初高中數(shù)學銜接教材(已整理)

精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)初高中數(shù)學銜接教材編者的話現(xiàn)有初高中數(shù)學教材存在以下“脫節(jié)”：1、絕對值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內容卻在使用；2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不講，而高中還在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次項系數(shù)為1的二次三項式的分解，對系數(shù)不為1的涉及不多，而且對三次或高次多項式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學中函數(shù)、不等式常用的解題技巧；5初中教材對二次函數(shù)的要求較低，學生處于了解水平。而高中則是貫穿整個數(shù)學教材的始終的重要內容；配方、作簡圖、求值域（取值范圍）、解二次不等式、判斷單調區(qū)間、求最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學所必須掌握的基本題型和常用方法；6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關系（韋達定理）初中不作要求，此類題目僅限于簡單的常規(guī)運算，和難度不大的應用題，而在高中數(shù)學中，它們的相互轉化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節(jié)；7、圖像的對稱、平移變換初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)時，則作為必備的基本知識要領；8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點，并無專題內容在教材中出現(xiàn)，是高考必須考的綜合題型之一；9、幾何中很多概念（如三角形的五心：重心、內心、外心、垂心、旁心）和定理（平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已經(jīng)刪除，大都沒有去學習；10、圓中四點共圓的性質和判定初中沒有學習。高中則在使用。另外，象配方法、換元法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老師根本沒有去延伸發(fā)掘，不利于高中數(shù)學的學習。新的課程改革，難免會導致很多知識的脫節(jié)和漏洞。本書當然也沒有詳盡列舉出來。我們會不斷的研究新課程及其體系。將不遺余力地找到新的初高中數(shù)學教材體系中存在的不足，加以補充和完善。歡迎廣大讀者提出寶貴意見，我們將不勝感激！目錄第一章數(shù)與式1.1數(shù)與式的運算1.1.1絕對值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.4分式1.2分解因式第二章二次方程與二次不等式2.1一元二次方程2.1.1根的判別式2.1.2根與系數(shù)的關系2.2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質2.2.2二次函數(shù)的三種表達方式2.2.3二次函數(shù)的應用2.3方程與不等式2.3.1二元二次方程組的解法第三章相似形、三角形、圓3.1相似形3.1.1平行線分線段成比例定理3.1.2相似三角形形的性質與判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：鈍角三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理及其應用3.3圓3.3.1直線與圓、圓與圓的位置關系：圓冪定理3.3.2點的軌跡3.3.3四點共圓的性質與判定3.3.4直線和圓的方程（選學）1.1數(shù)與式的運算1.１.1．絕對值絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零．即絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離．兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離．例1解不等式：＞4．解法一：由，得；由，得；①若，不等式可變?yōu)?，即?，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可變?yōu)?，?＞4，∴不存在滿足條件的x；③若，不等式可變?yōu)?，即?，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4．13ABx04CDxP|x－1||x－3|圖1．1－1解法二：如圖1．1－1，表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|＝|13ABx04CDxP|x－1||x－3|圖1．1－1所以，不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知點P在點C(坐標為0)的左側、或點P在點D(坐標為4)的右側．x＜0，或x＞4．練習1．填空：（1）若，則x=_________；若，則x=_________.（2）如果，且，則b＝________；若，則c＝________.2．選擇題：下列敘述正確的是（）（A）若，則（B）若，則（C）若，則（D）若，則3．化簡：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．1.1.2.乘法公式我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三數(shù)和平方公式；（4）兩數(shù)和立方公式；（5）兩數(shù)差立方公式．對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明．例1計算：．解法一：原式===．解法二：原式===．例2已知，，求的值．解：．練習1．填空：（1）（）；（2）；(3)．2．選擇題：（1）若是一個完全平方式，則等于（）（A）（B）（C）（D）（2）不論，為何實數(shù)，的值（）（A）總是正數(shù)（B）總是負數(shù)（C）可以是零（D）可以是正數(shù)也可以是負數(shù)1.1.3．二次根式一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如，等是無理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化．為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式．2．二次根式的意義將下列式子化為最簡二次根式：（1）；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）．例2計算：．解法一：＝＝＝＝＝．解法二：＝＝＝＝＝．例3試比較下列各組數(shù)的大?。海?）和；（2）和.解：（1）∵，，又，∴＜．（2）∵又4＞2eq\r(2)，∴eq\r(6)＋4＞eq\r(6)＋2eq\r(2)，∴＜.例4化簡：．解：＝＝＝＝．例5化簡：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．例6已知，求的值．解：∵，，∴．練習1．填空：（1）＝_____；（2）若，則的取值范圍是_____；（3）_____；（4）若，則________．2．選擇題：等式成立的條件是（）（A）（B）（C）（D）3．若，求的值．4．比較大小：2－eq\r(3)eq\r(5)－eq\r(4)（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當M≠0時，分式具有下列性質：；．上述性質被稱為分式的基本性質．