p(r,t)drdt,于是也可寫作記μ(r,t)為時(shí)刻t年齡r的人的死亡率。其含義是：上式中，帶入dr1=dt就可以得到：得到人口發(fā)展模型實(shí)際上，這是年齡密度函數(shù)p(r,t)的一階偏微分方程，其中死亡率μ(r,t)為已知函數(shù)。兩個(gè)定解條件：1）初始密度函數(shù)記作p(r,0)=p0(r)；2）單位時(shí)間內(nèi)出生的嬰兒數(shù)記作p(0,t)=f(t),稱為嬰兒出生率。這里p0(r)可由人口調(diào)查資料得到，是已知函數(shù)；f(t)則對(duì)預(yù)測(cè)和控制人口起著重要作用。上式中，帶入dr1=dt就可以得到：得到人口發(fā)展模型實(shí)際上，于是得出連續(xù)型人口發(fā)展模型：

此方程描述了人口的演變過(guò)程，從這個(gè)方程確定出密度函數(shù)p(r,t)以后，立即可以得到各個(gè)年齡的人口數(shù)，即人口分布函數(shù)于是得出連續(xù)型人口發(fā)展模型：此方程描述了人口的演變過(guò)3、模型求解

該方程的求解過(guò)程比較復(fù)雜，這里給出一種特殊情況下的結(jié)果。在社會(huì)安定的局面下和不太長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，死亡率大致與時(shí)間無(wú)關(guān)，于是可以近似的假設(shè)μ(r,t)=μ(r)，這時(shí)的解為：這個(gè)解在t~r平面上有一個(gè)淺顯的解釋：如何驗(yàn)證？3、模型求解該方程的求解過(guò)程比較復(fù)雜，這里給出一種特右圖中，對(duì)角線r=t（t，r>0）分為兩個(gè)部分。

在t<r的區(qū)域，p(r,t)完全由年齡為r-t的人口初始密度p0(r-t)和這些人的死亡率μ(s)(r-t≤s<r)決定；而在t>r區(qū)域，p(r,t)則由未來(lái)的生育狀況f(t-r)及死亡率μ(s)(0≤s<r)決定。右圖中，對(duì)角線r=t（t，r>0）分為兩個(gè)部分。在t4、討論生育率和生育模式

在發(fā)展方程及解中p0(r)和μ(r)可以從人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到。μ(r,t)也可以由μ(r,0)粗略估計(jì)，這樣，為了預(yù)測(cè)和控制人口的發(fā)展?fàn)顩r，人們主要關(guān)注的可以用作控制手段的就是嬰兒出生率f(t)。對(duì)f(t)進(jìn)一步分解：

記女性性別比函數(shù)為k(r,t)，即時(shí)刻t年齡在[r,r+dr]的女性人數(shù)為k(r,t)p(r,t)dr,將這些女性在單位時(shí)間內(nèi)的平均每人的生育數(shù)記作b(r,t)，設(shè)育齡區(qū)間為[r1,r2],則：4、討論生育率和生育模式在發(fā)展方程及解中p0(其中β(t)的直接含義是時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)。

如果所有育齡女性在她育齡期所有的時(shí)刻都保持這個(gè)生育數(shù)，那么β(t)也表示平均每個(gè)女性一生的總和生育數(shù)。所以β(t)稱為總和生育率（簡(jiǎn)稱生育率或生育胎次）。其中β(t)的直接含義是時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生h(r,t)是年齡為r的女性的生育加權(quán)因子，稱為生育模式。在穩(wěn)定環(huán)境下可以近似的認(rèn)為它與t無(wú)關(guān)即h(r,t)=h(r)。h(r)表示了在那些年齡生育率高，那些年齡生育率低。在r=rc附近生育率最高由人口統(tǒng)計(jì)資料可以知道當(dāng)前實(shí)際的h(r,t)。作理論分析時(shí)，人們常采用的h(r)的一種形式是借用概率論中的Γ分布：取θ=2，α=n/2，這時(shí)有rc=r1+n-2可以看出，提高r1意味著晚婚，而增加n意味著晚育。h(r,t)是年齡為r的女性的生育加權(quán)因子，稱為生育模式。在

