第二章波函數(shù)和薛定諤方程(量子力學(xué)周世勛)課件

第二章

波函數(shù)與薛定諤方程ThewavefunctionandSchr?dingerEquation1

第二章

2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

TheWavefunctionanditsstatisticexplanation

2.2態(tài)疊加原理

Theprincipleofsuperposition

2.3薛定諤方程

TheSchr?dingerequation

2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

Thecurrentdensityofparticlesandconservationlaws

2.5定態(tài)薛定諤方程

TimeindependentSchr?dingerequation

2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱

Theinfinitepotentialwell

2.7線性諧振子

Thelinearharmonicoscillator

2.8勢(shì)壘貫穿

Thetransmissionofpotentialbarrier學(xué)習(xí)內(nèi)容22.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋學(xué)習(xí)內(nèi)容21.理解微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋。2.通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)的分析,理解態(tài)疊加原理。3.掌握微觀粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程波函數(shù)隨時(shí)間演化的規(guī)律Schr?dinger方程。4.掌握定態(tài)及其性質(zhì)。5.通過(guò)對(duì)三個(gè)實(shí)例的討論,掌握定態(tài)Schr?dinger方程的求解。學(xué)習(xí)要求31.理解微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)微觀粒子因具有波粒二象性，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用經(jīng)典坐標(biāo)、速度、加速度等物理量來(lái)描述，也不能用經(jīng)典波函數(shù)來(lái)描述?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋1．微觀粒子狀態(tài)的描述①自由粒子的狀態(tài)可用其對(duì)應(yīng)的德布羅意波函數(shù)表示：②一般粒子的狀態(tài)也可用其對(duì)應(yīng)的德布羅意波函數(shù)表示：關(guān)鍵問(wèn)題：描寫的是什么樣的波呢？波函數(shù)：微觀粒子具有波粒二象性，每一粒子都有一對(duì)應(yīng)的德布羅意波函數(shù)，可用其來(lái)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)—

稱這一函數(shù)為波函數(shù)。4微觀粒子因具有波粒二象性，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用經(jīng)典坐標(biāo)、速度▲兩種錯(cuò)誤的看法（1）波由粒子組成

如水波，聲波，由物質(zhì)的分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長(zhǎng)時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。

電子一個(gè)一個(gè)的通過(guò)小孔，但只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，底片上仍可呈現(xiàn)出衍射花紋。這說(shuō)明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。

§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)3）2．波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋5▲兩種錯(cuò)誤的看法（1）波由粒子組成如水波，聲波，由（2）粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)4）什么是波包？波包是各種波數(shù)（長(zhǎng)）平面波的迭加。平面波描寫自由粒子，其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無(wú)關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個(gè)空間，這是沒(méi)有意義的，與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。

實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如一個(gè)原子內(nèi)的電子，其廣延不會(huì)超過(guò)原子大小≈1。

6（2）粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)

“

電子既不是粒子也不是波

”——既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波；也可以說(shuō)，“

電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一。”

——這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;2．有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定位置和速度。經(jīng)典概念中粒子意味著

§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)5）電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。經(jīng)典概念中波意味著

7“電子既不是粒子也不是波”——既不是經(jīng)典的粒子也不是我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn)▲玻恩的解釋：OPP電子源感光屏QQ§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)6）

波動(dòng)觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2大

電子出現(xiàn)的概率大暗紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2小電子出現(xiàn)的概率小8我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn)▲玻恩的解釋：OPP電子源感光屏1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：

波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（波函數(shù)模的平方）與粒子在該點(diǎn)出現(xiàn)的概率成比例。

可見(jiàn)，波函數(shù)模的平方與粒子時(shí)刻在處附近出現(xiàn)的概率成正比。§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)7）

波動(dòng)觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2大

電子出現(xiàn)的概率大暗紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2小電子出現(xiàn)的概率小91926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波的強(qiáng)度是按Born提出的波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,粒子在空間中某一點(diǎn)處出現(xiàn)的概率與粒子的波函數(shù)在該點(diǎn)模的平方成比例。§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)8）則微觀粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在處體積元dτ內(nèi)的幾率在處的幾率密度為10設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波的強(qiáng)度是按玻恩對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋—小結(jié)1.實(shí)物粒子的物質(zhì)波（德布羅意波）是幾率波；2.幾率波用波函數(shù)來(lái)描述，也稱為幾率波幅；3.波函數(shù)的強(qiáng)度（模的平方）反映粒子在該點(diǎn)出現(xiàn)的幾率。

稱為幾率密度(概率密度)出現(xiàn)在

處dτ空間內(nèi)的幾率11玻恩對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋—小結(jié)1.實(shí)物粒子的物質(zhì)波（德布羅意波

（1）“微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子的波是幾率波”—是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)(1)（基本原理）。

知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點(diǎn)處出現(xiàn)的幾率，以后的討論進(jìn)一步知道，波函數(shù)給出體系的一切性質(zhì)，因此說(shuō)波函數(shù)描寫體系的量子狀態(tài)（簡(jiǎn)稱態(tài)）（2）波函數(shù)一般用復(fù)函數(shù)表示。（3）波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性、單值性。必須注意§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)9）12（1）“微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子的波是幾率令3．波函數(shù)的歸一化和所描寫狀態(tài)的相對(duì)幾率是相同的。時(shí)刻，在空間任意兩點(diǎn)和處找到粒子的相對(duì)幾率是：§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)10）非相對(duì)論量子力學(xué)僅研究低能粒子，實(shí)物粒子不會(huì)產(chǎn)生與湮滅。這樣，對(duì)一個(gè)粒子而言，它在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因此和描述同一狀態(tài)13令3．波函數(shù)的歸一化和所描寫這與經(jīng)典波截然不同。對(duì)于經(jīng)典波，當(dāng)波幅增大一倍（原來(lái)的2倍）時(shí)，則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來(lái)的4倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無(wú)歸一化問(wèn)題。為消除波函數(shù)有任一常數(shù)因子的這種不確定性，利用粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一的特性，提出波函數(shù)的歸一化條件：§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)11）和描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)往往有一常數(shù)因子不定性。滿足此條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。14這與經(jīng)典波截然不同。對(duì)于經(jīng)典波，當(dāng)波幅增大一倍（原來(lái)的又因其中稱為歸一化常數(shù)于是歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子的一種不確定性?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)12）15又因其中稱為歸一化常數(shù)于是歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子的一Ex.1

已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化的波函數(shù)，粒子的幾率分布，粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大。

歸一化常數(shù)Solve:

歸一化的波函數(shù)(1).求歸一化的波函數(shù)§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)13）16Ex.1已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化的波函數(shù)，粒子的（2）幾率分布：

（3）由幾率密度的極值條件

由于

故處，粒子出現(xiàn)幾率最大?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)14）17（2）幾率分布：（3）由幾率密度的極值條件由于注意（1）歸一化后的波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的相因子不定性（δ為實(shí)函數(shù)）。若是歸一化波函數(shù)，那么，也是歸一化波函數(shù)，與前者描述同一幾率波。若對(duì)空間非絕對(duì)可積時(shí)，需用所謂δ函數(shù)歸一化方法進(jìn)行歸一化。（2）只有當(dāng)幾率密度對(duì)空間絕對(duì)可積時(shí)，才能按歸一化條件進(jìn)行歸一化?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)15）18注意（1）歸一化后的波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的相因Solve：