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1若，求常數(shù)的值．解：∵，∴解得．例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；（2）計算：；．（1）證明：∵，∴（其中n是正整數(shù)）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）證明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整數(shù)，∴eq\f(1,n＋1)一定為正數(shù)，∴＜eq\f(1,2)．例3設，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求解：在2c2－5ac＋2a2＝0兩邊同除以2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝eq\f(1,2)＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．練習1．填空題：對任意的正整數(shù)n，()；2．選擇題：若，則＝（）（A）１（B）（C）（D）3．正數(shù)滿足，求的值．4．計算．習題1．1A組1．解不等式：(1)；(2)；(3)． ２．已知，求的值．3．填空：（1）＝________；（2）若，則的取值范圍是________；（3）________．B組1．填空：（1），，則________；（2）若，則____；2．已知：，求的值．C組1．選擇題：（1）若，則（）（A）（B）（C）（D）（2）計算等于（）（A）（B）（C）（D）2．解方程．3．計算：．4．試證：對任意的正整數(shù)n，有＜eq\f(1,4)．1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應了解求根法及待定系數(shù)法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）；（4）．解：（1）如圖1．1－1，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－by－ay－byxx圖1．1－4－2611圖1．1－3－1－211圖1．1－2－1－2xx圖1．1－1說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖1．1－1中的兩個x用1來表示（如圖1．1－2所示）．（2）由圖1．1－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由圖1．1－4，得－11xy圖1．1－5－11xy圖1．1－5（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如圖1．1－5所示）．課堂練習一、填空題：1、把下列各式分解因式：（1）__________________________________________________。（2）__________________________________________________。（3）__________________________________________________。（4）__________________________________________________。（5）__________________________________________________。（6）__________________________________________________。（7）__________________________________________________。（8）__________________________________________________。（9）__________________________________________________。（10）__________________________________________________。2、3、若則，。二、選擇題：（每小題四個答案中只有一個是正確的）1、在多項式（1）（2）（3）（4）（5）中，有相同因式的是（）A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式得（）A、B、C、D、3、分解因式得（）A、B、C、D、4、若多項式可分解為，則、的值是（）A、，B、，C、，D、，5、若其中、為整數(shù)，則的值為（）A、或B、C、D、或三、把下列各式分解因式1、2、3、4、2．提取公因式法例2分解因式：（1） （2）解：（1）．=（2）===．或＝＝＝＝＝課堂練習：一、填空題：1、多項式中各項的公因式是_______________。2、__________________。3、____________________。4、_____________________。5、______________________。6、分解因式得_____________________。7．計算=二、判斷題：（正確的打上“√”，錯誤的打上“×”）1、………… （）2、…………… （）3、…………… （）4、……………… （）3：公式法例3分解因式： （1）（2）解：(1)= (2)=課堂練習一、，，的公因式是______________________________。二、判斷題：（正確的打上“√”，錯誤的打上“×”）1、………… （）2、………………… （）3、………………… （）4、………… （）5、……………… （）五、把下列各式分解1、2、3、4、4．分組分解法例4（1）（2）．（2）===．或===．課堂練習：用分組分解法分解多項式（1）（2）5．關于x的二次三項式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若關于x的方程的兩個實數(shù)根是、，則二次三項式就可分解為.例5把下列關于x的二次多項式分解因式：（1）；（2）．解：（1）令=0，則解得，，∴==．（2）令=0，則解得，，∴=．練習1．選擇題：多項式的一個因式為（）（A）（B）（C）（D）2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；（3）x2－2x－1；（4）．習題1．21．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．2．在實數(shù)范圍內因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）．3．三邊，，滿足，試判定的形狀．4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．5.（嘗試題）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=，求++的值.2.1一元二次方程2.1.1根的判別式{情境設置：可先讓學生通過具體實例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（1）(2)(3)}我們知道，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以將其變形為．①因為a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）當b2－4ac＞0時，方程①的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根x1，2＝；（2）當b2－4ac＝0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根x1＝x2＝－；（3）當b2－4ac＜0時，方程①的右端是一個負數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由b2－4ac來判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式，通常用符號“Δ”來表示．