這樣，人口發(fā)展方程①和單位時(shí)間內(nèi)出生的嬰兒數(shù)f(t)的表達(dá)式②構(gòu)成了連續(xù)型人口模型。模型中死亡率函數(shù)W(r,t)，性別比函數(shù)k(r,t)和初始密度函數(shù)P0(t)可由人口統(tǒng)計(jì)資料直接得到，或在資料的基礎(chǔ)上估計(jì)，而生育率β(t)和生育模式h(r,t)，則是可以用于控制人口發(fā)展過(guò)程的兩種手段，β(t)可以控制生育的多少，h(r,t)可以控制生育的早晚和疏密，我國(guó)的計(jì)劃生育政策正是通過(guò)這兩種手段實(shí)施的。

從控制論觀點(diǎn)看，在方程①描述的人口系統(tǒng)中P(r,t)可視為狀態(tài)變量，P(0,t)=f(t)視為控制變量，是分布參數(shù)系統(tǒng)的邊界控制函數(shù)，②式表明控制輸入中含有狀態(tài)變量，形成狀態(tài)及饋，β(t)視為及饋增益，并且這是一種正及饋，即人口密度函數(shù)P(r,t)的增加，通過(guò)嬰兒出生率f(t)又使P(r,t)進(jìn)一步增長(zhǎng)。這樣，人口發(fā)展方程①和單位時(shí)間內(nèi)出生的嬰兒數(shù)f(t)

方程的解*式中因子f(t-r)表明這種反饋還有相當(dāng)大的滯后作用，所以一旦人口政策失誤，使P(r,t)在一段時(shí)間內(nèi)增長(zhǎng)得過(guò)多過(guò)快，再想通過(guò)控制手段β(t)和P(r,t)把人口增長(zhǎng)的勢(shì)頭降下來(lái)，非常困難并且需要相當(dāng)長(zhǎng)（幾代人）的時(shí)間。

人口指數(shù)

在上面的模型中密度函數(shù)P(r,t)或分布函數(shù)f(r,t)固然是人口發(fā)展過(guò)程最完整的描述，但是使用起來(lái)并不方便，在人口統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用一些所謂的人口指數(shù)來(lái)簡(jiǎn)明扼要地表達(dá)一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人口特征。方程的解*式中因子f(t-r)表明這種反饋還有相當(dāng)大1°人口總數(shù)N(t)2°平均年齡R(t)1°人口總數(shù)N(t)2°平均年齡R(t)3°平均壽命S(t)

它表示時(shí)刻t出生的人不論活到什么時(shí)候，死亡率都是按時(shí)刻t的W(r,t)計(jì)算，這些人的平均存活時(shí)間

S(t)實(shí)際上是預(yù)估壽命，通常說(shuō)目前平均壽命已達(dá)到多少歲了，是指今年出生嬰兒的預(yù)估壽命，即S(0)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料得到當(dāng)前的死亡率W(r,0)后，就可以算出S(0)。3°平均壽命S(t)它表示時(shí)刻t出生的人不論活4°老齡化指數(shù)W(t)若R(t)遞增，則W(t)也是遞增的

5°依賴性指數(shù)ρ(t)

其中［L1,L2］和［L1’,L2’］分別是男性和女性有勞動(dòng)能力的年齡區(qū)間，L(t)是全體人口中有勞動(dòng)能力的年齡區(qū)間，L(t)是全體人口中有勞動(dòng)能力的人數(shù)，所以依賴性指數(shù)ρ(t)表示平均每個(gè)勞動(dòng)者要供養(yǎng)的人數(shù)。4°老齡化指數(shù)W(t)若R(t)遞增，則W(t)也是遞增的

4.人口發(fā)展方程的離散模型

因在連續(xù)模型中，得了一些理論的分析結(jié)果，但是在實(shí)際應(yīng)用中不方便，需要建立相應(yīng)的離散模型，因?yàn)?

第一，作為已知條件（輸入）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都是離散的，如果某年各個(gè)年齡的女性生育率，死亡率，性別比例。

第二，作為結(jié)果（輸出）人們希望得到的數(shù)據(jù)也是離散如2000年，2020年，2050年…..的人口總數(shù)，各個(gè)人口指數(shù)人口的年齡分布等：4.人口發(fā)展方程的離散模型

第三，連續(xù)模型解的表達(dá)式中包含了未知函數(shù)，用解析方程迭代求解是非常困難的，與其用數(shù)值方法解連續(xù)模型，不如直接建立離散模型。

一般時(shí)間以年為單位，年齡按周計(jì)算，設(shè)最年齡為m發(fā)，現(xiàn)Xi(t)為第t年i歲（滿i周歲而不到i+1）的人數(shù)。t=0,1,2┅,i=0,1,2┅m.