歸一化常數(shù)★例如平面波的歸一化問(wèn)題

ex.2

已知平面波,求歸一化常數(shù)§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)16）歸一化的平面波：

利用19Solve：歸一化常數(shù)★例如平面波的歸一化問(wèn)題ex在前面的推導(dǎo)中，我們利用了δ函數(shù)的性質(zhì)同理這樣同理可推知三維坐標(biāo)矢量的δ函數(shù)的形式20在前面的推導(dǎo)中，我們利用了δ函數(shù)的性質(zhì)同理這樣同理可推知三維同理，三維平面波：

歸一化條件歸一化條件對(duì)于一維平面波：

§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋21同理，三維平面波：歸一化條件歸一化條件對(duì)于一維平面波：§2.已知下列兩個(gè)波函數(shù)試判斷:(1)波函數(shù)和是否描述同一狀態(tài)?(2)對(duì)取兩種情況,得到的兩個(gè)波函數(shù)是否等價(jià)?補(bǔ)充作業(yè)題1.下列一組波函數(shù)共描寫粒子的幾個(gè)不同狀態(tài)?并指出每個(gè)狀態(tài)由哪幾個(gè)波函數(shù)描寫。222.已知下列兩個(gè)波函數(shù)試判斷:(1)波函數(shù)★

多粒子系的波函數(shù)

在t時(shí)刻，多粒子系的波函數(shù)可以表示為而§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋23★多粒子系的波函數(shù)在t時(shí)刻，多粒子系的波函數(shù)可一般定義內(nèi)積﹟§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋24一般定義內(nèi)積﹟§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋24開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紅曲線）同時(shí)開1，2，衍射花樣（黑曲線）實(shí)驗(yàn)事實(shí)顯然§2.2態(tài)疊加原理1.電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)12

表明幾率不遵守迭加原則，而波函數(shù)（幾率幅,態(tài)）遵守迭加原則：25開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紅曲線）同時(shí)遮住縫1遮住縫2雙縫都打開26遮住縫1遮住縫2雙縫都打開26272728282929波函數(shù)（幾率幅,態(tài)）遵守迭加原則：§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)1）物理意義反之，若和是電子的可能狀態(tài)，則和的線性迭加態(tài)也是電子的可能狀態(tài)。

電子經(jīng)雙縫衍射后處于態(tài)，則電子既可部分地處于態(tài)，也可部分地處在態(tài)。30波函數(shù)（幾率幅,態(tài)）遵守迭加原則：§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)

當(dāng)兩個(gè)縫的幾何參數(shù)或電子束相對(duì)位置不完全對(duì)稱時(shí)，迭加態(tài),其概率為干涉項(xiàng)§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)2）迭加態(tài)的概率分布:

干涉項(xiàng)電子穿過(guò)狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度電子穿過(guò)狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度31當(dāng)兩個(gè)縫的幾何參數(shù)或電子束相對(duì)位置不完全對(duì)稱時(shí)，迭加態(tài)的迭加原理是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)(2).

(1).若是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài)2．態(tài)迭加原理§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)3）

(2).當(dāng)體系處于態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)體系處于態(tài)的幾率是，并且32態(tài)的迭加原理是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)(2).(1).若3．動(dòng)量分布幾率d

電子從晶體表面出射后，既可能處在態(tài)，也可能處在、

等狀態(tài)，按態(tài)迭加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示成

取各種可能值的平面波的線性疊加，即§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)4）電子沿垂直方向射到單晶表面，出射后的電子為自由電子。出射后將以各種不同的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)。動(dòng)量為的自由電子波函數(shù)為平面波：電子在晶體表面的衍射333．動(dòng)量分布幾率d電子從晶體表面出射后，既可能處在考慮到電子的動(dòng)量可以連續(xù)變化§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)5）而（2）（1）

即衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果二式互為Fourier變換式,所以與一一對(duì)應(yīng),是同一量子態(tài)的兩種不同描述方式。34考慮到電子的動(dòng)量可以連續(xù)變化§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)5）而§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)6）若歸一化，則也是歸一化的Prove:以坐標(biāo)

為自變量的波函數(shù)，坐標(biāo)空間（坐標(biāo)表象）波函數(shù)以動(dòng)量為自變量的波函數(shù)，動(dòng)量空間（動(dòng)量表象）波函數(shù)給出t時(shí)刻粒子處在位置處的幾率

給出t時(shí)刻粒子動(dòng)量為的幾率二者描寫同一量子狀態(tài)35§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)6）若歸一化，則§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)7）此顯示出把平面波歸一化為函數(shù)的目的一維情況下，與的Fourier變換關(guān)系：如果僅考慮在某一給定時(shí)刻粒子的兩表象波函數(shù)的關(guān)系，可取t=036§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)7）此顯示出把平面波歸一化為§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)8）37§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)8）37§2.3薛定諤方程微觀粒子運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)具有的特點(diǎn)（1）方程必為線性的（2）不應(yīng)包含狀態(tài)的參量

本節(jié)研究量子力學(xué)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，建立量子力學(xué)的動(dòng)力學(xué)方程——Schr?dinger方程

經(jīng)典波動(dòng)方程推導(dǎo)過(guò)程令則有38§2.3薛定諤方程微觀粒子運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)具有的特點(diǎn)（1）方程必1.自由粒子的波動(dòng)方程已經(jīng)知道，一維自由粒子波函數(shù)是單色平面波薛定諤給出自由粒子波函數(shù)滿足的微分方程是同學(xué)們可以將波函數(shù)代入，驗(yàn)證該方程可以與經(jīng)典的波動(dòng)方程比較形式的不同§2.3薛定諤方程391.自由粒子的波動(dòng)方程薛定諤給出自由粒子波函數(shù)滿足的微分寫薛定諤方程的簡(jiǎn)單路徑

微分注意到替換關(guān)系§2.3薛定諤方程自由粒子波函數(shù)40寫薛定諤方程的簡(jiǎn)單路徑微分注意到替換關(guān)系§2.3薛定

滿足運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn)，此即為自由粒子的基本運(yùn)動(dòng)方程——自由粒子的Schr?dinger方程。§2.3薛定諤方程非相對(duì)論一維自由粒子粒子能量動(dòng)量關(guān)系式為：替換后，得到自由粒子滿足的波動(dòng)方程41滿足運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn)，此即為自由粒子的寫出非相對(duì)論經(jīng)典粒子能量動(dòng)量關(guān)系式如自由粒子得到自由粒子滿足的薛定諤方程令上述關(guān)系作用于波函數(shù)將替換關(guān)系代入寫成寫出薛定諤方程的基本過(guò)程§2.3薛定諤方程42寫出非相對(duì)論經(jīng)典粒子能量動(dòng)量關(guān)系式得到自由粒子滿足的薛定諤方2.勢(shì)場(chǎng)中粒子的薛定諤方程一維有勢(shì)場(chǎng)U(x,t)中的粒子經(jīng)典關(guān)系式替換后關(guān)系式令其作用于波函數(shù)得到一維有勢(shì)場(chǎng)中粒子滿足的薛定諤方程§2.3薛定諤方程432.勢(shì)場(chǎng)中粒子的薛定諤方程經(jīng)典關(guān)系式替換后關(guān)系式令其作用于

