MATLAB應(yīng)用第七章多元函數(shù)微分學(xué)課件

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高等數(shù)學(xué)實驗MATLAB高等數(shù)學(xué)實驗實驗七

多元函數(shù)微分學(xué)實驗?zāi)康恼莆沼肕ATLAB計算多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的方法，并掌握計算二元函數(shù)極值和條件極值的方法。理解和掌握曲面的切平面的作法。通過作圖和觀察，理解方向?qū)?shù)、梯度和等高線的概念。實驗七

多元函數(shù)微分學(xué)實驗?zāi)康?.1學(xué)習(xí)MATLAB命令7.1學(xué)習(xí)MATLAB命令7.1.1求偏導(dǎo)數(shù)命令命令diff既可以用于求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也可用于求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。用于求偏導(dǎo)數(shù)時，可根據(jù)需要分別采用如下幾種形式。若求f(x,y,z)對x的偏導(dǎo)數(shù)，輸入diff(f(x,y,z),x)若求f(x,y,z)對y的偏導(dǎo)數(shù)，輸入diff(f(x,y,z),y)若求f(x,y,z)對x的二階偏導(dǎo)數(shù)，輸入diff(diff(f(x,y,z),x),x)或者diff(f(x,y,z),x,2)若求f(x,y,z)對x,y的混合偏導(dǎo)數(shù)，輸入diff(diff(f(x,y,z),x),y)其余類推。7.1.1求偏導(dǎo)數(shù)命令命令diff既可以用于求一元函數(shù)的7.1.2在xoy平面上作二元函數(shù) z=f(x,y)等高線的命令contour的命令格式類似于mesh和surf這兩個命令。例如輸入: [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2); z=x.^2-y.^2+0.5; contour(x,y,z,20) %參數(shù)20是等高線的數(shù)量便作出了函數(shù)z=x^2-y^2的等高線(見圖7.1)。7.1.2在xoy平面上作二元函數(shù) z=f(x,y)等高圖7.1圖7.17.1.3解符號形式的代數(shù)方程組的命令solve命令用于求解符號形式的代數(shù)方程組，其格式如下。 s=solve(eq1,eq2,…,eqN,var1,var2,…,varN)它對方程組eq1，eq2，…，eqN中指定的N個變量var1，var2，…，varN求解。s返回解的結(jié)構(gòu)，其內(nèi)容通過閱讀其域得到(輸入s.var1，s.var2，…，等等)。當(dāng)系統(tǒng)求不出解析解時，會自動求原點附近的一個近似解。7.1.3解符號形式的代數(shù)方程組的命令solve命令用于例如，輸入: s=solve(‘x^2+x*y+y=3’,‘x^2-4*x+3=0’)%或者 s=solve('x^2+x*y+y-3','x^2-4*x+3')輸出為:

s=

x:[2x1sym]

y:[2x1sym]例如，輸入:輸入: s.x,s.y %結(jié)構(gòu)的具體內(nèi)容輸出為: ans= 1 3 ans= 1 -3/2輸入:solve有另外一種輸出形式。輸入: [x,y]=solve(‘x^2+x*y+y=3’,‘x^2-4*x+3=0’)%或者 [x,y]=solve('x^2+x*y+y-3','x^2-4*x+3')輸出為: x= 1 3 y= 1 -3/2solve有另外一種輸出形式。輸入:7.2實驗內(nèi)容7.2實驗內(nèi)容7.2.1求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例1】設(shè)，求輸入: symsxy z='sin(x*y)+(cos(x*y))^2' diff(z,x) diff(z,y) diff(z,x,2) diff(diff(z,x),y)7.2.1求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例1】設(shè)便依次得到函數(shù)表達(dá)式及所求的四個偏導(dǎo)數(shù)結(jié)果: z=sin(x*y)+(cos(x*y))^2 ans=y*cos(x*y)-2*y*cos(x*y)*sin(x*y) ans=x*cos(x*y)-2*x*cos(x*y)*sin(x*y) ans=-2*y^2*cos(x*y)^2+2*y^2*sin(x*y)^2- y^2*sin(x*y) ans=-2*x*y*cos(x*y)^2- 2*cos(x*y)*sin(x*y)+cos(x*y)+2*x*y*sin(x*y) ^2-x*y*sin(x*y)便依次得到函數(shù)表達(dá)式及所求的四個偏導(dǎo)數(shù)結(jié)果:【例2】設(shè)，求。輸入: symsxy z='(1+x*y)^y'; diff(z,x) diff(z,y)則有輸出: ans=y^2*(x*y+1)^(y-1) ans=log(x*y+1)*(x*y+1)^y+x*y*(x*y+1)^(y-1)【例2】設(shè)，求【例3】設(shè)，其中是常數(shù)，求。