綜上所述，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1，2＝；（2）當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－；（3）當Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根．例1判定下列關于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程沒有實數(shù)根．（2）該方程的根的判別式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根，．（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以， ①當a＝2時，Δ＝0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝1； ②當a≠2時，Δ＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①當Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，； ②當Δ＝0，即a＝1時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝1； ③當Δ＜0，即a＞1時，方程沒有實數(shù)根．說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論．分類討論這一思想方法是高中數(shù)學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題．2.1.2根與系數(shù)的關系（韋達定理） 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，，則有 ；． 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．這一關系也被稱為韋達定理． 特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化為x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例2已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值．分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根．但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一個根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就為5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一個根為－，k的值為－7．解法二：設方程的另一個根為x1，則2x1＝－，∴x1＝－．由（－）＋2＝－，得k＝－7．所以，方程的另一個根為－，k的值為－7．例3已知關于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值．分析： 本題可以利用韋達定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關于m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應大于零．解：設x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化簡，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．當m＝－1時，方程為x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，滿足題意；當m＝17時，方程為x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合題意，舍去．綜上，m＝17．說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可．（1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于零．因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根．例4已知兩個數(shù)的和為4，積為－12，求這兩個數(shù)．分析：我們可以設出這兩個數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數(shù)．也可以利用韋達定理轉化出一元二次方程來求解．解法一：設這兩個數(shù)分別是x，y，則x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴或因此，這兩個數(shù)是－2和6．解法二：由韋達定理可知，這兩個數(shù)是方程x2－4x－12＝0的兩個根．解這個方程，得x1＝－2，x2＝6． 所以，這兩個數(shù)是－2和6． 說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷． 例5若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根． （1）求|x1－x2|的值；（2）求的值；（3）x13＋x23． 解：∵x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根，∴，． （1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝＋6＝，∴|x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－)×[(－)2－3×()]＝－． 說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則，，∴|x1－x2|＝．于是有下面的結論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則|x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結論．例6若關于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍．解：設x1，x2是方程的兩根，則x1x2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜eq\f(17,4)．∴a的取值范圍是a＜4．練習1．選擇題：（1）方程的根的情況是（）（A）有一個實數(shù)根（B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根（D）沒有實數(shù)根（2）若關于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）（A）m＜（B）m＞－（C）m＜，且m≠0（D）m＞－，且m≠02．填空:（1）若方程x2－3x－1＝0的兩根分別是x1和x2，則＝．（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情況是．（3）以－3和1為根的一元二次方程是．3．已知，當k取何值時，方程kx2＋ax＋b＝0有兩個不相等的實數(shù)根？4．已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．習題2.1A組1．選擇題:（1）已知關于x的方程x2＋kx－2＝0的一個根是1，則它的另一個根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（2）下列四個說法：①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；③方程3x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為；④方程3x2＋2x＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0．