高中數學課程標準修訂中的若干問題

我國高中數學課程標準修訂中的若干問題提綱2003版高中數學課標存在的問題；聚焦數學核心素養(yǎng)；從“四基”“四能”到六個核心數學素養(yǎng)；如何處理高考文理不分科產生的問題；高中數學課程結構；選修II課程簡介英國的A水平課程美國的AP課程一、高中數學課程標準實施情況調研（2012年7-12月）調研框架課程設計課程內容課程實施課程評價定位(性質、需求、銜接)目標(知識、素養(yǎng)、能力)結構(多樣性、選擇性)難度(深度、廣度、容量)體系(核心、順序、關聯(lián))教學(課時、教法、負擔)教材(編排、例習題)師資(環(huán)境、培訓)區(qū)分(定性、定量、定位)考試(高考、會考)科學性可行性一致性存在問題修訂建議1.課程定位與目標關于課程彈性，大多數人都持肯定的態(tài)度。一些數學家和《課標》組成員表示，《課標》應該是基本要求，不同的地區(qū)和學生應該有一定的彈性。但目前的模塊式設置方式框得太死，困住了教材編寫者的手腳?！墩n標》對數學能力的界定得到了普遍的認可，但許多人認為，學生的“運算能力”和“推理論證能力”有明顯的下降。許多人都同意，在高中《課標》中像九年義務教育數學課程標準那樣，將數學“雙基”擴充為“四基”，但同時也提出，對四基的界定和作用應該進一步精致。2.課程框架的合理性模塊化設計不適合數學的邏輯體系，一些受訪的數學家很看重中學階段數學知識的系統(tǒng)性。大多數受訪者盡管不排斥必修+必選+任選的課程模式，但是還是有更多的傾向于傳統(tǒng)的分科模式。選修3系列幾乎無人問津。關于選修系列4的內容，幾乎所有省份的選擇都集中在三個模塊上，即“幾何證明選講”、“坐標系與參數方程”和“不等式選講”。螺旋上升的總體設想很好，但有些聯(lián)系緊密的數學內容分散在不同系列或模塊中，造成割裂和遺忘，此外，也增加了教學所需的時間3.課程內容的適切度新的立體幾何課程是否導致學生空間想象能力減弱的現象？算法思想是否分散滲透？概率統(tǒng)計：如何處理與初中內容的重疊？文科是否需要學習計數原理？“推理與證明”是作為單獨模塊，還是分散滲透？復數是否應該介紹三角形式？微積分是減弱還是加強？是否要介紹極限？如何解決經濟類專業(yè)文理兼招后文科生基礎薄弱的問題？理科生的學習內容由于被分割成必修、必選、任選三個片段，因此在一定程度上缺乏系統(tǒng)性，不夠深入。存在重技能輕素養(yǎng)現象：教師普遍肯定建模、探究、研究性學習在培養(yǎng)學生數學素養(yǎng)過程中所起的作用，了解數學素養(yǎng)的重要性，但是目前的評價方式還是停留在知識與技能上。4.課程內容的難易度《課標》中沒有出現繁難偏的內容。學生負擔重：一是高考與《課標》要求存在較大差距，特別提到遞推數列的問題；二是初高中銜接問題：學生的知識技能儲備不足，缺少良好的學習和思考習慣。如何處理高一年級課時緊，學習壓力大的問題？高一年級學習壓力大的原因主要是初高中銜接問題、高中學習兩大難點“函數”與“解析幾何”都出現在高一階段。此時，學生還需要兼顧其他各科的學習。必修3所用課時較少，選修系列3和選修系列4中高考不考查的部分基本不占用課時。必修1課時明顯不足。怎樣合理分配不同知識內容的教學時數？5.課程內容的銜接性模塊之間的不銜接，數學必修模塊、選修系列1、選修系列2模塊之間的銜接上有些問題，贊同按照知識發(fā)展的體系進行學習。初高中內容出現部分脫節(jié)，具體表現在乘法公式、二次函數、幾何、十字相乘、韋達定理、因式分解、不等式、函數、符號運算等內容上存在不銜接。學科之間的銜接，具體表現在物理、地理、生物、化學學科上部分內容的不連貫。與大學階段的銜接，具體表現在常用邏輯用語、極坐標、推理與證明、參數方程等內容。6.課標落實情況高中數學教材存在教材數量多，教材編排零亂有錯誤，校本教材補充等問題。教師不具備開選修系列的專業(yè)知識，需要采取有效的培訓方式。《考綱》在執(zhí)行力上強于《課標》,《課標》中評價體系不易操作在教材的編寫中，缺乏考慮地區(qū)間的差異。7.部分數學家的訪談強調基礎 我覺得基礎教育要少而精，學到真正好的東西要少而精，少而精的東西真正學好了，打好基礎，真正學高深的東西到大學里學。現在搞得這些學生上了大學都沒這個心學了，不想學了，這整個把人毀掉了。 中小學，我認為中小學，他學到最基本的，最扎實的，你要少而精的來，一般學生他就學到這些東西。然后他激起了，有些可以是適當的文化課，那應該激起了學生對高深數學的一種向往，然后他覺得到大學是一種真正的向往，到了大學真正用功學習的學生，真正高深的學問要放到大學里來，還要帶著濃厚的興趣來學，這個人才學的好。強調數學素養(yǎng)數學實際應該是提高人的素質、能力的。數學給你知識，但是沒有學到數學方法，數學素質，就是沒有開竅的話，你這個數學學了也沒有作用的。而且知識也會忘掉的，我們也會忘掉的，哪能記得那么多。數學培養(yǎng)對你所帶來素質上的升華、品質上的升華、能力上的升華，這點我們沒有注意到。為什么要教數學、為什么要學數學，家長、學生，更多的是老師知識想到知識層面，但沒有想到素質層面，數學本質上是素質教育。強調邏輯思維

