2021-2022學(xué)年黑龍江哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2021-2022學(xué)年黑龍江哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二下學(xué)期月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知在等差數(shù)列中，，則（

）A．2 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得，所以.故選：C2．已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)正弦定理，由因?yàn)?，所以，于是有，故選：A3．某班有60名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試（滿分150分）的成績(jī)服從正態(tài)分布，若，則本班在100分以上的人數(shù)約為（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求出，即可估計(jì)人數(shù)；【詳解】解：因?yàn)椋员景嘣?00分以上的人數(shù)約為.故選：B4．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（

）A．15 B． C．30 D．【答案】A【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令的冪指數(shù)為求出，從而得到展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】設(shè)展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，，則，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：.5．如圖，在中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量對(duì)應(yīng)線段的位置關(guān)系，結(jié)合向量加法、數(shù)乘的幾何意義，用表示即可.【詳解】由題圖，.故選：A6．已知甲袋中有6只紅球，4只白球；乙袋中有8只紅球，6只白球，則隨機(jī)取一袋，再以該袋中隨機(jī)取一球，該球是白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用獨(dú)立事件乘法及互斥事件的加法公式，求取出白球的概率.【詳解】由題意，白球的概率為.故選：D7．4月1日，根據(jù)當(dāng)前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作總指揮部發(fā)布通告，要求我市全域內(nèi)除特殊人員外，所有人員保持居家，不出小區(qū)（村）等待全員核酸檢測(cè)．為了保障廣大居民的生活需要，某小區(qū)征集了多名志愿者，現(xiàn)有5名志愿者承包A，B，C三棟居民樓，每位志愿者負(fù)責(zé)一棟樓，且每棟樓至少一名志愿者，則分派方法的種數(shù)為（

）A．90 B．150 C．180 D．300【答案】B【分析】先分組再分配，分組又分為3,1,1和2,2,1兩類，第二類涉及平均分組，需要去重【詳解】先分組:按照居民樓人數(shù)分為3,1,1和2,2,1兩類3,1,1:從5名志愿者中選出3名作為一個(gè)組,其余2人各自一組,有種2,2,1:從5名志愿者中選出4名平均分為兩組,剩下1人一組,有種再分配:3個(gè)組到三棟居民樓有種所以總的分派方法數(shù)有種故選：B8．已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．【答案】C【分析】由題意，，，成等比數(shù)列，可得，即可求出，代入，再結(jié)合雙勾函數(shù)性質(zhì)可求出答案.【詳解】由于，，成等比數(shù)列，所以，∴，解得∴，∴所以，由雙勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為：，所以的最小值為.故選：C.二、多選題9．已知與線性相關(guān)，且求得回歸方程為，變量，的部分取值如表所示，則（

