平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)極差方差標(biāo)準(zhǔn)差課件

§5數(shù)據(jù)的數(shù)字特征平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差4.2標(biāo)準(zhǔn)差問題引航1.如何求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差?2.利用它們進(jìn)行總體估計的優(yōu)缺點(diǎn)是什么?1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差出現(xiàn)次數(shù)大小順序中間中間兩個數(shù)原數(shù)據(jù)平均數(shù)計算公式最大值最大值最小值最小值2.標(biāo)準(zhǔn)差與方差(1)方差的求法:標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差.s2=_______________________________,其中,xn是樣本數(shù)據(jù),n是樣本容量,是樣本平均數(shù).(2)標(biāo)準(zhǔn)差的求法:標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示.s=_______________________________.1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù).

(

)(2)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

(

)(3)極差不受極端值的影響.

(

)【解析】(1)錯誤.平均數(shù)不可能大于每一個數(shù)據(jù).(2)正確.從平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的含義知正確.(3)錯誤.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它受一組數(shù)據(jù)中的極端值的影響.答案:(1)×

(2)√

(3)×2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)某學(xué)校高一年級男生人數(shù)占該年級學(xué)生人數(shù)的40%.在一次考試中,男、女生平均分?jǐn)?shù)分別是75,80,則這次考試該年級學(xué)生平均分?jǐn)?shù)為________.(2)某射手在一次訓(xùn)練中射擊的成績分別為9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,則該射手成績的方差是__________.(3)一個樣本按從小到大的順序排列為10,12,13,x,17,19,21,24,其中中位數(shù)為16,則x=__________.【解析】(1)平均分?jǐn)?shù)=×75+×80=78.答案:78(2)=×(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,所以s2=×[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2]=0.016.答案:0.016(3)由題意知=16,即x=15.答案:15【要點(diǎn)探究】知識點(diǎn)1對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差的理解極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較(1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、極差都是唯一的，眾數(shù)可能不唯一.(2)求中位數(shù)時，，應(yīng)將數(shù)據(jù)按按大小順序排排列，當(dāng)數(shù)據(jù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)數(shù)時，中間的的那個數(shù)據(jù)就就是中位數(shù)；；當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)數(shù)是偶數(shù)時，，居于中間兩兩個數(shù)的平均均數(shù)才是中位位數(shù).可見，中位數(shù)數(shù)不一定是這這組數(shù)據(jù)中的的數(shù)值.(3)眾數(shù)是一組數(shù)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次次數(shù)最多的數(shù)數(shù)據(jù)，而不是是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的的次數(shù).一組數(shù)據(jù)的眾眾數(shù)可以有多多個.(4)平均數(shù)的大小小與一組數(shù)據(jù)據(jù)里的每個數(shù)數(shù)據(jù)都有關(guān)系系，任何一個個數(shù)據(jù)的變動動都會引起平平均數(shù)的變動動；眾數(shù)的大大小只與這組組數(shù)據(jù)的部分分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)；；中位數(shù)也只只與少數(shù)的數(shù)數(shù)據(jù)有關(guān)；極極差只與這組組數(shù)據(jù)的最大大值和最小值值有關(guān).