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2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每題4分,共48分)1.若,,為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn),則,,的大小關(guān)系是()A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y22.下列命題是真命題的是()A.如果|a|=|b|,那么a=bB.平行四邊形對(duì)角線相等C.兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)D.如果a>b,那么a2>b23.關(guān)于的一元二次方程x2﹣2+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則k的值為()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣24.對(duì)于反比例函數(shù),下列說法正確的是A.圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,﹣3) B.圖象在第二、四象限C.x>0時(shí),y隨x的增大而增大 D.x<0時(shí),y隨x增大而減小5.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,將它繞著BC中點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度(小于90°)后得到△A′B′C′,恰好使B′C′∥AB,A'C′與AB交于點(diǎn)E,則A′E的長為()A.3 B.3.2 C.3.5 D.3.66.已知點(diǎn),在雙曲線上.如果,而且,則以下不等式一定成立的是()A. B. C. D.7.方程x2=4的解是()A.x1=x2=2 B.x1=x2=-2 C.x1=2,x2=-2 D.x1=4,x2=-48.如圖,在正方形中,以為邊作等邊,延長分別交于點(diǎn),連接與相交于點(diǎn),給出下列結(jié)論:①;②;③;④;其中正確的是()A.①②③④ B.②③ C.①②④ D.①③④9.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,則的取值范圍()A. B. C.且 D.且10.下列一元二次方程中有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是()A. B.C. D.11.如圖,⊙O的直徑BA的延長線與弦DC的延長線交于點(diǎn)E,且CE=OB,已知∠DOB=72°,則∠E等于()A.18° B.24° C.30° D.26°12.如圖,菱形ABCD的邊AD⊥y軸,垂足為點(diǎn)E,頂點(diǎn)A在第二象限,頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象同時(shí)經(jīng)過頂點(diǎn)C,D.若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,BE=3DE,則k的值為()A. B. C.3 D.5二、填空題(每題4分,共24分)13.方程(x﹣1)(x﹣3)=0的解為_____.14.計(jì)算:2cos30°+tan45°﹣4sin260°=_____.15.如圖,將繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,連結(jié),若,則的度數(shù)是____.16.已知⊙O的周長等于6πcm,則它的內(nèi)接正六邊形面積為_____cm217.已知線段a=4,b=16,則a,b的比例中項(xiàng)線段的長是_______.18.某校七年級(jí)共名學(xué)生參加數(shù)學(xué)測(cè)試,隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其中名學(xué)生成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀,估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)大約有______人.三、解答題(共78分)19.(8分)如圖,△ABC的坐標(biāo)依次為(﹣1,3)、(﹣4,1)、(﹣2,1),將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△A1B1C1.(1)畫出△A1B1C1;(2)求在此變換過程中,點(diǎn)A到達(dá)A1的路徑長.20.(8分)解下列方程:(1)(2)21.(8分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=20,,CD⊥AB,垂足為D.(1)求BD的長;(2)設(shè),,用、表示.22.(10分)化簡(jiǎn)求值:,其中a=2cos30°+tan45°.23.(10分)用“☆”定義一種新運(yùn)算:對(duì)于任意有理數(shù)a和b,規(guī)定a☆b=ab2+2ab+a.如:1☆3=1×32+2×1×3+1=16.(1)求(-2)☆3的值;(2)若=8,求a的值.24.(10分)如圖,已知AB為⊙O的直徑,AD,BD是⊙O的弦,BC是⊙O的切線,切點(diǎn)為B,OC∥AD,BA,CD的延長線相交于點(diǎn)E.(1)求證:DC是⊙O的切線;(2)若AE=1,ED=3,求⊙O的半徑.25.(12分)已知:如圖,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABC,點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰在D的延長線上,若BC∥AE.求證:△ABD為等邊三角形.26.如圖,在中,,的平分線交于點(diǎn),點(diǎn)在上,以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn),分別交,于點(diǎn),(1)試判斷直線與的位置關(guān)系,并說明理由.(2)若,,求陰影部分的面積(結(jié)果保留)
