高中數(shù)學高考2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）理科【解析版】

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷1】在復平面內(nèi)，復數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D考點：復數(shù)的運算【名師點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算和復數(shù)的概念，其難度雖然不大，但仍扎根基礎(chǔ)知識，強調(diào)教材的重要性，充分體現(xiàn)了教材在高考中的地位和重要性，充分考查了基本概念、基本規(guī)律和基本操作的識記能力、運算能力.2、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷2】已知全集為，集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C考點：不等式的求解，集合的運算【名師點睛】將集合間的基本運算、指數(shù)不等式的求解和一元二次不等式的解法融合在一起，不僅考查了集合間的基本運算，也考查了指數(shù)不等式的求法和一元二次不等式的解法，充分體現(xiàn)了學科內(nèi)知識之間的聯(lián)系性，能夠較好的反應學生基礎(chǔ)知識的綜合運用能力.3、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷3】在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各跳一次，設(shè)命題是“甲降落在指定范圍”，是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為（）A.B.C.D.【答案】A【名師點睛】以實際問題為背景，重點考查命題及邏輯連接詞，其解題的關(guān)鍵是正確地理解“或、且、非”的數(shù)學含義.突顯了數(shù)學在實際問題中的實用性和重要性，能較好的考查學生在實際生活中運用數(shù)學基礎(chǔ)知識的能力.4、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】將函數(shù)的圖像向左平移個長度單位后，所得到的圖像關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B考點：三角函數(shù)圖象及其變換.【名師點睛】將三角函數(shù)的恒等變形、三角函數(shù)圖像的變換和函數(shù)的奇偶性等知識聯(lián)系起來，重點考查三角函數(shù)的圖像及其變換，充分體現(xiàn)了學科知識之間的聯(lián)系性和綜合性，能較好的考查學生的邏輯思維推理能力.5、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】已知，則雙曲線與的（）A.實軸長相等B.虛軸長相等C.焦距相等D.離心率相等【答案】D考點：雙曲線的離心率，三角恒等變形.【名師點睛】以雙曲線的概念及其基本性質(zhì)為契機，重點考查三角函數(shù)的恒等變形，其解題的關(guān)鍵是正確地用數(shù)學語言表達出雙曲線的基本概念如實軸長、虛軸長、焦距和離心率等，充分體現(xiàn)了學科內(nèi)知識間的聯(lián)系性，能較好的考查學生綜合運用數(shù)學知識的能力.6、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷6】已知點、、、，則向量在方向上的投影為（）A.B.C.D.【答案】A考點：向量的坐標運算，向量的投影.【名師點睛】將向量的坐標表示和數(shù)量積的定義及運算聯(lián)系起來，綜合考查平面向量知識，扎根基礎(chǔ)知識，強調(diào)教材的重要性，充分體現(xiàn)了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本規(guī)律和基本操作的識記與運用能力.7、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（的單位：，的單位：）行駛至停止。在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離（單位：）是（）A.B.C.D.【答案】C考點：定積分在實際問題中的應用.【名師點睛】以物理知識為背景，重點考查定積分在實際問題中的應用，充分體現(xiàn)了方程思想在定積分中的應用，能較好考查學生基礎(chǔ)知識的識記能力和實際應用能力.其易錯點有二：其一，未能準確將物理實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；其二，不能準確的運用微積分基本定理計算定積分.8、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷8】一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為，，，，上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有（）A.B.C.D.【答案】C考點：三視圖，簡單幾何體體積.【名師點睛】以三視圖為依托，融合柱體、臺體和球體等內(nèi)容，綜合考查了簡單幾何體的體積的基本計算，充分體現(xiàn)了數(shù)學學科特點和知識間的內(nèi)在聯(lián)系，能較好的考查學生知識間的綜合能力、知識遷移能力和科學計算能力.9、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷9】如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割成125個同樣大小的小正方體。經(jīng)過攪拌后，從中隨機取出一個小正方體，記它的涂油漆面數(shù)為，則的均值為（）A.B.C.D.【答案】B考點：古典概型，數(shù)學期望.【名師點睛】以簡單的空間幾何體為載體，重點考查古典概型求概率公式及離散型隨機變量的數(shù)學期望，能較好的考查學生的觀察能力、空間想象能力，其解題的關(guān)鍵是分別準確地數(shù)出不同面涂有油漆的塊數(shù)并準確無誤的計算其數(shù)學期望.10、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷10】已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點，則（）A.B.C.D.【答案】D考點：函數(shù)導數(shù)與極值，函數(shù)的性質(zhì).【名師點睛】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)的極值中的應用，涉及不等式等知識，滲透著化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，能較好的考查學生知識間的綜合能力、知識遷移能力和科學計算能力，但其難度較大，其難點在于如何合理地根據(jù)已知建立不等關(guān)系，以達到所求的目的.二、填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分.請將答案填在答題卡對應題號的位置上.答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.（一）必考題11、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷11】從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖所示。（=1\*ROMANI）直方圖中的值為；（=2\*ROMANII）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為?！敬鸢浮浚?1\*ROMANI）考點：頻率分布直方圖.【名師點睛】以實際問題為背景，重點考查頻率分布直方圖，靈活運用頻率直方圖的規(guī)律解決實際問題，能較好的考查學生基本知識的識記能力和靈活運用能力.12、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷12】閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結(jié)果.