中學幾何計算題的有效教學研究

PAGEPAGEPAGE22學科分類號必須以110開頭本科畢業(yè)論文中學幾何計算題的有效教學研究學號院（系）指導教師職稱二○一四年五月中學幾何計算題的有效教學研究目錄摘要 21.引言 42.幾何的概念 43.中學平面幾何計算題 53．1構(gòu)造方程（組）解平面幾何計算題 53.1．1利用勾股定理構(gòu)造方程組 53.1．2利用三角形相似構(gòu)造方程 53.1．3利用面積關(guān)系構(gòu)造方程 63．2整體代換在幾何計算題中的應用 73.2．1整體代換應用于角度計算 73.2．2整體代換應用于長度計算 73．3整體思想在幾何計算題中的應用 83．4平面幾何計算題失根原因 93.4．1忽視隱含條件 93.4．2思維定勢的影響 103.4．3考慮不周 104．中學立體幾何計算題 124．1空間向量在立體幾何計算與證明的運用 124．2求解立體幾何問題的算法化表述 135．中學解析幾何計算題 165．1關(guān)于坐標系的幾何題 165．2關(guān)于二次曲線的幾何題 175．3關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”思想的幾何題 18結(jié)束語： 19參考文獻： 19摘要中學幾何計算題是中學數(shù)學教學的主要內(nèi)容之一，它是用綜合的幾何知識去檢驗學生的能力的一種途徑，尤其是在中考卷和高考卷體現(xiàn)極為突出。幾何計算題在培養(yǎng)人們的空間觀念起著舉足輕重的作用，尤其是多解的幾何計算題，得有很強的空間觀念及細心謹慎才能完整無誤地完成。本文是對“中學幾何計算題”進行研究。首先從幾何問題出發(fā)，進行一系列的分析、類比、歸納和深入的分析，最后總結(jié)。研究的同時適當?shù)嘏e例說明，讓人們更容易地掌握幾何計算題類型與解法及其應用。關(guān)鍵字幾何；幾何計算題；分析;解析幾何AbstractHighschoolgeometrycalculationproblemsisoneofthemainhighschoolmathematicsteaching.Itisacomprehensiveknowledgeofgeometrywithawaytotesttheabilityofstudents.Especiallyreflectedinthecollegeentranceexamandthevolumeisextremelyprominent.People'sconceptofspacecultureplaysanimportantroleinthegeometriccalculationproblems.Especiallymultiplesolutionsgeometriccalculationproblems.Thisarticleisonthe"highschoolgeometrycalculationstitle"research.First,fromthegeometricproblems.Aseriesofanalyzes,analogy,inductionandin-depthanalysis.Concluded.Alsostudiedappropriatelyillustrated.MakeiteasierforpeopletograspthegeometrytypeofcalculationproblemsSolutionandItsApplication.KeywordGeometriccalculationproblems;Geometry;Analysis;AnalyticGeometry1.引言幾何計算題是中學數(shù)學的一個亮點，每一年的中考卷和高考卷上的幾何計算題所占的比例都不低于總分的50%。卷子上的這些幾何題有難有益，往往難度大的題占的分值也大，不過掌握了知識點及方法，再難的幾何題也都迎刃而解了。幾何計算題主要以以下三個方面為主：①中學平面幾何計算題；②中學立體幾何計算題；③中學解析幾何計算題。2.幾何的概念幾何是一門研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的學科。它是數(shù)學中最基本的研究內(nèi)容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位，并且關(guān)系極為密切。幾何是一門邏輯性十分嚴謹?shù)膶W科，它的嚴謹性突出在語言表述之上。對理解幾何概念，識別幾何圖形，學會推理論證有著重要的作用。幾何入門教學，首先就遇到幾何語言和幾何符號，正確掌握幾何語言是學好幾何的必備條件，也是進行正確的數(shù)學思維的關(guān)鍵。比如梯形的概念，它是這樣定義的：“一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。”