三維有勢(shì)場(chǎng)中粒子的薛定諤方程§2.3薛定諤方程★對(duì)時(shí)間進(jìn)行微分★對(duì)空間進(jìn)行微分移項(xiàng)并求和可得：44三維有勢(shì)場(chǎng)中粒子的薛定諤方程§2.3薛定諤方程★對(duì)時(shí)間求和可得：★對(duì)空間再進(jìn)行微分§2.3薛定諤方程45求和可得：★對(duì)空間再進(jìn)行微分§2.3薛定諤方程45薛定諤方程是非相對(duì)論量子力學(xué)的基本方程是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)(3)。則§2.3薛定諤方程非相對(duì)論三維自由粒子能量動(dòng)量關(guān)系式為：引入哈密頓量薛定諤方程為﹟46薛定諤方程是非相對(duì)論量子力學(xué)的基本方程則§2.3薛定諤方哈密頓函數(shù)3．多粒子體系的Schr?dinger方程§2.3薛定諤方程Schr?dinger方程哈密頓算符

47哈密頓函數(shù)3．多粒子體系的Schr?dinger方程§2.3

（1）Schr?dinger作為一個(gè)基本假設(shè)提出來(lái)，它的正確性已為非相對(duì)論量子力學(xué)在各方面的應(yīng)用而得到證實(shí)。注意

（2）Schr?dinger方程在非相對(duì)論量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相仿,只要給出粒子在初始時(shí)刻的波函數(shù)，由方程即可求得粒子在以后任一時(shí)刻的波函數(shù)。§2.3薛定諤方程48（1）Schr?dinger作為一個(gè)基本假設(shè)提出來(lái)，它的正§2.3薛定諤方程49§2.3薛定諤方程49§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律1．幾率守恒定律由Schr?dinger方程

（1）

則設(shè)是粒子狀態(tài)的歸一化波函數(shù)取復(fù)共軛

討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率隨時(shí)間變化代入（1）式后，有

50§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律1．幾率守恒定律由Sch（2）令J的物理意義？幾率連續(xù)性方程（3）（2）

幾率連續(xù)性方程與經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中的電流連續(xù)方程（電荷守恒定律微分表示）具有相同的形式。(3)式也稱為幾率守恒定律的微分表示?！?.４粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)1）51（2）令J的物理意義？幾率連續(xù)性方程（3）（2）幾率當(dāng)時(shí)(4)式表明:粒子單位時(shí)間在內(nèi)出現(xiàn)的幾率的增量等于單位時(shí)間內(nèi)流入內(nèi)的幾率(負(fù)號(hào)表示流入)。(4)式即表明粒子的總幾率不變,即幾率守恒。表明波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。§2.４粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)２）J的含義：稱為幾率流密度，表示粒子單位時(shí)間通過(guò)單位垂直面積的幾率。（3）式對(duì)空間V作體積分(4)52當(dāng)時(shí)(4)式表明:粒子單位時(shí)間在內(nèi)出現(xiàn)的幾率補(bǔ)充知識(shí)在閉區(qū)域中積分，根據(jù)Gauss公式：（4）矢量散度的體積分等于矢量的面積分，有53補(bǔ)充知識(shí)在閉區(qū)域中積分，根據(jù)Gauss公式：（4）——量子力學(xué)的電荷密度——量子力學(xué)的質(zhì)量流密度——量子力學(xué)的電流密度——量子力學(xué)的質(zhì)量密度2．電荷守恒定律，質(zhì)量守恒（粒子數(shù)守恒）設(shè)粒子的電荷為，質(zhì)量為——量子力學(xué)的電荷守恒律——量子力學(xué)的物質(zhì)守恒律§2.４粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)３）54——量子力學(xué)的電荷密度——量子力學(xué)的質(zhì)量流密度——量子力學(xué)3．波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（1）根據(jù)Born統(tǒng)計(jì)解釋：是粒子在

時(shí)刻出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率，這是一個(gè)確定的數(shù)，所以要求應(yīng)是的單值函數(shù)且有限。（2）根據(jù)幾率密度和幾率流密度的連續(xù):在全部變量區(qū)域內(nèi)波函數(shù)必須是連續(xù)的，且其微商一般也應(yīng)連續(xù)。

概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個(gè)條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。§2.４粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)４）553．波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（1）根據(jù)Born統(tǒng)計(jì)解釋：例題2.2由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：

從所得結(jié)果說(shuō)明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。解：

在球坐標(biāo)中

56例題2.2由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：解：56例題

可見(jiàn)，同向，表示向外傳播的球面波

。

57例題可見(jiàn)，同向，表示向外傳播的球面波。57例題

可見(jiàn)，反向，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。

58例題可見(jiàn)，反向，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。58§2.5定態(tài)薛定諤方程

1．定態(tài)，定態(tài)波函數(shù)（1）

（2）

若與無(wú)關(guān)，則可以分離變量，令(2)代入(1)式，兩邊同除，得到（3）

等式兩邊是相互無(wú)關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與無(wú)關(guān)的常數(shù)（4）59§2.5定態(tài)薛定諤方程

1．定態(tài)，定態(tài)波函數(shù)（1）（2）（5）

（6）

(5)代入(2)式，得到

可見(jiàn)分離變量中引入的常數(shù)為粒子的能量，當(dāng)粒子處在由波函數(shù)（6）所描述的狀態(tài)時(shí)，粒子的能量有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)的波函數(shù)（6）稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)波函數(shù)§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)1）

當(dāng)粒子處在定態(tài)中時(shí)，具有確定的能量，其空間波函數(shù)由方程（3）決定。 —

定態(tài)薛定諤方程60（5）（6）(5)代入(2)式，得到可見(jiàn)分

1)E具有能量的量綱

所以E代表粒子的能量

2)C可以是復(fù)數(shù)

3)從推導(dǎo)過(guò)程可知方程(4)的解與具體勢(shì)函數(shù)無(wú)關(guān)

所以在類似問(wèn)題中作為已知結(jié)果使用

4)物理上主要任務(wù)是解方程(3)--振動(dòng)因子討論deBroglie能量式611)E具有能量的量綱--振動(dòng)因子討論deBr§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)3）2．定態(tài)Schr?dinger方程均稱為能量算符這兩個(gè)方程都是以一個(gè)算符作用在定態(tài)波函數(shù)上，得出定態(tài)能量乘以該定態(tài)波函數(shù)，因此算符62§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)3）2．定態(tài)Schr?ding§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)3）哈密頓算符:可將定態(tài)Schr?dinger方程(7)寫成（8）

為哈密頓算符(能量算符)的本征值方程的本征函數(shù)能量本征值哈密頓函數(shù):

為本征波函數(shù)結(jié)論：當(dāng)體系處于能量算符本征波函數(shù)（能量本征態(tài)）所描寫的狀態(tài)時(shí)，粒子的位置分布幾率由確定，能量有確定的數(shù)值E—本征值。63§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)3）哈密頓算符:可將定態(tài)Sch

討論定態(tài)問(wèn)題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)及這些態(tài)中的能量

；解能量算符本征方程（12）求定態(tài)波函數(shù)的問(wèn)題又歸結(jié)為解定態(tài)Schr?dinger方程+定解條件構(gòu)成的本征值問(wèn)題:

§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)5）定解條件本征能量值譜：本征函數(shù)系：本征波函數(shù)任意狀態(tài)