比如說數學的邏輯思維，證明，反演啊，但是實際上邏輯思維好的人，將來做事情、講話比較有條理。

當然公式也要，但它只是作為一種載體，不通過幾何證明不太可能懂得邏輯的。碰到釘子以后你才知道為什么這一步跳到那一步，但它只是載體，載體只是敲門磚，那時可以丟掉，但剩下來的東西，往往是我最想得到的，思想方法層面，精神實質層面、數學文化層面的，才更為重要。強調數學思想

我們遇到的最大一個挑戰(zhàn)是數學思想，什么數學思想方法，什么數學方法，當時我把所有人寫的數學思想方法一羅列，把他們都認可的數學思想方法都弄出來有上百，什么轉化的思想什么，后來就提出來基本數學思想，一個是抽象，一個是模型，一個是推理是吧。大體和那個《數學的內容意義和方法》就俄國出的那套書，他那個說的數學的基本三條性質，第一個是運用的廣泛性，第二個是抽象性，第三個是嚴格性。強調系統(tǒng)性我覺得就是說中學數學最重要的是經過學習以后，對這些內容有比較好的掌握。因此我的看法就是它的系統(tǒng)性要比其他這些你試圖把有些內容羅列在一起頭緒很多要重要。

同學很難很好的掌握。你還得要考慮到同學是中學的程度，就是說這個中間有一個反復的過程，有一個深化的過程。我覺得從這樣的體系來講恐怕很難說是在原來的內容的基礎上有了很大的改進。

