第八章方差分析

第八章方差分析教學(xué)目的一、理解方差分析的基本原理二、掌握1、完全隨機(jī)設(shè)計的方差分析方法；2、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的方差分析方法；3、多組方差齊性檢驗(yàn)的方法。第一節(jié)方差分析的基本原理一、方差分析的功能我們學(xué)習(xí)了單樣本、雙樣本的平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)。如果我們有四個樣本資料，要檢驗(yàn)四個總體平均數(shù)是否有顯著性差異，仍用雙樣本方法（Z或t）1進(jìn)行檢驗(yàn)，其效率很低，要進(jìn)行：1C2= =6次檢驗(yàn)4 2!x(4-2)!方差分析的功能就在于方差分析能夠利用多個樣本資料，對多個總體平均數(shù)差異的顯著性進(jìn)行概括、快速檢驗(yàn)。二、方差分析的邏輯原理假如某次測試獲得如下三組數(shù)據(jù)：測試數(shù)據(jù)：ABCn=5101510122012K=314176101110Xt=12 8 15 12X 11 15 10注：n為樣本容量、K為組數(shù)、X為小組平均數(shù)、Xt為總平均數(shù)?？傋儺惪煞纸鉃閮刹糠郑?、 一個數(shù)據(jù)與總平均數(shù)的離差可以分解為該數(shù)據(jù)與本組平均數(shù)的差和本組平均數(shù)與總平均數(shù)的差兩部分。(X-Xt)=(X-X)+(X-Xt)2、 一個小組n個數(shù)據(jù)與總平均數(shù)Xt的離差平方和E(X-xy=工吹-X丿+乂-Xt力=E(X—X)2+2E(X—X)(可—Xt)+工(X—Xt)2E=(X—X)=0???E(X—Xt)2=S(X—X)2+S(X—Xt)2K組的離差平方和ZZ(X—Xt)2=ZZ(X—X)2+ZZ(X—Xt)2總平方和：SS=ZZ(X—Xt)2tt組間平方和：SS=EE(X—X)2bt組內(nèi)平方和：SS=EE(X—X)2nSS=SS+SSt b w當(dāng)組間平方和遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于組內(nèi)平方和時，則變異主要是由分組(或?qū)嶒?yàn)處理)造成，則幾個總體平均數(shù)差異顯著。反之，則幾個總體平均數(shù)差異不顯著。在實(shí)際檢驗(yàn)時，用組間方差與組內(nèi)方差的f比值作為檢驗(yàn)統(tǒng)計量。三、方差分析的基本過程】、提出假設(shè)：H0：叮巴十…H1：至少有一對總體平均數(shù)不相等。2、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計量并計算其值

※兩個條件：總體為正態(tài)分布、多個總體方差為齊性，用F檢驗(yàn)。（1）求平方和（常用原始數(shù)據(jù)計算）TnG2=工X2—TnG2=工X2—（工X）2???SStEEx2-x)2k-nSSW=EEX2-E(EX)2nss=E(EX”-(EEX)2