其中正確說法的個數(shù)是（）（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個（3）關于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個根是0，則a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－12．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，則k＝．（2）方程2x2－x－4＝0的兩根為α，β，則α2＋β2＝．（3）已知關于x的方程x2－ax－3a＝0的一個根是－2，則它的另一個根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則|x1－x2|＝．3．試判定當m取何值時，關于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4．求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)．B組1．選擇題:若關于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的兩根互為相反數(shù)，則k的值為()（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的兩個實數(shù)根，則m2n＋mn2－mn的值等于．（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知關于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的兩根為x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求實數(shù)k的取值范圍．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1和x2．求：（1）|x1－x2|和；（2）x13＋x23．5．關于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足|x1－x2|＝2，求實數(shù)m的值．C組1．選擇題：（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于（）（A）（B）3（C）6（D）9（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個根，則的值為（）（A）6（B）4（C）3（D）（3）如果關于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有兩實數(shù)根α，β，則α＋β的取值范圍為（）（A）α＋β≥（B）α＋β≤（C）α＋β≥1（D）α＋β≤1（4）已知a，b，c是ΔABC的三邊長，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情況是()（A）沒有實數(shù)根（B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根（D）有兩個異號實數(shù)根2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且3x1＋2x2＝18，則m＝．3．已知x1，x2是關于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數(shù)根．（1）是否存在實數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（2）求使－2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k＝－2，，試求的值．4．已知關于x的方程．（1）求證：無論m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；（2）若這個方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相應的x1，x2．5．若關于x的方程x2＋x＋a＝0的一個大于1、零一根小于1，求實數(shù)a的取值范圍．2．2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質情境設置：可先讓學生通過具體實例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖（1）(2)(3)問題1函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關系，推導出函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關系．先畫出函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了．再描點、連線，就分別得到了函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關系：函數(shù)y＝2x2的圖象可以由函數(shù)y＝x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫剑瑢W們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關系．通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到．在二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大?。畣栴}2函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關系？圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關系來研究它們之間的關系．同學們可以作出函數(shù)y＝2(x圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1類似地，還可以通過畫函數(shù)y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關系．通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．由上面的結論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質：（1）當a＞0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而減??；當x＞時，y隨著x的增大而增大；當x＝時，函數(shù)取最小值y＝． （2）當a＜0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而增大；當x＞時，y隨著x的增大而減?。划攛＝時，函數(shù)取最大值y＝．xyxyOx＝－A圖2.2-3xyOx＝－A圖2.2-4yy＝x2y＝2x2圖2.2-1xOy例1求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫出該函數(shù)的圖象．xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC圖2.2－5解：∵y＝xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC圖2.2－5∴函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x＝－1；頂點坐標為(－1，4)；當x＝－1時，函數(shù)y取最大值y＝4；當x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當x＞－1時，y隨著x的增大而減小；采用描點法畫圖，選頂點A(－1，4))，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖2－5所示）．