數學是系統(tǒng)完整的科學，把系統(tǒng)完整的科學/知識體系分成若干個知識點，比如100個知識點，重點50個知識點比較重要，講課就講這幾個知識點，這個是非常錯誤的做法，對數學沒有整體的把握，數學是個整體。強調數學證明程序化的東西最后的結果是適得其反，真的。你讓學生厭惡這個東西，他只有通過證明了一個題目他才能獲得快樂，我們自己想想嘛，我們學過來的時候，對吧，你證明了一個幾何難題你很高興，你沒有說是通過我怎么教你怎么證明的來說。強調數學內部的聯(lián)系我認為還是強調數學學科內部有機的聯(lián)系。數學無非數與形，數與形，數用形來表示，你這個中學里強調這個矛盾，數與形的矛盾，他們之間的相互關系，這樣大家學得才有興趣么！數的東西用形來思考，這個具體細致，你總得就是說，數的發(fā)展，無非到了對數，到大學也是這樣，到了對數，群里面的數、數里面的數，都是數的發(fā)展，形的話從我們普通的三角形、梯形，到后來的菱形，都是形，那個也是發(fā)展。就是說，整個這個思想是中學學得無非是初等數學，到大學里也是這個樣，這樣發(fā)展，強調數學的通性。強調幾何直觀你要掌握幾何思想、歸納能力是需要一定時間訓練，慢慢才能積累的，現在學生幾何訓練很差，到大學后幾何能力差，只會算。不知道算的東西畫個圖在旁邊，現在都沒有圖的，現在幾何差到這地步，不用幾何直觀，代數過度進入幾何，是幾何和整個數學的悲哀。代數和幾何的交融，不要把讓代數控制和取代幾何。幾何思想、直觀不是代數能取代的。代數式玄而又玄的東西，你還有回到三維空間看看是什么東西。不必太強調實際應用我覺得不要強調實用，現在強調實用的話，你要解決實際問題，一個中學生根本不可能，叫一個有成就的數學家去解決實際問題，那他也要花很多功夫去熟悉這個實際，實際的問題往往很復雜，不是一個抽象的問題，它往往需要假設，需要近似，很多因素，這種本事哪是一個中學生有的啊！你能要求嗎？好的應用數學家那是何等了不起的人才啊，一般的數學家去搞，他們還不一定會搞。這個東西你不能要求一般的中學生，就是好的中學生，他將來是要進數學系搞研究的，你也不能要求他解決實際問題。強調循序漸進當然對數學來講，我們要強調就是數學是一個非常嚴格的循序漸進的科學，而且數學的思維和能力的修養(yǎng)有些就是過去的東西我們還要很好的去進行，如果是計算機科學的論文，你如果查它后面引用的文獻，五年前的基本上都沒有了，都淘汰了，落后了，過時了，但是數學的就是三四十年前的，甚至于個別的19世紀的大的數學家黎曼、高斯，他們的論文還是有些思想還起影響，或者說它里頭還有些東西并沒有完全發(fā)掘的完，這就是數學學科和其他學科很不一樣的地方。這個我們要強調數學是嚴格地循序漸進的科學，我們是很注重這個學者的思維的這樣的學科。主張階梯式的課程學算術的時候覺得很難，雞兔同籠問題難，而代數出來了以后，覺得容易，豁然開朗，所以每學高一層次以后，數學進步以后，人類認識事物的能力又提高一步。自己也有這種感悟，有這種想學好數學的愿望。不是雞兔同籠這么講又那么講搞不清楚。學了幾何以后，到了解析幾何的題目很難，證不出來，輔助線不會畫，用了解析幾何很簡單，從低層次到高層次，高層次就是代數和幾何的結合。

現在就是大學內容的下放高中。其實有一定底線，不要搶跑道，在你規(guī)定的范圍內發(fā)揮最大的主觀能動性，上一層次有上一層的任務，搶跑道以后可能會造成很大的誤解，比如發(fā)音錯了要改很難。主張分科并進58年，那個時候，所有搞教育革命的階段，有一種做法，叫做單科獨進，也就是說，我上幾個月，全是數學分析，全是微積分，過幾個月全是代數。效果并不好，就是說，有很多觀念，當然大學里面，觀念發(fā)展的更快一點，他是需要時間沉淀下來的，你匆匆忙忙的呼一下子，好像都講了，他沒有一種消化的，足夠的反復的這個機會啊。所以，后來，從61年開始，恢復到那樣的一種情況，就是說，同時有幾門課，一種并聯(lián)式的一種，這樣他既每一門課程有他的本身的邏輯的系統(tǒng)。又有就是，每一門，每一個內容，有足夠的時間讓學生，慢慢的消化，習慣。我是覺得，有很多事情，速成是很難得，以前那種單科獨進的時候，當時的想法也是這樣的。強調高中與大學的銜接

大學里高等數學有新的概念出現，但是高等數學里每一步運行的拐杖每一步都是初等數學，概念看起來是高等數學，初等數學弄好，沒什么問題?，F在知識弄得有很多漏洞，很多重要的東西沒學，坐標變換、二階行列式都沒有，到大學很多東西都要補。