b n kn8.1）（8.2）（8.3）（2）確定自由度組內(nèi)自由度：d=（n—1）+（n—］）???=K（n—1）=N—Kfw12組間自由度：d=K—1fb總自由度：d=N—1=（N—K）+（K—1）ft※總自由度可分解為：組間自由度與組內(nèi)自由度兩部分。3）計算方差8.4)8.4)8.5)(8.6)(8.7)組間方差：MS=bbdfbSS組內(nèi)方差：MS=wWdfWSS總方差：MS=卜tdft(4)求F比值F=MSF=bMSw3、統(tǒng)計決斷根據(jù)fdw及a查臨界值,并進(jìn)行決斷。四、方差分析中的幾個概念1、 因素：實(shí)驗(yàn)中的自變量稱為因素（單、多）。2、 水平：某一因素內(nèi)的不同情況稱為水平。3、 處理：水平或水平的不同組合。2X3實(shí)驗(yàn)設(shè)計舉例。主要學(xué)習(xí)單因素設(shè)計的方差分析。第二節(jié)完全隨機(jī)設(shè)計的方差分析完全隨機(jī)設(shè)計：隨機(jī)抽樣、隨機(jī)分組、隨機(jī)安排處理。各樣本間為獨(dú)立樣本。一、各組n相等的情況【例題1】從某年級隨機(jī)抽取9名學(xué)生，并隨機(jī)分為三組，分別施以A、B、C三中教學(xué)方法，一學(xué)期后測試結(jié)果如下表&!，問三種教學(xué)方法的效果是否有顯著性差異？表8.1三種教學(xué)方法效果表組序號'\ABC176788627381843708185n333Sn=nk=9Ex219240255EEX=714EX2160051920621677SLX2=56888（EX）2159871920021675E（EX）2—56862nn檢驗(yàn)：1、 提出假設(shè)：H:卩=卩=卩0ABCH1：至少有一對總體平均數(shù)不相等。2、 計算F值（1） 求平方和TOC\o"1-5"\h\zSS （工X）2 （工工X）2 7142\o"CurrentDocument"SS=L - =56862— =218b n k-n 3x3SS=EEX2-X— =56888—56862=26w nSS=SS+SS=218+26=244t b w（2） 確定自由度d=nk—1=8d=k—1=3—1=2ft fbfwd =k（n—1）=3x（3—1）=6fw3）計算方差TOC\o"1-5"\h\zMS SS 244MS= $= =30.5tdf 8tSS SS 218MS=b=b= =109bdf d 2b fbSS 26MS= w=—=433wdf6w\o"CurrentDocument"MS 109（4）計算F二 b= =25.17\o"CurrentDocument"MS 4.33w3、統(tǒng)計決斷查F表知：F（2,6）0.05=5.14 F（2.6）o.0]TO.9???F=25.17>10.9二F26001（2,6）0.01???PvO.Ol因此，在0.01水平上拒絕零假設(shè)，而接受備擇假設(shè)，結(jié)論為三種教學(xué)方法的效果有極其顯著性差異。（各總體方差為齊性時，這個結(jié)論才可靠）。4、列方差分析表三種教學(xué)方法教學(xué)效果方差分析表差異來源平方和SS自由度df、-、八方差MSF組間差異218210925.17**組內(nèi)差異2664.33總差異2448二、各組n不相等的情況參看教材136頁例題。三、運(yùn)用n、b（或S）進(jìn)行F檢驗(yàn)x當(dāng)樣本數(shù)據(jù)經(jīng)過整理后，我們可以運(yùn)用n、X、a（或S）計算組間方差和組x內(nèi)方差，進(jìn)行F檢驗(yàn)。【例題】：某校初三年級有三個平行班，期末語文測驗(yàn)的成績女［表。問這三個班的語文成績有無顯著性差異？表：班次人數(shù)n平均分X標(biāo)準(zhǔn)差x一一45806二5078.55.8三47816.2檢驗(yàn)：1、 提出假設(shè)：H0：叮叮卩3H：至少有一對總體平均數(shù)不相等。2、 選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計量并計算其值總體為正態(tài)分布，三個樣本為獨(dú)立樣本，所以可用組間方差與組內(nèi)方差的F比值進(jìn)行檢驗(yàn).分步計算F值（1）計算各種平方和：先求總平均數(shù)X_工nXt Xn45x80+50x78.5+47x8179.845+50+47組間平方和：SS=n(X-X)2+n(X-X)2+…+n(X-X)2 @8)b1t22tkkt=45x(80-79.8)2+50x(78.5-79.8)2+47x(81-79.8)2=153.98組內(nèi)平方和SS=nQ2+nQ2…nQ2w1x1 2x2kxk=45x62+50x5.82+47x6.22=5108.68(2)確定自由度dfb=K-1=3-1=2dfw=n1+x2+n3-K=45+50+47-3=139（3）計算方差和F值SS 153.98MS=b= =76.99bdf2b5108.68=36.75139MS=竺=5108.68=36.75139wdfwFMS76.99…F=b= =2.09MS36.75w3、統(tǒng)計決斷：查F值表（并用內(nèi)插法計算）F（2,139）0.05=3.064???F=2.09v3.064=F（2,139）「a???P>0.05,因此在0.05水平上保留零假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)。結(jié)論為三個班的語文成績無顯著性差異。（可不進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)）。方差分析表：略第三節(jié)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的方差分析為了減少被試間個體差異對檢驗(yàn)結(jié)果的影響，把從同一個總體中隨機(jī)抽取的被試按條件相同的原則分成各個組（即區(qū)組），使每個區(qū)組內(nèi)的被試盡量保持同質(zhì)，并對各組施以所有實(shí)驗(yàn)處理。對這樣安排的實(shí)驗(yàn)的結(jié)果所進(jìn)行的平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)，稱之為隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的方差分析。（實(shí)質(zhì)為多個相關(guān)樣本的平均數(shù)差異檢驗(yàn)）。區(qū)組內(nèi)被試安排的方式：1、 一個被試作為一個區(qū)組，并接受各種實(shí)驗(yàn)處理；2、 每個區(qū)組被試人數(shù)是實(shí)驗(yàn)處理的整數(shù)倍；【如】實(shí)驗(yàn)處理數(shù)為3，則每區(qū)人數(shù)可為3、6、9等（數(shù)據(jù)用平均數(shù)，如每區(qū)為6人時，每2人接受同一處理，取2人的平均數(shù)為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)）。3、 區(qū)組內(nèi)被試為團(tuán)體單元。組內(nèi)差異是由個體差異與實(shí)驗(yàn)誤差兩部分組成。完全隨機(jī)設(shè)計中無法計算出被試個體間的差異，而隨機(jī)區(qū)組設(shè)計中，可將被試的個體差異分離出來。SS=SS+SSwreSSr：為區(qū)組平方；SSe:為誤差平方和。例題：參看教材141頁第四節(jié)各對平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)如果F檢驗(yàn)中接受了H0,則檢驗(yàn)完畢。如果接受了H],則還需進(jìn)行遂對平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（Newman和Keuls兩人提出的q檢驗(yàn)法，也稱NK）。檢驗(yàn)的過程：1、計算q值（1）完全隨機(jī)設(shè),且各組n相等分別計算各對平均數(shù)的q值。（2）完全隨設(shè)計,各組n不相等一 X1-X2q一二IMS1 1w( + )2nn*12隨機(jī)區(qū)組設(shè)計一X廠X2q一「IMSjn2、 根據(jù)dfw（或de）顯著性水平a及平均數(shù)等級數(shù)a查q值表等級數(shù)a是指將樣本平均數(shù)按由小到大進(jìn)行排列，每對平均數(shù)間所包含的樣本數(shù)（含自身）。3、 統(tǒng)計決斷列出各對平均數(shù)比較表。例題:在第三節(jié)三套漢字測驗(yàn)的得分經(jīng)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的F方差檢驗(yàn)，接受了備擇假