只考慮由于生育，老在和死亡引起的人口演變，而不計(jì)遷移等社會(huì)因素的影響，記di(t)為第t年i歲人口的死亡率，即第三，連續(xù)模型解的表達(dá)式中包含了未知函數(shù)，i=0，1，2……m-1，t=0,1,2……

但bi(t)為第t年i發(fā)女性生育率，即每位女性平均生育嬰兒數(shù)，［i1,i2］為育齡區(qū)間，Ri(t)為第t年i歲人口的女性比，則第t年的出生人數(shù)為i=0，1，2……m-1，t=0,1,2……

記d00(t)為第t年嬰兒死亡率，即第t年出生但未活到人口統(tǒng)計(jì)時(shí)刻的嬰兒比例：對(duì)于i=0將②，③帶入①得記d00(t)為第t年嬰兒死亡率，即第t年出生但利用⑥式對(duì)⑤式求和得到利用⑥式對(duì)⑤式求和得到

可知β(t)表示第t年每個(gè)育齡婦女平均生育的嬰兒數(shù)，若設(shè)在t年后的一個(gè)育齡時(shí)期內(nèi)各個(gè)年齡的女性生育率bi(t)都不變，那么β(t)又可表為

則β(t)是第t年i1歲的每位婦女一生平均生育的嬰兒數(shù)，稱總和生育率，或生育胎次，是控制人口數(shù)量的主要參數(shù)?？芍?t)表示第t年每個(gè)育齡婦女平均生育的嬰將⑤式帶入④式，并記

則④式寫作

引入變量，矩陣記號(hào)將⑤式帶入④式，并記則④式寫作引入變量，矩陣記號(hào)人口模型專題課件那么⑩和①式（i=1,2┅m-1）可以換作

這個(gè)向量形成的一階差分方程就是人口發(fā)展方程，當(dāng)初始人口分布x(0)已知，又由統(tǒng)計(jì)資料確定了A(t),B(t),并且給定了總和生育β(t)以后，用這個(gè)方程不難預(yù)測(cè)人口的發(fā)展過(guò)程。

在控制理論中X(t)稱狀態(tài)變量，可將β(t)作為控制變量，因?yàn)閷?duì)于β(t)和X(t)分別是線性的，所以是雙線性方程，有控制可得出其性質(zhì)和解法，在此不加以討論。在穩(wěn)定的社會(huì)環(huán)境下可以認(rèn)為死亡率，生育模式和女性比不隨時(shí)間變換，于是A(t),B(t)為常數(shù)矩陣，⒁化為那么⑩和①式（i=1,2┅m-1）可以換作這個(gè)人口指數(shù)1°人口指數(shù)N(t)2°平均年齡R(t)

人口指數(shù)1°人口指數(shù)N(t)2°平均年齡R(t)3°平均壽命S(t)4°老齡化指數(shù)W(t)

W(t)<0.5時(shí)屬于青壯年型社會(huì)。3°平均壽命S(t)4°老齡化指數(shù)W(t)W(t)5°依賴性指數(shù)ρ(t)L1,L2］和［L1’,L2’］是男性和女性勞動(dòng)力的年齡區(qū)間，L(t)是有勞動(dòng)能力的人口數(shù)，于是ρ(t)表示每個(gè)勞動(dòng)力需供養(yǎng)的人口數(shù)。我國(guó)e=0.985（1978）.世界平均ρ=0.6955°依賴性指數(shù)ρ(t)L1,L2］和［L1’,L25隨機(jī)人口模型背景

一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件一個(gè)國(guó)家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個(gè)家族或村落出生概率死亡概率隨機(jī)性模型對(duì)象X(t)~時(shí)刻t