只要基礎打好，當然就有選擇性，當然就有發(fā)展性。基礎不好，還選擇什么呢，幾何不好或代數不好，還選擇什么呢？我現在幾何代數都好，那我喜歡什么我就選什么。8.調研的局限性缺乏一些少數民族地區(qū)（特別是西藏和新疆）的調研數據。不同版本《課標》教材的使用面差異很大，教材的使用情況及教材編寫者的觀點的收集不夠全面。雖然在調研學校的取樣時要求三類學校的樣本數相當，但實際取樣結果來看，普通非重點中學的樣板較少，而這一層次的學校事實上是占多數的。對調研的初步結果沒有經過深入的論證。二、聚焦數學核心素養(yǎng)數學核心素養(yǎng)表現數學抽象形成數學概念和規(guī)則形成數學命題與模型形成數學方法與思想形成數學結構與體系邏輯推理發(fā)現和提出命題掌握推理的基本形式探索和表述論證的過程構建命題體系交流探索聚焦數學核心素養(yǎng)數學核心素養(yǎng)表現數學建模發(fā)現和提出問題建立模型求解模型檢驗結果和完善模型運算能力理解運算對象掌握運算法則探索運算思路設計運算程式聚焦數學核心素養(yǎng)數學核心素養(yǎng)表現直觀想象利用圖形描述數學問題利用圖形理解數學問題利用圖形探索和解決數學問題構建數學問題的直觀模型數據分析數據獲取數據分析知識構建從三大能力到四基四能再到核心素養(yǎng)三大能力四基四能六個核心素養(yǎng)基本假設：數學教學是數學活動的教學；數學素養(yǎng)是在掌握數學知識的基礎上在數學活動中逐步形成；數學素養(yǎng)貫穿在所有的（從小學到大學）數學活動中；數學素養(yǎng)之間有較高的相關性，設計綜合性、開放性的數學任務是培養(yǎng)數學素養(yǎng)的有效途徑；數學素養(yǎng)是按照水平逐步提高的，不同的人在數學素養(yǎng)上也有不同的特點；對數學素養(yǎng)的評價需要改進評價工具和方式。其它的數學素養(yǎng)評價框架概念理解：理解數學概念、運算及關系流暢的運算能力：靈活地、準確地、有效地及適當地實施數學程序選擇策略的能力：能形成、表征及解決數學問題適當的推理能力：邏輯思維、反思、解釋及辯證的能力數學的鑒賞力：相信數學是合理的、有用的和有價值的美國2061計劃：五種核心數學能力PISA數學素養(yǎng)評量（2012）32情境脈絡個人：購物、飲食職業(yè)：試算表使用社會：選舉、經濟科學：醫(yī)學、天氣內容領域改變與關係：函數、代數、方程式空間與形狀：座標系統(tǒng)、幾何測量數量：數與單位、四則計算、百分比不確定性：抽樣、機率、資料變異性溝通建模表徵推論策略發(fā)展符號的使用與運算工具使用中小學生數學能力結構1.獲得數學信息。