設(shè)。其中XA=70.98 XB=72.63XC=71.70n二4MS二0.08df二6ee1、計算各對平均數(shù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計量q值X-XqX-Xq=ABAB\MS■ e1n=兀叱?63一11.70.0.08q=-5.11ACq=6.60BC2、根據(jù)自由度、顯著性水平、以及每對平均數(shù)間的等級數(shù)a查q臨界值三套組詞測驗(yàn)平均分檢驗(yàn)的q臨界值自由度dfe等級數(shù)aq臨界值q0.05q0.01623.465.24634.346.333、統(tǒng)計推斷，并將推斷結(jié)果列表表示將平均數(shù)排序XA=70?98 Xc=71?70 Xb=九63注意各對平均數(shù)的等級數(shù)三套組詞測驗(yàn)各對平均分差異比較X=70.98 X=72.63A BXB72.63XC71.7011.70**5.11* 6.60**

例題：參看教材145-147頁第五節(jié)多組方差的齊性檢驗(yàn)各組方差為齊性，是F方差分析的基本條件。若各組方差非齊性，F(xiàn)檢驗(yàn)出的各組平均數(shù)差異顯著，有可能是由于各組方差不齊所致。方差齊性檢驗(yàn)在平均數(shù)差異檢驗(yàn)前、后均可。齊性檢驗(yàn)前，F(xiàn)方差檢驗(yàn)接受了H0,則是可靠的；接受備擇假設(shè)H「則不一定可靠，此時必須進(jìn)行多組方差的齊性檢驗(yàn)。多組方差的齊性檢驗(yàn)常用哈特萊的最大F值檢驗(yàn)法。S2檢驗(yàn)統(tǒng)計量：F=-^msxmaxS2minn相等與n不相等檢驗(yàn)過程基本相同，只是查臨界表時，n相同時，df=n-1；n不相同時df=nmax-1【例題1】：三個平行班英語考試結(jié)果為：一班：==40二班：n=一班：==40二班：n=422三班：n=463X1X2687068◎=8x1=9x2=7.5x3問三個班考試成績的方差是否為齊性？檢驗(yàn)：1、 假設(shè)H:◎2=◎2=◎20 1 2 3H］：至少有兩個總體方差不相等2、 計算Fmax40x82=65.6