輸入:

symsxy

z='(a+x*y)^y';

diff(z,x)

diff(z,y)輸出為: ans=y^2*(a+x*y)^(y-1) ans=log(a+x*y)*(a+x*y)^y+x*y*(a+x*y)^(y-1)【例3】設(shè)，其中是常數(shù)，【例4】設(shè)，求。輸入: symsxyuv F='exp(u)+u*sin(v)-x'; G='exp(u)-u*cos(v)-y'; a=diff(F,x); b=diff(F,y); c=diff(F,u); d=diff(F,v); e=diff(G,x); f=diff(G,y);【例4】設(shè)，求 g=diff(G,u); h=diff(G,v); A=[a,e;d,h]; B=[b,f;d,h]; C=[c,g;a,e]; D=[c,g;b,f]; E=[c,g;d,h]; uduix=-det(A)/det(E) uduiy=-det(B)/det(E) vduix=-det(C)/det(E) vduiy=-det(D)/det(E) g=diff(G,u);輸出依次得 uduix=(u*sin(v))/(u*cos(v)^2- u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v)) uduiy=-(u*cos(v))/(u*cos(v)^2- u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v)) vduix=(cos(v)-exp(u))/(u*cos(v)^2- u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v)) vduiy=(exp(u)+sin(v))/(u*cos(v)^2- u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))輸出依次得7.2.2微分學(xué)的幾何應(yīng)用【例5】求曲面在點

處的切平面方程，并把曲面和它的切平面作在同一坐標(biāo)系里。輸入: symsxyz F='4/(x^2+y^2+1)-z'; f=diff(F,x); g=diff(F,y); h=diff(F,z);7.2.2微分學(xué)的幾何應(yīng)用【例5】求曲面 x=1/4; y=1/2; z=64/21; a=eval(f); b=eval(g); c=eval(h); x=-1:0.1:1; y=-1:0.1:1; [x,y]=meshgrid(x,y); z1=a*(x-1/4)+b*(y-1/2)+64/21; z2=4*(x.^2+y.^2+1).^(-1); mesh(x,y,z1); holdon mesh(x,y,z2)可得到曲面與切平面的圖形(見圖7.2)。 x=1/4;圖7.2圖7.27.2.3多元函數(shù)的極值【例6】求的極值。輸入: symsxy f='x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x'; fx=diff(f,x) fy=diff(f,y)輸出為: fx=3*x^2+6*x-9 fy=6*y-3*y^27.2.3多元函數(shù)的極值【例6】求再輸入: x0=roots([3,6,-9]) y0=roots([-3,6,0])輸出為駐點: x0=-3.0000 1.0000 y0=0 2再輸入: fxx=diff(f,x,2); fyy=diff(f,y,2); fxy=diff(fx,y); A=(fxx)*(fyy)-(fxy)^2; x=-3; y=0;再輸入: a1=eval(A) b1=eval(fxx) c1=eval(f) x=-3; y=2; a2=eval(A) b2=eval(fxx) c2=eval(f) x=1; y=0; a3=eval(A) b3=eval(fxx) c3=eval(f) x=1; y=2; a4=eval(A) b4=eval(fxx) c4=eval(f) a1=eval(A)

