高等數(shù)學(xué)習(xí)題答案(同濟(jì)第六版下)

..第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念本節(jié)主要概念,定理,公式和重要結(jié)論理解多元函數(shù)的概念,會(huì)表達(dá)函數(shù),會(huì)求定義域；理解二重極限概念,注意是點(diǎn)以任何方式趨于;注意理解本節(jié)中相關(guān)概念與一元函數(shù)中相應(yīng)內(nèi)容的區(qū)分與聯(lián)系。習(xí)題8－11.求下列函數(shù)表達(dá)式:<1>,求解：<2>,求解：2.求下列函數(shù)的定義域,并繪出定義域的圖形:<1>解：<2>解：<3>解：3.求下列極限:<1>解：<2>解一：解二：<3> <4>解一：解二：<4>解一：解二：4.證明下列函數(shù)當(dāng)時(shí)極限不存在:<1>解：<2>解：5.下列函數(shù)在何處是間斷的?<1>解：<2>解：第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)主要概念,定理,公式和重要結(jié)論1.偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)在的某一鄰域有定義,則,.的幾何意義為曲線在點(diǎn)處的切線對軸的斜率.在任意點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)、稱為偏導(dǎo)函數(shù),簡稱偏導(dǎo)數(shù).求時(shí),只需把視為常數(shù),對求導(dǎo)即可.2.高階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為二階偏導(dǎo)數(shù),二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為三階偏導(dǎo)數(shù),如此類推.二階偏導(dǎo)數(shù)依求導(dǎo)次序不同,有如下4個(gè)：,其中后兩個(gè)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).若兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)皆為連續(xù)函數(shù),則它們相等,即可交換求偏導(dǎo)數(shù)的次序.高階混合偏導(dǎo)數(shù)也有類似結(jié)果.習(xí)題8－21.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù):<1>解：<2>解：<3>解：<4>解：<5>解：<6>解：<7> <8>解：<8>解：2.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù):〔1,求解：〔2,求解：3.求下列函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù):<1>,求,,解：<2>,求,,,解：<3>,求,解：4.設(shè),求和.解：5.設(shè),求證解:6.設(shè),證明證明:由輪換對稱性,第三節(jié)全微分本節(jié)主要概念,定理,公式和重要結(jié)論1.全微分的定義若函數(shù)在點(diǎn)處的全增量表示成則稱在點(diǎn)可微,并稱為在點(diǎn)的全微分,記作.2.可微的必要條件：若在可微,則〔1在處連續(xù)；〔2在處可偏導(dǎo),且,從而.一般地,對于區(qū)域內(nèi)可微函數(shù),.3.可微的充分條件：若在的某鄰域內(nèi)可偏導(dǎo),且偏導(dǎo)數(shù)在處連續(xù),則在可微。注：以上定義和充分條件、必要條件均可推廣至多元函數(shù)。習(xí)題8－31.求下列函數(shù)的全微分<1> <2>解:<2>解:<3>解:<4>解:<5>解:所以<6>解:2.求函數(shù),當(dāng)時(shí)的全微分.解:3.求函數(shù),當(dāng)時(shí)的全增量與全微分.解:4.研究函數(shù)在點(diǎn)處的可微性.解:由于,所以在點(diǎn)連續(xù),又又所以所以在點(diǎn)處可微5.計(jì)算的近似值.解：令,則,再設(shè)則6.已知邊長的矩形,如果邊增加5cm,而邊減少10cm,求這個(gè)矩形的對角線的長度變化的近似值.解：對角線長為,則,所以第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則本節(jié)主要概念,定理,公式和重要結(jié)論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則〔鏈?zhǔn)椒▌t如下：1.設(shè)在可偏導(dǎo),在相應(yīng)點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在的偏導(dǎo)數(shù)為2.推廣：<1>多個(gè)中間變量：設(shè),則且<2>只有一個(gè)中間變量：設(shè)則且<3>只有一個(gè)自變量：設(shè),則且習(xí)題8－41.求下列復(fù)合函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)<1>解：<2>解：<3>解：<4>解：2.求下列復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)<1>解：<2>解：3.求下列復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)〔是類函數(shù)<1>解：,<2>解：,<3>解：,<4>解：,,4.設(shè)且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解：5.已知,其中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求解：6.設(shè),其中有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求解：第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式本節(jié)主要概念,定理,公式和重要結(jié)論1.一個(gè)方程的情形〔1若方程確定隱函數(shù),則.〔2若方程確定隱函數(shù),則；.2.方程組的情形〔1若確定,,則,.〔2若確定,則,；,.習(xí)題8—51．求下列方程所確定的隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)<1>解：<2>解：<3>解：<4>解：2．求下列方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)<1>解：<2>解：<3>解：,<4>解：3．求下列方程所確定的隱函數(shù)的指定偏導(dǎo)數(shù)<1>設(shè)解：<2>設(shè)解：<3>設(shè)解：<4>設(shè)解：4．設(shè),而是由方程所確定的隱函數(shù),求解：又,所以5.求由下列方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)〔1設(shè),求解：<2>設(shè),求解：6.設(shè),求解：又所以7.設(shè),而是由方程所確定的的函數(shù),其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).試證明解：由,又所以第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用本節(jié)主要概念,定理,公式和重要結(jié)論1.空間曲線的切線與法平面設(shè)點(diǎn),<1>參數(shù)方程情形：若,則切向量為；其中；切線方程為 ；法平面方程為 .<2>一般方程情形：若,則切向量為；切線方程為 ；法平面方程為 .2.空間曲面的切平面與法線設(shè)點(diǎn).<1>隱式方程情形若,則法向量為；切平面為 ；法線為 .<2>顯式方程情形若,則法向量為,切平面為 ；法線為 .<3>參數(shù)方程情形若,則法向量,切平面為 ；法線為 .習(xí)題8—61．求曲線對應(yīng)的點(diǎn)處的切線和法平面方程.解：切線：法平面：2．求下列曲面在指定點(diǎn)處的切平面與法線方程〔1,點(diǎn)解：切平面：法線：〔2,點(diǎn)解：切平面：即法線：3．求出曲線上的點(diǎn),使在該點(diǎn)的切線平行于平面.解：設(shè)曲線在點(diǎn)的切向量為平面的法向量為,由題意可知所以,該點(diǎn)為4．求橢球面上平行于平面的切平面方程.解：設(shè)曲面在點(diǎn)處的法向量為,則,由題意可知,令,又,所以,代入得所以切平面方程為或即或5．試證曲面上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于1.證明：設(shè)為曲面上任一點(diǎn),則曲面在該點(diǎn)處的法向量為,那么切平面的方程為即,該平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距為,故6．