參考答案一、選擇題(每題4分,共48分)1、B【解析】試題分析:根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向上,對(duì)稱軸是直線x=﹣2,根據(jù)x>﹣2時(shí),y隨x的增大而增大,即可得出答案.解:∵y=(x+2)2﹣9,∴圖象的開口向上,對(duì)稱軸是直線x=﹣2,A(﹣4,y1)關(guān)于直線x=﹣2的對(duì)稱點(diǎn)是(0,y1),∵﹣<0<3,∴y2<y1<y3,故選B.點(diǎn)評(píng):本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.2、C【解析】根據(jù)絕對(duì)值的定義,平行線的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),不等式的性質(zhì)判斷即可.【詳解】A、如果|a|=|b|,那么a=±b,故錯(cuò)誤;B、平行四邊形對(duì)角線不一定相等,故錯(cuò)誤;C、兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),故正確;D、如果a=1>b=﹣2,那么a2<b2,故錯(cuò)誤;故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值,不等式的性質(zhì),平行線的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.3、A【分析】關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,可知其判別式為0,據(jù)此列出關(guān)于k的不等式,解答即可.【詳解】根據(jù)一元二次方程根與判別式的關(guān)系,要使得x2﹣2+k=0有兩個(gè)相等實(shí)根,只需要△=(-2)2-4k=0,解得k=1.故本題正確答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2-4ac:當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.4、D【解析】試題分析:根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)增減性以及所在象限和經(jīng)過的點(diǎn)的特點(diǎn)分別分析:A、∵反比例函數(shù),∴當(dāng)x=1時(shí),y=3≠﹣3,故圖象不經(jīng)過點(diǎn)(1,﹣3),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、∵k>0,∴圖象在第一、三象限,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、∵k>0,∴x>0時(shí),y隨x的增大而減小,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;D、∵k>0,∴x<0時(shí),y隨x增大而減小,故此選項(xiàng)正確.故選D.5、D【解析】如圖,過點(diǎn)D作DF⊥AB,可證四邊形EFDC'是矩形,可得C'E=DF,通過證明△BDF∽△BAC,可得,可求DF=2.4=C'E,即可求解.【詳解】如圖,過點(diǎn)D作DF⊥AB,∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB==10,∵將Rt△ABC繞著BC中點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度(小于90°)后得到△A′B′C′,∴AC=A'C'=6,∠C=∠C'=90°,CD=BD=4,∵AB∥C'B'∴∠A'EB=∠A'C'B'=90°,且DF⊥AB,∴四邊形EFDC'是矩形,∴C'E=DF,∵∠B=∠B,∠DFB=∠ACB=90°,∴△BDF∽△BAC∴,∴∴DF=2.4=C'E,∴A'E=A'C'﹣C'E=6﹣2.4=3.6,故選:D.【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)的定義、矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì).6、B【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解:反比例函數(shù)y=的圖象分布在第一、三象限,在每一象限y隨x的增大而減小,而,而且同號(hào),所以,即,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征:反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象是雙曲線,圖象上的點(diǎn)(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.也考查了反比例函數(shù)的性質(zhì).7、C【解析】?jī)蛇呴_方得到x=±1.【詳解】解:∵x1=4,
∴x=±1,
∴x1=1,x1=-1.
故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法:形如ax1+c=0(a≠0)的方程可變形為,當(dāng)a、c異號(hào)時(shí),可利用直接開平方法求解.8、A【分析】根據(jù)等邊三角形、正方形的性質(zhì)求得∠ABE=30°,利用直角三角形中30°角的性質(zhì)即可判斷①;證得PC=CD,利用三角形內(nèi)角和定理即可求得∠PDC,可求得∠BPD,即可判斷②;求得∠FDP=15°,∠PBD=15°,即可證明△PDE∽△DBE,判斷③正確;利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷④.【詳解】∵△BPC是等邊三角形,
∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°,
在正方形ABCD中,
∵AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°,∴,
∴;故①正確;
∵PC=CD,∠PCD=30°,
∴∠PDC=∠CPD===75°,∴∠BPD=∠BPC+∠CPD=60°+75°=135°,故②正確;
∵∠PDC=75°,∴∠FDP=∠ADC-∠PDC=90°-75°=15°,
∵∠DBA=45°,
∴∠PBD=∠DBA-∠ABE=45°-30°=15°,
∴∠EDP=∠EBD,
∵∠DEP=∠DEP,
∴△PDE∽△DBE,故③正確;
∵△PDE∽△DBE,∴,即,故④正確;綜上:①②③④都是正確的.