【知識拓展】極差、眾數(shù)、、中位數(shù)、平平均數(shù)的作用用(1)極差的大小可可以反映該組組數(shù)據(jù)分散的的程度；眾數(shù)數(shù)體現(xiàn)了樣本本數(shù)據(jù)的最大大集中點(diǎn)，但但它忽視了數(shù)數(shù)據(jù)信息中的的其他數(shù)據(jù)；；中位數(shù)是樣樣本數(shù)據(jù)所占占頻率的等分分線，它不受受極端值的影影響；平均數(shù)數(shù)反映了一組組數(shù)據(jù)的平均均水平，易受受極端值的影影響.(2)實(shí)際問題中求求得的眾數(shù)、、中位數(shù)和平平均數(shù)應(yīng)帶上上單位.【微思考】(1)在極差、眾數(shù)數(shù)、平均數(shù)、、中位數(shù)中哪哪些是一定出出現(xiàn)在已知數(shù)數(shù)據(jù)的數(shù)？哪哪些不一定出出現(xiàn)在已知數(shù)數(shù)據(jù)中？提示:眾數(shù)一定出現(xiàn)現(xiàn)在已知數(shù)據(jù)據(jù)中；極差、、平均數(shù)、中中位數(shù)不一定定出現(xiàn)在已知知數(shù)據(jù)中.(2)在極差、眾數(shù)數(shù)、平均數(shù)、、中位數(shù)中哪哪些反映了該該組數(shù)據(jù)的集集中趨勢？哪哪些反映了數(shù)數(shù)據(jù)的分散程程度？提示:眾數(shù)、平均數(shù)數(shù)、中位數(shù)都都反映了數(shù)據(jù)據(jù)的集中趨勢勢;極差反映了數(shù)數(shù)據(jù)的分散程程度.【即時練】1.若某校高一年年級8個班參加合唱唱比賽的得分分如莖葉圖所所示，則這組組數(shù)據(jù)的中位位數(shù)和平均數(shù)數(shù)分別是()A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和922.對甲、乙二人人的學(xué)習(xí)成績績進(jìn)行抽樣分分析,各抽4門功課,得到的觀測值值如下:問:甲、乙誰的平平均成績較好好?甲65828085乙75657090【解析】1.選A.中位數(shù)為(91+92)=91.5;平均數(shù)為(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.2.(65+82+80+85)=78,(75+65+70+90)=75,知識點(diǎn)2對方差與標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差的理解標(biāo)準(zhǔn)差、方差差的作用(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差差描述了一組組數(shù)據(jù)圍繞著著平均數(shù)波動動的大小，標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差、方差差越大，數(shù)據(jù)據(jù)的離散程度度越大；標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差、方差越越小，數(shù)據(jù)的的離散程度越越?。?2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差差為0時，表明樣本本數(shù)據(jù)全相等等，數(shù)據(jù)沒有有波動幅度和和離散性．【微思思考考】(1)在解解決決實(shí)實(shí)際際問問題題時時，，一一般般采采用用方方差差還還是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差？？提示示:方差差與與原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的單單位位不不同同，，且且平平方方后后可可能能放放大大了了偏偏差差的的程程(2)在計計算算標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差時時，，若若各各樣樣本本數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)加加上上或或減減去去一一個個常常數(shù)數(shù)，，標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差的的值值會會變變化提示:不變，因?yàn)槠骄岛兔恳粋€樣本數(shù)據(jù)都加上或減去了同一個常數(shù)，所以(xi－)2的值不變，所以標(biāo)準(zhǔn)差不變.【即時時練練】1.樣本本中中共共有有5個個個體體，，其其值值分分別別為為a,0,1,2,3.若該該樣樣本本的的平平均均值值為為1，則則樣樣本本方方差差為為()2.已知知一一個個樣樣本本為為x,1，y,5，其其中中x，y是方方程程組組的解解，，則則這這個個樣樣本本的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差是是()【解析析】1.選D.由題題可可知知樣樣本本的的平平均均值值為為1，所以以＝＝1，解解得得a＝－－1，所以以樣樣本本的的方方差差為為［［(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2］＝＝2.2.