求曲線在點(diǎn)處的切線和法平面方程.解：曲線在點(diǎn)處的切向量為所以切線的方程為法平面為,即第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度本節(jié)主要概念,定理,公式和重要結(jié)論1.方向?qū)?shù)<1>定義設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,是任一非零向量,,則在點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)定義為表示函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的變化率.<2>計(jì)算公式若在點(diǎn)處可微,則對任一單位向量,有〔此也為方向?qū)?shù)存在的充分條件.2.梯度<1>定義設(shè),則梯度grad為下式定義的向量：grad〔或.<2>方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系<3>梯度的特征刻畫梯度是這樣的一個(gè)向量,其方向?yàn)樵邳c(diǎn)處增長率最大的一個(gè)方向；其模等于最大增長率的值.習(xí)題8—71．求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處沿指定方向的方向?qū)?shù)<1>為從點(diǎn)〔1,2到點(diǎn)〔2,2+的方向解：方向?yàn)?而所以<2>解：而所以2．求函數(shù)在拋物線上點(diǎn)〔1,2處,沿著這拋物線在該點(diǎn)處偏向軸正向的切線方向的方向?qū)?shù).解：拋物線在點(diǎn)處的切向量為3．求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向角為的方向的方向?qū)?shù).解：4．設(shè)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),已給四個(gè)點(diǎn),若在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)等于3,而沿方向的方向?qū)?shù)等于26,求在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù).解：所以5．設(shè),求grad及grad解：6．問函數(shù)在點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？并求此方向?qū)?shù)的最大值.解：沿梯度方向的方向的方向?qū)?shù)最大第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法本節(jié)主要概念,定理,公式和重要結(jié)論1.極大〔小值問題必要條件.若在點(diǎn)有極值且可偏導(dǎo),則.使偏導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為的駐點(diǎn)〔或穩(wěn)定點(diǎn).駐點(diǎn)與不可偏導(dǎo)點(diǎn)都是可疑極值點(diǎn),還須用充分條件檢驗(yàn).充分條件.設(shè)在區(qū)域內(nèi)是類函數(shù),駐點(diǎn),記〔1當(dāng)時(shí),是極值,且是極小〔大值；〔2當(dāng)時(shí),不是極值；〔3當(dāng)時(shí),還需另作判別.2.最大〔小值問題首先找出在上的全部可疑極值點(diǎn)〔設(shè)為有限個(gè),算出它們的函數(shù)值,并與的邊界上的最大.最小值進(jìn)行比較,其中最大、最小者即為在上的最大、最小值.對于應(yīng)用問題,若根據(jù)問題的實(shí)際意義,知目標(biāo)函數(shù)在內(nèi)一定達(dá)到最大〔小值,而在內(nèi)的可疑極值點(diǎn)唯一時(shí),無須判別,可直接下結(jié)論：該點(diǎn)的函數(shù)值即為在內(nèi)的最大〔小值.3.條件極值〔拉格朗日乘子法求目標(biāo)函數(shù)在約束方程下的條件極值,先作拉格朗日函數(shù),然后解方程組,則可求得可疑極值點(diǎn).對于二元以上的函數(shù)和多個(gè)約束條件,方法是類似的。習(xí)題8—81．求下列函數(shù)的極值〔1解：,故在處取得極大值〔2解：可疑極值點(diǎn)有四個(gè),即點(diǎn)-6600006-6-6600-36-363636是否極值點(diǎn)極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)不是不是2．求下列函數(shù)在約束方程下的最大值與最小值〔1解：令最大值最小值〔2解：令最大值,最小值3．從斜邊之長為的一切直角三角形中,求有最大周長的直角三角形.解：令所以當(dāng)直角三角形的兩直角邊時(shí),該直角三角形的周長最大,且為4．求兩曲面交線上的點(diǎn)與面距離最小值.解：設(shè)兩曲面交線上的點(diǎn)為,由題意可得令,,,所以當(dāng)時(shí),到面的距離最短。5．求拋物線到直線之間的最短距離.解：設(shè)拋物線上任一點(diǎn)到直線的距離為,則令所以,點(diǎn)到直線的距離為為最小,且6．求表面積為1500cm2,全部棱長之和為200cm的長方體體積的最大值和最小值.解：設(shè)長方體的三條棱長分別為,由題意可知,令當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),有最大和最小值,即7．拋物面被平面截成一橢圓,求原點(diǎn)到這橢圓的最長與最短距離.解：曲線上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為,則令當(dāng)時(shí),矛盾,所以,即,代入得所以,即習(xí)題911設(shè)有一平面薄板<不計(jì)其厚度>占有xOy面上的閉區(qū)域D薄板上分布有密度為<xy>的電荷且<xy>在D上連續(xù)試用二重積分表達(dá)該板上全部電荷Q解板上的全部電荷應(yīng)等于電荷的面密度<xy>在該板所占閉區(qū)域D上的二重積分2設(shè)其中D1{<xy>|1x12y2}又其中D2{<xy>|0x10y2}試?yán)枚胤e分的幾何意義說明I1與I2的關(guān)系解I1表示由曲面z<x2y2>3與平面x1y2以及z0圍成的立體V的體積I2表示由曲面z<x2y2>3與平面x0x1y0y2以及z0圍成的立體V1的體積顯然立體V關(guān)于yOz面、xOz面對稱因此V1是V位于第一卦限中的部分故V4V1即I14I23利用二重積分的定義證明<1><其中為D的面積>證明由二重積分的定義可知其中i表示第i個(gè)小閉區(qū)域的面積此處f<xy>1因而f<>1所以<2><其中k為常數(shù)>證明<3>其中DD1D2D1、D2為兩個(gè)無公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域證明將D1和D2分別任意分為n1和n2個(gè)小閉區(qū)域和n1n2n作和令各和的直徑中最大值分別為1和2又max<12>則有即4根據(jù)二重積分的性質(zhì)比較下列積分大小<1>與其中積分區(qū)域D是由x軸y軸與直線xy1所圍成解區(qū)域D為D{<xy>|0x0yxy1}因此當(dāng)<xy>D時(shí)有<xy>3<xy>2從而<2>與其中積分區(qū)域D是由圓周<x2>2<y1>22所圍成解區(qū)域D如圖所示由于D位于直線xy1的上方所以當(dāng)<xy>D時(shí)xy1從而<xy>3<xy>2因而<3>與其中D是三角形閉區(qū)域三角頂點(diǎn)分別為<10><11><20>解區(qū)域D如圖所示顯然當(dāng)<xy>D時(shí)1xy2從而0ln<xy>1故有[ln<xy>]2ln<xy>因而<4>與其中D{<xy>|3x50y1}解區(qū)域D如圖所示顯然D位于直線xye的上方故當(dāng)<xy>D時(shí)xye從而ln<xy>1因而[ln<xy>]2ln<xy>故5利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值<1>其中D{<xy>|0x10y1}解因?yàn)樵趨^(qū)域D上0x10y1所以0xy10xy2進(jìn)一步可得0xy<xy>2于是即<2>其中D{<xy>|0x0y}解因?yàn)?sin2x10sin2y1所以0sin2xsin2y1于是即<3>其中D{<xy>|0x10y2}解因?yàn)樵趨^(qū)域D上0x10y2所以1xy14于是即<4>其中D{<xy>|x2y24}解在D上因?yàn)?x2y24所以9x24y294<x2y2>925于是即習(xí)題921計(jì)算下列二重積分<1>其中D{<xy>||x|1|y|1}解積分區(qū)域可表示為D1x11y1于是<2>其中D是由兩坐標(biāo)軸及直線xy2所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為D0x20y2x于是<3>其中D{<xy>|0x10y1}解<4>其中D是頂點(diǎn)分別為<00><0>和<>的三角形閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為D0x0yx于是2畫出積分區(qū)域并計(jì)算下列二重積分<1>其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域圖如并且D{<xy>|0x1}于是<2>其中D是由圓周x2y24及y軸所圍成的右半閉區(qū)域解積分區(qū)域圖如并且D{<xy>|2y2}于是<3>其中D{<xy>||x||y|1}解積分區(qū)域圖如并且D{<xy>|1x0x1yx1}{<xy>|0x1x1yx1}于是ee1<4>其中D是由直線y2yx及y2x軸所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域圖如并且D{<xy>|0y2}于是3如果二重積分的被積函數(shù)f<xy>是兩個(gè)函數(shù)f1<x>及f2<y>的乘積即f<xy>f1<x>f2<y>積分區(qū)域D{<xy>|axbcyd}證明這個(gè)二重積分等于兩個(gè)單積分的乘積即證明而故由于的值是一常數(shù)因而可提到積分號的外面于是得4化二重積分為二次積分<分別列出對兩個(gè)變量先后次序不同的兩個(gè)二次積分>其中積分區(qū)域D是<1>由直線yx及拋物線y24x所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域如圖所示并且D{<xy>|}或D{<xy>|}所以或<2>由x軸及半圓周x2y2r2<y0>所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域如圖所示并且D{<xy>|}或D{<xy>|}所以或<3>由直線yxx2及雙曲線<x>0>所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域如圖所示并且D{<xy>|}或D{<xy>|}{<xy>|}所以或<4>環(huán)形閉區(qū)域{<xy>|1x2y24}解如圖所示用直線x1和x1可將積分區(qū)域D分成四部分分別記做D1D2D3D4于是用直線y1和y1可將積分區(qū)域D分成四部分分別記做D1D2D3D4如圖所示于是5設(shè)f<xy>在D上連續(xù)其中D是由直線yx、ya及xb<b>a>圍成的閉區(qū)域證明證明積分區(qū)域如圖所示并且積分區(qū)域可表示為D{<xy>|axbayx}或D{<xy>|aybyxb}于是或因此6改換下列二次積分的積分次序<1>解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D{<xy>|0y10xy}如圖因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D{<xy>|0x1xy1}所以<2>解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D{<xy>|0y2y2x2y}如圖因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D{<xy>|0x4}所以<3>解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域如圖因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為所以<4>解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域如圖因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為所以<5>解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D{<xy>|1xe0ylnx}如圖因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D{<xy>|0y1eyxe}所以<6><其中a0>．解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域如圖因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為所以7設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線xy2yx和x軸所圍成它的面密度為<xy>x2y2求該薄片的質(zhì)量解如圖該薄片的質(zhì)量為8計(jì)算由四個(gè)平面x0y0x1y1所圍成的柱體被平面z0及2x3yz6截得的立體的體積解四個(gè)平面所圍成的立體如圖所求體積為9求由平面x0y0xy1所圍成的柱體被平面z0及拋物面x2y26z截得的立體的體積解立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈{<xy>|0x10y1x}所求立體的體積為以曲面z6x2y2為頂以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積即10求由曲面zx22y2及z62x2y2所圍成的立體的體積解由消去z得x2+2y2=62x2y2即x2y2=2故立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2y22因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于x及y軸均對稱并且被積函數(shù)關(guān)于xy都是偶函數(shù)所以11畫出積分區(qū)域把積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分其中積分區(qū)域D是<1>{<xy>|x2y2a2}<a>0>解積分區(qū)域D如圖因?yàn)镈{<>|020a}所以<2>{<xy>|x2y22x}解積分區(qū)域D如圖因?yàn)樗?lt;3>{<xy>|a2x2y2b2}其中0ab解積分區(qū)域D如圖因?yàn)镈{<>|02ab}所以<4>{<xy>|0y1x0x1}解積分區(qū)域D如圖因?yàn)樗?2化下列二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分<1>解積分區(qū)域D如圖所示因?yàn)樗?lt;2>解積分區(qū)域D如圖所示并且所示<3>解積分區(qū)域D如圖所示并且所以<4>解積分區(qū)域D如圖所示并且所以13把下列積分化為極坐標(biāo)形式并計(jì)算積分值<1>解積分區(qū)域D如圖所示因?yàn)樗?lt;2>解積分區(qū)域D如圖所示因?yàn)樗?lt;3>解積分區(qū)域D如圖所示因?yàn)樗?lt;4>解積分區(qū)域D如圖所示因?yàn)樗?4利用極坐標(biāo)計(jì)算下列各題<1>,其中D是由圓周x2y24所圍成的閉區(qū)域解在極坐標(biāo)下D{<>|0202}所以<2>,其中D是由圓周x2y21及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域解在極坐標(biāo)下所以<3>其中D是由圓周x2y24x2y21及直線y0yx所圍成的第一象限內(nèi)的閉區(qū)域解在極坐標(biāo)下所以15選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列各題<1>,其中D是由直線x2,yx及曲線xy1所圍成的閉區(qū)域解因?yàn)榉e分區(qū)域可表示為所以<2>其中D是由圓周x2y21及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域解在極坐標(biāo)下所以<3>其中D是由直線yxyxayay3a<a>0>所圍成的閉區(qū)域解因?yàn)榉e分區(qū)域可表示為D{<xy>|ay3ayaxy}所以<4>其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域{<xy>|a2x2y2b2}解在極坐標(biāo)下D{<>|02ab}所以16設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由螺線2上一段弧<>與直線所圍成它的面密度為<xy>x2y2求這薄片的質(zhì)量解區(qū)域如圖所示在極坐標(biāo)下所以所求質(zhì)量17求由平面y0ykx<k>0>z0以及球心在原點(diǎn)、半徑為R的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體的體積解此立體在xOy面上的投影區(qū)域D{<xy>|0arctank0R}18計(jì)算以xOy平面上圓域x2y2ax圍成的閉區(qū)域?yàn)榈锥郧鎧x2y2為頂?shù)那斨w的體積解曲頂柱體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈{<xy>|x2y2ax}在極坐標(biāo)下所以習(xí)題931化三重積分為三次積分其中積分區(qū)域分別是<1>由雙曲拋物面xyz及平面xy10z0所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為{<xyz>|0zxy0