）A．與負(fù)相關(guān) B．C．時(shí)，的預(yù)測(cè)值為 D．處的殘差為【答案】BC【分析】利用數(shù)據(jù)求出樣本中心坐標(biāo)，代入回歸直線方程，得到，進(jìn)而逐一判斷正誤即可.【詳解】解：由題意得，，所以樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入線性回歸方程得，解得，B正確；由可知與正相關(guān)，A錯(cuò)誤；時(shí)，，C正確；時(shí)，，殘差為，D錯(cuò)誤．故選：BC．10．等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)首項(xiàng)和變化時(shí)，是一個(gè)定值，則下列各數(shù)也為定值的有A． B． C． D．【答案】BC【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式可得出結(jié)果.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得為定值，則為定值，為定值，但不是定值.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)的基本性質(zhì)和等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．已知隨機(jī)變量的分布列為1230.3則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可求解的值，然后再根據(jù)分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】由，得，則.故選：AC.12．對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A． B．在處取得極大值C．有兩個(gè)不同的零點(diǎn) D．若在上恒成立，則【答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義判斷選項(xiàng)AB；由函數(shù)零點(diǎn)的定義可判斷選項(xiàng)C；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，可判斷D.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，，；令，得，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在,上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，又，∴，故A正確；所以函數(shù)在處取得極大值，故B正確；因?yàn)闀r(shí)，得，解得，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏虾愠闪?，則在上恒成立，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題13．計(jì)算：_________．【答案】【分析】由平面向量的加減法及其運(yùn)算律求解即可.【詳解】.故答案為：.14．袋子中裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球共5個(gè)小球，如果不放回地依次摸取2個(gè)小球，則在第1次摸到黑球的條件下，第2次還摸到黑球的概率為________.【答案】##【分析】根據(jù)條件概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)事件：第1次摸到黑球，事件：第2次摸到黑球，所以，，因此，故答案為：15．現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有______種.【答案】48【分析】根據(jù)題意，依次分析四個(gè)區(qū)域的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)乘法原理計(jì)算可得答案．【詳解】若先給最上面一塊著色，有4種結(jié)果，再給中間左邊一塊著色，有3種結(jié)果，再給中間右邊一塊著色，有2種結(jié)果，最后給下面一塊著色，有2種結(jié)果，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×3×2×2=48（種）結(jié)果．故答案為：48．16．若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為20，則的最小值為_________.【答案】2【分析】由二項(xiàng)式定理與基本不等式求解【詳解】由二項(xiàng)式定理得展開通項(xiàng)為，令，得，故，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故答案為：2四、解答題17．如圖．正方體中，棱長為1，(1)求證：AC⊥平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵在正方體中，平面ABCD，又平面ABCD，∴，∵，，，BD，平面，∴AC⊥平面；（2）∵，所以，又，而，面BAC，∴為二面角的平面角．在中，，，∴，∴．18．在中，分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．（1）求C的大?。唬?）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可求得答案；（2）由余弦定理結(jié)合已知條件可求出，，然后利用三角形的面積公式可求得結(jié)果【詳解】解：（1）∵，∴根據(jù)正弦定理可得，，∴，∴．因?yàn)?，∴，又∴．?）由余弦定理，得，解得，由得所以的面積所以的面積．19．已知數(shù)列是等比數(shù)列，公比，且是的等差中項(xiàng)，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，將條件化簡(jiǎn)為的形式并求解，代入寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）依題意得：，，又（2）由（1）知，相減得：整理得：20．新能源汽車是指除汽油?柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外的所有其他能源汽車，被認(rèn)為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力．在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消費(fèi)者的青睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo)．某車企統(tǒng)計(jì)了近期購車的車主性別與購車種類的情況，其中購車的男性占近期購車車主總?cè)藬?shù)的，女性購置新能源汽車人數(shù)為所有購車總?cè)藬?shù)的，男性購置傳統(tǒng)燃油汽車人數(shù)為所有購車總?cè)藬?shù)的，現(xiàn)有如下表格：購置新能源汽車（輛）購置傳統(tǒng)燃油汽車（輛）總計(jì)男性60女性總計(jì)(1)完成上面的的列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為是否購置新能源汽車與性別有關(guān)；(2)以樣本中購置新能源汽車的頻率作為概率，現(xiàn)從全國購車的車主中隨機(jī)抽取4人，設(shè)其中購置新能源汽車的人數(shù)為，求的分布列及期望．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．【答案】(1)填表見解析；有的把握認(rèn)為是否購置新能源汽車與性別有關(guān)(2)分布列見解析；期望為3【分析】（1）由題中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出每一個(gè)值，然后填表即可，再根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解問題；（2）由題意，將問題看成是二項(xiàng)分布即可求解問題.【詳解】（1）由題中的數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：購置新能源汽車（輛）購置傳統(tǒng)燃油汽車（輛）總計(jì)男性501060女性251540總計(jì)7525100所以，所以有的把握認(rèn)為是否購置新能源汽車與性別有關(guān)．（2）（2）由題意及（1）知，購置新能源汽車的概率為的可能取值為．，故的分布列為：01234所以21．已知橢圓：的離心率為，以橢圓上一點(diǎn)和短軸兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為2.(1)求的方程；(2)直線過橢圓長軸上點(diǎn)且與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)為定值，并求其定值.【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，為定值12.【分析】（1）列方程組解方程組即得解；（2）當(dāng)直線斜率不為0，設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，為定值，求出或，當(dāng)直線過點(diǎn)斜率為0時(shí)亦成立，即得解.【詳解】（1）解：由題意可知解得，，故橢圓的方程為.（2）解：當(dāng)直線斜率不為0，設(shè)直線：，，，則整理得：，∴由知，.∵，，∴又∵，，代入上式得：為定值，∴，解得：或，又∵在橢圓長軸上，∴，滿足，且（定值），當(dāng)直線過點(diǎn)斜率為0時(shí)亦成立，∴當(dāng)時(shí)，為定值12.22．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求a，b的值；(2)若對(duì)任意的都有成立，求m的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得代