的人口,隨機(jī)變量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差5隨機(jī)人口模型背景一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件一個(gè)國(guó)若X(t)=n,對(duì)t到t+t的出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一人的概率與t成正比，記bnt;出生二人及二人以上的概率為o(t).2)死亡一人的概率與t成正比，記dnt;死亡二人及二人以上的概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。

bn與n成正比，記bn=n,~出生概率；dn與n成正比，記dn=n，~死亡概率。進(jìn)一步假設(shè)模型假設(shè)若X(t)=n,對(duì)t到t+t的出生和死亡概率作以下假設(shè)1建模為得到Pn(t)P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n的分解X(t)=n-1,t內(nèi)出生一人X(t)=n+1,t內(nèi)死亡一人X(t)=n,t內(nèi)沒(méi)有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+t)Pn-1(t),bn-1t

Pn+1(t),dn+1t

Pn(t),1-bnt-dnt

o(t)建模為得到Pn(t)P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察P~一組遞推微分方程——求解的困難和不必要(t=0時(shí)已知人口為n0)轉(zhuǎn)而考察X(t)的期望和方差bn=n，dn=n微分方程建模~一組遞推微分方程——求解的困難和不必要(t=0時(shí)已知人口為X(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=kX(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=k精品課件！精品課件！精品課件！精品課件！求解比較：確定性指數(shù)增長(zhǎng)模型X(t)的方差E(t)-(t)-=rD(t)E(t)+(t)Et0n0,D(t)X(t)大致在E(t)2(t)范圍內(nèi)（(t)~均方差）r~增長(zhǎng)概率r~平均增長(zhǎng)率求解比較：確定性指數(shù)增長(zhǎng)模型X(t)的方差E(t)-(t)ThomasRobertMalthus（1766-1834）是美國(guó)的一名牧師。1798年提出Malthus人口模型，此模型對(duì)1700—1961年這段時(shí)期的人口應(yīng)用十分的精準(zhǔn)。（指數(shù)增長(zhǎng)模型）

在人口自然增長(zhǎng)的過(guò)程中，經(jīng)相對(duì)增長(zhǎng)率（出生率和死亡率）是常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與人口成正比，比例系數(shù)為r。1、主要假設(shè)Malthus模型2、模型的建立ThomasRobertMalthus（1766-18由荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst于1838年提出Logistic模型（阻滯增長(zhǎng)模型）1、主要假設(shè)

此模型修改了Malthus模型r為常數(shù)的假設(shè)，認(rèn)為r應(yīng)為N的函數(shù)。設(shè)自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量為Nm，并設(shè)定凈增長(zhǎng)率：當(dāng)N(t)→Nm時(shí)，r(N)？由荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst于1838年提出Logist2、模型的建立由左式可知，可用分離變量法求解非線性微分方程，且Logistic模型就是一個(gè)Bernoulli方程的初值問(wèn)題。3、模型求解2、模型的建立由左式可知，可用分離變量法求解非線性微分方程，

本模型在1790-1930年間較為符合實(shí)際，但是在1940-1980年間，卻與實(shí)際的偏差較大。為什么？1、人口數(shù)已經(jīng)超出了所設(shè)的Nm。2、大幅度的移民和戰(zhàn)爭(zhēng)等相關(guān)因素。3、Nm不易確定，隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，Nm的值不斷增大。

前面的兩種模型，都將總數(shù)看作是處于同等地位的成員組成。這簡(jiǎn)化了問(wèn)題，但是嚴(yán)格來(lái)講是不科學(xué)的，應(yīng)該根據(jù)成員的年齡分組，并且將性別分別考慮。本模型在1790-1930年間較為符合實(shí)際，但是在1人口發(fā)展方程1、主要假設(shè)

只考慮自然的出生死亡，不考慮遷移等社會(huì)因素的影響，考慮年齡結(jié)構(gòu)。2、模型的建立

在時(shí)刻t，年齡小于r的人口數(shù)記作F(r,t)，t和r均為連續(xù)變量。設(shè)F是連續(xù)可微函數(shù)，稱為為人口分布函數(shù)。時(shí)刻t的人口總數(shù)為N(t)。最高年齡記作rm

。于是對(duì)于非負(fù)非降函數(shù)F(r,t)有：將p(r,t)定義為年齡密度函數(shù)。p(r,t)非負(fù)且p(rm,t)=0記p(r,t)dr為時(shí)刻t年齡在區(qū)間[r,r+dr)內(nèi)的人數(shù)。人口發(fā)展方程1、主要假設(shè)只考慮自然的出生死亡，不考慮