中學平面幾何計算題3.1構(gòu)造方程（組）解平面幾何計算題3.1.1利用勾股定理構(gòu)造方程組例1如圖1，△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,若AC、BC上的中線BD、AE垂直相交于O，則c可用a、b的代數(shù)式表示_______.解：設OD=,OE=,∵BD、AE是中線∴BO=2，AO=2，由勾股定理，得解此方程組，得評注：研究三角形的邊與邊之間的關(guān)系，利用勾股定理構(gòu)建方程組去解是常用的方法。3.1.2利用三角形相似構(gòu)造方程例2如圖2，正方形OPQR內(nèi)接于△ABC,已知△AOR、△BOP和△CRQ的面積分別是和，那么正方形OPQR的邊長是（）.A.B.C.2D.3解：設正方形邊長為，作AD⊥BC于D，由和，得 QC=，BP=，BC=，AD=，而△AOR∽△ABC,有，解此方程得，故選C評注把AD、BP、QC、BC用含的式子表示是解本題的關(guān)鍵，再利用三角形相似的性質(zhì)得到線段成比例構(gòu)造方程是常用的方法。3.1.3利用面積關(guān)系構(gòu)造方程例3如圖3，梯形ABCD中，AD∥BC,CE是∠BCD的平分線，且CE⊥AB于E,BE=2AE,若四邊形AECD的面積為1，則梯形ABCD的面積為______.解：分別延長BA、CD相交于F，∵CE是∠BCD的角平分線，CE⊥AB,∴△BCF為等腰三角形，BE=EF.又BE=2AE,∴AE=AF,而AD∥BC,有,連接DE,設，則,，解得，故梯形ABCD的面積為.評注本題利用高相等時，三角形的面積比等于底邊的比構(gòu)造方程，也可以用上面的方法，利用相似三角形對應邊成比例構(gòu)造方程。以上三個例子巧妙的運用等量關(guān)系列出方程，解出問題。在教學中，可以以這幾個例子對學生進行講解，在月末檢測中適當?shù)募右恍╊愃频念}目來加深學生對這一塊知識的掌握。3.2整體代換在幾何計算題中的應用在中學，整體代換是重要的數(shù)學代數(shù)思想。其特點是：求某一代數(shù)式的值時，由于式中各字母的取值不確定，故不能分別代值而求之；但這字母之間存在著聯(lián)系，而又使它在整體上顯示出值的確定性，故可將該代數(shù)式看作一個有機的整體，實施整體代換求解。這種解題思想在幾何計算題中有著廣泛的應用。3.2.1整體代換應用于角度計算例1如圖4，在△ABC中，O為內(nèi)心，若∠A=，求∠BOC的度數(shù)?解：∵O為△ABC的內(nèi)心∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO∴∠BOC=-(∠OBC+∠OCB)=-(∠ABC+∠ACB)=-(-∠A)=+∠A=3.2.2整體代換應用于長度計算例2如圖5，AD、AE、CB是⊙O的切線，D、E、F分別是切點，已知AD=8，求△ABC的周長.解：∵BD=BF,CE=CF,∴△ABC的周長=AB+AC+BC=AB+AC+(BF+CF)=AB+AC+(BD+CE)=(AB+BD)+(AC+CE)=AD+AE=2AD=16∴△ABC的周長是16如圖6，在△ABC中，AB=AC,DM是AB的中垂線，△BCD的周長為14cm,BC=5cm,求AB的長.解：∵△BCD的周長=BC+BD+DC=14cm，而BC=5cm,∴BD+DC=9cm,即AD+DC=9cm,∴AB=AC=AD+DC=9cm.3.3整體思想在幾何計算題中的應用有一類幾何計算題，我們往往難以各個突破，而用整體思想來做，卻輕輕松松地就解出這類幾何計算題。例1如圖7，矩形ABCD中，AB=6AD=8，點O是對角線的交點，點P是BC上一點，PE⊥BD于E,PF⊥AC于F，求PE+PF的長.分析由題目所給的已知難以分別求出PE、PF的長，但我們可以看成，由此，只要求出和OB即可求出PE+PF的長，這就是整體思想解題。解：據(jù)題意得OB=OC,AC=BD,由勾股定理得AC=BD=10，∴OB=OC=5，,∵∴,即∴PE+PF=4.8例2如圖8，矩形ABCD被兩條對角線分成四個小三角形，如果四個小三角形的周長的和是86cm，一條對角線長是13cm，那么矩形的面積是多少？分析這題看似簡單，只要求得的值即可，怎么求呢？我們不防用“整體思想解題”的方法來解。解：由題意得，AB+BC+CD+DA=86-2(AC+BD)=86-4×13=34∴AB+BC=17，兩邊平方得,又+==169,L兩式相減得2AB·BC=120.∴AB·BC=60().∴矩形的面積是60.3.4平面幾何計算題失根原因高考和中考的數(shù)學卷中，常常有這么一類題，大部分的學生都在這里丟分，丟分的主要原因是解題不全，也就是所謂的“失根”。本節(jié)就來例說這類題型，讓學生考慮問題更全面、不在這一塊上丟分。