一元二次方程教學(xué)設(shè)計 省賽一等獎

一元二次方程教學(xué)目標在把實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的模型的過程中，形成對一元二次方程的感性認識.了解一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化為一般形式，能寫出一般形式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.經(jīng)歷由具體問題分析數(shù)量關(guān)系并建立一元二次方程模型的過程，體會數(shù)學(xué)建模思想.重點難點重點：一元二次方程的有關(guān)概念，一元二次方程的一般形式.難點：把實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的模型.教學(xué)設(shè)計預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)學(xué)生通過自主預(yù)習(xí)教材P26—27完成下列問題：1.已知方程x（7-x）=8，它一元一次方程.（填“是”或“不是”）2.如果一個方程通過整理可以使右邊為，而左邊是只含有個未知數(shù)的次多項式，這樣的方程叫做一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式是，其中二次項為，一次項為，常數(shù)項為，二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為.學(xué)生課前完成，教師檢查，學(xué)生通過預(yù)習(xí)初步感知一元二次方程的相關(guān)概念和一般形式.二．探究展示（一）合作探究1.如圖，已知一矩形的長為200cm，寬為150cm，現(xiàn)在矩形中挖去一個圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的.求挖去的圓的半徑xcm應(yīng)滿足的方程（其中π取3）引導(dǎo)學(xué)生設(shè)挖去的圓的半徑為xm，找等量關(guān)系：矩形的面積—圓的面積=矩形的面積×.列出方程：200×150-3x2=200×150×.①2.據(jù)某市交通部門統(tǒng)計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率x應(yīng)滿足的方程.引導(dǎo)學(xué)生思考：等量關(guān)系：兩年后的汽車擁有量=前年的汽車擁有量×（1+年平均增長量）2列出方程：75（1+X）2=108②3.能把①，②化成右邊為0，而左邊是只含有一個未知數(shù)的二次多項式的形式嗎？讓學(xué)生展開討論，并引導(dǎo)學(xué)生把①，②化成下列形式：①化簡，整理得x2-2500=0③②化簡，整理得25x2+50x-11=0④觀察上述方程③和④，啟發(fā)學(xué)生歸納得出：如果一個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊是只含有一個未知數(shù)的二次多項式，那么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是已知數(shù)，a≠0）其中a，b，c分別叫作二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.4.讓學(xué)生指出方程③，④中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.設(shè)計意圖：首先呈現(xiàn)兩個實際問題，通過尋找等量，列出方程，然后再引導(dǎo)學(xué)生觀察列出的兩個方程的特征，引出一元二次方程的形式，進而抽象出一元二次方程的概念.（二）展示提升1.下列方程是否為一元二次方程？若是，指出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.（1）=2t（2）5x（x+1）+7=5x2-4（3）3x（1-x）+10=2（x+2）（4）（9y-1）（2y+3）=18y2+1注意：要確定一個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先將方程化為一般形式.2.某超市1月份的營業(yè)額是36萬元，3月份的營業(yè)額是49萬元，設(shè)每月營業(yè)額的平均增長率為x，則平均增長率為x應(yīng)滿足的方程為.3.已知一個數(shù)x與比它大2的數(shù)的積等于35，請根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程，這個方程是一元二次方程嗎？設(shè)計意圖：通過習(xí)題展示，讓學(xué)生對本節(jié)知識進行及時鞏固.三．知識梳理1.一元二次方程的顯著特征是：只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，整式方程.2．一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0(a≠0)，一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項都是根據(jù)一般形式確定的.3．在把實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程模型的過程中，體會學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性和重要性.四．當堂檢測1.下列方程是一元二次方程的是（只填序號）（1）x2=-1（2）x2+xy+1=0(3)ax2+bx+c=0(4)21x2+3x-1=0(5)()2+x-1=0(6)(x+1)(x-1)x=x2+12.把一元二次方程（3x-2）(x+1)=8x-3化為一般形式是其中二次項系數(shù)是，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是.3.將一根長為64cm的鐵絲剪成兩段，每段均折成一個正方形，若兩個正方形的面積和為160cm2，，且其中一個正方形的邊長為xcm，請根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程.4．已知關(guān)于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0當k為何值時，此方程是一元二次方程，并寫出這個方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.五．教學(xué)反思配方法（1）教學(xué)目標知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程為一元一次方程。掌握用直接開平方法對形如x2=a（a≥0），（ax+n）2=d(a,n,d為常數(shù)，d≥0)形式的一元二次方程進行求解.引導(dǎo)學(xué)生體會解一元二次方程中的轉(zhuǎn)化與降次思想.重點難點重點：用直接開平方法對形如x2=a（a≥0），（ax+n）2=d(a,n,d為常數(shù)，d≥0)形式的一元二次方程進行求解.