我們得到了四個駐點處的判別式函數(shù)，與的值。歸納以后用表格形式列出。 -3 0 -12 -72 27 -3 2 -12 72 31 1 0 12 72 -5 1 2 12 -72 -1

從中可見:

x=-3，y=2時，，判別式disc=72，因此函數(shù)有極大值31x=1，y=0時，，判別式disc=72，因此函數(shù)有極小值-5x=-3，y=0和x=1，y=2時，判別式disc=-72，函數(shù)在這些點不取極值另外，輸入下面命令，把函數(shù)的等高線的圖形表示出來: [x,y]=meshgrid(-5:0.1:3,-3:0.1:5);

z=x.^3-y.^3+3*x.^2+3*y.^2-9*x;

contour(x,y,z,20)輸出如圖7.3所示。從圖7.3可見，在兩個極值點附近，函數(shù)的等高線是封閉的。在非極值點附近，等高線不封閉。這也是從圖形上判斷極值點的方法。從中可見:圖7.3圖7.3【例7】求函數(shù)在條件下的極值。輸入: symsxyr g=x^2+y^2; h=x^2+y^2+x+y-1; la=g+r*h; lx=diff(la,x) ly=diff(la,y) lr=diff(la,r)輸出為: lx=2*x+r*(2*x+1) ly=2*y+r*(2*y+1) lr=x^2+x+y^2+y-1【例7】求函數(shù)在條件輸入: s=solve('2*x+r*(2*x+1)=0','2*y+r*(2*y+1)=0', 'x^2+x+y^2+y-1=0','x,y,r')得到輸出: ans= r:[2x1sym] x:[2x1sym] y:[2x1sym]再輸入: r=s.r,x=s.x,y=s.y輸入:得到: r= 3^(1/2)/3-1 -3^(1/2)/3-1 x= 3^(1/2)/2-1/2 -3^(1/2)/2-1/2 y= 3^(1/2)/2-1/2 -3^(1/2)/2-1/2即有解:得到:因此有兩個極值可疑點。再輸入: x=3^(1/2)/2-1/2; y=3^(1/2)/2-1/2; f1=eval(g) x=-3^(1/2)/2-1/2; y=-3^(1/2)/2-1/2; f2=eval(g)得到輸出: f1=0.2679 f2=3.7321因此有兩個極值可疑點。再輸入:即得到兩個可能是條件極值的函數(shù)值但是否真的取到條件極值呢?可利用等高線作圖來判斷。輸入: [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2); z=x.^2+y.^2; contour(x,y,z,30) holdon ezplot('x^2+y^2+x+y-1')輸出如圖7.4所示。即得到兩個可能是條件極值的函數(shù)值圖7.4圖7.4從圖7.4可以看到，在極值可疑點處，函數(shù)z=g(x,y)的等高線與曲線h(x,y)=0相切。函數(shù)z=g(x,y)的等高線是一系列同心圓，由里向外，函數(shù)值在增大，在的附近觀察，可以得出z=g(x,y)取條件極大的結(jié)論。在的附近觀察，可以得出z=g(x,y)取條件極小的結(jié)論。從圖7.4可以看到，在極值可疑點處，函數(shù)z=g(x,y)的等MATLAB

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多元函數(shù)微分學(xué)實驗?zāi)康恼莆沼肕ATLAB計算多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的方法，并掌握計算二元函數(shù)極值和條件極值的方法。理解和掌握曲面的切平面的作法。通過作圖和觀察，理解方向?qū)?shù)、梯度和等高線的概念。實驗七