3.4.1忽視隱含條件例1已知半徑為9的⊙O內(nèi)有一內(nèi)接等腰三角行ABC，底邊BC上的高AD與一腰的和是20，試求AD得長.解：如圖9，作AD得延長線交⊙O于E，連結(jié)BE,則AE=18.設OD=，則AD=9+,DE=9-,AB=20-AD=11-.∵,∴,解得=41（=-1舍去）∴AD=50.失根分析因為AD=50＞直徑（AE=18),所以上面的解題結(jié)果是錯的。這錯誤的原因是忽視了題目的隱含條件，導致作圖錯誤。題目所給的隱含條件是：①當AD+AB＜9(+1)時，△ABC是鈍角三角形；②當AD+AB＝9(+1)時，△ABC是直角三角形；③當AD+AB＞9(+1)時，△ABC是銳角三角形；∵AD+AB=20＜9(+1)，∴這題說的三角形應是鈍角三角行，正確的圖形應是圖10，接下來就跟上面的步驟一樣，求出AD=8.3.4.2思維定勢的影響例1等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則底角度數(shù)為______.解：如圖11，∵CD=AC,則∠A=.∴∠B==失根分析以上解法忽略了△ABC可能為鈍角三角形，高在△ABC外部，這是思維定勢的消極影響。平時畫三角形的高，習慣上總是畫銳角三角形的高，故其在三角形內(nèi)部。如圖2，∵CD=AC，∴∠CAD=.∠BAC==，∴∠B==∴正確答案應是或.3.4.3考慮不周例1在⊙O中，弦AC是內(nèi)接正三角形的一邊，弦AC是內(nèi)接正六邊形的一邊，則∠BAC______.解：由題意可作出圖13，連接OA、OC,再根據(jù)題意得∠OAC=,∠OAB=.∴∠BAC=-=.失根分析以上解法忽視了點C除在eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))上外，還可能在eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))上，如圖14，此時，可求得∠BAC=，∴正確答案應是或.中學立體幾何計算題4.1空間向量在立體幾何計算與證明的運用在立體幾何的線面關(guān)系中，對垂直、平行的論證，距離和角的求解以及面積、體積的計算，其解決的關(guān)鍵是對垂直關(guān)系的識別、判斷、論證、巧用與挖掘，它需要學生具有較強的空間想象能力和邏輯思維能力，許多學生為此而感到困惑。新教材中空間向量的出現(xiàn)，為立體幾何問題的解決提供了強有力的工具，尤其是法向量的引入，在很大程度上避開了思維的高強度轉(zhuǎn)換和各種輔助線添加的難處，代之以空間向量的計算與證明，使思路變得順暢，充分顯示出其獨特的優(yōu)勢。本節(jié)結(jié)合自己的學習經(jīng)驗，談談空間向量在立體幾何中的運用。例1已知棱長為1的正方形-,E,F分別是棱和的中點.（1）求證：E、F、B、D共面；（2）求點到平面BDFE的距離；（3）求直線與平面BDFE所成的角.分析此題用一般方法解比較復雜，而且還不一定做對。因此以向量積為工具，解決立體幾何中求角、距離等問題，可以減少輔助線的添加，還可避開一些較復雜的空間圖形，降低了解題難度，且思路明確，易于下手，過程程序化，易于接受.eq\o(AC,\s\up5(⌒））錯誤！未找到引用源。eq╲o(AC,╲s╲up8(⌒))錯誤！未指定書簽。解：建立如圖15所示的空間直角坐標系D-,則D（0,0,0），B（1,1,0），E（，1,1），F(xiàn)（0,，1）.（1）由eq\o(\s\up8(→),\s\do1(DB))=（1,1,0),eq\o(\s\up7(→),\s\do2(FE))=(,,0)知eq\o(\s\up8(→),\s\do1(DB))=2eq\o(\s\up7(→),\s\do2(FE))，故E、F、B、D共面.(2)設=（）是平面BDFE的法向量.由⊥eq\o(\s\up8(→),\s\do1(DB))，⊥eq\o(\s\up8(→),\s\do1(DF))，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(DB))=(1，1，0)，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(DF))=（0，，1）得設點在平面BDFE上的射影為H，連結(jié).因是平面BDFE的斜線段，令y=1,得=，則,于是所以，點到平面BDFE的距離為1.由（2）知,是直線與平面BDFE所成的角，且,所以.4.2求解立體幾何問題的算法化表述在求解立體幾何問題時，經(jīng)常發(fā)生某些學生在求解表述中省略關(guān)鍵步驟、跳步、圖形與書寫相脫離或書寫混亂、條理不清等問題.為了使學生在表述求解問題時更加有條理、規(guī)范，養(yǎng)成良好的思想品質(zhì)。