難點：體會解一元二次方程中的轉(zhuǎn)化與降次思想.教學(xué)設(shè)計預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)學(xué)生通過自主預(yù)習(xí)教材P30—31完成下列問題：1.若x2=a；則x叫a的，x=；若x2=4，則x=；若x2=2，則x=.2.方程（ax+n）2=d(a,n,d為常數(shù)，d≥0)的根為.3.根據(jù)平方根的意義來解一元二次方程的方法叫做，其實質(zhì)是，將一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為個一元一次方程.二．探究展示（一）合作探究1.如何解本章節(jié)“動腦筋”中的方程①：x2-2500=0呢？問：怎樣將這個方程“降次”為一元一次方程?引導(dǎo)學(xué)生把方程①寫成x2=2500這表明x是2500的平方根，根據(jù)平方根的意義，得X=或x=因此原方程的解是：x1=50，x2=-50對于實際問題中的方程①而言，x2=-50不合題意，應(yīng)當舍去.注意：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.2.課本P31動腦筋：如何解方程（1+x）2=81先學(xué)生討論交流：當二次項的底數(shù)是一個多項式時怎么用直接開平方法解答？教師引導(dǎo)：把1+x看成一個整體.由（1+x）2=81得1+x=或1+x=，即1+x=9或1+x=-9解得x1=9，x2=-9引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：解一元二次方程的基本思路是：通過降次，將一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.對形如x2=a（a≥0），（ax+n）2=d(a,n,d為常數(shù)，d≥0)形式的一元二次方程進行可以用直接開平方法求解,一定要注意此時方程有兩個解.設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷用直接開平方法解一元二次方程的過程，使學(xué)生對一元二次方程的解有全面了解.（二）展示提升1.解方程.（1）4x2-25=0（2）(2x+1)2=2（3）(x+3)2-36=0（4）x2-6x+9=5小組討論交流，然后小組代表在全班展示交流.設(shè)計意圖：通過習(xí)題演練、展示，加深學(xué)生對用直接開平方法解一元二次方程的理解，讓學(xué)生通過分組討論的形式，訓(xùn)練學(xué)生的合作交流意識.三．知識梳理1.解一元二次方程的基本思路是：通過降次將一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.2．對形如x2=a（a≥0），（ax+n）2=d(a,n,d為常數(shù)，d≥0)形式的一元二次方程進行可以用直接開平方法求解,一定要注意此時方程有兩個解.四．當堂檢測1.解方程.（1）9x2-49=0（2）9(1-2x)2-16=0(3)2(2x-1)2-4=0(4)25x2-10x+1=92.一個正方形面積為7m2，寬是長的一半，求長和寬各是多少.五．教學(xué)反思配方法（2）教學(xué)目標通過實例讓學(xué)生理解配方法，知道用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的基本步驟.理解“配方”是一種常用的數(shù)學(xué)方法，在用配方法將一元二次方程變形的過程中，讓學(xué)生進一步體會化歸的思想方法.重點難點重點：會用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程.難點：用配方法將一元二次方程變形成可用因式分解法或直接開平方法解的方程.教學(xué)設(shè)計預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)學(xué)生自主預(yù)習(xí)教材P32—33完成下列問題：±2ab+b2=.2.在下列各題中，填上適當?shù)臄?shù)，使等式成立：(1)x2+6x=(x+)2(2)x2-6x+=(x-)2(3)x2+6x+5=x2+6x+-+5=(x+)2-3.解方程(x+2)2-16=0.設(shè)計意圖：配方法的關(guān)鍵是正確配方，而要正確配方就必須熟悉完全平方式的特征，通過幾個題，進一步復(fù)習(xí)鞏固完全平方式中常數(shù)項與一次項系數(shù)的關(guān)系，為后面掌握配方法解一元二次方程做好充分的準備.二．探究展示（一）合作探究解方程：x2+4x=12分析：如果能夠把方程x2+4x=12寫成（ax+n）2=d(a,n,d為常數(shù)，d≥0)的形式，那么就可以利用上節(jié)課講的直接開平方法，根據(jù)平方根的意義來求解.那么怎樣把方程x2+4x=12寫成（ax+n）2=d(a,n,d為常數(shù)，d≥0)的形式呢？小組討論交流，然后總結(jié)得出：x2+4x=12是二次項系數(shù)為1的方程，在方程左邊加上一次項系數(shù)一半的平方，再減去這個數(shù)，再經(jīng)過整理就可以使方程的一邊配成完全平方形式，即（ax+n）2=d(a,n,d為常數(shù)，d≥0)的形式，最后直接開平方，就可以求出該方程的解.讓學(xué)生進一步體會化歸的思想.一般地，在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項在一個完全平方式里，這種做法叫做配方.配方、整理后就可以直接根據(jù)平方根的意義來求解.這種解一元二次方程的方法叫作配方法.教師總結(jié)：配方是為了直接運用平方根的意義，從而把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.（二）展示提升1.填空（1）x2+4x+1=x2+4x+-+1=(x+)2-(2)x2+3x-4=x2+3x+--4=(x+)2-解方程.（1）x2+10x+9=0（2）x2-12x-13=0（3）x2+8x-2=0（4）x2-5x-6=0設(shè)計意圖：通過展示，規(guī)范配方法解一元二次方程的過程，讓學(xué)生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n（n≥0）的形式.三．知識梳理1.將二次項系數(shù)為1的方程配方的基本步驟是：首先在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項在一個完全平方式里；然后將配方后的一元二次方程用直接開平方法來解.2.配方是為了直接運用平方根的意義，從而把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.四．當堂檢測1.若方程x2+kx+64=0的左邊是完全平方式，則k=2.配方：x2-8x-9=x2-8x+--9=(x-)2-3.解方程.（1）x2-2x-1=0（2）(x-2)(x+3)=64.不解方程，只通過配方判斷下列方程有無實數(shù)根.(1)x2-6x+10=0(2)x2+x+=0(3)x2-x-1=0五．教學(xué)反思配方法（3）