3.定態(tài)問(wèn)題64討論定態(tài)問(wèn)題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)及這些態(tài)中從數(shù)學(xué)上講給定一個(gè)E就有相應(yīng)的解的具體形式依賴于方程的解是什么呢?從物理上講只有特殊的E才能得到滿足物理要求的解——定解條件只有一些特定的E值才能使定態(tài)薛定諤方程的解滿足波函數(shù)的物理?xiàng)l件即能量只能取分立的值--量子化65從數(shù)學(xué)上講給定一個(gè)E就有相應(yīng)的解的具體形式依賴于方程的5.求解定態(tài)問(wèn)題的步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方程（2）根據(jù)波函數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量的本征值問(wèn)題，得：本征能量本征函數(shù)§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)7）（4）通過(guò)歸一化確定歸一化系數(shù)（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對(duì)應(yīng)第個(gè)本征值

的定態(tài)波函數(shù)665.求解定態(tài)問(wèn)題的步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方與無(wú)關(guān)6．定態(tài)的性質(zhì)（2）幾率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)（1）粒子在空間幾率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)與無(wú)關(guān)判別定態(tài)的方法：§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)8）（1）能量是否為確定值（2）幾率分布與時(shí)間無(wú)關(guān)（3）幾率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)67與無(wú)關(guān)6．定態(tài)的性質(zhì)（2）幾率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)（1）粒子1.下列波函數(shù)所描述的狀態(tài)是否為定態(tài)？為什么？（1）

（2）

（3）

思考題

2.如果一個(gè)粒子只有兩個(gè)可能位置,在量子力學(xué)中其波函數(shù)怎樣?意義又如何?681.下列波函數(shù)所描述的狀態(tài)是否為定態(tài)？為什么？（1）（2）▲量子力學(xué)中常用的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解方程一般形式：其特征方程：﹟69▲量子力學(xué)中常用的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解方程一般形式解：因?yàn)閂=0所以薛定諤方程為例題：求描述自由粒子的波函數(shù)70解：因?yàn)閂=0所以薛定諤方程為例題：求描述自由粒子的與前面得到的自由粒子的波函數(shù)相同

其中

E是粒子的能量，P是粒子的動(dòng)量通過(guò)該例可體會(huì)量子力學(xué)解題的基本思路則自由粒子的波函數(shù)71與前面得到的自由粒子的波函數(shù)相同則自由粒子的波函數(shù)71在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用Schrodinger方程來(lái)處理一類簡(jiǎn)單的問(wèn)題——一維定態(tài)問(wèn)題（一維無(wú)限深勢(shì)阱，線性諧振子，勢(shì)壘貫穿）。（1）有助于具體理解已學(xué)過(guò)的基本原理；（2）有助于進(jìn)一步闡明其他基本原理；（3）處理一維問(wèn)題，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單，從而能對(duì)結(jié)果進(jìn)行細(xì)致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問(wèn)題中展現(xiàn)出來(lái)；

（4）一維問(wèn)題還是處理各種復(fù)雜問(wèn)題的基礎(chǔ)。其好處主要有四：基礎(chǔ)應(yīng)用：一維定態(tài)問(wèn)題72在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用Schrod基礎(chǔ)應(yīng)用：一維定態(tài)問(wèn)題一維定態(tài)問(wèn)題的本征值方程波函數(shù)73基礎(chǔ)應(yīng)用：一維定態(tài)問(wèn)題一維定態(tài)問(wèn)題的本征值方程①自由粒子②方勢(shì)阱方勢(shì)阱無(wú)限深方勢(shì)阱▲幾種一維勢(shì)函數(shù)電子束縛在箱子內(nèi)三維方勢(shì)阱74①自由粒子②方勢(shì)阱方勢(shì)阱無(wú)限深方勢(shì)阱▲幾種一維勢(shì)函數(shù)電子束縛方勢(shì)阱方勢(shì)阱是實(shí)際情況的極端化和簡(jiǎn)化金屬中的電子例如金屬中的自由電子在各晶格結(jié)點(diǎn)(正離子)形成的“周期場(chǎng)”中運(yùn)動(dòng)，它們不會(huì)自發(fā)地逃出金屬，簡(jiǎn)化這個(gè)模型，可以粗略地認(rèn)為粒子被無(wú)限高的勢(shì)能壁束縛在金屬之中。75方勢(shì)阱方勢(shì)阱是實(shí)際情況的極端化和簡(jiǎn)化金屬中的電子例如氫原子中的電子就是在三維庫(kù)侖勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，不過(guò)“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近來(lái)，人們?cè)O(shè)計(jì)制作了一種具有“量子阱”的半導(dǎo)體器件，它具有介觀(介于宏觀與微觀)尺寸的勢(shì)阱，阱寬約在10nm上下。這種材料具有若干特性，已用于制造半導(dǎo)體激光器、光電檢測(cè)器、雙穩(wěn)態(tài)器件等。方勢(shì)阱氫原子中的電子76氫原子中的電子就是在三維庫(kù)侖勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，不過(guò)“阱壁”③勢(shì)壘—散射問(wèn)題勢(shì)壘(隧道貫穿)④其他形式超晶格諧振子﹟77③勢(shì)壘—散射問(wèn)題勢(shì)壘(隧道貫穿)④其他形式超晶格諧振子﹟77束縛態(tài)和散射態(tài)束縛態(tài)：量子力學(xué)的主要研究對(duì)象有兩類：散射態(tài)束縛態(tài)如在勢(shì)阱中粒子的能量小于束縛的能量，(E<V0)，根據(jù)勢(shì)阱的邊界條件求解定態(tài)波動(dòng)方程，得到能量的本征值是分立的，其對(duì)應(yīng)的波函數(shù)即為能量的本征函數(shù)，這些本征函數(shù)對(duì)應(yīng)的態(tài)稱為束縛態(tài)。通常把在無(wú)限遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)，…。即粒子被限制在一個(gè)有限的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)

研究范疇：78束縛態(tài)和散射態(tài)束縛態(tài)：量子力學(xué)的主要研究對(duì)象有兩類：散射態(tài)束散射態(tài)：是能量連續(xù)的態(tài)，或能量間隔趨于0，態(tài)函數(shù)是自由粒子平面波的疊加。對(duì)勢(shì)壘問(wèn)題(E>V0)和部分勢(shì)阱問(wèn)題，一般要考慮散射態(tài)的存在研究范疇：79散射態(tài)：是能量連續(xù)的態(tài)，或能量間隔趨于0，態(tài)函數(shù)是1．定態(tài)Schr?dinger方程哈密頓算符無(wú)限深勢(shì)阱-aa0U(x)考慮一維粒子的運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能為:§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱801．定態(tài)Schr?dinger方程哈密頓算符無(wú)限深勢(shì)阱-aa2．定態(tài)Schr?dinger方程的解令（4）（1）

§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)2）其通解為：（5）

利用的連續(xù)性，由（3）和（5）得從物理考慮，粒子不能透過(guò)無(wú)窮高的勢(shì)壁。812．定態(tài)Schr?dinger方程的解令（4）（1）§2.當(dāng)，有（n為偶數(shù)）

(6)當(dāng)，有（n為奇數(shù)）

(7)§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)3）(6)和(7)兩式統(tǒng)一寫成（8）

能量本征值：（9）

82當(dāng)，有（n為偶數(shù)）(6)當(dāng)本征函數(shù)§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)4）(10)和(11)兩式統(tǒng)一寫成由歸一化條件求得歸一化常數(shù)83本征函數(shù)§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)4）(10)和(11)兩推導(dǎo):（取實(shí)數(shù)）§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)5）（12）

歸一化的本征函數(shù)84推導(dǎo):（取實(shí)數(shù)）§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)5）（12）歸or