多元函數(shù)微分學(xué)實驗?zāi)康?.1學(xué)習(xí)MATLAB命令7.1學(xué)習(xí)MATLAB命令7.1.1求偏導(dǎo)數(shù)命令命令diff既可以用于求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也可用于求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。用于求偏導(dǎo)數(shù)時，可根據(jù)需要分別采用如下幾種形式。若求f(x,y,z)對x的偏導(dǎo)數(shù)，輸入diff(f(x,y,z),x)若求f(x,y,z)對y的偏導(dǎo)數(shù)，輸入diff(f(x,y,z),y)若求f(x,y,z)對x的二階偏導(dǎo)數(shù)，輸入diff(diff(f(x,y,z),x),x)或者diff(f(x,y,z),x,2)若求f(x,y,z)對x,y的混合偏導(dǎo)數(shù)，輸入diff(diff(f(x,y,z),x),y)其余類推。7.1.1求偏導(dǎo)數(shù)命令命令diff既可以用于求一元函數(shù)的7.1.2在xoy平面上作二元函數(shù) z=f(x,y)等高線的命令contour的命令格式類似于mesh和surf這兩個命令。例如輸入: [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2); z=x.^2-y.^2+0.5; contour(x,y,z,20) %參數(shù)20是等高線的數(shù)量便作出了函數(shù)z=x^2-y^2的等高線(見圖7.1)。7.1.2在xoy平面上作二元函數(shù) z=f(x,y)等高圖7.1圖7.17.1.3解符號形式的代數(shù)方程組的命令solve命令用于求解符號形式的代數(shù)方程組，其格式如下。 s=solve(eq1,eq2,…,eqN,var1,var2,…,varN)它對方程組eq1，eq2，…，eqN中指定的N個變量var1，var2，…，varN求解。s返回解的結(jié)構(gòu)，其內(nèi)容通過閱讀其域得到(輸入s.var1，s.var2，…，等等)。當(dāng)系統(tǒng)求不出解析解時，會自動求原點附近的一個近似解。7.1.3解符號形式的代數(shù)方程組的命令solve命令用于例如，輸入: s=solve(‘x^2+x*y+y=3’,‘x^2-4*x+3=0’)%或者 s=solve('x^2+x*y+y-3','x^2-4*x+3')輸出為:

s=

x:[2x1sym]

y:[2x1sym]例如，輸入:輸入: s.x,s.y %結(jié)構(gòu)的具體內(nèi)容輸出為: ans= 1 3 ans= 1 -3/2輸入:solve有另外一種輸出形式。輸入: [x,y]=solve(‘x^2+x*y+y=3’,‘x^2-4*x+3=0’)%或者 [x,y]=solve('x^2+x*y+y-3','x^2-4*x+3')輸出為: x= 1 3 y= 1 -3/2solve有另外一種輸出形式。輸入:7.2實驗內(nèi)容7.2實驗內(nèi)容7.2.1求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例1】設(shè)，求輸入: symsxy z='sin(x*y)+(cos(x*y))^2' diff(z,x) diff(z,y) diff(z,x,2) diff(diff(z,x),y)7.2.1求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例1】設(shè)便依次得到函數(shù)表達(dá)式及所求的四個偏導(dǎo)數(shù)結(jié)果: z=sin(x*y)+(cos(x*y))^2 ans=y*cos(x*y)-2*y*cos(x*y)*sin(x*y) ans=x*cos(x*y)-2*x*cos(x*y)*sin(x*y) ans=-2*y^2*cos(x*y)^2+2*y^2*sin(x*y)^2- y^2*sin(x*y) ans=-2*x*y*cos(x*y)^2- 2*cos(x*y)*sin(x*y)+cos(x*y)+2*x*y*sin(x*y) ^2-x*y*sin(x*y)便依次得到函數(shù)表達(dá)式及所求的四個偏導(dǎo)數(shù)結(jié)果:【例2】設(shè)，求。輸入: symsxy z='(1+x*y)^y'; diff(z,x) diff(z,y)則有輸出: ans=y^2*(x*y+1)^(y-1) ans=log(x*y+1)*(x*y+1)^y+x*y*(x*y+1)^(y-1)【例2】設(shè)，求【例3】設(shè)，其中是常數(shù)，求。