教學(xué)目標

1.通過實例讓學(xué)生理解配方法，知道用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程的基本步驟.2.體會一元二次方程解法中的轉(zhuǎn)化與降次的思想.

重點難點

重點：用配方法求解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程．

難點：將一元二次方程轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1的一般形式.

教學(xué)設(shè)計

一.預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)學(xué)生通過自主預(yù)習(xí)P34-P35完成下列各題.

1.用配方法解方程x2+2x-3=0.2.用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程的基本步驟是什么?3.用配方法解方程-x2+4x-1=0.設(shè)計意圖：通過觀察、對比，找出一元二次方程-x2+4x-1=0與x2+2x-3=0的不同之處，初步感知二次項系數(shù)不為1的一元二次方程的解法.關(guān)鍵是利用等式的基本性質(zhì)將二次項的系數(shù)轉(zhuǎn)化為1，讓學(xué)生體會一元二次方程解法中的轉(zhuǎn)化思想.二.探究展示(一)合作探究如何用配方法解本章節(jié)“動腦筋”中的方程②：25x2+50x-11=0呢?分析：在方程兩邊同除以25，將二次項系數(shù)化為1，得x2+2x-=0.配方，得（x+1)2=由此得x+1=或x+1=解得x1=,x2=(不符合題意，舍去）由組長帶領(lǐng)組員討論解方程25x2+50x-11=0的方法，然后總結(jié)得出：對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，可根據(jù)等式的性質(zhì),將方程兩邊同除以二次項的系數(shù)，把二次項系數(shù)化為1，然后按上一節(jié)課所學(xué)的方法來求解,讓學(xué)生進一步體會化歸的思想.(二)展示提升1.用配方法解下列方程：(1)4x2-12x-1=0；(2)-x2+4x-3=0；(3)4x2-x=9；(4)3x2+2x-3=0；設(shè)計意圖：可點名展示，也可分組展示，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力；同時增強學(xué)生團結(jié)協(xié)作的精神.老師在此環(huán)節(jié)準確引導(dǎo)，及時點撥和追問，總結(jié)出解決問題的方法和規(guī)律.2.議一議：解方程-2x2+4x-8=0學(xué)生先嘗試著解方程，然后再交流，從中得出結(jié)論與大家分享.

三.知識梳理以”本節(jié)課我們學(xué)到了什么?”啟發(fā)學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲.1.歸納用配方法解系數(shù)不為1的一元二次方程的基本步驟：首先將方程轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1的一般形式；然后加上一次項系數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項在一個完全平方式里；最后將配方后的一元二次方程用直接開平方法來解.2.配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它的重要性不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，高中學(xué)習(xí)二次曲線時都要經(jīng)常用到.

3.配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的過程要進行較繁瑣的運算，在解一元二次方程時，實際運用較少.

四.當堂檢測1.用配方法解一元二次方程2x2+5x-6=0的步驟中第一步是.2.配方：2x2-3x+=2(x-)2.3.用配方法解方程:(1)2x2-3x=1；(2)-x2+6x-12=0；4.不解方程，只通過配方判定下列方程有無實數(shù)根.

(1)2x2-5x=1；(2)-x2-x-4=0；五.教學(xué)反思公式法

教學(xué)目標1.會用公式法求解一元二次方程.2.經(jīng)歷一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，初步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力.