由此可見(jiàn)：粒子的每個(gè)定態(tài)波函數(shù)是由兩個(gè)沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波。3．粒子的定態(tài)波函數(shù)§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)6）（駐波解）從左向右傳播的平面波從右向左傳播的平面波85or由此可見(jiàn)：粒子的每個(gè)定態(tài)波函數(shù)是由4．幾率幅與幾率密度曲線圖§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)7）864．幾率幅與幾率密度曲線圖§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)7）8討論基態(tài)能量（3）取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)9）(1)能量取分立譜，即能量是量子化的。(2)粒子能量最低的態(tài)稱為基態(tài)與經(jīng)典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)，因?yàn)椤办o止的波”是沒(méi)有意義的，亦即的態(tài)不存在，無(wú)意義。因?yàn)椴ê瘮?shù)的形式一樣，只存在正負(fù)值的區(qū)別，這并不影響IψI2，即幾率密度的分布不變。87討論基態(tài)能量（3）取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。§2.§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)10）（4）隨著n增加,能級(jí)間隔越來(lái)越大（5）當(dāng)m很大（宏觀粒子）時(shí)，能量趨于連續(xù)，量子經(jīng)典。(6)粒子的動(dòng)量及波長(zhǎng)由n=1,2,3,4,5,6,…可以得到勢(shì)阱中粒子的動(dòng)量和波長(zhǎng)說(shuō)明勢(shì)阱中粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)正好對(duì)應(yīng)于德布羅意波的一個(gè)特定波長(zhǎng)的駐波。88§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)10）（4）隨著n增加,能級(jí)間(7)束縛態(tài)：通常把在無(wú)限遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)，…。即粒子被限制在一個(gè)有限的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)

89(7)束縛態(tài)：通常把在無(wú)限遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所895.宇稱空間反射：空間矢量反向的操作。稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱（或奇宇稱）（3）在空間反射下，如果則稱波函數(shù)沒(méi)有確定的宇稱。（1）在空間反射下，如果有：

則稱波函數(shù)有確定的宇稱?！?.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)8）905.宇稱空間反射：空間矢量反向的操作。稱波函數(shù)具有正宇稱（或本征函數(shù)具有確定宇稱是由勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：

而導(dǎo)致的。§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（續(xù)10）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即具有負(fù)宇稱（奇宇稱）。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即具有正宇稱（偶宇稱)。一維無(wú)限深勢(shì)阱本征函數(shù)的宇稱分析91本征函數(shù)具有確定宇稱是由勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：§2.6一維無(wú)限深§2.7線性諧振子其解為。這種運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作這種運(yùn)動(dòng)的粒子稱為（線性）諧振子。經(jīng)典允許的振動(dòng)范圍諧振子在運(yùn)動(dòng)中能量守恒。其能量是振幅的連續(xù)函數(shù)。經(jīng)典諧振子諧振子哈密頓量：諧振子能量：一、定態(tài)薛定諤方程92§2.7線性諧振子其解為。這種

量子力學(xué)中的線性諧振子是指在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為的粒子

量子諧振子

例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)是二者相對(duì)距離的函數(shù)，如圖所示。自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。§2.7線性諧振子（續(xù)1）axV(x)0V093量子力學(xué)中的線性諧振子是指在勢(shì)場(chǎng)在處，有一極小值。在附近，勢(shì)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)：axV(x)0V0記§2.7線性諧振子（續(xù)2）——線性諧振子的勢(shì)函數(shù)含V′(0)的一次項(xiàng)由于平衡位置V′(0)=0可消去。除非振動(dòng)的幅度較大，否則不必考慮展開式中非簡(jiǎn)諧的高階項(xiàng)。 取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a,V0)，則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式： 94在處，有一極小值。在附近，勢(shì)可以展可見(jiàn)，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線性諧振動(dòng)來(lái)近似描述。雙原子分子§2.7線性諧振子95可見(jiàn)，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線性諧振動(dòng)來(lái)近似描Hamiltonoperator定態(tài)Schr?dinger方程：

（1）

改寫成令

（2）

于是方程（1）可寫成（3）

薛定諤方程及化簡(jiǎn)§2.7線性諧振子96Hamiltonoperator定態(tài)Schr?dinge其通解為：由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，ψ有限

因此要求c2=0因整個(gè)波函數(shù)尚未歸一化，所以c1可以令其等于1。最后漸近波函數(shù)為：當(dāng)ξ→±∞時(shí)(λ《ξ可略去），方程變?yōu)椋憾?、薛定諤方程的求解§2.7線性諧振子97其通解為：由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，ψ有限因此其中H(ξ)必須滿足單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：①當(dāng)ξ有限時(shí)，H(ξ)有限；②當(dāng)ξ→±∞時(shí)，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→0(邊界條件）將ψ(ξ)表達(dá)式代入方程（3）得到函數(shù)H(ξ)所滿足的方程：H(ξ)滿足的方程§2.7線性諧振子98其中H(ξ)必須滿足單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：3.Hermite方程及其求解§2.7線性諧振子993.Hermite方程及其求解§2.7線性諧振子99由系數(shù)ck的遞推關(guān)系可以看出，若令

λ=2n+1n=0,1,2,3…

用級(jí)數(shù)法求解H(ξ)的方程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：只要H(ξ)是“真”無(wú)窮級(jí)數(shù)，那么在x或ξ→±∞的時(shí)候H(ξ)就→eξ2,使得ψ(ξ)仍然發(fā)散，即ψ(ξ)的有限性無(wú)法得到滿足。解決這種情形的唯一出路是級(jí)數(shù)“中止”或“退化”為多項(xiàng)式，而這就要求只能取一些特殊的值?！?.7線性諧振子100由系數(shù)ck的遞推關(guān)系可以看出，若令用級(jí)數(shù)法求解H(ξ)的方為滿足中斷要求λ=2n+1n=0,1,2,3…

需取分立值則H(ξ)的方程表示為：§2.7線性諧振子本征函數(shù):稱為厄密多項(xiàng)式101為滿足中斷要求λ=2n+1n=0,1,2,3…需取分厄密多項(xiàng)式的微分形式積分公式

幾個(gè)厄密多項(xiàng)式：§2.7線性諧振子（續(xù)6）102厄密多項(xiàng)式的微分形式積分公式幾個(gè)厄密多項(xiàng)式：§2.7線由歸一化條件并運(yùn)用積分公式：

求得歸一化常數(shù)4.線性諧振子的能量本征函數(shù)歸一化的本征函數(shù)§2.7線性諧振子（續(xù)7）103由歸一化條件并運(yùn)用積分公式：求得歸一化常數(shù)4.線性諧振子的本征波函數(shù)5.線性諧振子的本征能量即由和得本征能量:

§2.7線性諧振子（續(xù)8）能級(jí)分立能級(jí)均勻分布104本征波函數(shù)5.線性諧振子的本征能量即由和得本征(1)能量的本征值：

◆能量譜為分離譜，兩能級(jí)的間隔為

◆對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子能級(jí)只有一個(gè)本征函數(shù)，即一個(gè)狀態(tài)，所以能級(jí)是非簡(jiǎn)并的，每個(gè)能級(jí)的簡(jiǎn)并度為1（一能級(jí)對(duì)應(yīng)的量子態(tài)數(shù)稱為該能級(jí)的簡(jiǎn)并度）◆基態(tài)能量：（又稱零點(diǎn)能）