選D.因?yàn)闉閤＋y＝2，x2＋y2＝10，所以＝＝(x＋1＋y＋5)＝［(x＋y)＋6］＝2，s2＝［(x－2)2＋(1－2)2＋(y－2)2＋(5－2)2］＝［(x2＋y2)－4(x＋y)＋18］＝×20＝5，所以【題型示范范】類型一眾數(shù)、中中位數(shù)、、平均數(shù)數(shù)的計算算及應(yīng)用用【典例1】(1)為了普及環(huán)環(huán)保知識，，增強(qiáng)環(huán)保保意識，某某大學(xué)隨機(jī)機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)環(huán)保知識測測試，得分分(十分制)如圖所示，，假設(shè)所得得分值的中位數(shù)數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均值為為，則則()A．me＝m0＝B．me＝m0<C．me<m0<D．m0<me<(2)據(jù)報道,某公司的33名職工的月月工資(以元為單位位)如下:職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500①求該公司司職工月工工資的平均均數(shù)、中位位數(shù)、眾數(shù)數(shù).②假設(shè)副董事事長的工資資從5000元提升到20000元,董事長的工工資從5500元提升到30000元,那么新的平平均數(shù)、中中位數(shù)、眾眾數(shù)又是什什么?(精確到元)③你認(rèn)為哪個個統(tǒng)計量更更能反映這這個公司員員工的工資資水平?結(jié)合此問題題談一談你你的看法.【解題探究】1.題(1)圖中最高的的直條對應(yīng)應(yīng)的得分是是哪個數(shù)字字特征?2.題(2)中3000位于表格中中央,3000是不是中位位數(shù)?【探究提示】1.是眾數(shù).最高的直條條對應(yīng)的頻頻數(shù)是10,其得分為5分,5分是眾數(shù).2.3000不是中位數(shù)數(shù),應(yīng)該將33個數(shù)從小到到大排列,中間的數(shù)是是中位數(shù).中位數(shù)是1500.【自主解答】(1)選D.由圖可知,30名學(xué)生的得得分情況依依次為:2個人得3分,3個人得4分,10個人得5分,6個人得6分,3個人得7分,2個人得8分,2個人得9分,2個人得10分.中位數(shù)為第第15,16個數(shù)(分別為5,6)的平均數(shù),即me=5.5,5出現(xiàn)的次數(shù)數(shù)最多,故m0=5,于是得m0<me<.(2)①平均數(shù)是≈1500＋591＝2091(元)，中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是是1500元.②平均數(shù)是≈1500＋1788＝3288(元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是是1500元．③在這個問問題中，中中位數(shù)或眾眾數(shù)均能反反映該公司司員工的工工資水平，，因?yàn)楣舅局猩贁?shù)人人的工資額額與大多數(shù)數(shù)人的工資資額差別較較大，這樣樣導(dǎo)致平均均數(shù)偏差較較大，所以以平均數(shù)不不能反映這這個公司員員工的工資資水平．【方法技巧】1.眾數(shù)的求求法在樣本數(shù)數(shù)據(jù)中出出現(xiàn)次數(shù)數(shù)最多的的數(shù)據(jù)即即為眾數(shù)數(shù).2.中位數(shù)的的求法(1)把數(shù)據(jù)按按從小到到大的順順序排列列.(2)找出排列列后位于于中間位位置的數(shù)數(shù)據(jù)，即即為中位位數(shù).若中間位位置有兩兩個數(shù)據(jù)據(jù)，則求求出這兩兩個數(shù)據(jù)據(jù)的平均均數(shù)作為為中位數(shù)數(shù).3.平均數(shù)的的計算公公式一組樣本本數(shù)據(jù)為為x1,x2，…,xn，則樣本本平均數(shù)數(shù)(x1+x2+…+xn).簡記為【變式訓(xùn)練練】高一(3)班有男同同學(xué)27名，女同同學(xué)21名，在一一次語文文測驗(yàn)中中，男同同學(xué)的平平均分是是82分，中位位數(shù)是75分，女同同學(xué)的平平均分是是80分，中位位數(shù)是80分．(1)求這次測測驗(yàn)全班班平均(2)估計全班成績在80分以下(含80分)的同學(xué)至少有多少人.(3)分析男同學(xué)的平均分與中位數(shù)相差較大的主要原因是什么．【解析】(1)利用平均均數(shù)計算算公式×(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)因?yàn)槟型瑢W(xué)的中中位數(shù)是是75，所以至至少有14人得分不不超過75分．又因?yàn)榕瑢W(xué)的的中位數(shù)數(shù)是80，所以至至少有11人得分不不超過80分．所以全班班至少有有25人成績在在80分以下(含80分)．(3)男同學(xué)的的平均分分與中位位數(shù)的差差別較大大，說明明男同學(xué)學(xué)中兩極極分化現(xiàn)現(xiàn)象嚴(yán)重重，得分分高的和和得分低低的相差差較大.