重點難點

重點：用公式法求解一元二次方程．

難點：求根公式的推導(dǎo).教學(xué)設(shè)計

一.預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)學(xué)生通過自主預(yù)習(xí)教材P35-P37完成下列各題.

1.用配方法解下列方程：（1）x2-6x-7=0；（2）2x2+5x=6；2.用配方法解一元二次方程的步驟是怎樣的?

（1）化二次項系數(shù)為1；

（2）移項；

（3）配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；

（4）原方程變形為（x+m）2=n的形式；

（5）如果右邊是非負數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負數(shù)，則一元二次方程無實數(shù)解．設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)用配方法解一元二次方程以及總結(jié)求解步驟，既鞏固已學(xué)知識,又為接下來學(xué)習(xí)公式法作鋪墊.二.探究展示(一)合作探究運用配方法解一元二次方程時，我們對于每一個具體的方程，都重復(fù)使用了一些相同的計算步驟，這啟發(fā)我們思考：能不能對一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,使用配方法，求出這個方程的根呢？分析：方程兩邊同除以a，得x2++=0.把方程的左邊配方，得x2++-=0因此（x+）2=.當b2—4ac≥0時，根據(jù)平方根的意義，解得x1=,x2=.于是，一元二次程ax2+bx+c=0（a≠0）在b2—4ac≥0的條件下,它的根為：X=(b2—4ac≥0).設(shè)計意圖：師生共同完成，這樣有利于減輕學(xué)生的思想負擔，便于學(xué)生將主要精力用于公式的推導(dǎo)過程中.歸納：由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：

（1）在利用求根公式解一元二次方程時，應(yīng)先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），當b2—4ac≥0時，將a、b、c代入式子就得到方程的根．