y1x0x1}于是<2>由曲面zx2y2及平面z1所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為于是<3>由曲面zx22y2及z2x2所圍成的閉區(qū)域解曲積分區(qū)域可表示為于是提示曲面zx22y2與z2x2的交線在xOy面上的投影曲線為x2+y2=1<4>由曲面czxy<c0>z0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域解曲積分區(qū)域可表示為于是提示區(qū)域的上邊界曲面為曲面czxy下邊界曲面為平面z02設(shè)有一物體占有空間閉區(qū)域{<xyz>|0x10y10z1}在點(diǎn)<xyz>處的密度為<xyz>xyz計(jì)算該物體的質(zhì)量解3如果三重積分的被積函數(shù)f<xyz>是三個(gè)函數(shù)f1<x>、f2<y>、f3<z>的乘積即f<xyz>f1<x>f2<y>f3<z>積分區(qū)域{<xyz>|axbcydlzm}證明這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積即證明4計(jì)算其中是由曲面zxy與平面yxx1和z0所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為{<xyz>|0zxy0yx0x1}于是5計(jì)算其中為平面x0y0z0xyz1所圍成的四面體解積分區(qū)域可表示為{<xyz>|0z1xy0y1x0x1}于是提示6計(jì)算其中為球面x2y2z21及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為于是7計(jì)算其中是由平面z0zyy1以及拋物柱面yx2所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為{<xyz>|0zyx2y11x1}于是8計(jì)算其中是由錐面與平面zh<R0h0>所圍成的閉區(qū)域解當(dāng)0zh時(shí)過<00z>作平行于xOy面的平面截得立體的截面為圓Dz故Dz的半徑為面積為于是9利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分<1>其中是由曲面及zx2y2所圍成的閉區(qū)域解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為0201于是<2>其中是由曲面x2y22z及平面z2所圍成的閉區(qū)域解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為0202于是10利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分<1>其中是由球面x2y2z21所圍成的閉區(qū)域解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為0200r1于是<2>其中閉區(qū)域由不等式x2y2<za>2a2x2y2z2所確定解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為于是11選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分<1>其中為柱面x2y21及平面z1z0x0y0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為于是別解用直角坐標(biāo)計(jì)算<2>其中是由球面x2y2z2z所圍成的閉區(qū)域解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為于是<3>其中是由曲面4z225<x2y2>及平面z5所圍成的閉區(qū)域解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為于是<4>其中閉區(qū)域由不等式z0所確定解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為于是12利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍成的立體的體積<1>z6x2y2及解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為0202z62于是<2>x2y2z22az<a0>及x2y2z2<含有z軸的部分>解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為于是<3>及zx2y2解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為02012z于是<4>及x2y24z解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為于是13球心在原點(diǎn)、半徑為R的球體在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比求這球體的質(zhì)量解密度函數(shù)為在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為0200rR于是習(xí)題941求球面x2y2z2a2含在圓柱面x2y2ax內(nèi)部的那部分面積解位于柱面內(nèi)的部分球面有兩塊其面積是相同的由曲面方程z得于是2求錐面z被柱面z22x所割下的部分的曲面的面積解由z和z22x兩式消z得x2y22x于是所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為x2y22x由曲面方程得于是3求底面半徑相同的兩個(gè)直交柱面x2y2R2及x2z2R2所圍立體的表面積解設(shè)A1為曲面相應(yīng)于區(qū)域Dx2y2R2上的面積則所求表面積為A4A14設(shè)薄片所占的閉區(qū)域D如下求均勻薄片的質(zhì)心<1>D由xx0y0所圍成解令密度為1因?yàn)閰^(qū)域D可表示為所以所求質(zhì)心為<2>D是半橢圓形閉區(qū)域解令密度為1因?yàn)殚]區(qū)域D對稱于y軸所以<橢圓的面積>所求質(zhì)心為<3>D是介于兩個(gè)圓racosrbcos<0ab>之間的閉區(qū)域解令密度為1由對稱性可知<兩圓面積的差>所求質(zhì)心是5設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由拋物線yx2及直線yx所圍成它在點(diǎn)<xy>處的面密度<xy>x2y求該薄片的質(zhì)心解質(zhì)心坐標(biāo)為6設(shè)有一等腰直角三角形薄片腰長為a各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方求這薄片的質(zhì)心解建立坐標(biāo)系使薄片在第一象限且直角邊在坐標(biāo)軸上薄片上點(diǎn)<xy>處的函數(shù)為x2y2由對稱性可知薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為7利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍成立體的質(zhì)心<設(shè)密度1><1>z2x2y2z1解由對稱性可知重心在z軸上故<圓錐的體積>所求立體的質(zhì)心為<2><Aa0>z0解由對稱性可知重心在z軸上故<兩個(gè)半球體體積的差>所求立體的質(zhì)心為<3>zx2y2xyax0y0z0解所以立體的重心為8設(shè)球體占有閉區(qū)域{<xyz>|x2y2z22Rz}它在內(nèi)部各點(diǎn)的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方試求這球體的質(zhì)心解球體密度為x2y2z2由對稱性可知質(zhì)心在z軸上即在球面坐標(biāo)下可表示為于是故球體的質(zhì)心為.9設(shè)均勻薄片<面密度為常數(shù)1>所占閉區(qū)域D如下求指定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量<1>求Iy解積分區(qū)域D可表示為于是提示<2>D由拋物線與直線x2所圍成求Ix和Iy解積分區(qū)域可表示為于是<3>D為矩形閉區(qū)域{<xy>|0xa0yb}求Ix和Iy解10已知均勻矩形板<面密度為常量>的長和寬分別為b和h計(jì)算此矩形板對于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解取形心為原點(diǎn)取兩旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系11一均勻物體<密度為常量>占有的閉區(qū)域由曲面zx2y2和平面z0|x|a|y|a所圍成<1>求物體的體積解由對稱可知<2>求物體的質(zhì)心解由對稱性知<3>求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解12求半徑為a、高為h的均勻圓柱體對于過中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