否否開始是結(jié)束是奇數(shù)是否輸出【答案】5.考點：程序框圖【名師點睛】本題屬基礎(chǔ)題，主要考查算法與程序框圖，充分體現(xiàn)了高考仍是以教材為藍本，以基礎(chǔ)為重點的指導思想，能較好的考查學生基礎(chǔ)知識、基本技能和基本操作的能力.13、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷13】設(shè)，且滿足：，，則?！敬鸢浮靠键c：柯西不等式及其等號成立的條件【名師點睛】以柯西不等式為背景，重點考查柯西不等式等號成立的條件，充分體現(xiàn)了方程思想在柯西不等式中的應用，能較好的考查學生運用基礎(chǔ)知識的能力.其解題的突破口是根據(jù)題意找出其所給的數(shù)據(jù)剛好是滿足柯西不等式的等號成立的條件.14、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)。如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第個三角形數(shù)為.記第個邊形數(shù)為，以下列出了部分邊形數(shù)中第個數(shù)的表達式：三角形數(shù)正方形數(shù)五邊形數(shù)六邊形數(shù)……可以推測的表達式，由此計算?！敬鸢浮?000考點：歸納推理，等差數(shù)列.【名師點睛】以數(shù)學史為背景，重點考查歸納推理和等差數(shù)列求和，凸顯了數(shù)學學科內(nèi)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了“數(shù)學源自生活，生活中處處有數(shù)學”的數(shù)學學科特點，能較好的考查學生識記和理解數(shù)學基本概念的能力和基礎(chǔ)知識在實際問題中的運用能力.（二）選考題15、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷15】如圖，圓上一點在直線上的射影為，點在半徑上的射影為。若，則的值為?！敬鸢浮?考點：射影定理，圓冪定理.【名師點睛】將圓、三角形相似等知識聯(lián)系起來，涉及射影定理，夯實基礎(chǔ)，注重基礎(chǔ)知識的運用，其難度雖不大，但充分體現(xiàn)了數(shù)學學科特點和知識間的內(nèi)在聯(lián)系，能較好的考查學生基本知識的識記能力和靈活運用能力，鍛煉學生的嚴密地邏輯推理能力.16、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷16】在直角坐標系中，橢圓的參數(shù)方程為。在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，直線與圓的極坐標方程分別為與。若直線經(jīng)過橢圓的焦點，且與圓相切，則橢圓的離心率為?！敬鸢浮靠键c：極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓.【名師點睛】以曲線的極坐標和直線的極坐標方程為載體，重點考查了極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化、橢圓的幾何性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容，滲透著化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，能較好的考查學生的綜合知識運用能力.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷17】在中，角，，對應的邊分別是，，。已知。（=1\*ROMANI）求角的大?。唬?2\*ROMANII）若的面積，，求的值。考點：二倍角公式，解三角函數(shù)方程，三角形面積，正余弦定理.【名師點睛】將三角函數(shù)的恒等變換和解三角形聯(lián)系在一起，正確運用方程的思想，合理的解三角函數(shù)值，準確使用二倍角公式化簡和正弦定理及余弦定理是解題的關(guān)鍵，能較好的考查學生基礎(chǔ)知識的實際應用能力、準確計算能力和規(guī)范解答能力.18、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等比數(shù)列滿足：，。（=1\*ROMANI）求數(shù)列的通項公式；（=2\*ROMANII）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由?？键c：等比數(shù)列性質(zhì)及其求和；【名師點睛】這是一道簡單綜合試題，其解題思路：第一問直接借助等比數(shù)列的通項公式及已知條件列出方程進行求解即可，第二問對其進行分類討論，分別驗證其是否符合題意即可.其充分體現(xiàn)了高考堅持以基礎(chǔ)為主，以教材為藍本，注重計算能力培養(yǎng)的基本方向.19、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面，，分別是，的中點。（=1\*ROMANI）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明；（=2\*ROMANII）設(shè)（=1\*ROMANI）中的直線與圓的另一個交點為，且點滿足。記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證：。第19題圖第19題圖第19題解答圖1第19題解答圖2第19題解答圖1第19題解答圖2考點：直線與平面平行的判定定理；空間角的計算；【名師點睛】本題綜合考查了空間直線與平面的位置關(guān)系、空間角的計算等內(nèi)容，其解題思路：第一問首先通過作圖找出兩個平面的交線，然后根據(jù)線線平行證明線面平行即可，第二問的關(guān)鍵是分別正確無誤地求出異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角的平面角.充分體現(xiàn)了空間幾何想象能力在立體幾何中的重要性.20、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機變量。記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為。（=1\*ROMANI）求的值；（參考數(shù)據(jù)：若，有，，。）（=2\*ROMANII）某客運公司用、兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，、兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的運營成本分別為1600元/輛和2400元/輛。公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求型車不多于型車7輛。若每天要以不小于的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的運營成本最小，那么應配備型車、型車各多少輛？考點：正態(tài)分布，線性規(guī)劃【名師點睛】以實際問題為背景，重點考查了正態(tài)分布和線性規(guī)劃的知識，其解題的思路：第一問依據(jù)正態(tài)分布及其圖像性質(zhì)即可找出等式關(guān)系，進而列方程求解即可；第二問實質(zhì)上是一類調(diào)度問題，其解題的關(guān)鍵是正確地建立線性規(guī)劃的數(shù)學模型.充分體現(xiàn)了數(shù)學模型在實際生活中的應用.學科網(wǎng)21、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】如圖，已知橢圓與的中心在坐標原點，長軸均為且在軸上，短軸長分別為，，過原點且不與軸重合的直線與，的四個交點按縱坐標從大到小依次為，，，。記，和的面積分別為和。（=1\*ROMANI）當直線與軸重合時，若，求的值；（=2\*ROMANII）當變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線，使得？并說明理由。第21題圖第21題圖22、【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】設(shè)是正整數(shù)，為正有理數(shù)。（=1\*ROMANI）求函數(shù)的最小值；（=2\*ROMANII）證明：；（=3\*ROMANII