說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象作圖要領：確定開口方向：由二次項系數(shù)a決定確定對稱軸：對稱軸方程為確定圖象與x軸的交點情況，①若△>0則與x軸有兩個交點，可由方程x2＋bx＋c=0求出②①若△=0則與x軸有一個交點，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①若△<0則與x軸有無交點。確定圖象與y軸的交點情況,令x=0得出y=c，所以交點坐標為（0，c）由以上各要素出草圖。練習：作出以下二次函數(shù)的草圖 （1） (2) (3)例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關系如下表所示：x/元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤＝日銷售量y×(銷售價x－120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關系，然后，再由它們之間的函數(shù)關系求出每天利潤的最大值．解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設y＝kx＋（B）將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．設每天的利潤為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴當x＝160時，z取最大值1600．答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．例3把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數(shù)y＝x2的圖像，所以，解得b＝－8，c＝14． 解法二：把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，等價于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像． 由于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y＝(x－4)2＋2的圖像，即為y＝x2－8x＋14的圖像，∴函數(shù)y＝x2－8x＋14與函數(shù)y＝x2＋bx＋c表示同一個函數(shù)，∴b＝－8，c＝14．說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點．今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題．例4已知函數(shù)y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應的自變量x的值．分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論． 解：（1）當a＝－2時，函數(shù)y＝x2的圖象僅僅對應著一個點(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；（2）當－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當x＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當x＝a時，函數(shù)取最小值y＝a2；（3）當0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當x＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當x＝0時，函數(shù)取最小值y＝0；（4）當a≥2時，由圖2．2－6③可知，當x＝a時，函數(shù)取最大值y＝a2；當x＝0時，函數(shù)取最小值y＝0．xxyO－2a①xyO－2aa24圖2.2－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題．練習1．選擇題：（1）下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標軸上的是（）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1（D）y＝2x2－4x（2）函數(shù)y＝2(x－1)2＋2是將函數(shù)y＝2x2（）（A）向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的（B）向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的（C）向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的（D）向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的2．填空題（1）二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的頂點坐標為(1，－2)，則m＝，n＝．（2）已知二次函數(shù)y＝x2+(m－2)x－2m，當m＝時，函數(shù)圖象的頂點在y軸上；當m＝時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當m＝時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點．（3）函數(shù)y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開口向，對稱軸為，頂點坐標為；當x＝時，函數(shù)取最值y＝；當x時，y隨著x的增大而減?。?．求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大（?。┲导皔隨x的變化情況，并畫出其圖象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．4．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3，當自變量x在下列取值范圍內時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當函數(shù)取最大（?。┲禃r所對應的自變量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式通過上一小節(jié)的學習，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．頂點式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中頂點坐標是(－h(huán)，k)．除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示．為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點個數(shù)．當拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點的橫坐標（縱坐標為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數(shù)與方程①的解的個數(shù)有關，而方程①的解的個數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式Δ＝b2－4ac存在下列關系：（1）當Δ＞0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點，則Δ＞0也成立．