量<設(shè)密度1>解建立坐標(biāo)系使圓柱體的底面在xOy面上z軸通過圓柱體的軸心用柱面坐標(biāo)計(jì)算13設(shè)面密度為常量的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片占有閉區(qū)域求它對位于z軸上點(diǎn)M0<00a><a0>處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F解引力F<FxFyFz>由對稱性Fy0而14設(shè)均勻柱體密度為占有閉區(qū)域{<xyz>|x2y2R20zh}求它對于位于點(diǎn)M0<00a><ah>處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力解由柱體的對稱性可知沿x軸與y軸方向的分力互相抵消故FxFy0而總習(xí)題九1選擇以下各題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論<1>設(shè)有空間閉區(qū)域1{<xyz>|x2y2z2R2z0}2{<xyz>|x2y2z2R2x0y0z0}則有________<A><B><C><D>解<C>提示f<xyz>x是關(guān)于x的奇函數(shù)它在關(guān)于yOz平面對稱的區(qū)域1上的三重積分為零而在2上的三重積分不為零所以<A>是錯(cuò)的類似地<B>和<D>也是錯(cuò)的f<xyz>z是關(guān)于x和y的偶函數(shù)它關(guān)于yOz平面和zOx面都對稱的區(qū)域1上的三重積分可以化為1在第一卦部分2上的三重積分的四倍<2>設(shè)有平面閉區(qū)域D{<xy>|axaxya}D1{<xy>|0xaxya}則________<A><B><C><D>0解<A>2計(jì)算下列二重積分<1>其中D是頂點(diǎn)分別為<00><10><12>和<01>的梯形閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為D{<xy>|0x10yx1}于是<2>其中D{<xy>|0ysinx0x}解<3>其中D是圓周x2y2Rx所圍成的閉區(qū)域解在極坐標(biāo)下積分區(qū)域D可表示為于是<4>其中D{<xy>|x2y2R2}解因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于x軸、y軸對稱所以因?yàn)樗?交換下列二次積分的次序<1>解積分區(qū)域?yàn)椴⑶褼又可表示為D{<xy>|2x02x4yx24}所以<2>解積分區(qū)域?yàn)镈{<xy>|0y10x2y}{<xy>|1y30x3y}并且D又可表示為所以<3>解積分區(qū)域?yàn)椴⑶褼又可表示為所以4證明證明積分區(qū)域?yàn)镈{<xy>|0ya0xy}并且D又可表示為D{<xy>|0xaxya}所以5把積分表為極坐標(biāo)形式的二次積分其中積分區(qū)域D{<xy>|x2y11x1}解在極坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為DD1D2D3其中所以6把積分化為三次積分其中積分區(qū)域是由曲面zx2y2yx2及平面y1z0所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為0zx2y2x2y11x1所以7計(jì)算下列三重積分<1>其中是兩個(gè)球x2y2z2R2和x2y2z22Rz<R0>的公共部分解兩球面的公共部分在xOy面上的投影在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為所以<2>其中是由球面x2y2z21所圍成的閉區(qū)域解因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于xOy面對稱而被積函數(shù)為關(guān)于z的奇函數(shù)所以<3>其中是由xOy面上曲線y22x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面x5所圍成的閉區(qū)域解曲線y22x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面的方程為y2z22x由曲面y2z22x和平面x5所圍成的閉區(qū)域在yOz面上的投影區(qū)域?yàn)樵谥孀鴺?biāo)下此區(qū)域又可表示為所以8求平面被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積解平面的方程可寫為所割部分在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)橛谑?在均勻的半徑為R的半圓形薄片的直徑上要接上一個(gè)一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片為了使整個(gè)均勻薄片的質(zhì)心恰好落在圓心上問接上去的均勻矩形薄片另一邊的長度應(yīng)是多少？解設(shè)所求矩形另一邊的長度為H建立坐標(biāo)系使半圓的直徑在x軸上圓心在原點(diǎn)不妨設(shè)密度為1g/cm3由對稱性及已知條件可知即從而即亦即從而因此接上去的均勻矩形薄片另一邊的長度為10求曲拋物線yx2及直線y1所圍成的均勻薄片<面密度為常數(shù)>對于直線y1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解拋物線yx2及直線y1所圍成區(qū)域可表示為D{<xy>|1x1x2y1}所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為11設(shè)在xOy面上有一質(zhì)量為M的勻質(zhì)半圓形薄片占有平面閉域D{<xy>|x2y2R2y0}過圓心O垂直于薄片的直線上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)POPa求半圓形薄片對質(zhì)點(diǎn)P的引力解設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為<00a>薄片的面密度為設(shè)所求引力為F<FxFyFz>由于薄片關(guān)于y軸對稱所以引力在x軸上的分量Fx0而習(xí)題1011設(shè)在xOy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧L在點(diǎn)<xy>處它的線密度為<xy>用對弧長的曲線積分分別表達(dá)<1>這曲線弧對x軸、對y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IxIy<2>這曲線弧的重心坐標(biāo)解在曲線弧L上任取一長度很短的小弧段ds<它的長度也記做ds>設(shè)<xy>為小弧段ds上任一點(diǎn).曲線L對于x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素分別為dIxy2<xy>dsdIyx2<xy>ds曲線L對于x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為曲線L對于x軸和y軸的靜矩元素分別為dMxy<xy>dsdMyx<xy>ds曲線L的重心坐標(biāo)為2利用對弧長的曲線積分的定義證明如果曲線弧L分為兩段光滑曲線L1和L2則證明劃分L使得L1和L2的連接點(diǎn)永遠(yuǎn)作為一個(gè)分點(diǎn)則令max{si}0上式兩邊同時(shí)取極限即得3計(jì)算下列對弧長的曲線積分<1>其中L為圓周xacostyasint<0t2>解<2>其中L為連接<10>及<01>兩點(diǎn)的直線段解L的方程為y1x<0x1><3>其中L為由直線yx及拋物線yx2所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界解L1yx2<0x1>L2yx<0x1><4>其中L為圓周x2y2=a2直線yx及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界解LL1L2L3其中L1xxy0<0xa>L2xacostyasintL3xxyx因而<5>其中為曲線xetcostyetsintzet上相應(yīng)于t從0變到2的這段弧解<6>其中為折線ABCD這里A、B、C、D依次為點(diǎn)<000>、<002>、<102>、<132>解ABBCCD其中ABx0y0zt<0t1>BCxty0z2<0t3>CDx1ytz2<0t3>故.<7>其中L為擺線的一拱xa<tsint>ya<1cost><0t2>解<8>其中L為曲線xa<costtsint>ya<sinttcost><0t2>解4求半徑為a中心角為2的均勻圓弧<線密度1>的重心解建立坐標(biāo)系如圖104所示由對稱性可知又所以圓弧的重心為5設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為xacostyasintzkt其中012它的線密度<xyz>x2y2z2求<1>它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz<2>它的重心解<1><2>故重心坐標(biāo)為習(xí)題1021設(shè)L為xOy面內(nèi)直線xa上的一段證明證明設(shè)L是直線xa上由<ab1>到<ab2>的一段則Lxaytt從b1變到b2于是2.