對于數學材料形式化感知的能力；對問題形式結構的掌握能力。2.數學信息加工在數量和空間關系，數字和字母符號方面的邏輯思維能力；對數學符號進行思維的能力。B.迅速而廣泛地概括數學對象、關系和運算的能力。C.縮短數學推理過程和相應的運算系統(tǒng)的能力；以簡短的結構進行思維的能力。D.在數學活動中心理過程的靈活性。E.力求解答的清晰、簡明、經濟與合理。F.迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個思路轉向另一個相反思路的能力（數學推理中心理過程的可逆性）3.數學信息保持。數學的記憶（關于數學關系，類型特征，論據和證明的圖式，解題方法及探討原則的概括性記憶）。4.一般綜合性組成成分。數學氣質。青浦實驗的目標分類34110F2F1分析運用領會概念計算數學核心能力的七個成分從數學角度提出問題數學表征數學符號變換數學推理與論證數學建模數學地解決問題數學交流經驗材料的數學組織數學材料的邏輯組織數學理論的應用三、如何處理高考文理不分科帶來的問題1.高中數學課程的基本結構2.選修II介紹（A2課程）微積分（2.5）關于課程的難度，要充分考慮到中學生接受能力，課程的難度可略高于必修部分與選修一的課程難度，但要遠遠低于現在的（AP）課程的難度。此課程是中學課程到大學課程的過渡，教學中注重學生數學思維能力的培養(yǎng)，因此要強調概念與推理的教學。為了使學生易于接受，要重視實際背景與幾何直觀的教學。該課程的目標是：使學生具有初步的抽象能力，簡單的推理能力，一定的運算能力。三維空間幾何與代數（2）利用立體幾何建立空間向量的代數理論，實現幾何與代數的融合；利用矩陣理論解三元線性方程組，并用空間中點線面的位置關系進行幾何解釋；利用直觀想象建立平面和空間等距變換理論；為大學線性代數課程的學習鋪路。統(tǒng)計與概率（1.5）3.英國的A-Level課程A-level即中學高級水平考試課程，全稱GCEALevel（GeneralCertificateofEducationAdvancedLevel）。學習此課程的英國學生的年齡通常在16至18歲之間。

A-level課程一般為兩年。第一年的課程叫AS課程，第二年的課程叫做A2課程?？荚嚭细竦膶W生獲得《普通教育高級水平證書》。A-level課程的考試AS和A2結束前都有一次考試。一門AS成績加上一門A2成績等于一門完整的A-level科目成績。大多數學生在第一年的AS階段選修4門課程，在A-level的第二年時，在所學AS的4門課程中選擇3門課程繼續(xù)A2階段的學習。AS和A2的考試時間均在每年五月中至六月底，每門科目考試時間約兩個半小時。考試成績分為A、B、C、D、E五個等級。

一般來說，如果三門A-level課程的成績都在C或者以上，就能夠考上大學。如果3門課程的成績在B左右，就能夠被很好的大學錄取。如果3門課程都獲得A，就能夠進入除牛津、劍橋以外的所有名校，并有資格競爭牛津和劍橋。A-level課程的門類A-level課程是專業(yè)性較強的課程，其教學大綱中總共約有100門左右的課程，各校教學大綱中經常包括的一些A-level課程：數學、英語（語言與文學）、計算機、信息技術、商務、設計與技術、媒體研究、生物、藝術與設計、3-D研究、化學、古典文化、經濟學、英國文學、環(huán)境科學、地理、政府與政治、歷史、法律、高等數學、現代語言、音樂、體育、物理、心理學、社會學、戲劇研究、家政、考古、統(tǒng)計、繪畫、舞蹈、攝影、哲學、紡織、環(huán)境研究等。2015年劍橋大學A-level考試大綱簡介考試時間2015年6月和11月A-level課程的總目標獲得深度的學科知識；發(fā)展獨立的思維技能；將知識以及對知識的理解應用于熟悉的和新的情境；處理和評估各種信息資源；進行邏輯地思考，構建有條理的、一致的論證過程；提出猜想、思路和決策；表達合理的解釋和理解，進行清楚的、邏輯的交流；A-level數學課程的目標對數學原理（mathematicalprinciples）有更深入的理解;進一步發(fā)展數學技能，包括日常生活和其它學科中有用的數學技能;能夠邏輯地分析問題，知道什么時候以及如何用數學來處理各種情境;把數學作為交流的工具;為進一步的學習打下扎實的基礎。A-level數學課程的評價目標理解相關的數學概念、符號與術語;準確而恰當地進行符號操作；在給定情形中確認合理的數學程序;綜合運用數學的技能和方法解決問題;用清晰和邏輯的方式表達自己的數學過程，交流數學結果.AS水平考試的結構必考卷1：PureMathematics1(P1)1小時45分鐘10道題總分：75分

占總成績60%選考卷2：PureMathematics2(P2)卷4：Mechanics1(M1)卷6：ProbabilityandStatistics1(S1)1小時45分鐘，7道題總分：50分