（2）這個式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根．

(二)展示提升(首先組內(nèi)討論，然后分組上臺講解，其他學(xué)生補充、質(zhì)疑，老師適時點撥、追問，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題方法).1.用公式法解下列方程：(1)x2-x-2=0；(2)x2-2x=1；(3)4x2-3x-1=x-2.設(shè)計意圖:通過學(xué)生上臺展示,進一步熟練公式法的解題步驟,規(guī)范學(xué)生的解題格式和語言表述.2.用公式法解方程：9x2+12x+8=0.歸納：通過以上兩組題的訓(xùn)練，可發(fā)現(xiàn)，當b2—4ac﹥0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當b2—4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當b2—4ac﹤0時，方程無實數(shù)根，這為后來學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式打下基礎(chǔ).三.知識梳理以“本節(jié)課我們學(xué)到了什么?”啟發(fā)學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲.1.明白一元二次方程求根公式的推導(dǎo)，熟記求根公式，并注意公式成立的條件：a≠0，b2—4ac≥0.2.熟記公式法解一元二次方程的基本步驟.3.求根公式只適用于一元二次方程,是常用而重要的一元二次方程的萬能求根公式.四.當堂檢測1.用求根公式解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的步驟是：（1）；（2）；（3）.2.方程（x+2）(x-3)=1化為一般形式為，其中a=,b=,c=,b2—4ac=,用求根公式解得x1=，x2=.3.用公式法解下列方程：(1)x2-6x+1=0；(2)2t2-t=6；(3)3x(x-3)=2(x-1)(x+1).五.教學(xué)反思因式分解法教學(xué)目標1.會用因式分解法求解一元二次方程.2.進一步體會一元二次方程解法中的轉(zhuǎn)化與降次思想.重點難點重點：用因式分解法求解一無二次方程.難點：如何對一元二次方程中的含未知數(shù)的多項式進行因式分解.教學(xué)設(shè)計一.預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)學(xué)生自主預(yù)習(xí)教材P37-P39，完成下列各題.1.將下列各式分解因式（1）x2-3x；（2）2x（5x-1）-3(5x-1)；（3）x2-4；（4）x2-10x+25.設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)因式分解，為學(xué)習(xí)本節(jié)新知識作鋪墊.2.若ab=0，則=0或=0，若x（x-3）=0，則=0或=0.3.試求下列方程的根（1）x（x-7）=0；（2）（x+1+2)（x+1-2）=0；設(shè)計意圖：解左邊是兩個一次式的積，右邊是0的一元二次方程，初步體會因式分解法解方程實現(xiàn)“降次”的方法特點.二、探究展示（一）合作探究解方程：x2-3x=0解：方程的左邊提取公因式x，得x（x-3）=0由此得x=0或x-3=0即x1=0,x2=3.歸納：像上面這樣，利用因式分解來解一元二次方程的方法叫作因式分解法.議一議：請用公式法解方程x2-3x=0，并與上面的因式分解法進行比較，你覺得哪種方法更簡單？設(shè)計意圖：通過比較因式分解法相對于公式法的便捷之處，用因式分解法解一元二次方程的本質(zhì)也是“降次”，即將一元二次方程分解為兩個一次因式，分別令每個因式等于0，得到兩個一次方程，這種解方程的方法不同于配方法的開平方，而是依據(jù)兩個實數(shù)的積等于0的主要條件是兩個實數(shù)中必有等于0的數(shù).根據(jù)以上解題步驟，組內(nèi)交流，總結(jié)用因式分解法解一元二次方程的基本步驟：（1）將方程化為左邊是含未知數(shù)的代數(shù)式，右邊是0的形式；（2）將方程左邊分解成兩個一次因式；（3）令每個因式等于0；（4）求解.（二）展示提升用因式分解法解下列方程：（1）x（x-5）=3x；（2）2x（5x-1）=3（5x-1）；（3（35-2x）2-900=0；（4）x2-10x+24=0.設(shè)計意圖：方程（1）、（2）先化成右邊為0的形式，然后利用提取公因式法解方程；方程（3）用平方差公式分解因式，再求解；方程（4）需先配方，然后再利用平方差公式分解因式求解.學(xué)生上臺展示時，老師多加鼓勵，以便學(xué)生在臺上更自信，發(fā)揮出自己最佳水平，同時加以規(guī)范、引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)慕忸}思維.三.知識梳理以“本節(jié)課我們學(xué)到了什么？”啟發(fā)學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲.一元二次方程的三種解法：配方法、公式法、因式分解法,三種解法的特點是：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法先要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0；配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程，解一元二次方程的基本思路：化二元為一元，即“降次”.四.當堂檢測1.用因式分解法解下列方程：（1）x（x-3）=5x；（2）4x2-20x+25=0.2.用因式分解法解下列方程：（1）2x（x-1）=1-x；（2）5x（x+2）=4x+8；（3）(x-3)2-2=0；（4）x2+6x+8=0.3.用因式分解法解下列方程：（1）x2-4x+4=（5-2x）2；（2）（4x-1）2-10（4x-1）2-24=0.五.教學(xué)反思一元二次方程解法的綜合運用教學(xué)目標1.會用合適的方法解一元二次方程.2.體會一元二次方程解法中的轉(zhuǎn)化與降次思想.重點難點重點：根據(jù)不同方程的特點靈活選擇合適的方法解一元二次方程.難點：通過揭示各種解法的本質(zhì)聯(lián)系，滲透降次化歸的數(shù)學(xué)思想.教學(xué)設(shè)計一.預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)學(xué)生自主預(yù)習(xí)教材P40-P41，完成下列各題.1.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪三種解一元二次方程的方法？2.用不同的方法解一元二次方程x2-4x-1=0（配方法、公式法、因式分解法）設(shè)計意圖：鞏固練習(xí)一元二次方程的三種解法，三種不同的解法體現(xiàn)了同樣的解題思路，把一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.二.探究展示（一）合作探究議一議：下列方程用哪種方法求解較簡便？說一說你的理由.（1）x2-4x=0；（2）2x2+4x-3=0；（3）x2+6x+9=16.（先組內(nèi)交流，然后組內(nèi)選出代表回答，老師加以引導(dǎo)、規(guī)范、糾錯）啟發(fā)學(xué)生歸納：一元二次方程解法的選擇順序一般為因式分解法、公式法，若沒有特殊說明一般不采用配方法，公式法是一般方法，適用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左邊易因式分解，右邊為0的特點的一元二次方程時，非常簡便，而配方法是為了推導(dǎo)出求根公式，以及先配方，然后因式分解.（二）展示提升1.選擇合適的方法解下列方程.（1）x2+3x=0；（2）5x2+4x-1=0；（3）x2+2x-3=0.設(shè)計意圖：鼓勵學(xué)生嘗試用多種方法來解，最后相互交流討論比較哪種方法更簡便，這對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的合理性、靈活性，具有重要的作用，同時，有助于學(xué)生領(lǐng)會三種方法之間的聯(lián)系.2.選擇合適的方法解下列方程.（1）x2+（+1）x=0；（2）（x+2）（x-5）=1.設(shè)計意圖：方程（1）、（2）分別選用因式分解法、公式法求解，不論選用哪種方法，三種方法的基本思路都是：將一元二次方程化為一元一次方程，即“降次”.三.知識梳理以“本節(jié)課我們學(xué)到了什么？”啟發(fā)學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲.一元二次方程的三種解法的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：（1）降次；（2）公式法由配方法推導(dǎo)而得到；（3）配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法、適用于某些一元二次方程.區(qū)別：（1）配方法要先配方，再開方求根；（2）公式法直接利用公式求根；（3）因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0.四.當堂檢測選擇合適的方法解下列方程：（1）3x2-4x=2x；（2）(x+3)2=1；（3）x(x-6)=2(X-8)；（4）(x+1)(x-1)=；（5）x(x+8)=25；（6）(2x+1)2=2(2x+1)；五.教學(xué)反思一元二次方程根的判別式

教學(xué)目標1.理解一元二次方程根的判別式的作用，會用判別式判斷一元二次方程是否有實數(shù)根和兩個實數(shù)根是否相等.2.經(jīng)歷對判別符號△的討論，體會分類討論思想.

