專題-圓錐曲線定值問題

PAGE5高三二輪——圓錐曲線中的“定值”問題概念與用法圓錐曲線中的定值問題是高考命題的一個熱點，也是圓錐曲線問題中的一個難點．解決這個難點的基本思想是函數(shù)思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變量所影響的一個值，就是要求的定值．具體地說，就是將要證明或要求解的量表示為某個合適變量的函數(shù)，化簡消去變量即得定值．基本解題數(shù)學(xué)思想與方法在圓錐曲線中，某些幾何量在特定的關(guān)系結(jié)構(gòu)中，不受相關(guān)變元的制約而恒定不變，則稱該變量具有定值特征．解答此類問題的基本策略有以下兩種：1、把相關(guān)幾何量的變元特殊化，在特例中求出幾何量的定值，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無關(guān)．2、把相關(guān)幾何量用曲線系里的參變量表示，再證明結(jié)論與求參數(shù)無關(guān)．題型示例一．證明某一代數(shù)式為定值：1、如圖，M是拋物線上y2=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB.若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；解：設(shè)M（y,y0），直線ME的斜率為k(l>0)，直線MF的斜率為－k，直線ME方程為∴由，消解得；同理∴(定值)所以直線EF的斜率為定值▲利用消元法2、已知拋物線x2＝4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))（λ＞0）．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M．證明EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))為定值解：由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，所以EQ\b\lc\{(\a\al(－x\S\do(1)＝λx\S\do(2)①,1－y\S\do(1)＝λ(y\S\do(2)－1)②))將①式兩邊平方并把y1＝EQ\f(1,4)x12，y2＝EQ\f(1,4)x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝EQ\f(1,λ)，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，拋物線方程為y＝EQ\f(1,4)x2，求導(dǎo)得y′＝EQ\f(1,2)x．所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是y＝EQ\f(1,2)x1(x－x1)＋y1，y＝EQ\f(1,2)x2(x－x2)＋y2，即y＝EQ\f(1,2)x1x－EQ\f(1,4)x12，y＝EQ\f(1,2)x2x－EQ\f(1,4)x22．解出兩條切線的交點M的坐標為(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，EQ\f(x\S\do(1)x\S\do(2),4))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－1)．所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝EQ\f(1,2)(x22－x12)－2(EQ\f(1,4)x22－EQ\f(1,4)x12)＝0所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))為定值，其值為0．▲利用不變因素3、已知橢圓分別交于點。解：設(shè)。由，而為定值?！幂o助元解析幾何中的定值問題是數(shù)學(xué)中的重要問題，求解這類問題需要綜合應(yīng)用解析幾何和代數(shù)的相關(guān)知識與方法。以上幾種思維策率是高中數(shù)學(xué)中常用到的。要注意體會。二．證明動直線過定點或動點在定直線上問題4、如圖,橢圓的兩焦點，與短軸兩端點，構(gòu)成為,面積為的菱形。（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于、兩點(、不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓右頂點．求證:直線過定點,并求出該定點的坐標．解：橢圓的方程為（2）由，即設(shè)M，則有因為以為直徑的圓過橢圓右頂點，所以，而代入并整得，化簡整理得到均滿足判別式大于0，所以當當三．探索曲線在某條件下某一代數(shù)式是否取定值5、已知一動圓M,恒過點F，且總與直線相切,（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡C的方程；（Ⅱ）探究在曲線C上,是否存在異于原點的兩點,當時,直線AB恒過定點?若存在,求出定點坐標;若不存在,說明理由.解：(1)因為動圓M,過點F且與直線相切,所以圓心M到F的距離等于到直線的距離。所以,點M的軌跡是以F為焦點,為準線的拋物線,且,所以所求的軌跡方程為(2)假設(shè)存在A,B在上, 所以,直線AB的方程:,即即AB的方程為:,即即:，令,得，所以,無論為何值,直線AB過定點(4,0)練兵場1、點P是橢圓上任一點，A、B是該橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，那么是否為定值？思考：把橢圓改成雙曲線，結(jié)論是否仍然成立？2、過拋物線的焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD，判斷是否為定值，若是定值，求出該定值。3、已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于。求橢圓C的標準方程過橢圓的右焦點作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若，求證為定值