故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的正方形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理.9、D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出且,求出即可.【詳解】∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,
∴且,
解得:1且,
故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式,能得出關(guān)于的不等式是解此題的關(guān)鍵.10、B【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式,分別計(jì)算△的值,進(jìn)行判斷即可.【詳解】A、△=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;B、△=4+76=80>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;C、△=-16<0,方程沒有實(shí)數(shù)根;D、△=1-4=-3<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.故選:B.11、B【分析】根據(jù)圓的半徑相等可得等腰三角形,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形等邊對(duì)等角可得關(guān)于∠E的方程,解方程即可求得答案.【詳解】解:如圖,連接CO,∵CE=OB=CO=OD,∴∠E=∠1,∠2=∠D∴∠D=∠2=∠E+∠1=2∠E.∴∠3=∠E+∠D=∠E+2∠E=3∠E.由∠3=72°,得3∠E=72°.解得∠E=24°.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí),等腰三角形的性質(zhì),三角形的外角的性質(zhì).能利用圓的半徑相等得出等腰三角形是解題關(guān)鍵.12、B【分析】由已知,可得菱形邊長為5,設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo),即可用勾股定理構(gòu)造方程,進(jìn)而求出k值.【詳解】過點(diǎn)D做DF⊥BC于F,由已知,BC=5,∵四邊形ABCD是菱形,∴DC=5,∵BE=3DE,∴設(shè)DE=x,則BE=3x,∴DF=3x,BF=x,F(xiàn)C=5-x,在Rt△DFC中,DF2+FC2=DC2,∴(3x)2+(5-x)2=52,∴解得x=1,∴DE=1,F(xiàn)D=3,設(shè)OB=a,則點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,a+3),點(diǎn)C坐標(biāo)為(5,a),∵點(diǎn)D、C在雙曲線上,∴1×(a+3)=5a,∴a=,∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(5,)∴k=.故選B.【點(diǎn)睛】本題是代數(shù)幾何綜合題,考查了數(shù)形結(jié)合思想和反比例函數(shù)k值性質(zhì).解題關(guān)鍵是通過勾股定理構(gòu)造方程.二、填空題(每題4分,共24分)13、x1=3,x2=1【分析】利用因式分解法求解可得.【詳解】解:∵(x﹣1)(x﹣3)=0,∴x﹣1=0或x﹣3=0,解得x1=3,x2=1,故答案為:x1=3,x2=1.【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵.14、1【分析】首先計(jì)算乘方,然后計(jì)算乘法,最后從左向右依次計(jì)算,求出算式的值是多少即可.【詳解】解:2cos30°+tan45°﹣4sin260°=2×+1﹣4×=3+1﹣4×=4﹣3=1故答案為:1.【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí),和有理數(shù)運(yùn)算一樣,要從高級(jí)到低級(jí),即先算乘方、開方,再算乘除,最后算加減,有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的,同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.另外,有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.15、【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出,然后得出,進(jìn)而求出的度數(shù),再利用即可求出答案.【詳解】∵繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到∵故答案為:70°.【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),直角三角形兩銳角互余,掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.16、【分析】首先過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H,連接OA,OB,由⊙O的周長等于6πcm,可得⊙O的半徑,又由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì),即可求得答案.【詳解】解:如圖,過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H,連接OA,OB,∴AH=AB,∵⊙O的周長等于6πcm,∴⊙O的半徑為:3cm,∵∠AOB=×360°=60°,OA=OB,∴△OAB是等邊三角形,∴AB=OA=3cm,∴AH=cm,∴OH==,∴S正六邊形ABCDEF=6S△OAB=6××3×=,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓,熟知正六邊形的半徑與邊長相等是解答此題的關(guān)鍵.17、1【分析】設(shè)線段a,b的比例中項(xiàng)為c,根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可得c2=ab,代入數(shù)據(jù)可直接求出c的值,注意兩條線段的比例中項(xiàng)為正數(shù).