零點(diǎn)能不等于零是量子力學(xué)中特有的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒(méi)有意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)，已被絕對(duì)零點(diǎn)情況下電子的晶體散射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。三、結(jié)果討論§2.7線性諧振子（續(xù)9）105(1)能量的本征值：◆能量譜為分離譜，兩能級(jí)的間隔為◆基態(tài)能量：基態(tài)本征函數(shù)：(2)基態(tài)在處的勢(shì)能：在范圍內(nèi)動(dòng)能由幾率密度看出,粒子在處出現(xiàn)的幾率最大；在范圍內(nèi)，粒子出現(xiàn)的幾率不為零。對(duì)其它各能級(jí)狀態(tài)下的波函數(shù)可作類似的分析。

§2.7線性諧振子（續(xù)10）106基態(tài)能量：基態(tài)本征函數(shù)：(2)基態(tài)在處

在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在范圍中運(yùn)動(dòng)。這是因?yàn)檎褡釉谔帲鋭?shì)能，即勢(shì)能等于總能量，動(dòng)能為零，經(jīng)典的粒子動(dòng)能不可以小于零，因此粒子被限制在內(nèi),屬于經(jīng)典禁區(qū)?？梢?jiàn)，量子與經(jīng)典情況完全不同。§2.7線性諧振子（續(xù)11）3.具有宇稱

上式諧振子波函數(shù)所包含的是的偶函數(shù)，所以的宇稱由厄密多項(xiàng)式的宇稱決定。當(dāng)偶數(shù)，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的偶次項(xiàng)(偶宇稱)；當(dāng)奇數(shù)，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的奇次項(xiàng)(奇宇稱)。不同能級(jí)對(duì)應(yīng)的波函數(shù)宇稱偶奇相間，即ψn(-x)=(-1)nψn(x).107在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在范圍中運(yùn)動(dòng)。這是4．本征函數(shù)與幾率密度§2.7線性諧振子（續(xù)12）經(jīng)典力學(xué)中的諧振子：T是振動(dòng)周期。因此有即幾率密度與質(zhì)點(diǎn)的速度成反比。對(duì)于經(jīng)典的線性諧振子，ξ=asin(ωt+δ),在ξ點(diǎn)的速度為在ξ到ξ+dξ之間的區(qū)域內(nèi)找到質(zhì)點(diǎn)的幾率w(ξ)dξ與質(zhì)點(diǎn)在此區(qū)域內(nèi)逗留的時(shí)間dt成比例所以，經(jīng)典諧振子的幾率密度1084．本征函數(shù)與幾率密度§2.7線性諧振子（續(xù)12）經(jīng)典力量子力學(xué)中的諧振子：§2.7線性諧振子（續(xù)12）109量子力學(xué)中的諧振子：§2.7線性諧振子（續(xù)12）109§2.7線性諧振子（續(xù)13）

從以上本征函數(shù)與幾率密度曲線圖看出，量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)ψn有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點(diǎn)上都能找到粒子，沒(méi)有節(jié)點(diǎn)。110§2.7線性諧振子（續(xù)13）從以上本征函數(shù)與幾率密xn很大EnE1E2E00V(x)E<V

區(qū)有隧道效應(yīng)111xn很大EnE1E2E00V(x)E<V區(qū)有隧道效應(yīng)1經(jīng)典：虛線經(jīng)典諧振子在原點(diǎn)x=0處速度最大，停留時(shí)間短粒子出現(xiàn)的概率小；在兩端速度為零，出現(xiàn)的概率極大。量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)的比較量子:概率密度呈波動(dòng)狀,

在基態(tài)n

=0時(shí)，x=0處粒子出現(xiàn)概率最大。

當(dāng)n

時(shí)：量子概率分布經(jīng)典分布n=10時(shí)諧振子的幾率密度§2.7線性諧振子（續(xù)15）112經(jīng)典：虛線量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)的比較量子:概率密度呈波勢(shì)壘的貫穿問(wèn)題經(jīng)典力學(xué)：不管小球的能量有多小，都有可能穿過(guò)比它能量高得多的勢(shì)壘！小球的運(yùn)動(dòng)能量連續(xù)量子力學(xué)效應(yīng)：V0E<V0不能越過(guò)高勢(shì)壘113勢(shì)壘的貫穿問(wèn)題經(jīng)典力學(xué)：不管小球的能量有多小，都有可能我們把微觀粒子能夠穿透比它能量高的勢(shì)壘的現(xiàn)象叫作隧道（隧穿）效應(yīng)。經(jīng)典量子隧道效應(yīng)：？114我們把微觀粒子能夠穿透勢(shì)壘貫穿是能量為E的粒子入射被勢(shì)場(chǎng)散射的問(wèn)題§2.8

勢(shì)壘貫穿Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

一維方勢(shì)壘方勢(shì)壘是一種典型勢(shì)壘115勢(shì)壘貫穿是能量為E的粒子入射被勢(shì)場(chǎng)散射的問(wèn)題§2.8勢(shì)壘（1）E>U0情形1.定態(tài)薜定諤方程0aV(x)V0IIIIIIE令

§2.8勢(shì)壘貫穿116（1）E>U0情形1.定態(tài)薜定諤方程0aV則方程變?yōu)榉謪^(qū)取解ⅠⅡⅢ2.方程的求解向右傳播的入射平面波向左傳播的反射平面波向右的透射波因Ⅲ區(qū)無(wú)由右向左傳播的平面波，故三式均為兩個(gè)左右傳播的平面波的疊加§2.8勢(shì)壘貫穿117則方程變?yōu)榉謪^(qū)取解Ⅰ2.方程的求解向右傳播的入射平面波向左

可得透射波振幅及反射波振幅與入射波振幅間的關(guān)系聯(lián)立這四個(gè)方程式，消除與由波函數(shù)的連續(xù)性條件

（4）§2.8勢(shì)壘貫穿（5）118可得透射波振幅及反射波振幅與入射波振幅利用幾率流密度公式:求得入射波的幾率流密度

透射波的幾率流密度

反射波的幾率流密度

§2.8勢(shì)壘貫穿勢(shì)壘貫穿和散射過(guò)程中的粒子幾率流119利用幾率流密度公式:求得入射波透射波

為了定量描述入射粒子透射勢(shì)壘的幾率和被勢(shì)壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。3.透射系數(shù)和反射系數(shù)透射系數(shù)（6）反射系數(shù)（7）以上二式說(shuō)明入射粒子一部分貫穿勢(shì)壘到的III區(qū)域，另一部分則被勢(shì)壘反射回來(lái)。表明粒子數(shù)守恒§2.8勢(shì)壘貫穿120為了定量描述入射粒子透射勢(shì)壘的幾率和被勢(shì)壘反射的幾率，(2)E<U0情形

是虛數(shù)Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

令是實(shí)數(shù)其中在(4)和(6)式中，把換為

，得到透射波振幅:

（8）§2.8勢(shì)壘貫穿121(2)E<U0情形是虛數(shù)ⅠⅡⅢ令是實(shí)數(shù)其中在(4)透射系數(shù):

（9）隧道效應(yīng)（tunneleffect）

粒子能夠穿透比它動(dòng)能更高的勢(shì)壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng).它是粒子具有波動(dòng)性的生動(dòng)表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著。右圖給出了勢(shì)壘穿透的波動(dòng)圖象。此結(jié)果表明，即使，透射系數(shù)一般不等于零。0aV(x)V0入射波+反射波透射波x§2.8勢(shì)壘貫穿122透射系數(shù):（9）隧道效應(yīng)（tunneleffect）當(dāng)很小，或，而

又不太小時(shí)，有，則討論于是（10）式(9)化成(1)低能粒子穿透因與

同數(shù)量級(jí)，則

故4可忽略§2.8勢(shì)壘貫穿表明

隨壘寬

和壘高

的增大而成指數(shù)減小。123當(dāng)很小，或，而又不太小時(shí)，有例1:入射粒子為電子。設(shè)E=1eV,U0=2eV,a=2×10-8cm=2?，算得D≈0.51。若a=5×10-8cm=5?