我們將證明題的算法化表述可以歸結(jié)為一系列的三段：大前提--小前提--結(jié)論的恰當組合；計算題的算法化表述可以歸結(jié)為“尋--證--點--算?！薄皩ぁ保从深}意尋找或作出正確的圖形，根據(jù)需要作出輔助直線或平面。有的題目中的輔助線面較多，還要寫清成圖過程、注明字母，或根據(jù)題意，在已給出的圖中尋找所需要的圖形。“證”，就是從題設條件出發(fā)，從已學公理、定理、定義出發(fā)論證清楚所求的“角”、“距離”等，這是解題的根據(jù)所在，重點所在，不能一筆帶過。“點”就是在前面證明的基礎上，點名所求的對象?！八恪保褪歉鶕?jù)題設條件及已論證清楚的結(jié)論，計算出所要求的最后結(jié)果。一般來說，計算過程不要寫得太長，突出主要過程即可。例1如圖16，過正方形ABCD的頂點A作PA⊥平面ABCD，設PA=AB=a.求二面角B-PC-D的大??；求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.解：（1）（尋）在平面PBC內(nèi)，作BE⊥PC于E，連結(jié)DE.(證）由PA⊥平面ABCD，BD⊥AC,根據(jù)三垂線定理知BD⊥PC.于是PC⊥面BED，從而ED⊥PC.(點）故∠BED是二面角B-PC-D的平面角（算）在Rt△PAB中，由PA=AB=a，得PB=a.由PA⊥面ABCD，BC⊥AB,知BC⊥PB,故PC=.在RtPBC中，BE=.同理DE=.在Rt△BDE中，,即∠BED=，此即為二面角B-PC-D的大小.(2)(尋）過P作PQ∥AB,則平面PAB，由AB∥CD，知PQ∥CD,平面PCD.故面PAB∩面PCD=PQ.(證）由PA⊥AB,AB∥PQ,知PA⊥PQ.又PA⊥面ABCD，CD⊥AD，由三垂線定理之逆知CD⊥PD.由PQ∥CD,知PD⊥PQ.(點）從而∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角.（算）由PA=AB=AD，知∠APD=.故所求的二面角為.例2如圖17（a)，在長方形ABCD中，AB=a,BC=b(a＞b),把這個長方形沿對角線AC折成等于的二面角，求這時頂點B、D間的距離.解：(尋）作BE⊥AC于E，作DF⊥AC于F.（證）由△AEB∽△ABC∽△BEC,得,從而.于是DF=BE=，EF=AC-2CE=.（點）在圖17(b)中，EF是異面直線BE，DF的公垂線，BD是兩異面直線BE與DF上點B，D間的距離.（算）設二面角D-AC-B等于，＜＜，知當ψ為銳角時，等于異面直線BE，DF所成的角，得.當為鈍角時，的補角等于異面直線BE,DF所成的角，得當為直角時，，故為所求.中學解析幾何計算題5.1關(guān)于坐標系的幾何題大家都知道，坐標系是解析幾何借以展觀的舞臺。不過，用坐標確定位置，早在小學已經(jīng)有所介紹，雖然那時只限于第一象限和整數(shù)坐標。初中引入函數(shù)概念時，全面地介紹了直角坐標系，并借以描繪函數(shù)圖像。高中就開始進入解析幾何的教學，雖然老早就學過坐標系，但是是否能運用坐標系解題仍然是個問題，我將自己學過的經(jīng)驗以以下例題講解。例1如圖18，在證三角形ABC中，D、E分別在AB和BC上，且AD=AB，BE=BC，AE和CD相交于P，試問直線BP和CP的位置關(guān)系怎樣，為什么？解：猜想：BP⊥CP.以AB所在直線為軸，AB中點為原點，建立直角坐標系.設A（-，0），B(,0)，則C(0，)，D(，0），E（，）.所以.直線AE、CD的一個法向量分別為，由此得直線AE的方程為，即.由，解得，即得點P的坐標為.于是得，且有，所以直線BP和CP互相垂直.點評憑直覺猜測AE⊥CP，欲證這一結(jié)論的關(guān)鍵是求點P的坐標.為此，須建立直線AE和CD的方程.這樣，就必須先建立平面直角坐標系.因此，運用解析法證明本題就是順理成章的事了。這里的證明，應用了”，這是常用的方法，它使“形”與“數(shù)”結(jié)合，溝通了用代數(shù)研究幾何的渠道。5.2關(guān)于二次曲線的幾何題二次曲線，是高考的一個重要考點，常出現(xiàn)在應用題，占的分值雖然不是很多，但也不少，現(xiàn)我就例題來研究二次曲線的幾何題.例1設拋物線（＞0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥軸，證明直線AC經(jīng)過原點.證明：如圖19，設軸與準線交于E，直線AC交軸于N，作AM⊥于M，由拋物線定義，得.由題意，知AM∥FE∥BC.在△ABC中，由,得,在△ACM中，由,得,又,故,所以,即N是EF的中點，但也是EF的中點，故N與拋物線的頂點重合，即直線AC經(jīng)過原點.點評本解法是從證明點N與點重合，即從證明EN=NF著手分析