占總成績40%A水平考試的結構必考卷1：PureMathematics1(P1)各105分鐘,10道題，各占總成績30%卷3:PureMathematics3(P3)選考(1)卷4：Mechanics1(M1)每卷75分鐘,7道題，各占總成績20%卷6:ProbabilityandStatistics1(S1)(2)卷4：Mechanics1(M1)卷5：Mechanics2(M2)(3)卷6:ProbabilityandStatistics1(S1)卷7:ProbabilityandStatistics2(S2)A-level的考試樣卷（新加坡）-卷1-1（卷1，19題，100分鐘）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）-卷1-2A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）-卷2-1（卷2，12題，180分鐘）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）A-level的考試樣卷（新加坡）4.美國的AP課程美國的AP課程是由美國大學理事會（TheCollegeBoard）組織的。該理事會成立于1900年，到目前為止，其會員單位已經包含全世界5900多所頂尖的大學。每年有大約7百萬的學生通過參加其組織的SAT和AP課程考試進入大學階段的學習。AP課程的門類AP藝術歷史AP生物學AP微積分ABAP微積分BCAP化學AP中國語文AP計算器科學AAP英文語言與寫作AP英文文學與寫作AP環(huán)境科學AP歐洲歷史AP法語語文及文化AP德語語文及文化AP比較政府及政治AP美國政府及政治AP人文地理AP意大利語語言及文化AP日語語言及文化AP拉丁文AP宏觀經濟學AP微觀經濟學AP音樂理論AP藝術歷史AP物理BAP物理電磁學AP物理力學AP藝術歷史AP心理學AP西班牙語語言AP西班牙文學與文化AP統(tǒng)計學AP工作室藝術︰平面設計AP工作室藝術︰立體設計AP工作室藝術︰繪畫AP美國歷史AP世界歷史AP微積分AP微積分包括微積分AB和微積分BC兩門課程。微積分AB大約需要一個學年的時間，其中還可以包括作為準備知識的初等函數的學習；微積分BC通常需要一整年的學習時間，其中包括微積分AB的全部內容。學習AP微積分之前，學生必須完成全部的高中數學課程，其中包括：代數、幾何、三角、解析幾何和初等函數（包括線性函數、有理函數、指數函數、對數函數、三角函數與反三角函數）。AP課程目標能夠理解各種形式表示的函數：圖像、數值、解析式、口語，并相互之間的聯(lián)系；理解導數作為變化率和局部線性近似的意義，能夠用導數解決各種問題；理解作為黎曼和的極限的定積分的意義，并能夠用積分解決各種問題；理解微積分基本定理的意義；能夠用口頭或書面的語言進行數學交流和解釋問題的解答過程；能夠用函數、微分方程、積分的模型去描述某個實際的情境；能夠用微積分方法去解決問題、實驗、解釋結果和支持結論,能夠確定解法（包括記號、精確度、單位）的合理性；能夠欣賞作為人類創(chuàng)造物的微積分的嚴謹性。AP課程考試（2015年5月）考試由權重相同的兩部分組成：多項選擇題，全面考察學生對所學內容的熟練程度，總共45道題目，考試時間是105分鐘，其中PartA的28道題定時55分鐘，不能使用計算器；PartB的17道選擇題可以使用圖形計算器，定時50分鐘。自由回答題：重點考察學生通過多步推理解決問題的能力。也包括兩部分：PartA包括2道題，定時30分鐘，可以使用圖形計算器；PartB包括4道題，定時60分鐘，不能使用計算器。在PartB的時段內，學生可以繼續(xù)做PartA的題，但不能使用計算器。其中AB課程約占考試內容的60%，這部分的成績可以作為大學錄取的非正式的依據，但不算學分。AP考試樣卷（2012）-卷1-1AP?CalculusABExam一、多項選擇題PartA(可用計算器，共28題，55分鐘)AP考試樣卷（2012）AP?CalculusABExam一、多項選擇題PartA(可用計算器，共28題，55分鐘)AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）-卷1-2Time—50minutesNumberofquestions—17（76—92）AGRAPHINGCALCULATORISREQUIREDAP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）-卷2-1Time—30minutesNumberofproblems—2AgraphingcalculatorisrequiredfortheseproblemsAP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）AP考試樣卷（2012）-卷2-2Time—60minutesNumberofproblems—4Nocalculatorisallowedfort