【誤區(qū)警示示】刻畫一組組數(shù)據(jù)集集中趨勢勢的統(tǒng)計計量有平平均數(shù)、、中位數(shù)數(shù)和眾數(shù)數(shù)等，它它們作為為一組數(shù)數(shù)據(jù)的代代表各有有優(yōu)缺點(diǎn)點(diǎn)，也各各有各的的用處，，從不同同的角度度出發(fā)，，不同的的人會選選取不同同的統(tǒng)計計量來表表達(dá)同一一組數(shù)據(jù)據(jù)的信息息，不同同的統(tǒng)計計量會側(cè)側(cè)重突出出某一方方面的信信息.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下表是某班40名學(xué)生參加““環(huán)保知識競競賽”的得分分統(tǒng)計表：請參照這個表表解答下列問問題:(1)用含x,y的式子表示該該班參加“環(huán)環(huán)保知識競賽賽”的班平均均分f.(2)若該班這次競競賽的平均分分為2.5分,求x,y的值.分?jǐn)?shù)012345人數(shù)4710x8y【解題指南】第(2)問根據(jù)頻數(shù)之之和為40及平均數(shù)為2.5構(gòu)造方程組求求解.【解析】(1)f=(2)依題意,有類型二方差、標(biāo)準(zhǔn)差差的計算及應(yīng)應(yīng)用【典例2】(1)某校甲、乙兩兩個班級各有有5名編號為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投投籃練習(xí)，每每人投10次，投中的次次數(shù)如下表：：則以上兩組數(shù)數(shù)據(jù)的方差分分別為________,標(biāo)準(zhǔn)差分別為為__________.學(xué)生1號2號3號4號5號甲班67787乙班67679(2)甲、乙兩支籃籃球隊在聯(lián)賽賽中,各進(jìn)行10場比賽,得分如下:甲隊:100,97,99,96,102,103,104,101,101,100.乙隊:97,97,99,95,102,100,104,104,103,102.請計算甲、乙乙兩隊的方差差與標(biāo)準(zhǔn)差,并判斷哪支球球隊發(fā)揮更為為穩(wěn)定?【解題探究】1.題(1)中,求方差和標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差的關(guān)鍵是是什么?2.題(2)中,方差(標(biāo)準(zhǔn)差)與數(shù)據(jù)的穩(wěn)定定程度的關(guān)系系是什么?【探究提示】1.求方差和標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差的關(guān)鍵是是先求平均數(shù)數(shù),再求方差,最后由方差求求得標(biāo)準(zhǔn)差.2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差差都是用來描描述一組數(shù)據(jù)據(jù)波動情況【自主解解答】答案：：0.4，1.2(2)(100＋97＋…＋100)＝100.3，(97＋97＋…＋102)＝100.3，則s甲2＝［［(100－100.3)2＋…＋(100－100.3)2］＝5.61，s乙2＝［［(97－100.3)2＋…＋(102－100.3)2］＝9.21，所以甲甲隊的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為為s甲＝≈≈2.37，乙隊隊的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差為s乙＝≈≈3.03.由此此可可以以判判斷斷甲甲隊隊的的得得分分方方差差小小，，標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差也也相相應(yīng)應(yīng)較較小小，，因因此此甲隊隊在在聯(lián)聯(lián)賽賽中中發(fā)發(fā)揮揮更更為為穩(wěn)穩(wěn)定定．．【方法法技技巧巧】1.方差差的的計計算算方方法法(1)一組組樣樣本本數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)x1,x2,……,xn的樣樣本本方方差差的的計計算算公公式式是是(2)用定定義義的的公公式式計計算算方方差差的的一一般般步步驟驟：：ⅰ先求求出出樣樣本本平平均均數(shù)數(shù)ⅱ再計計算算一一組組差差：：xi-(i=1,2,……,n);ⅲ計算算ⅱ中差差的的平平方方，，得得到到一一組組新新的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)：：(x1-)2,(x2-)2，…,(xn-)2;ⅳ計算算ⅲ中這這組組新新數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的平平均均數(shù)數(shù)，，即即為為所所求求的的方方差差s2，即即s2=2.標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差的的計計算算方方法法(1)一組組樣樣本本數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)x1,x2,……,xn的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差的的計計算算公公式式是是(2)計算算標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差的的一一般般步步驟驟：：ⅰ先求求出出樣樣本本方方差差；；ⅱ再求求出出樣樣本本方方差差的的算算術(shù)術(shù)平平方方根根，，即即得得樣樣本本標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差.