《空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用(1)》示范公開(kāi)課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

第三章空間向量與立體幾何3.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用(1)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示、掌握空間向量的平行和垂直的條件．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：空間向量的正交分解與坐標(biāo)表示．難點(diǎn)：空間向量的正交分解與坐標(biāo)表示．教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入回顧：空間向量基本定理的內(nèi)容是什么？答案：如果向量a，b，c是空間三個(gè)不共面的向量，p是空間任意一個(gè)向量，那么存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組x，y，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一組基．特別地，當(dāng)空間的一組基向量?jī)蓛纱怪睍r(shí)，空間向量與空間直角坐標(biāo)系之間有什么關(guān)系呢？設(shè)計(jì)意圖：回顧空間向量基本定理的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，為講解空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示作鋪墊．二、新知探究問(wèn)題1：在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)和向量都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對(duì)空間直角坐標(biāo)系中的每一個(gè)點(diǎn)和向量，是否也有類似的表示呢？答案：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，分別沿x軸、y軸、z軸正方向作單位向量i，j，k，這三個(gè)互相垂直的單位向量就構(gòu)成了空間向量的一組基i，j，根據(jù)空間向量基本定理，對(duì)于任意一個(gè)向量p，都存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組x，y，反之，任意給出個(gè)三元有序?qū)崝?shù)組x，y，z，也可找到唯一的一個(gè)向量p=xi+yj+單位向量i，j，k都叫作坐標(biāo)向量．xi，yj，zk實(shí)際上分別是向量p問(wèn)題2：空間中任意一個(gè)向量與哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)相同？答案：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的位置由向量OP唯一確定，類比到空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到OP=p．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，y，z，由空間向量的加法不難得出即，向量OP或p的坐標(biāo)恰是點(diǎn)P在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)追問(wèn)：若點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1，y1，z1答案：因?yàn)橄蛄縊A與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同，OA=x1，y1，又AB==也就是說(shuō)，一個(gè)向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)．問(wèn)題3：有了空間向量的坐標(biāo)表示，你能類比平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得出空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示嗎？答案：設(shè)向量a=x1（1）a+b=（2）a-b=（3）λa=λ（4）a·b=追問(wèn)：你能否對(duì)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示進(jìn)行證明呢？答案：結(jié)合空間向量坐標(biāo)的定義，我們以數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示為例進(jìn)行證明：∵a=x1∴a·b=根據(jù)向量數(shù)量積的分配律，以及i·i=j·j=k·k=1，i·j=j·k=i·k=即可得出a·b+=x因此，空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和．其他運(yùn)算的坐標(biāo)表示可以類似證明，請(qǐng)同學(xué)們課下自主完成．總結(jié)：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示是完全一致的．問(wèn)題4：在學(xué)習(xí)平面向量運(yùn)算的過(guò)程中，我們了解到向量可以幫助我們解決平面幾何中的特殊位置關(guān)系與幾何度量等問(wèn)題，這些重要的性質(zhì)和結(jié)論在空間向量中仍然成立嗎？追問(wèn)1：如何用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算刻畫(huà)平面向量的平行？答案：設(shè)a=x1，y1，b=x2，y2，當(dāng)b≠0時(shí)，a類比平面向量平行的坐標(biāo)表示，我們可以得到：設(shè)空間向量a=x1，y1，z1，b=可以用坐標(biāo)表示為x1，y1，z1追問(wèn)2：這個(gè)充要條件能否表示為x1答案：顯然，空間向量平行的充要條件不等價(jià)于x1x2=y1y2=z1z2，因?yàn)閎≠0含義是b的坐標(biāo)分量x2特殊地，當(dāng)b=0時(shí)，b=0，追問(wèn)3：如何用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算刻畫(huà)平面向量的垂直？答案：在平面向量中，若a=x1，y1類比平面向量垂直的坐標(biāo)表示，設(shè)空間向量a=x1，y三、應(yīng)用舉例例1：已知向量a=-1，求：（1）2a；（2）a+解：（1）2a=2（2）∵a+=-1-2a+b=-=2∴a+2例2：設(shè)向量a=1，x，（1）a//b；（2）解：（1）①當(dāng)x=0時(shí)，a=1，0，1，②當(dāng)x=1時(shí)，a=1，1，0，b③當(dāng)x≠0時(shí)，且x≠1時(shí)，由a//b?1-x21綜上所述，當(dāng)x=0或x=2時(shí)，a//（2）a⊥∴1，?1-x2-3x2+1-四、課堂練習(xí)1．已知向量a=0，1，1，b=1，-2A．6B．－6C．4D．－42．已知向量a=1，1，0，b=-13．若四邊形ABCD為平行四邊形，且A4，1，3，B參考答案：1．解：∵a=0，1，1又因?yàn)橄蛄縜+b與向量c=所以存在實(shí)數(shù)λ，使得λa+b∴m=λ2=-λn=2λ，解得m=-2λ=-22．解析：因?yàn)閍=1，1，0又ka+b與b所以ka+b·b=0，即-k3．解析：由四邊形ABCD為平行四邊形知AD=設(shè)Dx，y，z∴x-4=1y-1=12z-3=-6，解得∴D的坐標(biāo)為5，五、課堂小結(jié)設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)