輸入:

symsxy

z='(a+x*y)^y';

diff(z,x)

diff(z,y)輸出為: ans=y^2*(a+x*y)^(y-1) ans=log(a+x*y)*(a+x*y)^y+x*y*(a+x*y)^(y-1)【例3】設(shè)，其中是常數(shù)，【例4】設(shè)，求。輸入: symsxyuv F='exp(u)+u*sin(v)-x'; G='exp(u)-u*cos(v)-y'; a=diff(F,x); b=diff(F,y); c=diff(F,u); d=diff(F,v); e=diff(G,x); f=diff(G,y);【例4】設(shè)，求 g=diff(G,u); h=diff(G,v); A=[a,e;d,h]; B=[b,f;d,h]; C=[c,g;a,e]; D=[c,g;b,f]; E=[c,g;d,h]; uduix=-det(A)/det(E) uduiy=-det(B)/det(E) vduix=-det(C)/det(E) vduiy=-det(D)/det(E) g=diff(G,u);輸出依次得 uduix=(u*sin(v))/(u*cos(v)^2- u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v)) uduiy=-(u*cos(v))/(u*cos(v)^2- u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v)) vduix=(cos(v)-exp(u))/(u*cos(v)^2- u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v)) vduiy=(exp(u)+sin(v))/(u*cos(v)^2- u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))輸出依次得7.2.2微分學(xué)的幾何應(yīng)用【例5】求曲面在點

處的切平面方程，并把曲面和它的切平面作在同一坐標(biāo)系里。輸入: symsxyz F='4/(x^2+y^2+1)-z'; f=diff(F,x); g=diff(F,y); h=diff(F,z);7.2.2微分學(xué)的幾何應(yīng)用【例5】求曲面 x=1/4; y=1/2; z=64/21; a=eval(f); b=eval(g); c=eval(h); x=-1:0.1:1; y=-1:0.1:1; [x,y]=meshgrid(x,y); z1=a*(x-1/4)+b*(y-1/2)+64/21; z2=4*(x.^2+y.^2+1).^(-1); mesh(x,y,z1); holdon mesh(x,y,z2)可得到曲面與切平面的圖形(見圖7.2)。 x=1/4;圖7.2圖7.27.2.3多元函數(shù)的極值【例6】求的極值。輸入: symsxy f='x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x'; fx=diff(f,x) fy=diff(f,y)輸出為: fx=3*x^2+6*x-9 fy=6*y-3*y^27.2.3多元函數(shù)的極值【例6】求再輸入: x0=roots([3,6,-9]) y0=roots([-3,6,0])輸出為駐點: x0=-3.0000 1.0000 y0=0 2再輸入: fxx=diff(f,x,2); fyy=diff(f,y,2); fxy=diff(fx,y); A=(fxx)*(fyy)-(fxy)^2; x=-3; y=0;再輸入: a1=eval(A) b1=eval(fxx) c1=eval(f) x=-3; y=2; a2=eval(A) b2=eval(fxx) c2=eval(f) x=1; y=0; a3=eval(A) b3=eval(fxx) c3=eval(f) x=1; y=2; a4=eval(A) b4=eval(fxx) c4=eval(f) a1=eval(A)

我們得到了四個駐點處的判別式函數(shù)，與的值。歸納以后用表格形式列出。 -3 0 -12 -72 27 -3 2 -12 72 31 1 0 12 72 -5 1 2 12 -72 -1

從中可見:

x=-3，y=2時，，判別式disc=72，因此函數(shù)有極大值31x=1，y=0時，，判別式disc=72，因此函數(shù)有極小值-5x=-3，y=0和x=1，y=2時，判別式disc=-72，函數(shù)在這些點不取極值另外，輸入下面命令，把函數(shù)的等高線的圖形表示出來: [x,y]=meshgrid(-5:0.1:3,-3:0.1:5);

z=x.^3-y.^3+3*x.^2+3*y.^2-9*x;

contour(x,y,z,20)輸出如圖7.3所示。從圖7.3可見，在兩個極值點附近，函數(shù)的等高線是封閉的。在非極值點附近，等高線不封閉。這也是從圖形上判斷極值點的方法。從中可見:圖7