記μ(r,t)為時(shí)刻t年齡r的人的死亡率。其含義是：μ(r,t)p(r,t)dr表示時(shí)刻t年齡在[r,r+dr)內(nèi)單位時(shí)間死亡的人數(shù)。為了得到p(r,t)滿足的方程，考察時(shí)刻t年齡在[r,r+dr)內(nèi)的人到時(shí)刻t+dt的情況。他們中活著的那一部分人的年齡變?yōu)閇r+dr1,r+dr+dr1)。這里dr1=dt.而在dt這段時(shí)間內(nèi)死亡的人數(shù)為μ(r,t)p(r,t)drdt,于是也可寫作記μ(r,t)為時(shí)刻t年齡r的人的死亡率。其含義是：上式中，帶入dr1=dt就可以得到：得到人口發(fā)展模型實(shí)際上，這是年齡密度函數(shù)p(r,t)的一階偏微分方程，其中死亡率μ(r,t)為已知函數(shù)。兩個(gè)定解條件：1）初始密度函數(shù)記作p(r,0)=p0(r)；2）單位時(shí)間內(nèi)出生的嬰兒數(shù)記作p(0,t)=f(t),稱為嬰兒出生率。這里p0(r)可由人口調(diào)查資料得到，是已知函數(shù)；f(t)則對(duì)預(yù)測(cè)和控制人口起著重要作用。上式中，帶入dr1=dt就可以得到：得到人口發(fā)展模型實(shí)際上，于是得出連續(xù)型人口發(fā)展模型：

此方程描述了人口的演變過(guò)程，從這個(gè)方程確定出密度函數(shù)p(r,t)以后，立即可以得到各個(gè)年齡的人口數(shù)，即人口分布函數(shù)于是得出連續(xù)型人口發(fā)展模型：此方程描述了人口的演變過(guò)3、模型求解

該方程的求解過(guò)程比較復(fù)雜，這里給出一種特殊情況下的結(jié)果。在社會(huì)安定的局面下和不太長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，死亡率大致與時(shí)間無(wú)關(guān)，于是可以近似的假設(shè)μ(r,t)=μ(r)，這時(shí)的解為：這個(gè)解在t~r平面上有一個(gè)淺顯的解釋：如何驗(yàn)證？3、模型求解該方程的求解過(guò)程比較復(fù)雜，這里給出一種特右圖中，對(duì)角線r=t（t，r>0）分為兩個(gè)部分。

在t<r的區(qū)域，p(r,t)完全由年齡為r-t的人口初始密度p0(r-t)和這些人的死亡率μ(s)(r-t≤s<r)決定；而在t>r區(qū)域，p(r,t)則由未來(lái)的生育狀況f(t-r)及死亡率μ(s)(0≤s<r)決定。右圖中，對(duì)角線r=t（t，r>0）分為兩個(gè)部分。在t4、討論生育率和生育模式

在發(fā)展方程及解中p0(r)和μ(r)可以從人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到。μ(r,t)也可以由μ(r,0)粗略估計(jì)，這樣，為了預(yù)測(cè)和控制人口的發(fā)展?fàn)顩r，人們主要關(guān)注的可以用作控制手段的就是嬰兒出生率f(t)。對(duì)f(t)進(jìn)一步分解：

記女性性別比函數(shù)為k(r,t)，即時(shí)刻t年齡在[r,r+dr]的女性人數(shù)為k(r,t)p(r,t)dr,將這些女性在單位時(shí)間內(nèi)的平均每人的生育數(shù)記作b(r,t)，設(shè)育齡區(qū)間為[r1,r2],則：4、討論生育率和生育模式在發(fā)展方程及解中p0(其中β(t)的直接含義是時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)。