【詳解】解:設(shè)線段a,b的比例中項(xiàng)為c,∵c是長度分別為4、16的兩條線段的比例中項(xiàng),∴c2=ab=4×16,∴c2=64,∴c=1或-1(負(fù)數(shù)舍去),∴a、b的比例中項(xiàng)為1;故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例線段.掌握比例中項(xiàng)的定義,是解題的關(guān)鍵.18、152.【解析】隨機(jī)抽取的50名學(xué)生的成績(jī)是一個(gè)樣本,可以用這個(gè)樣本的優(yōu)秀率去估計(jì)總體的優(yōu)秀率,從而求得該校七年級(jí)學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù).【詳解】隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),共有20名學(xué)生成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀,∴樣本優(yōu)秀率為:20÷50=40%,又∵某校七年級(jí)共380名學(xué)生參加數(shù)學(xué)測(cè)試,∴該校七年級(jí)學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為:380×40%=152人.故答案為:152.【點(diǎn)睛】本題考查了用樣本估計(jì)總體,解題的關(guān)鍵是求樣本的優(yōu)秀率.三、解答題(共78分)19、(1)畫圖見解析;(2)點(diǎn)A到達(dá)A1的路徑長為π.【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義分別作出點(diǎn)A,B,C繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得對(duì)應(yīng)點(diǎn),再首尾順次連接即可得;(2)點(diǎn)A到達(dá)A1的路徑是以O(shè)為圓心,OA為半徑的半圓,據(jù)此求解可得.【詳解】解:(1)如圖所示,△A1B1C1即為所求.(2)∵OA==,∴點(diǎn)A到達(dá)A1的路徑長為×2π×=π.【點(diǎn)睛】本題考查利用旋轉(zhuǎn)變換作圖,勾股定理,弧長公式,熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu),準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.20、【分析】(1)利用配方法得到(x﹣1)2=3,然后利用直接開平方法解方程;(2)先變形得到(2x﹣1)2﹣2(2x﹣1)=0,然后利用因式分解法解方程.【詳解】解:(1)x2﹣2x+1=3,(x﹣1)2=3,x﹣1=±,所以,(2)(2x﹣1)2﹣2(2x﹣1)=0,(2x﹣1)(2x﹣1﹣2)=0,2x﹣1=0或2x﹣1﹣2=0,所以x1=,x2=.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,這種方法簡(jiǎn)便易用,是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法.21、(1)9;(2)【分析】(1)根據(jù)解直角三角形,先求出CD的長度,然后求出AD,由等角的三角函數(shù)值相等,有tan∠DCB=tan∠A,即可求出BD的長度;(2)由(1)可求AB的長度,根據(jù)三角形法則,求出,然后求出.【詳解】解:(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,在Rt△ACD中,,∴.∴,∴.∵∠ACB=90°,∴∠DCB+∠B=∠A+∠B=90°,∴∠DCB=∠A.∴;(2)∵,∴,又∵,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形,向量的運(yùn)算,勾股定理,解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形求三角形的各邊長度.22、,【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值,先把括號(hào)內(nèi)通分化簡(jiǎn),再把除法轉(zhuǎn)化為乘法,約分化簡(jiǎn),最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出a的值,代入計(jì)算.【詳解】解:原式=÷==,當(dāng)a=2cos30°+tan45°=2×+1=+1時(shí),原式=.23、(1)-32;(2)a=1.【解析】分析:(1)原式利用題中的新定義化簡(jiǎn),計(jì)算即可得到結(jié)果;(2)已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn),即可求出a的值.詳解:(1)(-2)☆3=-2×32+2×(-2)×3+(-2)=-32;(2)==8a+8=8,解得:a=1.點(diǎn)睛:此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.24、(1)證明見解析;(2)1.【解析】試題分析:(1)、連接DO,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD,結(jié)合OA=OD得出∠COD=∠COB,從而得出△COD和△COB全等,從而得出切線;(2)、設(shè)⊙O的半徑為R,則OD=R,OE=R+1,根據(jù)Rt△ODE的勾股定理求出R的值得出答案.試題解析:(1)證明:連結(jié)DO.∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠A
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