高三數(shù)學三角公式復習及重要化簡技巧綜合

三角公式復習及重要化簡技巧綜合.一、兩角和與差的三角函數(shù)二、二倍角公式(升冪公式)(降次公式)sin()=sincoscossincos()=coscossinsin-+tan()=tantan

1tantan

-+asin+bcos=a2+b2sin(+)cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2sin2=2sincostan2=2tan1-tan2sin2=1-cos22cos2=1+cos22.公式選擇1.從函數(shù)的名稱考慮切割化弦(有時也可考慮“弦化切”),異名化同名(使函數(shù)的名稱盡量統(tǒng)一);2.從角的特點考慮異角化同角,抓住角之間的規(guī)律(如互余、互補、和倍關(guān)系等等);3.從變換的需要考慮達到分解、化簡或?qū)l件與結(jié)論掛鉤等目的;4.盡量避開討論.常用技巧與方法1.變換常數(shù)項將常數(shù)變換成三角函數(shù);2.變角對命題中的某些角進行分拆，從而使命題中的角盡量統(tǒng)一;3.升冪或降次運用倍、半角公式進行升冪或降次變換,從而改變?nèi)呛瘮?shù)式的結(jié)構(gòu);4.運用代數(shù)變換中的常用方法因式分解、配方、湊項、添項、換元等等..三角函數(shù)式化簡目標1.項數(shù)盡可能少;2.三角函數(shù)名稱盡可能少;3.角盡可能小和少;4.次數(shù)盡可能低;5.分母盡可能不含三角式;6.盡可能不帶根號;7.能求出值的求出值..典型例題1.求

sin220o+cos250o+sin20ocos50o

的值.=.3412解法1原式=(sin20o+

cos50o)2+cos250o

3412=[sin(50o-30o)+

cos50o]2+cos250o

34=(sin50ocos30o)2+cos250o

34思維精析

從角入手,化異角為同角.=.34解法2原式=sin2(50o-30o)+cos250o+sin(50o-30o)cos50o=(sin50ocos30o-cos50osin30o)2+cos250o+(sin50ocos30o-cos50osin30o)cos50o=

(sin250o+cos250o)34思維精析

從形入手,配成完全平方..2.已知

<<<

,cos(-)=,sin(+)=-,求

sin2

的值.2

43131235解:

∵

<<<

,2

43∴0<-<,<+<.4

23∴sin(-)=,cos(+)=-,45135∴sin2=sin[(+)+(-)]=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=-+(-)351312451356556=-.∴sin(-)>0,cos(+)<0,角的變換：把所求的角轉(zhuǎn)化成已知條件給出的角！.3.已知sin+cos=2sin,

sincos=sin2,

求證:

2cos2=cos2.證:

∵sin+cos=2sin,∴(sin+cos)2=4sin2.∴1+2sincos=2(1-cos2).∵sincos=sin2,∴1+2sin2=2(1-cos2).∴1+1-cos2=2(1-cos2).∴2cos2=cos2..4.已知

sin=msin(2+),其中

m0,2+k(kZ),求證:tan(+)=tan.1-m

1+m

證:

∵sin=msin(2+),∴m=.sin

sin(2+)=tan(+).∴tan=tan1-m

1+m

sin(2+)+sin

sin(2+)-sin

=tan2sin(+)cos

2cos(+)sin

∴tan(+)=tan.1-m

1+m

.另證:

∵sin=msin(2+),∴sin[(+)-]=msin[(+)+].∴sin(+)cos-cos(+)sin

整理得

(1-m)sin(+)cos=(1+m)cos(+)sin.=m[sin(+)cos+cos(+)sin].∴tan(+)=tan.1-m

1+m

4.已知

sin=msin(2+),其中

m0,2+k(kZ),求證:tan(+)=tan.1-m

1+m

.5.已知

tan,cot

是關(guān)于

x

的方程

x2-kx+k2-3=0

的兩實根,且

3<<

,求

cos(3+)+sin(+)

的值.72解:由已知

k2-3=tancot=1,

∴

k2=4.∴k=tan+cot>0.∵3<<

,

是第三象限角,72∴tan+cot=2.∴tan=1.∴=3+

.4

∴cos(3+)+sin(+)=cos

+sin4

4

=2.=cos(6+

)+sin(4+

)4

4

.6.已知

tan(-)=

,tan=-

,且

,(0,),求

2-

的值.1217解:由已知

tan=tan[(-)+]1217-1217×1+=13=

.∴tan(2-)=tan[(-)+]1213+1213×1-

==1.∵tan>0,tan<0,,(0,),∴0<<

,<<.2

2

∴-<-<0.又

tan(-)>0,∴-<-<-.2

∴-<2-<0.

2-=-.43∴由

tan(2-)=1

知注亦可由

tan<1

得0<<

.4

∴0<2<

.2

∴-<2-<0..7.計算-+64sin220o.sin220o3cos220o1sin220ocos220o3cos220o-sin220o解:原式=

+64sin220osin220ocos220o(

3cos20o+sin20o)(

3cos20o-sin20o)=+64sin220osin240o16sin80osin40o=

+64sin220o=32cos40o+64sin220o=32(1-2sin220o)+64sin220o=32..解法1

∵sin22+sin2cos-cos2=1,∴4sin2cos2+2sincos2=2cos2.1.已知

sin22+sin2cos-cos2=1,(0,),求

sin,tan

的值.2

∴cos2(2sin2+sin-1)=0cos2(2sin-1)(sin+1)=0.∵(0,),2

∴cos20,sin+10.∴2sin-1=0.∴sin=.12∴=.6

∴tan=.33故

sin,tan

的值分別為

和.3312課后練習.2.已知

cos=-,cos(+)=

,且

(,),+(,2),求

.13122617

223232323解:

∵(,),+(,2),∴(0,).267

2又由已知得

sin=-,sin(+)=-,135∴cos=cos[(+)-]=cos(+)cos+sin(+)sin

=

(-)+(-)(-/p>

2267

2=-.22∴=.43.3.已知

sin(

+2)sin(

-2)=,(

,),求

2sin2+tan

-cot-1

的值.2

4

4

144

解:由已知=sin(

+2)sin(

-2)144

4

=sin(

+2)cos(

+2)4

4

=

sin(

+4)2

12=

cos4.12∴cos4=

.12∵(

,),4

2

∴=

.125

∴2sin2+tan-cot-1=-cos

-2cot6565=-cos2-2cot2=+2332=3.52=cos+2cot6

6

.4.已知

tan(

+)=

.(1)求

tan

的值;(2)求

的值.sin2-cos2

1+cos2

124

12解:(1)∵tan(

+)=

,

且

tan(

+)=,4

4

1+tan

1-tan

1+tan

1-tan

12∴

=.解得

tan=-.13(2)原式=2sincos-cos2

1+2cos2-12sin-cos

2cos

=12=tan-13=