如果所有育齡女性在她育齡期所有的時(shí)刻都保持這個(gè)生育數(shù)，那么β(t)也表示平均每個(gè)女性一生的總和生育數(shù)。所以β(t)稱為總和生育率（簡(jiǎn)稱生育率或生育胎次）。其中β(t)的直接含義是時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生h(r,t)是年齡為r的女性的生育加權(quán)因子，稱為生育模式。在穩(wěn)定環(huán)境下可以近似的認(rèn)為它與t無(wú)關(guān)即h(r,t)=h(r)。h(r)表示了在那些年齡生育率高，那些年齡生育率低。在r=rc附近生育率最高由人口統(tǒng)計(jì)資料可以知道當(dāng)前實(shí)際的h(r,t)。作理論分析時(shí)，人們常采用的h(r)的一種形式是借用概率論中的Γ分布：取θ=2，α=n/2，這時(shí)有rc=r1+n-2可以看出，提高r1意味著晚婚，而增加n意味著晚育。h(r,t)是年齡為r的女性的生育加權(quán)因子，稱為生育模式。在

這樣，人口發(fā)展方程①和單位時(shí)間內(nèi)出生的嬰兒數(shù)f(t)的表達(dá)式②構(gòu)成了連續(xù)型人口模型。模型中死亡率函數(shù)W(r,t)，性別比函數(shù)k(r,t)和初始密度函數(shù)P0(t)可由人口統(tǒng)計(jì)資料直接得到，或在資料的基礎(chǔ)上估計(jì)，而生育率β(t)和生育模式h(r,t)，則是可以用于控制人口發(fā)展過(guò)程的兩種手段，β(t)可以控制生育的多少，h(r,t)可以控制生育的早晚和疏密，我國(guó)的計(jì)劃生育政策正是通過(guò)這兩種手段實(shí)施的。

從控制論觀點(diǎn)看，在方程①描述的人口系統(tǒng)中P(r,t)可視為狀態(tài)變量，P(0,t)=f(t)視為控制變量，是分布參數(shù)系統(tǒng)的邊界控制函數(shù)，②式表明控制輸入中含有狀態(tài)變量，形成狀態(tài)及饋，β(t)視為及饋增益，并且這是一種正及饋，即人口密度函數(shù)P(r,t)的增加，通過(guò)嬰兒出生率f(t)又使P(r,t)進(jìn)一步增長(zhǎng)。這樣，人口發(fā)展方程①和單位時(shí)間內(nèi)出生的嬰兒數(shù)f(t)

方程的解*式中因子f(t-r)表明這種反饋還有相當(dāng)大的滯后作用，所以一旦人口政策失誤，使P(r,t)在一段時(shí)間內(nèi)增長(zhǎng)得過(guò)多過(guò)快，再想通過(guò)控制手段β(t)和P(r,t)把人口增長(zhǎng)的勢(shì)頭降下來(lái)，非常困難并且需要相當(dāng)長(zhǎng)（幾代人）的時(shí)間。

人口指數(shù)

在上面的模型中密度函數(shù)P(r,t)或分布函數(shù)f(r,t)固然是人口發(fā)展過(guò)程最完整的描述，但是使用起來(lái)并不方便，在人口統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用一些所謂的人口指數(shù)來(lái)簡(jiǎn)明扼要地表達(dá)一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人口特征。方程的解*式中因子f(t-r)表明這種反饋還有相當(dāng)大1°人口總數(shù)N(t)2°平均年齡R(t)1°人口總數(shù)N(t)2°平均年齡R(t)3°平均壽命S(t)

它表示時(shí)刻t出生的人不論活到什么時(shí)候，死亡率都是按時(shí)刻t的W(r,t)計(jì)算，這些人的平均存活時(shí)間

S(t)實(shí)際上是預(yù)估壽命，通常說(shuō)目前平均壽命已達(dá)到多少歲了，是指今年出生嬰兒的預(yù)估壽命，即S(0)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料得到當(dāng)前的死亡率W(r,0)后，就可以算出S(0)。3°平均壽命S(t)它表示時(shí)刻t出生的人不論活4°老齡化指數(shù)W(t)若R(t)遞增，則W(t)也是遞增的

5°依賴性指數(shù)ρ(t)

其中［L1,L2］和［L1’,L2’］分別是男性和女性有勞動(dòng)能力的年齡區(qū)間，L(t)是全體人口中有勞動(dòng)能力的年齡區(qū)間，L(t)是全體人口中有勞動(dòng)能力的人數(shù)，所以依賴性指數(shù)ρ(t)表示平均每個(gè)勞動(dòng)者要供養(yǎng)的人數(shù)。4°老齡化指數(shù)W(t)若R(t)遞增，則W(t)也是遞增的

4.人口發(fā)展方程的離散模型

因在連續(xù)模型中，得了一些理論的分析結(jié)果，但是在實(shí)際應(yīng)用中不方便，需要建立相應(yīng)的離散模型，因?yàn)?