重點難點

重點：會用判別式判斷一元二次方程是否有實數(shù)根和兩實數(shù)根是否相等.

難點：正確計算判別式的值；分類討論思想的應(yīng)用.

教學(xué)設(shè)計一.預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)學(xué)生自主預(yù)習(xí)教材P43-P45，完成下列各題.

1.一元二次方程的一般形式是，其中a、b、c分別叫作.2.將一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),配方得.3.用公式法解下列方程：（1）x2+3x-1=0；(2)x2-6x+9=0；(3)2y2-3y+4=0.設(shè)計意圖：回顧舊知，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為本節(jié)課學(xué)習(xí)根的判別式作鋪墊.二.探究展示(一)合作探究議一議：我們在運用公式法求解一元二次方程（ax2+bx+c=0（a≠0）時，總是要求b2-4ac≥0，這是為什么？將方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方得到（x+）2=由于a≠0，所以＞0，因此我們不難發(fā)現(xiàn)：（1）當＞0時,＞0,由于正數(shù)有兩個平方根，所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根，分別為x1=,x2=.

（2）當=0時,=0.由于0的平方根為0，所以原方程有兩個相等的實數(shù)根，兩實數(shù)根為x1=x2=-.（3）當＜0時，＜0.由于負數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)沒有平方根，所以原方程沒有實數(shù)根.歸納：由此可見，代數(shù)式是考察一元二次方程根的情形的依據(jù)，因此我們把叫作一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式，記作“△”，即△=設(shè)計意圖：由舊知引入，使學(xué)生更容易理解根的判別式的意義.（二）展示提升利用判別式判斷下列方程根的情況：（1）3x2+4x-3=0；(2)4x2=12x-9；(3)7y=5(y2+1).設(shè)計意圖：方程（1）△=52＞0，因此方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程（2）△=0，因此方程有兩個相等的實數(shù)根；方程（3）△=-51＜0，因此方程沒有實數(shù)根，通過此鞏固訓(xùn)練，加強學(xué)生對根的判別式運用的熟練程度.三.知識梳理以”本節(jié)課我們學(xué)到了什么？”啟發(fā)學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲.＞0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根=0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根；＜0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數(shù)根.四.當堂檢測1.一元二次方程x2-x+1的根的情況為（）（A）有兩個相等的實數(shù)根（B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）只有一個實數(shù)根（D）沒有實數(shù)根2.不解方程，利用判別式判斷下列方程根的情況：（1）3x2-4x+1=0；（2）x(x+8)=16；（3）(x+2)(x-2)=1；（4）x+5=.五.教學(xué)反思*一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)目標1.了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.2.經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生的歸納探究能力和推理論證能力.

重點難點

重點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及簡單運用．

難點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo).

教學(xué)設(shè)計

一.預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)學(xué)生自主預(yù)習(xí)教材P41-P48，完成下列各題.