（2）當Δ＝0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點，則Δ＝0也成立．（3）當Δ＜0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點，則Δ＜0也成立．于是，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以x1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a()=a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)．由上面的推導過程可以得到下面結論： 若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，則其函數(shù)關系式可以表示為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3．交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標．今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題．例1已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過點（3，－1），求二次函數(shù)的解析式．分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，∴頂點的縱坐標為2．又頂點在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點坐標是（1，2）．設該二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（3，－1），∴，解得a＝－2．∴二次函數(shù)的解析式為，即y＝－2x2＋8x－7．說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數(shù)的頂點式，最終解決了問題．因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題．例2已知二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達式．分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數(shù)的表達式設成交點式．解法一：∵二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴可設二次函數(shù)為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展開，得y＝ax2＋2ax－3a，頂點的縱坐標為，由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數(shù)的表達式為y＝，或y＝－． 分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x＝－1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或－2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達式． 解法二：∵二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴對稱軸為直線x＝－1．又頂點到x軸的距離為2，∴頂點的縱坐標為2，或－2．于是可設二次函數(shù)為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函數(shù)圖象過點(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函數(shù)為y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2． 說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題．例3已知二次函數(shù)的圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達式．解：設該二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函數(shù)圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函數(shù)為y＝－2x2＋12x－8．通過上面的幾道例題，同學們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點式、交點式來求二次函數(shù)的表達式？練習1．選擇題:（1）函數(shù)y＝－x2＋x－1圖象與x軸的交點個數(shù)是（）（A）0個（B）1個（C）2個（D）無法確定（2）函數(shù)y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋2的頂點坐標是（）（A）(1，2)（B）(1，－2)（C）(－1，2)（D）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(－1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可設為y＝a(a≠0)．（2）二次函數(shù)y＝－x2+2eq\r(3)x＋1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離為．3．根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式．（1）圖象經(jīng)過點(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）當x＝3時，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過點(1，11)；（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(1－eq\r(2)，0)和(1＋eq\r(2)，0)，并與y軸交于(0，－2)．2.2.3二次函數(shù)的簡單應用 一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換 1．平移變換 問題1在把二次函數(shù)的圖象進行平移時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？ 我們不難發(fā)現(xiàn)：在對二次函數(shù)的圖象進行平移時，具有這樣的特點——只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點式研究其頂點的位置即可． 例1求把二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對應的函數(shù)解析式： （1）向右平移2個單位，向下平移1個單位； （2）向上平移3個單位，向左平移2個單位． 分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項系數(shù)），所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點位置（即只改變一次項和常數(shù)項），所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點位置求出平移后函數(shù)圖像所對應的解析式． 