設(shè)L為xOy面內(nèi)x軸上從點(diǎn)<a0>到<b0>的一段直線證明證明Lxxy0t從a變到b所以3計(jì)算下列對坐標(biāo)的曲線積分<1>其中L是拋物線yx2上從點(diǎn)<00>到點(diǎn)<24>的一段弧解Lyx2x從0變到2所以<2>其中L為圓周<xa>2y2a2<a0>及x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界<按逆時(shí)針方向繞行>解LL1L2其中L1xaacostyasintt從0變到L2xxy0x從0變到2a因此<3>其中L為圓周xRcostyRsint上對應(yīng)t從0到的一段弧解<4>其中L為圓周x2y2a2<按逆時(shí)針方向繞行>解圓周的參數(shù)方程為xacostyasintt從0變到2所以<5>其中為曲線xkyacoszasin上對應(yīng)從0到的一段弧解<6>其中是從點(diǎn)<111>到點(diǎn)<234>的一段直線解的參數(shù)方程為x1ty12tz13tt從0變到1<7>其中為有向閉折線ABCA這里的ABC依次為點(diǎn)<100><010><001>解ABBCCA其中ABxxy1xz0x從1變到0BCx0y1zzzz從0變到1CAxxy0z1xx從0變到1故<8>其中L是拋物線yx2上從<11>到<11>的一段弧解Lxxyx2x從1變到1故4計(jì)算其中L是<1>拋物線yx2上從點(diǎn)<11>到點(diǎn)<42>的一段弧解Lxy2yyy從1變到2故<2>從點(diǎn)<11>到點(diǎn)<42>的直線段解Lx3y2yyy從1變到2故<3>先沿直線從點(diǎn)<11>到<12>然后再沿直線到點(diǎn)<42>的折線解LL1L2其中L1x1yyy從1變到2L2xxy2x從1變到4故<4>沿曲線x2t2t1yt21上從點(diǎn)<11>到<42>的一段弧解Lx2t2t1yt21t從0變到1故5一力場由沿橫軸正方向的常力F所構(gòu)成試求當(dāng)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿圓周x2y2R2按逆時(shí)針方向移過位于第一象限的那一段時(shí)場力所作的功解已知場力為F<|F|0>曲線L的參數(shù)方程為xRcosyRsin從0變到于是場力所作的功為6設(shè)z軸與力方向一致求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從位置<x1y1z1>沿直線移到<x2y2z2>時(shí)重力作的功解已知F<00mg>設(shè)為從<x1y1z1>到<x2y2z2>的直線則重力所作的功為7把對坐標(biāo)的曲線積分化成對弧長的曲線積分其中L為<1>在xOy面內(nèi)沿直線從點(diǎn)<00>到<11>解L的方向余弦故<2>沿拋物線yx2從點(diǎn)<00>到<11>解曲線L上點(diǎn)<xy>處的切向量為<12x>單位切向量為故<3>沿上半圓周x2y22x從點(diǎn)<00>到<11>解L的方程為其上任一點(diǎn)的切向量為單位切向量為故8設(shè)為曲線xtyt2zt3上相應(yīng)于t從0變到1的曲線弧把對坐標(biāo)的曲線積分化成對弧長的曲線積分解曲線上任一點(diǎn)的切向量為<12t3t2><12x3y>單位切向量為習(xí)題1031計(jì)算下列曲線積分并驗(yàn)證格林公式的正確性<1>其中L是由拋物線yx2及y2x所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線解LL1L2故而所以<2>其中L是四個(gè)頂點(diǎn)分別為<00>、<20>、<22>、和<02>的正方形區(qū)域的正向邊界解LL1L2L3L4故而所以2利用曲線積分求下列曲線所圍成的圖形的面積<1>星形線xacos3tyasin3t解<2>橢圓9x216y2144解橢圓9x216y2144的參數(shù)方程為x4cosy3sin02故<3>圓x2y22ax解圓x2y22ax的參數(shù)方程為xaacosyasin02故3.計(jì)算曲線積分其中L為圓周<x1>2y22L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向解當(dāng)x2+y20時(shí)在L內(nèi)作逆時(shí)針方向的小圓周lxcosysin<02>在以L和l為邊界的閉區(qū)域D上利用格林公式得即因此4證明下列曲線積分在整個(gè)xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)并計(jì)算積分值<1>解PxyQxy顯然P、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)而且故在整個(gè)xOy面內(nèi)積分與路徑無關(guān)取L為點(diǎn)<11>到<23>的直線y2x1x從1變到2則<2>解P6xy2y3Q6x2y3xy2顯然P、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且故積分與路徑無關(guān)取路徑<12><14><34>的折線則<3>解P2xyy43Qx24xy3顯然P、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且所以在整個(gè)xOy面內(nèi)積分與路徑無關(guān)選取路徑為從<10><12><21>的折線則5.利用格林公式計(jì)算下列曲線積分:<1>其中L為三頂點(diǎn)分別為<00>、<30>和<32>的三角形正向邊界解L所圍區(qū)域D如圖所示P2xy4Q5y3x6故由格林公式得<2>其中L為正向星形線<a0>解由格林公式<3>其中L為在拋物線2xy2上由點(diǎn)<00>到的一段弧解所以由格林公式其中L、OA、OB、及D如圖所示故<4>其中L是在圓周上由點(diǎn)<00>到點(diǎn)<11>的一段弧解Px2yQxsin2y由格林公式有其中L、AB、BO及D如圖所示故6驗(yàn)證下列P<xy>dxQ<xy>dy在整個(gè)xOy平面內(nèi)是某一函數(shù)u<xy>的全微分并求這樣的一個(gè)u<xy>:<1><x2y>dx<2xy>dy證明因?yàn)樗訮<xy>dxQ<xy>dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy面內(nèi)的函數(shù)u<xy>的全微分<2>2xydxx2dy解因?yàn)樗訮<xy>dxQ<xy>dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy面內(nèi)的函數(shù)u<xy>的全微分<3>4sinxsin3ycosxdx–3cos3ycos2xdy解因?yàn)樗訮<xy>dxQ<xy>dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy平面內(nèi)的函數(shù)u<xy>的全微分<4>解因?yàn)樗訮<xy>dxQ<xy>dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy平面內(nèi)的函數(shù)u<xy>的全微分<5>解因?yàn)樗訮<xy>dxQ<xy>dy是某個(gè)函數(shù)u<xy>的全微分7設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為Xxy2Y2xy8這變力確定了一個(gè)力場證明質(zhì)點(diǎn)在此場內(nèi)移動(dòng)時(shí)場力所做的功與路徑無關(guān)解場力所作的功為由于故以上曲線積分與路徑無關(guān)即場力所作的功與路徑無關(guān)習(xí)題1041設(shè)有一分布著質(zhì)量的曲面在點(diǎn)<xyz>處它的面密度為<xyz>用對面積的曲面積分表達(dá)這曲面對于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解假設(shè)<xyz>在曲面上連續(xù)應(yīng)用元素法在曲面上任意一點(diǎn)<xyz>處取包含該點(diǎn)的一直徑很小的曲面塊dS<它的面積也記做dS>則對于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為dIx<y2z2><xyz>dS對于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2按對面積的曲面積分的定義證明公式其中是由1和2組成的證明劃分1為m部分S1S2Sm劃分2為n部分Sm1Sm2Smn則S1SmSm1Smn為的一個(gè)劃分并且令則當(dāng)0時(shí)有3當(dāng)是xOy面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí)曲面積分與二重積分有什么關(guān)系？