則D≈0.024，可見(jiàn)透射系數(shù)迅速減小。若a=5×10-8cm=5?，則D≈0.024，可見(jiàn)透射系數(shù)迅速減小。質(zhì)子與電子質(zhì)量比

μp/μe≈1840。

對(duì)于a=2?

則D≈2×10-38。可見(jiàn)透射系數(shù)明顯的依賴于粒子的質(zhì)量和勢(shì)壘的寬度。例2:入射粒子為質(zhì)子?！?.8勢(shì)壘貫穿由例1、2看出，只有粒子的質(zhì)量和勢(shì)壘寬度比較小時(shí)，隧道效應(yīng)才顯著124例1:入射粒子為電子。設(shè)E=1eV,U0=2eV,

(2)任意形狀的勢(shì)壘可把任意形狀的勢(shì)壘分割成許多小勢(shì)壘，這些小勢(shì)壘可以近似用方勢(shì)壘處理。對(duì)每一小方勢(shì)壘透射系數(shù)E0abV(x)§2.8勢(shì)壘貫穿則貫穿整個(gè)勢(shì)壘的透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢(shì)壘透射系數(shù)之積，即此式的推導(dǎo)雖不太嚴(yán)格，但該式與嚴(yán)格推導(dǎo)的結(jié)果一致。125(2)任意形狀的勢(shì)壘可把任意形狀的勢(shì)壘分割成對(duì)每一小方勢(shì)壘4.應(yīng)用實(shí)例

1962年,Josephson發(fā)現(xiàn)了Josephson節(jié)。將兩塊超導(dǎo)體用一絕緣層隔開,如果絕緣層較厚,電流則不易通過(guò)絕緣層。但如果絕緣層夠薄，則超導(dǎo)體中的也庫(kù)珀電子對(duì)按一定幾率穿透絕緣層形成電流。Josephson節(jié)是宏觀量子隧道效應(yīng)的一個(gè)典型例子量子力學(xué)提出后，Gamow首先用勢(shì)壘穿透成功的說(shuō)明了放射性元素的α衰變現(xiàn)象?！?.8勢(shì)壘貫穿隧道效應(yīng)在固體物理學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用，它已經(jīng)用來(lái)制造一些不同種類的電子器件。

掃描隧道顯微鏡就是利用穿透勢(shì)壘的電流對(duì)于金屬探針尖端同待測(cè)物體表面的距離很敏感的關(guān)系，可以探測(cè)到

量級(jí)高低起伏的樣品表面的“地形圖”1264.應(yīng)用實(shí)例1962年,Josephson發(fā)現(xiàn)了Jose

核的衰變UTh+He2382344粒子怎么過(guò)去的呢?通過(guò)隧道效應(yīng)出來(lái)的對(duì)不同的核算出的衰變概率和實(shí)驗(yàn)一致rRU35MeV4.25MeV0<<勢(shì)壘高度127核的衰變UTh+He2382344粒量子物理：粒子有波動(dòng)性遵從不確定原理粒子經(jīng)過(guò)壘區(qū)和能量守恒并不矛盾只要?jiǎng)輭緟^(qū)寬度x=a不是無(wú)限大粒子能量就有不確定量p、Ex=a很小時(shí)

p和E很大▲怎樣理解粒子通過(guò)勢(shì)壘區(qū)經(jīng)典物理：從能量守恒的角度看是不可能的﹟動(dòng)能出現(xiàn)負(fù)值128量子物理：x=a很小時(shí)p和E很大▲怎樣理解粒子掃描隧穿顯微鏡（STM）(ScanningTunnelingMicroscope)是觀察固體表面原子情況的超高倍顯微鏡。1.原理隧道電流

i與樣品和針尖間的距離S關(guān)系極為敏感。SABi掃描探針A樣品BS

10A勢(shì)能曲線U0UE129掃描隧穿顯微鏡（STM）(ScanningTunnelin

S

—

樣品和針尖間的距離U

—

加在樣品和針尖間的微小電壓A

—

常數(shù)

—

平均勢(shì)壘高度定量關(guān)系：圖象處理系統(tǒng)掃描探針樣品表面電子云隧道電流130S—樣品和針尖間的距離定量關(guān)系：圖象處理系統(tǒng)掃描探針樣隧道電流反饋傳感器參考信號(hào)顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖131隧道電流反饋傳感器參考信號(hào)顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡2.技術(shù)難點(diǎn)與克服

(1)消震：(4)撞針：保持i不變d不變

(利用反饋裝置，不撞壞針尖)掃描一步0.4?，掃描1，用0.7s(2)探針尖加工：(3)驅(qū)動(dòng)和到位：利用壓電效應(yīng)的逆效應(yīng)。

——電致伸縮，一步一步掃描。多級(jí)彈簧，底部銅盤渦流阻尼。電化學(xué)腐蝕，強(qiáng)電場(chǎng)去污，針尖只有1~2個(gè)原子！1322.技術(shù)難點(diǎn)與克服(1)消震：(4)撞針：保持iSTM133STM13305090307010(nm)硅晶體表面的STM掃描圖象13405090307010(nm)硅晶體表面的STM掃描圖象13神經(jīng)細(xì)胞的STM掃描圖象135神經(jīng)細(xì)胞的STM掃描圖象135搬運(yùn)單個(gè)原子136搬運(yùn)單個(gè)原子136鑲嵌了48個(gè)Fe

原子的Cu

表面的掃描隧道顯微鏡照片。48個(gè)Fe

原子形成“電子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波：137鑲嵌了48個(gè)Fe原子的Cu表面的137由于這一貢獻(xiàn)，賓尼、羅赫爾和魯斯卡三人分享了1986年度的諾貝爾物理獎(jiǎng)。前兩人是掃描隧穿顯微鏡的直接發(fā)明者，第三人是1932年電子顯微鏡的發(fā)明者，這里是為了追朔他的功勞。羅赫爾賓尼魯斯卡138由于這一貢獻(xiàn)，賓尼、羅赫爾和魯斯卡前兩人是掃描隧穿顯微鏡的直1．波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋

（2）坐標(biāo)表象中的波函數(shù):

第二章小結(jié)（1）波函數(shù)又稱為幾率幅，它的模方給出粒子的幾率。幾率幅無(wú)直接可測(cè)的意義，其模方才有直接可測(cè)的意義。給出t時(shí)刻粒子處在位置處的幾率