解：二次函數(shù)y＝2x2－4x－3的解析式可變?yōu)閥＝2(x－1)2－1， 其頂點坐標為(1，－1)． （1）把函數(shù)y＝2(x－1)2－1的圖象向右平移2個單位，向下平移1個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標是(3，－2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應的函數(shù)表達式就為 y＝2(x－3)2－2． （2）把函數(shù)y＝2(x－1)2－1的圖象向上平移3個單位，向左平移2個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標是(－1，2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應的函數(shù)表達式就為 y＝2(x＋1)2＋2． 2．對稱變換 問題2在把二次函數(shù)的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？ 我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，具有這樣的特點——只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對稱變換問題時，關鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點位置和開口方向來解決問題．xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)圖2.2－7 xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)圖2.2－7 （1）直線x＝－1； （2）直線y＝1． 解：（1）如圖2．2－7，把二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關于直線x＝－1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置，不改變其形狀． 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函數(shù)y＝2x2－4x＋1圖象的頂點為A(1,－1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為A1(－3，1)，所以，二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關于直線x＝－1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．xyOy＝1A(1,－1)B(1，3)圖2.2－8 （2）如圖2．2－8，把二次函數(shù)xyOy＝1A(1,－1)B(1，3)圖2.2－8 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函數(shù)y＝2x2－4x＋1圖象的頂點為A(1,－1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為B(1，3)，且開口向下，所以，二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關于直線y＝1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．練習1．選擇題：把函數(shù)y＝－(x－1)2＋4的圖象向左平移2個單位，向下平移3個單位，所得圖象對應的解析式為（）（A）y＝(x＋1)2＋1（B）y＝－(x＋1)2＋1（C）y＝－(x－3)2＋4（D）y＝－(x－3)2＋12某商場銷售一批名脾襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)每件襯衫降價1元，商場平均每天可多售出2件：(1)若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫要降價多少元，(2)每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多?2.3.1一、知識概述1、二元二次方程含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫二元二次方程．關于x、y的二元二次方程的一般形式為ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0(a、b、c至少有一個不為0)，其中ax2、bxy、cy2叫做二次項，a、b、c分別是二次項的系數(shù)；dx、ey叫做一次項，d、e分別是一次項的系數(shù)；f叫做常數(shù)項．例，xy=1，x2－y=0，x－y－2xy=－3都是二元二次方程；x－y=1，x2y=0都不是二元二次方程．2、二元二次方程組由一個二元一次方程和一個二元二次方程組組成的方程組，或者由兩個二元二次方程組成的方程組叫二元二次方程組．3、解二元二次方程組的思想和方法解二元二次方程組的基本思想是“轉化”，將二元轉化為一元，將二次轉化為一次，轉化的基本方法是“消元”和“降次”．因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程組的關鍵．二、重點、難點和疑點突破1、由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的解法(簡稱“二·一”型方程組)(1)代入消元法(即代入法)代入法是解“二·一”型方程組的一般方法，具體步驟是：①先將方程組中的二元一次方程變形，用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)；②把所得的代數(shù)式代入另一個方程中，使其轉化為一個一元二次方程或一元一次方程；③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把所求的未知數(shù)的值代入第一步所得的關系中求出另一個未知數(shù)的值；⑤寫出方程組的解．(2)逆用根與系數(shù)關系定理法對“二·一”型二元二次方程組成的形如的方程組，可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，把x、y看成一元二次方程z2-az＋b=0的兩個根，解這個方程，求得的z1和z2的值，就是x，y的值，當x1=z1時，y1=z2；當x2=z2時，y2=z1，所以原方程組的解是兩組“對稱解”．2、對“二·一”型的二元二次方程組的解的情況的判別“二·一”型的二元二次方程組的實數(shù)解有三種情況：有一解、兩解和沒有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一個未知數(shù)之后，得到一個一元二次方程．由根的判別式可知，解的情況可能是有兩個不相等的實數(shù)解，兩個相等的實數(shù)解或無實數(shù)解，這樣的二元二次方程組的解也就相應地有三種情況．簡言之，有一個二元一次方程的二元二次方程組的實數(shù)解的情況，一般可通過一元二次方程的根的判別式來判斷．3、“二·二”型方程組的解法解“二·二”型方程組的基本思想仍是“轉化”，轉化的方法是“降次”、“消元”．它的一般解法是：(1)當方程組中只有一個可分解為兩個二元一次方程的方程時，可將分解得到的兩個二元一次方程分別與原方程組中的另一個二元二次方程組成兩個“二·一”型方程組，解這兩個“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解．(2)當方程組中兩個二元二次方程都可分解為兩個二元一次方程時，將第一個二元二次方程分解所得到的每一個二元一次方程分別與第二個二元二次方程分解所得的每一個二元一次方程組成方程組，可得到四個二元一次方程組，解這四個二元一次方程組，所得的解都是原方程組的解．4、“二·二”型方程組的解的情況由同一個二元二次方程化成的兩個二元一次方程一般不能組成方程組．值得注意的是“二·一”型方程組最多有兩個解；“二·二”型方程組最多有四個解．解方程組時，既不要漏解，也不要增解．