解的方程為z0<xy>D故4計(jì)算曲面積分其中為拋物面z2<x2y2>在xOy面上方的部分f<xyz>分別如下<1>f<xyz>1解z2<x2y2>Dxyx2y22因此<2>f<xyz>x2y2解z2<x2y2>Dxyx2y22因此<3>f<xyz>3z解z2<x2y2>Dxyx2y22因此5計(jì)算其中是<1>錐面及平面z1所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面解將分解為12其中1z1D1x2y21dSdxdy1D2x2y21提示<2>錐面z23<x2y2>被平面z0及z3所截得的部分解Dxyx2y23因而提示6計(jì)算下面對面積的曲面積分<1>其中為平面在第一象限中的部分解<2>其中為平面2x2yz6在第一象限中的部分解z62x2yDxy0y3x0x3<3>其中為球面x2y2z2a2上zh<0ha>的部分解Dxyx2y2a2h2<根據(jù)區(qū)域的對稱性及函數(shù)的奇偶性>提示<4>其中為錐面被x2y22ax所截得的有限部分解Dxyx2y22ax提示7求拋物面殼的質(zhì)量此殼的面密度為z.解Dxyx2y22故8求面密度為0的均勻半球殼x2y2z2a2<z0>對于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解Dxyx2y2a2提示習(xí)題1051按對坐標(biāo)的曲面積分的定義證明公式解證明把分成n塊小曲面Si<Si同時(shí)又表示第i塊小曲面的面積>Si在yOz面上的投影為<Si>yz<iii>是Si上任意取定的一點(diǎn)是各小塊曲面的直徑的最大值則2當(dāng)為xOy面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí)曲面積分與二重積分有什么關(guān)系？解因?yàn)閦0<xy>Dxy故當(dāng)取的是上側(cè)時(shí)為正號取的是下側(cè)時(shí)為負(fù)號3計(jì)算下列對坐標(biāo)的曲面積分<1>其中是球面x2y2z2R2的下半部分的下側(cè)解的方程為Dxyx2y2R于是<2>其中z是柱面x2y21被平面z0及z3所截得的第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)解在xOy面的投影為零故可表示為<yz>Dyz{<yz>|0y10z3}故可表示為<zx>Dzx{<zx>|0z30x1}故因此解法二前側(cè)的法向量為n<2x2y0>單位法向量為由兩種曲面積分之間的關(guān)系提示表示曲面的面積<3>其中f<xyz>為連續(xù)函數(shù)是平面xyz1在第四卦限部分的上側(cè)解曲面可表示為z1xy<xy>Dxy{<xy>|0x10yx1}上側(cè)的法向量為n<111>單位法向量為由兩類曲面積分之間的聯(lián)系可得<4>其中是平面x0y0z0xyz1所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)解1234其中1x0Dyz0y10z1y2y0Dzx0z10x1z3z0Dxy0x10y1x4z1xyDxy0x10y1x于是由積分變元的輪換對稱性可知因此解1234其中1、2、3是位于坐標(biāo)面上的三塊4z1xyDxy0x10y1x顯然在1、2、3上的曲面積分均為零于是4把對坐標(biāo)的曲面積分化成對面積的曲面積分<1>為平面在第一卦限的部分的上側(cè)解令上側(cè)的法向量為單位法向量為于是<2>是拋物面z8<x2y2>在xOy面上方的部分的上側(cè)解令F<xyz>zx2y28上側(cè)的法向量n<FxFyFz><2x2y1>單位法向量為于是1061利用高斯公式計(jì)算曲面積分<1>其中為平面x0y0z0xayaza所圍成的立體的表面的外側(cè)解由高斯公式原式<這里用了對稱性><2>其中為球面x2y2z2a2的外側(cè)解由高斯公式原式<3>其中為上半球體x2y2a2的表面外側(cè)解由高斯公式原式<4>其中界于z0和z3之間的圓柱體x2+y29的整個(gè)表面的外側(cè)解由高斯公式原式<5>其中為平面x0y0z0x1y1z1所圍成的立體的全表面的外側(cè)解由高斯公式原式2求下列向量A穿過曲面流向指定側(cè)的通量<1>Ayzi+xzj+xyk為圓柱xy2a2<0zh>的全表面流向外側(cè)解PyzQxzRxy<2>A<2xz>ix2yjxz2k為立方體0xa0ya0za的全表面流向外側(cè)解P2xzQx2yRxz2<3>A<2x3z>i<xzy>j<y22z>k是以點(diǎn)<312>為球心半徑R3的球面流向外側(cè)解P2x3zQ<xzy>Ry22z3求下列向量A的散度<1>A<x2yz>i<y2xz>j<z2xy>k解Px2+yzQy2xzRz2xy<2>Aexyicos<xy>jcos<xz2>k解PexyQcos<xy>Rcos<xz2><3>Ay2zixyjxzk解Py2QxyRxz4設(shè)u<xyz>、v<xyz>是兩個(gè)定義在閉區(qū)域上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)依次表示u<xyz>、v<xyz>沿的外法線方向的方向?qū)?shù)證明其中是空間閉區(qū)間的整個(gè)邊界曲面這個(gè)公式叫作林第二公式證明由第一格林公式<見書中例3>知將上面兩個(gè)式子相減即得5利用高斯公式推證阿基米德原理浸沒在液體中所受液體的壓力的合力<即浮力>的方向鉛直向上大小等于這物體所排開的液體的重力證明取液面為xOy面z軸沿鉛直向下設(shè)液體的密度為在物體表面上取元素dS上一點(diǎn)并設(shè)在點(diǎn)<xyz>處的外法線的方向余弦為coscoscos則dS所受液體的壓力在坐標(biāo)軸xyz上的分量分別為zcosdSzcosdSzcosdS所受的壓力利用高斯公式進(jìn)行計(jì)算得其中||為物體的體積因此在液體中的物體所受液體的壓力的合力其方向鉛直向上大小等于這物體所排開的液體所受的重力即阿基米德原理得證習(xí)題1071利用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線積分<1>其中為圓周x2y2z2a2若從z軸的正向看去這圓周取逆時(shí)針方向解設(shè)為平面xyz0上所圍成的部分則上側(cè)的單位法向量為于是提示表示的面積是半徑為a的圓<2>其中為橢圓x2y2a2<a>0b>0>若從x軸正向看去這橢圓取逆時(shí)針方向解設(shè)為平面上所圍成的部分則上側(cè)的單位法向量為于是提示<即>的面積元素為<3>其中為圓周x2y22zz2若從z軸的正向看去這圓周是取逆時(shí)針方向解設(shè)為平面z2上所圍成的部分的上側(cè)則<4>其中為圓周x2y2z29z0若從z軸的正向看去這圓周是取逆時(shí)針方向解設(shè)為xOy面上的圓x2y29的上側(cè)則2求下列向量場A的旋度<1>A<2z3y>i<3xz>j+<2x>k解<2>A<siny>i<zxcosy>k解<3>Ax2sinyiy2sin<xz>jxysin<cosz>k解[xsin<cosz>xy2cos<xz>]iysin<cosz>j[y2zcos<xz>x2cosy]k3利用斯托克斯公式把曲面積分化為曲線積分并計(jì)算積分值其中A、及n分別如下<1>Ay2ixyjxzk為上半球面的上側(cè)n是的單位法向量解設(shè)的邊界x2y21z0取逆時(shí)針方向其參數(shù)方程為xcosysinz0<02由托斯公式<2>A<yz>iyzjxzk為立方體0x20y20z2的表面外側(cè)去掉xOy面上的那個(gè)底面n是的單位法向量解4求下列向量場A沿閉曲線<從z軸正向看依逆時(shí)針方向>的環(huán)流量<1>Ayixjck<c為常量>為圓周x2y21z0解<2>A<xz>i<x3+yz>j3xy2k其中為圓周z0解有向閉曲線的參數(shù)方程為x2cosy2sinz0<02>向量場A沿閉曲線的環(huán)流量為5證明rot<ab>rotarotb解令aP1<xyz>iQ1<xyz>j+R1<xyz>kbP2<xyz>iQ2<xyz>j+R2<xyz>k由行列式的性質(zhì)有6設(shè)uu<xyz>具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求rot<gradu>解因?yàn)間raduuxiuyjuzk故<uzyuyz>i<uzxuxz>j<uyxuxy>k0*7證明<1><uv>uvvu解uvvu<2>解uvvu2uu<3><AB>B<A>A<B>解BP2iQ2jR2k而所以<AB>B<A>A<B><4><A><A>2a解令A(yù)PiQjRk則從而命題地證總習(xí)題十1填空<1>第二類曲線積分化成第一類曲線積分是____________其中、、為有向曲線弧上點(diǎn)<xyz>處的_____________的方向角解切向量<2>第二類曲面積分化成第一類曲面積分是_______其中、、為有向曲面上點(diǎn)<xyz>處的________的方向角解法向量2選擇下述題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論設(shè)曲面是上半球面x2y2z2R2<z0>曲面1是曲面在第一卦限中的部分則有________<A><B><C><D>解<C>3計(jì)算下列曲線積分<1>其中L為圓周x2y2ax解L的參數(shù)方程為<02>故<><2>其中為曲線xtcostytsintzt<0tt