給出t時(shí)刻粒子動(dòng)量為的幾率

動(dòng)量表象中的波函數(shù)：互為Fourer變換與逆變換(3)波函數(shù)的歸一化問(wèn)題2．態(tài)迭加原理及其實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)1391．波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋（2）坐標(biāo)表象中的波函數(shù):3．Schr?dinger方程及其建立的基本思路動(dòng)量算符的引入4．定態(tài)Schr?dinger方程及定態(tài)的特征。★能量算符的引入?！颒amilton（能量）算符及本征值方程?！锬芰克惴谋菊髦?、本征函數(shù)與本征波函數(shù)?！锒☉B(tài)的判斷。5．幾率流密度與守恒律。6．三個(gè)典型實(shí)例（一維無(wú)限深勢(shì)阱，一維線性諧振子，一維勢(shì)壘）的研究。第二章小結(jié)1403．Schr?dinger方程及其建立的基本思路動(dòng)量算符掌握一維薛定諤方程求解。對(duì)于求解一維薛定諤方程，應(yīng)掌握邊界條件的確定和處理方法。關(guān)于一維定態(tài)問(wèn)題要求如下：a．掌握一維無(wú)限深勢(shì)阱的求解方法及其物理討論；b．掌握一維諧振子的能譜及其定態(tài)波函數(shù)的一般特點(diǎn)；c．了解勢(shì)壘貫穿的討論方法及其對(duì)隧道效應(yīng)的解釋。141掌握一維薛定諤方程求解。141作業(yè)周世勛《量子力學(xué)教程》2.1，2.2,2.3,2.4,2.5,2.7,2.8142作業(yè)周世勛《量子力學(xué)教程》142TheEndofChapter2Back143TheEndofChapter2Back143經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)粒子性1.顆粒性屬性（m,q）2.有確定軌道（理論體系），無(wú)限精確的軌道并未證實(shí)（宏觀世界）3.每一時(shí)刻有一定位置和速度（經(jīng)典粒子）1.顆粒性屬性（m,q）2.拋棄確切軌道的概念波動(dòng)性1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化2.表現(xiàn)出波的干涉、衍射現(xiàn)象，即波的相干疊加性（經(jīng)典波）1.拋棄實(shí)際物理量在空間分布的概念；2.表現(xiàn)出波的干涉、衍射現(xiàn)象，即波的相干疊加性★經(jīng)典和量子的比較：難以統(tǒng)一到一個(gè)客體上144經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)粒子性1.顆粒性屬性（m,q）1.將物質(zhì)粒子的原子性與波動(dòng)性統(tǒng)一起來(lái)幾率波幾率波幅：波函數(shù)幾率密度：幾率波動(dòng)力學(xué)描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方式145將物質(zhì)粒子的原子性與波動(dòng)性統(tǒng)一起來(lái)幾率波幾率波幅：波函數(shù)幾率基于單粒子波函數(shù)的各種幾率表示：146基于單粒子波函數(shù)的各種幾率表示：146147147結(jié)束語(yǔ)當(dāng)你盡了自己的最大努力時(shí)，失敗也是偉大的，所以不要放棄，堅(jiān)持就是正確的。WhenYouDoYourBest,FailureIsGreat,SoDon'TGiveUp,StickToTheEnd148結(jié)束語(yǔ)148謝謝大家榮幸這一路，與你同行It'SAnHonorToWalkWithYouAllTheWay演講人：XXXXXX時(shí)間：XX年XX月XX日

149謝謝大家演講人：XXXXXX149

第二章

波函數(shù)與薛定諤方程ThewavefunctionandSchr?dingerEquation150

第二章

2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

TheWavefunctionanditsstatisticexplanation

2.2態(tài)疊加原理

Theprincipleofsuperposition

2.3薛定諤方程

TheSchr?dingerequation

2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

Thecurrentdensityofparticlesandconservationlaws

2.5定態(tài)薛定諤方程

TimeindependentSchr?dingerequation

2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱

Theinfinitepotentialwell

2.7線性諧振子

Thelinearharmonicoscillator

2.8勢(shì)壘貫穿

Thetransmissionofpotentialbarrier學(xué)習(xí)內(nèi)容1512.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋學(xué)習(xí)內(nèi)容21.理解微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋。2.通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)的分析,理解態(tài)疊加原理。3.掌握微觀粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程波函數(shù)隨時(shí)間演化的規(guī)律Schr?dinger方程。4.掌握定態(tài)及其性質(zhì)。5.通過(guò)對(duì)三個(gè)實(shí)例的討論,掌握定態(tài)Schr?dinger方程的求解。學(xué)習(xí)要求1521.理解微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)微觀粒子因具有波粒二象性，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用經(jīng)典坐標(biāo)、速度、加速度等物理量來(lái)描述，也不能用經(jīng)典波函數(shù)來(lái)描述。§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋1．微觀粒子狀態(tài)的描述①自由粒子的狀態(tài)可用其對(duì)應(yīng)的德布羅意波函數(shù)表示：②一般粒子的狀態(tài)也可用其對(duì)應(yīng)的德布羅意波函數(shù)表示：關(guān)鍵問(wèn)題：描寫的是什么樣的波呢？波函數(shù)：微觀粒子具有波粒二象性，每一粒子都有一對(duì)應(yīng)的德布羅意波函數(shù)，可用其來(lái)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)—

稱這一函數(shù)為波函數(shù)。153微觀粒子因具有波粒二象性，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用經(jīng)典坐標(biāo)、速度▲兩種錯(cuò)誤的看法（1）波由粒子組成

如水波，聲波，由物質(zhì)的分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長(zhǎng)時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。

電子一個(gè)一個(gè)的通過(guò)小孔，但只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，底片上仍可呈現(xiàn)出衍射花紋。這說(shuō)明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。

§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)3）2．波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋154▲兩種錯(cuò)誤的看法（1）波由粒子組成如水波，聲波，由（2）粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)4）什么是波包？波包是各種波數(shù)（長(zhǎng)）平面波的迭加。平面波描寫自由粒子，其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無(wú)關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個(gè)空間，這是沒(méi)有意義的，與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。

實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如一個(gè)原子內(nèi)的電子，其廣延不會(huì)超過(guò)原子大小≈1。

155（2）粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)

“

電子既不是粒子也不是波

”——既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波；也可以說(shuō)，“

電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一?！?/p>

——這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;2．有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定位置和速度。經(jīng)典概念中粒子意味著

§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)5）電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。經(jīng)典概念中波意味著

156“電子既不是粒子也不是波”——既不是經(jīng)典的粒子也不是我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn)▲玻恩的解釋：OPP電子源感光屏QQ§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)6）

波動(dòng)觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2大

電子出現(xiàn)的概率大暗紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2小電子出現(xiàn)的概率小157我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn)▲玻恩的解釋：OPP電子源感光屏1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：

波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（波函數(shù)模的平方）與粒子在該點(diǎn)出現(xiàn)的概率成比例。

可見(jiàn)，波函數(shù)模的平方與粒子時(shí)刻在處附近出現(xiàn)的概率成正比。§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)7）

波動(dòng)觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2大

電子出現(xiàn)的概率大暗紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2小電子出現(xiàn)的概率小1581926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波的強(qiáng)度是按Born提出的波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,粒子在空間中某一點(diǎn)處出現(xiàn)的概率與粒子的波函數(shù)在該點(diǎn)模的平方成比例?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)8）則微觀粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在處體積元dτ內(nèi)的幾率在處的幾率密度為159設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波的強(qiáng)度是按玻恩對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋—小結(jié)1.實(shí)物粒子的物質(zhì)波（德布羅意波）是幾率波；2.幾率波用波函數(shù)來(lái)描述，也稱為幾率波幅；3.波函數(shù)的強(qiáng)度（模的平方