函數(shù)的單調(diào)性與最值講義

函數(shù)的單調(diào)性講義知識點一：函數(shù)單調(diào)性(1)相關(guān)看法增函數(shù)：一般地，設函數(shù)的定義域為，若是對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值，當，都有，那么就說在這個區(qū)間上是增函數(shù)，以以下列圖（1）；用數(shù)學符號表示：是增函數(shù).減函數(shù)：一般地，設函數(shù)的定義域為，若是對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值，當，都有，那么就說在這個區(qū)間上是減函數(shù)，以以下列圖（2）.用數(shù)學符號表示：是減函數(shù).單調(diào)性：若是函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間擁有（嚴格的）單調(diào)性.單調(diào)區(qū)間：函數(shù)在某個區(qū)間上擁有單調(diào)性，則這一區(qū)間就叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解，要注意以下三點：①單調(diào)性是與“區(qū)間”親密相關(guān)的看法，一個函數(shù)在不相同的區(qū)間上能夠有不相同的單調(diào)性；②單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的擁有任意性，不能夠用特別值代替.③由于定義都是充要性命題，因此由是增（減）函數(shù)，且，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系能夠“正逆互推”.知識點二：函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（常用的）（1）定義法（基本法）；①取值：任取，且；②作差：；③變形：平時是因式分解或配方；④定號：即判斷差的正負；⑤下結(jié)論：即指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.例：判斷函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)性．變式訓練：證明函數(shù)在上是減函數(shù).（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性；在研究函數(shù)的單調(diào)性時，常需要先將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)變?yōu)檎務撘恍┦熘膯握{(diào)性，因此掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過程.若是函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間擁有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間.①的單調(diào)性：增函數(shù)，減函數(shù)；②的單調(diào)性：減區(qū)間；增區(qū)間；③的單調(diào)性：，減區(qū)間，增區(qū)間；，增區(qū)間，減區(qū)間；④在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，則時，在上是增（減）函數(shù)；時則相反；⑤若、是區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則在區(qū)間上是增（減）函數(shù)；⑥若且在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，則在上是減（增）函數(shù)，在上是增（減）函數(shù)；１⑦軸（與軸垂直）對稱圖形的函數(shù)在它們的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，中心對稱圖形的函數(shù)在它們的對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，比方求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：，，.（3）利用函數(shù)的圖像；函數(shù)y＝|x2－2x－3|的單調(diào)增區(qū)間是________．【剖析】y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，作出該函數(shù)的圖像(如圖)．由圖像可知，其增區(qū)間為[－1,1]和[3，＋∞)．（4）依照一些常用結(jié)論及復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法；①兩個增（減）函數(shù)的和仍為增（減）函數(shù)；②一個增（減）函數(shù)與一個減（增）函數(shù)的差是增（減）函數(shù)；③奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性；④偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性；⑤互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性；⑥若是在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，那么在區(qū)間的任一子區(qū)間上也是增（減）函數(shù)；⑦若是單調(diào)性相同，那么是增函數(shù)；若是單調(diào)性相反，那么是減函數(shù).對于復合函數(shù)的單調(diào)性，列出下表以助記憶.yf(u)ug(x)yf[g(x)]上述規(guī)律可概括為“同性則增，異性則減”例：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A.B.C.D.（5）求導（今后會學到）.知識點三：函數(shù)單調(diào)性的應用1）利用函數(shù)的單調(diào)性能夠比較函數(shù)值的大?。焕阂阎獙ΨQ軸為，比較、、的大小。2）利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；例：已知在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。變式訓練：函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，且f()＞f(－m＋9)，則實數(shù)m的取值范圍是２()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)3）求某些函數(shù)的值域或最值；①直接法：利用常有函數(shù)的值域來求一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比率函數(shù)的定義域為{x|x0}，值域為{y|y0}；二次函數(shù)的定義域為R，當a>0時，值域為{}；當a<0時，值域為{}。②配方法：轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)，利用二次函數(shù)的特色來求值；常轉(zhuǎn)變?yōu)樾腿纾旱男问?；③分式轉(zhuǎn)變法（或改為“分別常數(shù)法”）④換元法：經(jīng)過變量代換轉(zhuǎn)變?yōu)槟芮笾涤虻暮瘮?shù)，化歸思想；⑤三角有界法：轉(zhuǎn)變?yōu)橹缓摇⒂嘞业暮瘮?shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)變?yōu)樾腿纾?，利用平均值不等式公式來求值域；⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可依照函數(shù)的單調(diào)性求值域。⑧數(shù)形結(jié)合：依照函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。例1.求以下函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。解：（1）（配方法），∴的值域為。改題：求函數(shù)，的值域。（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增，∴當時，原函數(shù)有最小值為；當時，原函數(shù)有最大值為?！嗪瘮?shù)，的值域為。2）求復合函數(shù)的值域：設（），則原函數(shù)可化為。又∵，∴，故，∴的值域為。3）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域為，∴原函數(shù)的值域為。（法二）分別變量法：，∵，∴，∴函數(shù)的值域為。３（4）換元法（代數(shù)換元法）：設，則，∴原函數(shù)可化為，∴，∴原函數(shù)值域為。注：總結(jié)型值域，變形：或（5）三角換元法：∵，∴設，則∵，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域為。（6）數(shù)形結(jié)合法：，∴，∴函數(shù)值域為。7）鑒識式法：∵恒成立，∴函數(shù)的定義域為。由得：①①立刻時，①即，∴②立刻時，∵時方程恒有實根，∴△，∴且，∴原函數(shù)的值域為。（8），∵，∴，∴，當且僅當時，即時等號成立?！啵嘣瘮?shù)的值域為。9）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域為。談論：上面談論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常有種類與方法，在現(xiàn)行的中學數(shù)學要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后邊的復習中要作詳盡的談論。章末練習：一、選擇題４1．以下說法中，正確的有()①若任意x1，x2∈A，當x1<x2時，>0，則y＝f(x)在A上是增函數(shù)；②函數(shù)y＝x2在R上是增函數(shù)；③函數(shù)y＝－在定義域上是增函數(shù)；④函數(shù)y＝的單調(diào)區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0個B．1個C．2個D．3個2．以下函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝D．y＝－x2＋43．已知四個函數(shù)的圖像以以下列圖所示，其中在定義域內(nèi)擁有單調(diào)性的函數(shù)是()4．函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，且f()＞f(－m＋9)，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)5．(2013洛·陽高一檢測)函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5在區(qū)間[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則有()A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)>25二、填空題6．已知f(x)＝則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是________．7．若函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上為減函數(shù)，在[－2，＋∞)上為增函數(shù)，則f(1)＝________.8．函數(shù)y＝|x2－2x－3|的單調(diào)增區(qū)間是________．三、解答題9．求證：函數(shù)f(x)＝－－1在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．10．(2013寧·德檢測)定義在(