0>解<3>其中L為擺線xa<tsint>ya<1cost>上對應(yīng)t從0到2的一段弧解<4>其中是曲線xtyt2zt3上由聽t1=0到t21的一段弧解<5>其中L為上半圓周<xa>2y2a2y0沿逆時(shí)針方向解這里Pexsiny2yQexcosy2令L1為x軸上由原點(diǎn)到<2a0>點(diǎn)的有向直線段D為L和L1所圍成的區(qū)域則由格林公式<6>其中是用平面yz截球面x2y2z21所得的截痕從z軸的正向看去沿逆時(shí)針方向解曲線的一般方程為其參數(shù)方程為t從0變到2于是4計(jì)算下列曲面積分<1>其中是界于平面z0及zH之間的圓柱面x2y2R2解12其中DxyRyR0zHDxyRyR0zH于是<2>其中為錐面<0zh>的外側(cè)解這里Py2zQz2xRx2y設(shè)1為zh<x2y2h2>的上側(cè)為由與1所圍成的空間區(qū)域則由高斯公式而所以<3>其中為半球面的上側(cè)解設(shè)1為xOy面上圓域x2y2R2的下側(cè)為由與1所圍成的空間區(qū)域則由高斯公式得而所以<4>其中為曲面<z0>的上側(cè)解這里其中設(shè)1為z0的下側(cè)是由和1所圍成的空間區(qū)域則由高斯公式<5>其中為球面x2y2z21<x0y0>的外側(cè)解12其中1是<x2y21x0y0>的上側(cè)2是<x2y21x0y0>的下側(cè)5證明在整個(gè)xOy平面除去y的負(fù)半軸及原點(diǎn)的區(qū)域G內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分并求出一個(gè)這樣的二元函數(shù)解這里顯然區(qū)域G是單連通的P和Q在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且所以在開區(qū)域G內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)u<xy>的全微分6設(shè)在半平面x0內(nèi)有力構(gòu)成力場其中k為常數(shù)證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān)解場力沿路徑L所作的功為令因?yàn)镻和Q在單連通區(qū)域x0內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)并且所以上述曲線積分所路徑無關(guān)即力場所作的功與路徑無關(guān)7求均勻曲面的質(zhì)心的坐標(biāo)解這里<xy>Dxy{<xy>|x2y2a2}設(shè)曲面的面密度為1由曲面的對稱性可知因?yàn)樗砸虼嗽撉娴馁|(zhì)心為8設(shè)u<xy>、v<xy>在閉區(qū)域D上都具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)分段光滑的曲線L為D的正向邊界曲線證明<1><2>其中、分別是u、v沿L的外法線向量n的方向?qū)?shù)符號稱為二維拉普拉斯算子證明設(shè)L上的單位切向量為T<cossin>則n<sincos><1>所以<2>9求向量Axiyjzk通過閉區(qū)域{<xyz>|0x10y10z1}的邊界曲面流向外側(cè)的通量解設(shè)為區(qū)域的邊界曲面的外側(cè)則通量為10求力Fyizjxk沿有向閉曲線所作的功其中為平面xyz1被三個(gè)坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界從z軸正向看去沿順時(shí)針方向解設(shè)為平面xyz1在第一卦部分的下側(cè)則力場沿其邊界L<順時(shí)針方向>所作的功為曲面的的單位法向量為由斯托克斯公式有習(xí)題1111寫出下列級數(shù)的前五項(xiàng)<1>解.解.<2>解.解.<3>解.解.<4>解.解.2寫出下列級數(shù)的一般項(xiàng)<1>解一般項(xiàng)為.<2>解一般項(xiàng)為.<3>解一般項(xiàng)為.<4>解一般項(xiàng)為.3根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定下列級數(shù)的收斂性<1>解因?yàn)樗约墧?shù)發(fā)散<2>解因?yàn)樗约墧?shù)收斂<3>解.因?yàn)椴淮嬖谒圆淮嬖谝蚨摷墧?shù)發(fā)散4判定下列級數(shù)的收斂性<1>;解這是一個(gè)等比級數(shù)公比為于是所以此級數(shù)收斂<2>;解此級數(shù)是發(fā)散的這是因?yàn)槿绱思墧?shù)收斂則級數(shù)也收斂矛盾<3>;解因?yàn)榧墧?shù)的一般項(xiàng)所以由級數(shù)收斂的必要條件可知此級數(shù)發(fā)散<4>;解這是一個(gè)等比級數(shù)公比所以此級數(shù)發(fā)散<5>.解因?yàn)楹投际鞘諗康牡缺燃墧?shù)所以級數(shù)是收斂的習(xí)題1121用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判定下列級數(shù)的收斂性<1>解因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散故所給級數(shù)發(fā)散<2>解因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散故所給級數(shù)發(fā)散<3>解因?yàn)槎墧?shù)收斂故所給級數(shù)收斂<4>解因?yàn)槎墧?shù)收斂故所給級數(shù)收斂<5>解因?yàn)槎?dāng)a1時(shí)級數(shù)收斂當(dāng)0a1時(shí)級數(shù)發(fā)散所以級數(shù)當(dāng)a1時(shí)收斂當(dāng)0a1時(shí)發(fā)散2用比值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性<1>解級數(shù)的一般項(xiàng)為因?yàn)樗约墧?shù)發(fā)散<2>解因?yàn)樗约墧?shù)收斂<3>解因?yàn)樗约墧?shù)收斂<3>解因?yàn)樗约墧?shù)收斂3用根值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性<1>解因?yàn)樗约墧?shù)收斂<2>解因?yàn)樗约墧?shù)收斂<3>解因?yàn)樗约墧?shù)收斂<4>其中ana<n>anba均為正數(shù)解因?yàn)樗援?dāng)ba時(shí)級數(shù)收斂當(dāng)ba時(shí)級數(shù)發(fā)散4判定下列級數(shù)的收斂性<1>解這里因?yàn)樗约墧?shù)收斂<2>解這里因?yàn)樗约墧?shù)收斂<3>解因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散故所給級數(shù)發(fā)散<4>解因?yàn)樗约墧?shù)收斂<5>解因?yàn)樗约墧?shù)發(fā)散<6>解因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散故所給級數(shù)發(fā)散5判定下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂的是絕對收斂還是條件收斂？<1>解這是一個(gè)交錯(cuò)級數(shù)其中因?yàn)轱@然unun+1并且所以此級數(shù)是收斂的又因?yàn)槭莗1的p級數(shù)是發(fā)散的所以原級數(shù)是條件收斂的<2>解因?yàn)樗约墧?shù)是收斂的從而原級數(shù)收斂并且絕對收斂<3>解這是交錯(cuò)級數(shù)并且因?yàn)榧墧?shù)是收斂的所以原級數(shù)也收斂并且絕對收斂<4>解這是交錯(cuò)級數(shù)其中因?yàn)閡nun+1并且所以此級數(shù)是收斂的又因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散從而原級數(shù)是條件收斂的<5>解級數(shù)的一般項(xiàng)為因?yàn)樗约墧?shù)發(fā)散習(xí)題1131求下列冪級數(shù)的收斂域<1>x2x23x3nxn解故收斂半徑為R1因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)冪級數(shù)成為是發(fā)散的當(dāng)x1時(shí)冪級數(shù)成為也是發(fā)散的所以收斂域?yàn)?lt;11><2>解故收斂半徑為R1因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)冪級數(shù)成為是收斂的當(dāng)x1時(shí)冪級數(shù)成為也是收斂的所以收斂域?yàn)閇11]<3>解故收斂半徑為R收斂域?yàn)?lt;><4>解故收斂半徑為R3因?yàn)楫?dāng)x3時(shí)冪級數(shù)成為是發(fā)散的當(dāng)x3時(shí)冪級數(shù)成為也是收斂的所以收斂域?yàn)閇33><5>解故收斂半徑為因?yàn)楫?dāng)時(shí)冪級數(shù)成為是收斂的當(dāng)x1時(shí)冪級數(shù)成為也是收斂的所以收斂域