1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,在b2-4ac≥0的條件下，它的根為，這個式子叫作一元二次方程的求根公式.2.對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,當時，方程有兩個的實數(shù)根；當時，方程有兩個的實數(shù)根；當時，方程實數(shù)根.設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)舊知，讓學(xué)生再次體會一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，為本節(jié)課學(xué)習(xí)新知識打下基礎(chǔ).二.探究展示(一)合作探究問題：我們已經(jīng)知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的值由方程的系數(shù)a、b、c來決定，除此之外，根與系數(shù)之間還有什么關(guān)系呢？做一做：（1）先解方程，再填表：方程X1X2X1+X2X1.X2X2-2x=00220X2+3X-4=01-4-3-4X2-5X-6=0-165-6由上表猜測：若方程X2+bx+c=0的兩個根為X1、X2，則X1+X2=-b,X1.X2=c.（2）方程X2-5X+6=0的兩個根為X1=2,X2=3,則X2-5X+6=（X-2）（X-3），當一元二次方程二次項的系數(shù)為1時，兩根之和等于一次項系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項c，那么二次項的系數(shù)不為1時，兩根之和，兩根之積與系數(shù)的關(guān)系又是怎樣的呢？動腦筋：對于方程ax2+bx+c=0（a≠0），該方程的根與它的系數(shù)之間有什么關(guān)系呢？當△≥0時，設(shè)ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根為X1、X2，則ax2+bx+c=a（X-X1）（X-X2）=a[X2-（X1+X2）X+X1·X2]，又ax2+bx+c=a（X2+）于是X2+=a[X2-（X1+X2）X+X1·X2]，因此=-（X1+X2），=X1·X2，即X1+X2=-，X1·X2=歸納：當△≥0時，一元二次方程兩根之和等于一次項系數(shù)與二次系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比，這個關(guān)系通常被稱為韋達定理，是法國數(shù)學(xué)家韋達最早發(fā)現(xiàn)的.設(shè)計意圖：經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生的歸納探究能力和推理論證能力.（二）展示提升1.根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根X1、X2的和與積：（1）2X2-3X+1=0；（2）X2-3X+2=10；（3）7X2-5=X+8；設(shè)計意圖：讓學(xué)生初步學(xué)會運用根與系數(shù)的關(guān)系來求兩根之和與兩根之積.2.已知關(guān)于X的方程X2+3X+q=0的一個根為-3，求它的另一個根及q的值。設(shè)計意圖：通過此例，考查學(xué)生靈活運用知識解決問題的能力，讓學(xué)生感受到根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的運用.三.知識梳理以“本節(jié)課我們學(xué)到了什么？”發(fā)啟學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲.根與系數(shù)關(guān)系可以用來求兩根之和、兩根之積，還可以驗算所求的根是否正確，更重要的是可以簡捷地解決一些有關(guān)一元二次方程的問題.四.當堂檢測1.（1）設(shè)方程X2-4X-1=0的兩個根為X1與X2，則X1·X2=；（2）設(shè)方程X2+5X+6=0的兩個根為X1與X2，則X1+X2=.2.設(shè)X1·X2是方程3X2+2X-3=0的兩個根，求下列各式的值：（1）X1+X2；（2）X1·X2.3.已知關(guān)于X的一元二次方程X2+mX+3=0的一個根為-1，它的另一個根及m的值.五.教學(xué)反思：一元二次方程的應(yīng)用（1）

教學(xué)目標

1.能根據(jù)具體實際問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程并求解，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界某些問題的一個有效的數(shù)學(xué)模型.

2.能根據(jù)實際問題的意義，檢驗方程的解是否合理.

重點難點

重點：從實際問題中抽出數(shù)量關(guān)系并列方程求解，最后對方程解的合理性作出解釋（即方程建模的全過程）.

難點：抽象實際問題中的數(shù)量關(guān)系，對方程解的合理性作出解釋.

教學(xué)設(shè)計

一.預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)學(xué)生自主預(yù)習(xí)教材P49-P50，完成下列各題.1.一元二次方程有哪些解法？（配方法、公式法、因式分解法）2.我們學(xué)過的列方程解應(yīng)用題，有哪些基本步驟?（①審題，②設(shè)未知數(shù)，③根據(jù)等量關(guān)系列方程，④解方程，⑤檢驗并寫出答案）設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)列方程解應(yīng)用題，為繼續(xù)學(xué)習(xí)建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型解實際問題作好鋪墊.二.探究展示(一)合作探究動腦筋：某省農(nóng)作物秸桿資源巨大，但合理使用量十分有限，因此該省準備引進適用的新技術(shù)來提高秸桿的合理使用率，若今年的使用率為40%，計劃后年的使用率達到90%，求這兩年秸桿使用率的年平均增長率（假定該省每年產(chǎn)生的秸桿總量不變）分析：由于今年到后年間隔兩年，所以問題中涉及的等量關(guān)系是：今年的使用率×（1+年平均增長率）2=后年的使用率，設(shè)這兩年秸桿使用率的年平均增長率為x，則根據(jù)等量關(guān)系，可列方程：40%（1+X）2=90%整理，得（1+X）2=解得X1==50%，X2=（不合題意，舍去）因此，這兩年秸桿使用率的年平均增長率為50%.歸納：（1）若某個量原來的值是a，每次增長的百分率是X，則增長1次后的值是a（1+X），增長2次后的值是a（1+X）2，增長n次后的值是a（1+X）n，這就是重要的增長率公式.（2）若原來的值是a，每次降低的百分率是X，則n次降低后的值是a（1-X）n，就是降低率公式.設(shè)計意圖：通過以上問題的探究，讓學(xué)生掌握增長率基本公式，并知道增長率>0,0<降低率<1，為以后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).（二）展示提升1.為執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元，求平均每次降價的百分率.2.分析：本問題中涉及的等量關(guān)系是：（售價-進價）x銷售量=利潤.解：根據(jù)題意，列方程得：(x-21)(350-10x)=400解得：x1=25,x2=31.設(shè)計意圖：將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題后，數(shù)學(xué)問題的解是否就是實際問題的解必須經(jīng)過檢驗，應(yīng)用（1）中增長率不可能是負數(shù)，因此，X2=不符合題意，應(yīng)當舍去，應(yīng)用（2）中，商品售價有“物價局限定每件商品的售價不能超過進價的120%”的約束，而方程的解X2=31不滿足這一條件，從該實際問題可以看出，有時實際問題中解的意義是“隱性”的，需要我們根據(jù)問題中的表述細心檢驗.3.實際問題建立一元二次方程模型解一元二次方程實際問的解一元二次方程的解三．知識梳理以“本節(jié)課我們學(xué)到了什么”啟發(fā)學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲.1.一元二次方程解應(yīng)用題的解題步驟.2.求平均增長率的步驟.3.解有關(guān)“利潤”問題的關(guān)鍵，“總利潤=每件商品利潤×商品數(shù)量，利潤=售價-進價”.四.當堂檢測1.某校圖書館的藏書在兩年內(nèi)從5萬冊增加到萬冊，問平均每年藏書的增長的百分率是多少？2.某品牌服裝專營店平均每天可銷售該品牌服裝20件，每件盈利44元，若每件降價1元，則每天可多售出5件，若要平均每天盈利1600元，則應(yīng)降價多少元？3.對于向上拋的物體，在沒有空氣阻力的條件下，有這樣的關(guān)系式：h=vt-gt2，其中h是上升高度，v是初速度，g是重力加速度，為方便起見，g取10m/s2，t是拋出后所經(jīng)歷的時間，如果將一物體以v=25m/s的初速度向上拋，物體何時在離拋出點20m高的地方？設(shè)計意圖：檢驗學(xué)習(xí)效果，鞏固有關(guān)增長率和利潤的數(shù)量關(guān)系在實際問題中的運用，同時讓學(xué)生明白，一元二次方程在許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，如在物理學(xué)科中的問題也與一元二次方程有很大的關(guān)系.五.教學(xué)反思一元二次方程的應(yīng)用（2）教學(xué)目標