【變式式訓(xùn)訓(xùn)練練】假定定以以下下數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)是是甲甲、、乙乙兩兩個個供供貨貨商商的的交交貨貨天天數(shù)數(shù)．．甲：：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；乙：：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.估計計兩兩個個供供貨貨商商的的交交貨貨情情況況，，并并問問哪哪個個供供貨貨商商的的交交貨貨時時間間短短一一些些？？哪哪個個供供貨貨商商的的交交貨貨時時間間較較具具有有一一致致性性與與可可靠靠性性？？【解題指南南】直接利用用平均數(shù)數(shù)、方差差的公式式計算，，然后通通過比較較平均數(shù)數(shù)、方差差的大小小得出結(jié)結(jié)論．【解析】(10+9+10+10+11+11+9+11+10+10)=10.1(天),[(10-10.1)2+(9-10.1)2+(10-10.1)2+(10-10.1)2+(11-10.1)2+(11-10.1)2+(9-10.1)2+(11-10.1)2+(10-10.1)2+(10-10.1)2]=0.49;(8+10+14+7+10+11+10+8+15+12)=10.5(天),[(8-10.5)2+(10-10.5)2+(14-10.5)2+(7-10.5)2+(10-10.5)2+(11-10.5)2+(10-10.5)2+(8-10.5)2+(15-10.5)2+(12-10.5)2]=6.05.從交貨天數(shù)的的平均數(shù)來看看,甲供貨商的供供貨天數(shù)短一一些;從方差來看,甲供貨商的交交貨天數(shù)較穩(wěn)穩(wěn)定,因此甲供貨商商的交貨時間間較具有一致致性與可靠性性.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013··遼寧高考)為了考察某校校各班參加課課外書法小組組的人數(shù)，從從全校隨機(jī)抽抽取5個班級，把每每個班級參加加該小組的人人數(shù)作為樣本本數(shù)據(jù).已知樣本平均均數(shù)為7，樣本方差為為4，且樣本數(shù)據(jù)據(jù)互不相同，，則樣本數(shù)據(jù)據(jù)中的最大值值為______.【解題指南】由樣本方差得得出五個數(shù)的的平方和,再分析各數(shù)據(jù)據(jù).【解析】設(shè)5個班級參加的的人數(shù)分別為為x1,x2,x3,x4,x5,則有[(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2]=4,即(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20,①①根據(jù)題意知,五個整數(shù)的平平方和為20,則必有0+1+1+9+9=20.由|x-7|=3,可得x=10或4,由|x-7|=1可得x=8或6,故參加加的人人數(shù)分分別為為4,6,7,8,10.故最大大值為為10.答案:10【拓展類型型】統(tǒng)計圖表表與數(shù)字字特征的的綜合應(yīng)應(yīng)用【備選例題題】樣本數(shù)為為9的四組數(shù)數(shù)據(jù),他們的平平均數(shù)都都是5,條形圖如如圖所示示,則標(biāo)準(zhǔn)差差最大的的一組是是()A.第一組B.第二組C.第三組D.第四組【解題指南南】可以從頻頻率條形形圖分別別得到四四組樣本本數(shù)據(jù),計算出標(biāo)準(zhǔn)差差.【解析】選D.第一組中中,樣本數(shù)據(jù)據(jù)都為5,數(shù)據(jù)沒有有波動幅幅度,標(biāo)準(zhǔn)差為0;第二組中中,樣本數(shù)據(jù)據(jù)為4,4,4,5,5,5,6,6,6,標(biāo)準(zhǔn)差為為第三組中中,樣本數(shù)據(jù)據(jù)為3,3,4,4,5,6,6,7,7,標(biāo)準(zhǔn)差為為第四組中中,樣本數(shù)據(jù)據(jù)為2,2,2,2,5,8,8,8,8,標(biāo)準(zhǔn)差為為故故標(biāo)準(zhǔn)差最大大的一組組是第四四組.【方法技巧巧】處理統(tǒng)計計圖表與與數(shù)字的的綜合應(yīng)應(yīng)用問題題的方法法解決此類類問題,一般有兩兩種方法法:(1)由圖形得得到對應(yīng)應(yīng)的樣本本數(shù)據(jù),計算出平平均數(shù)、、方差(標(biāo)準(zhǔn)差).(2)從圖形直直觀分析析樣本數(shù)數(shù)據(jù)的分分布情況況,大致判斷平平均數(shù)的范范圍,并利用數(shù)據(jù)據(jù)的波動性性大小反映映方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的大小.此點(diǎn)可稱為為方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的幾何意義義.【變式訓(xùn)練】(2012·安徽高考)甲、乙兩人人在一次射射擊比賽中中各射靶5次,兩人成績的的條形統(tǒng)計計圖如圖所所示,則()【解析】選C.甲:4,5,6,7,8,乙:5,5,5,