三、解題方法技巧點撥1、“二·一”型二元二次方程組的解例1、解方程組分析：此方程組含有一個二元一次方程，所以可用代入法解，這是第一種解法；如果把①變形為(x＋y)2=4，得x＋y=2或x＋y=－2，則原方程組可變形為兩個二元一次方程組．解這兩個二元一次方程組所得的解都是原方程組的解，這是第二種解法．解法1：由②得x=2y＋5③將③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2=4．整理，得3y2＋10y＋7=0．點評：解“二·一”型二元二次方程組，一般常采用前一種解法，即先代入消元，再分解降次(或用公式法)求解．本例的第二種解法是一種特殊解法，它只適合一些特殊形式的方程組．分解：仔細觀察這個方程組，不難發(fā)現(xiàn)，此方程組除可用代入法解外，還可聯(lián)系通過構造一個以x，y為根的一元二次方程來求解．解法1：由①得y=8－x．③把③代入②，整理得x2－8x＋12=0．解得x1=2，x2=6．把x1=2代入③，得y1=6．把x1=6代入③，得y2=2．解法2：根據(jù)韋達定理可知，x，y是一元二次方程z2－8z＋12=0的兩個根，解這個方程，得z1=2，z2=6．點悟：“代入法”是解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組的一般方法，適用范圍廣；“逆用韋達定理法”雖然簡便，但它只適用于以兩數(shù)和與兩根積的形式給出的方程組，適用范圍比較小．2、只有一個方程可分解降次的方程組的解法例3、解方程組分析：觀察方程②，把(x－y)看成整體，那么方程②就可以看作是關于

(x－y)的一元二次方程，且可分解為(x－y－3)(x－y＋1)=0，由此可得到兩個二元一次方程x－y－3=0和x－y＋1=0．這兩個二元一次方程分別和方程①組成兩個方程組：分別解這兩個方程組，就可得到原方程組的解．解：由②得(x－y－3)(x－y＋1)=0．∴x－y－3=0或x－y＋1=0．∴原方程組可化為兩個方程組：3、兩個方程都可以分解降次的方程組的解法例4、解方程組分析：方程①的右邊為零，而左邊可以因式分解，從而可達到降次的目的，方程②左邊是完全平方式，右邊是1，將其兩邊開平方，也可以達到降次的目的．解：由①得(x－4y)(x＋y)=0∴x－4y=0或x＋y=0由②得(x＋2y)2=1∴x＋2y=1或x＋2y=－1．原方程可化為以下四個方程組點評：不要把同一個二元二次方程分解出來的兩個二元一次方程組成方程組，這樣會出現(xiàn)增解問題，同時也要注意防止漏解現(xiàn)象．4、已知解的情況，確定字母系數(shù)例5、k為何值時，方程組(1)有一個實數(shù)解，并求出此解；(2)有兩個實數(shù)解；(3)沒有實數(shù)解．分析：所考知識點：二元二次方程組的解法及根的判別式，先用代入法消去未知數(shù)y，可得到關于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式來討論．解：將①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0③△=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)．點悟：解這種題型的規(guī)律是一般將方程組轉化為一元二次方程后，利用△=0，△＞0，△＜0來討論的．解題易錯點是一元二次方程中x2的系數(shù)k2不等于0容易被忽略．練習解方程組（1）；（2）2.3.2一元二次不等式的解法1、一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系2、一元二次不等式的解法步驟一元二次不等式的解集：設相應的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根R例1解不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0．例2解關于x的不等式解：原不等式可以化為：若即則或若即則若即則或例3已知不等式的解是求不等式的解．解：由不等式的解為，可知，且方程的兩根分別為2和3，∴，即．由于，所以不等式可變?yōu)椋矗?，得所以，不等式的解是x＜－1，或x＞eq\f(6,5)．說明：本例利用了方程與不等式之間的相互關系來解決問題．練習1．解下列不等式：（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；（3）x2＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．2.解關于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a為常數(shù)）．作業(yè)：1.若0<a<1,則不等式(x－a)(x－)<0的解是()A.a<x< B.<x<aC.x>或x<a D.x<或x>a2.如果方程ax2＋bx＋b＝0中，a＜0，它的兩根x1，x2滿足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解是______.3．解下列不等式：（1）3x2－2x＋1＜0；（2）3x2－4＜0；（3）2x－x2≥－1；（4）4－x2≤0．(5)4+3x－2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;4．解關于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a為常數(shù)）．5．關于x的不等式的解為求關于x的不等式的解．3．1相似形3.1.1．平行線分線段成比例定理在解決幾何問題時，我們常涉及到一些線段的長度、長度比的問題.在數(shù)學學習與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長度比.圖3.1-1在一張方格紙上，我們作平行線（如圖3.1-1），直線交于點，，另作直線交于點，不難發(fā)現(xiàn)圖3.1-1我們將這個結論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.如圖3.1-2，，有.當然，也可以得出.在運用該定理解決問題的過程中，我們一定要注意線段之間的對應關系，是“對應”線段成比例.例1如圖3.1-2，，且求.圖3.1-2解圖3.1-2例2在中，為邊上的點，，求證：.證明（1）∽，證明（2）如圖3.1-3，過作直線，.過作交于，得，圖3.1-3因而圖3.1-3從上例可以得出如下結論：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.例3已知，在上，，能否在上找到一點，使得線段的中點在上.解假設能找到，如圖3.1-4，設交于，則為的中點，作交于.，，且，圖3.1-4，且圖3.1-4為的中點.可見，當為的中點時，的中點在上.我們在探索一些存在性問題時，常常先假設其存在，再解之，有解則存在，無解或矛盾則不存在.例4在中，為的平分線，求證：.證明過C作CE//AD，交BA延長線于E，AD平分由知圖3.1-5.圖3.1-5例4的結論也稱為角平分線性質定理，可敘述為角平分線分對邊成比例（等于該角的兩邊之比）.練習1圖3.1-7圖3.1-61．如圖3.1-6，，下列比例式正確的是（）圖3.1-7圖3.1-6A．B．C．D.2．如圖3.1-7，求.3．如圖，在中，AD是角BAC的平分線，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的長.圖3.1-8圖3.1-84．如圖，在中，的外角平分線交的延長線于點，求證：.（三角形外角平分線定理）圖3.1-10圖3.1-95．如圖，在的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使BD=CE，DE延長線交BC的延長線于F.求證：.圖3.1-10圖3.1-93.12．相似形我們學過三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定兩個三角形相似？有哪些方法可以判定兩個直角三角形相似？例5如圖3.1-11，四邊形ABCD的對角線相交于點O，，求證：.證明在與中，∽，，即.圖3.1-11又與中，，圖3.1-11∽，.例6如圖3.1-12,在直角三角形ABC中，為直角，.求證：（1），；圖3.1-