1.能根據(jù)具體幾何實際問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程并求解.2.體會方程建模思想，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識.重點難點

用代數(shù)方法解決幾何問題是本課時的教學(xué)重點，也是教學(xué)難點.教學(xué)設(shè)計

一.預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)學(xué)生自主預(yù)習(xí)教材P51—P60，完成下列各題.

1.一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？2.一元二次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？3.長方形的長比寬多4m，面積為60m2，則長為，寬為.4.已知一個菱形的兩條對角線的長分別為6cm和8cm,那么這個菱形的邊長為，面積為.設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)，讓學(xué)生進一步熟練一元二次方程解題的步驟和關(guān)鍵，使學(xué)生掌握一元二次方程的解題方法.二.探究展示(一)合作探究動腦筋：如圖，在一長為40cm、寬為28cm的矩形鐵皮的四角截去四個全等的小正方形后，折成一個無蓋的長方形盒子，若已知長方形盒子的底面積為3640m2，求截取去的四個小正方形的邊長？分析：如果設(shè)截去的小正方形的邊長是xcm，那么無蓋長方體盒子的底面的寬是，長是，從而可以根據(jù)相等關(guān)系：，可列出方程求解.小組交流：這兩個根都符合題意嗎？為什么？設(shè)計意圖：設(shè)置問題情境引入，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)生活，激發(fā)學(xué)生的興趣.（二）展示提升1.如圖：一長為32m、寬為20m的矩形地面上修建有同樣寬的道路（圖中陰影部分）余下部分進行了綠化，若已知綠化面積為540m2，求道路的寬.分析：經(jīng)過平移后，設(shè)道路的寬為X米，新矩形的長為，新矩形的寬為，根據(jù)矩形的面積公式可列出方程求解.2.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，點P沿AC邊從點A向終點C以1cm/s的速度移動；同時點Q沿CB邊從點C向終點B以2cm/s的速度移動，且當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止移動，問點P、Q出發(fā)幾秒后，可使△PCQ的面積為9cm2?（小組討論：學(xué)生上臺講解，其他學(xué)生補充、質(zhì)疑，老師加以點撥、總結(jié)）設(shè)計意圖：應(yīng)用（1）利用平移知識有效化解了建立方程模型的難點，讓學(xué)生充分討論，認識到這種平移方法的可能性；應(yīng)用（2）是一個“動態(tài)幾何”問題，涉及“路程=速度×?xí)r間”這一基本關(guān)系，同時抓住三角形面積公式中的數(shù)量關(guān)系，這也是建立方程模型的關(guān)鍵.三.知識梳理以“本節(jié)課我們學(xué)到了什么”啟發(fā)學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲.1.一元二次方程解幾何問題需要綜合運用代X2與幾何知識。