第一，作為已知條件（輸入）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都是離散的，如果某年各個(gè)年齡的女性生育率，死亡率，性別比例。

第二，作為結(jié)果（輸出）人們希望得到的數(shù)據(jù)也是離散如2000年，2020年，2050年…..的人口總數(shù)，各個(gè)人口指數(shù)人口的年齡分布等：4.人口發(fā)展方程的離散模型

第三，連續(xù)模型解的表達(dá)式中包含了未知函數(shù)，用解析方程迭代求解是非常困難的，與其用數(shù)值方法解連續(xù)模型，不如直接建立離散模型。

一般時(shí)間以年為單位，年齡按周計(jì)算，設(shè)最年齡為m發(fā)，現(xiàn)Xi(t)為第t年i歲（滿i周歲而不到i+1）的人數(shù)。t=0,1,2┅,i=0,1,2┅m.

只考慮由于生育，老在和死亡引起的人口演變，而不計(jì)遷移等社會(huì)因素的影響，記di(t)為第t年i歲人口的死亡率，即第三，連續(xù)模型解的表達(dá)式中包含了未知函數(shù)，i=0，1，2……m-1，t=0,1,2……

但bi(t)為第t年i發(fā)女性生育率，即每位女性平均生育嬰兒數(shù)，［i1,i2］為育齡區(qū)間，Ri(t)為第t年i歲人口的女性比，則第t年的出生人數(shù)為i=0，1，2……m-1，t=0,1,2……

記d00(t)為第t年嬰兒死亡率，即第t年出生但未活到人口統(tǒng)計(jì)時(shí)刻的嬰兒比例：對(duì)于i=0將②，③帶入①得記d00(t)為第t年嬰兒死亡率，即第t年出生但利用⑥式對(duì)⑤式求和得到利用⑥式對(duì)⑤式求和得到

可知β(t)表示第t年每個(gè)育齡婦女平均生育的嬰兒數(shù)，若設(shè)在t年后的一個(gè)育齡時(shí)期內(nèi)各個(gè)年齡的女性生育率bi(t)都不變，那么β(t)又可表為

則β(t)是第t年i1歲的每位婦女一生平均生育的嬰兒數(shù)，稱總和生育率，或生育胎次，是控制人口數(shù)量的主要參數(shù)?？芍?t)表示第t年每個(gè)育齡婦女平均生育的嬰將⑤式帶入④式，并記

則④式寫作

引入變量，矩陣記號(hào)將⑤式帶入④式，并記則④式寫作引入變量，矩陣記號(hào)人口模型專題課件那么⑩和①式（i=1,2┅m-1）可以換作

這個(gè)向量形成的一階差分方程就是人口發(fā)展方程，當(dāng)初始人口分布x(0)已知，又由統(tǒng)計(jì)資料確定了A(t),B(t),并且給定了總和生育β(t)以后，用這個(gè)方程不難預(yù)測(cè)人口的發(fā)展過(guò)程。

在控制理論中X(t)稱狀態(tài)變量，可將β(t)作為控制變量，因?yàn)閷?duì)于β(t)和X(t)分別是線性的，所以是雙線性方程，有控制可得出其性質(zhì)和解法，在此不加以討論。在穩(wěn)定的社會(huì)環(huán)境下可以認(rèn)為死亡率，生育模式和女性比不隨時(shí)間變換，于是A(t),B(t)為常數(shù)矩陣，⒁化為那么⑩和①式（i=1,2┅m-1）可以換作這個(gè)人口指數(shù)1°人口指數(shù)N(t)2°平均年齡R(t)

人口指數(shù)1°人口指數(shù)N(t)2°平均年齡R(t)3°平均壽命S(t)4°老齡化指數(shù)W(t)

W(t)<0.5時(shí)屬于青壯年型社會(huì)。3°平均壽命S(t)4°老齡化指數(shù)W(t)W(t)5°依賴性指數(shù)ρ(t)L1,L2］和［L1’,L2’］是男性和女性勞動(dòng)力的年齡區(qū)間，L(t)是有勞動(dòng)能力的人口數(shù)，于是ρ(t)表示每