2022-2023學(xué)年浙江省寧波市余姚中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市余姚中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)寫出集合B，再由集合交運(yùn)算求.【詳解】由題意，，而，∴，故選：B.2．已知有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，則c的值是A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】根據(jù)二分法的定義，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得△=0，解之可得c.【詳解】函數(shù)f（x）=x2+6x+c有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，說明此二次函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即△=36-4c=0解得c=9，故選A【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用；能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)，在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反.3．設(shè)為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】，時(shí)一定有，充分性滿足，但時(shí)有，但，必要性不滿足，因此是充分不必要條件．故選：A4．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，以及由排除不正確的選項(xiàng)，從而得出答案..【詳解】詳解：為奇函數(shù)，排除A,，故排除D.，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以排除C；故選：B.5．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式求出的最小值，進(jìn)而可得的最小值.【詳解】，可得，，所以，所以的最小值為，故選：B6．已知函數(shù)（，且），若對(duì)于任意恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)“對(duì)于任意恒成立”求得的取值范圍，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】對(duì)于函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，，所以，，要使對(duì)于任意恒成立，則需在遞減，所以，則在上遞減.由于在上遞減，在上遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D7．中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W?信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（

）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%【答案】B【分析】根據(jù)題意寫出算式，再利用對(duì)數(shù)的換底公式及題中的數(shù)據(jù)可求解.【詳解】將信噪比從1000提升至5000時(shí)，C大約增加了.故選：B.8．給出定義：若(其中為整數(shù))，則叫做離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作，即，例如：，．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：；；；的定義域是，值域是，則正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)定義可以得到，，，，進(jìn)而求得各個(gè)函數(shù)值，然后判定，根據(jù)，可以得到，即得的值域，從而判定．【詳解】因?yàn)?，?，所以，，，，∴，①正確；，②錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故③正確；的定義域是R，因?yàn)?，所以，即，∴值域是，故④錯(cuò)誤．綜上，正確的命題個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：B．二、多選題9．下列函數(shù)中與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系是否都相同，判斷它們是否為同一函數(shù)即可．【詳解】對(duì)于，，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于，，與的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；對(duì)于，，與的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；對(duì)于，，與的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)．故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題考查了判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)的問題，解題時(shí)應(yīng)判斷它們的定義域是否相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系是否也相同，是基礎(chǔ)題．10．下列命題是真命題的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；取可判斷B選項(xiàng)的正誤；取可判斷C選項(xiàng)的正誤；取可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，B選項(xiàng)正確對(duì)于C選項(xiàng)，取，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，取，則，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11．（多選題）設(shè)都是正數(shù)，且，那么（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式關(guān)系化為對(duì)數(shù)式，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則判斷．【詳解】設(shè)則，，，，即，C正確；所以，A正確，B錯(cuò)誤；，，，即，D錯(cuò)．故選：AC．12．已知函數(shù)，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則下列說法中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】先研究值域?yàn)闀r(shí)函數(shù)的定義域，再研究使得值域?yàn)榈煤瘮?shù)的最小值的自變量的取值集合，研究函數(shù)值取1，2時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值，由此可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由于，，，，，即函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)函數(shù)的最小值為1時(shí)，僅有滿足，所以，故C正確；當(dāng)函數(shù)的最大值為2時(shí)，僅有滿足，所以，故D正確；即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域也為，故，故B正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，故A錯(cuò)誤；故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，解題的關(guān)鍵是通過函數(shù)的值域求出函數(shù)的定義域，再利用元素與集合關(guān)系的判斷，集合的包含關(guān)系判斷，考查了學(xué)生的邏輯推理與轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題13．__________．【答案】5【詳解】原式.14．已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_________．【答案】【解析】由函數(shù)的定義域是，可求的值域，即函數(shù)的定義域，再由，即可求得的定義域.【詳解】的定義域是，則，即函數(shù)的定義域?yàn)?，令，即，解得則函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求抽象函數(shù)的定義域的方法：（1）已知的定義域?yàn)椋蟮亩x域：求不等式的解x的范圍，即為的定義域；（2）已知的定義域?yàn)?，求的定義域：由確定的取值范圍，即為的定義域.（3）已知的定義域，求的定義域：先由的定義域，求得的定義域，再由的定義域，求得的定義域.15．給出下列結(jié)論：①；

②，的值域是；③冪函數(shù)圖象一定不過第四象限；④函數(shù)的圖象過定點(diǎn)；⑤若則的值是．其中正確的序號(hào)是_________．【答案】③④⑤【解析】利用根式的運(yùn)算判斷①；求二次函數(shù)的值域判斷②；利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷③；利用指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷④；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算判斷⑤.【詳解】對(duì)于①，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，，所以的值域是，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)楫?dāng)x是正數(shù)時(shí)，其任何次方都不會(huì)小于0，故③正確；對(duì)于④，由，即時(shí)恒等于1，此時(shí)，即函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，故④正確；對(duì)于⑤，若則，則，故⑤正確；故答案為：③④⑤16．已知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為10，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】結(jié)合基本不等式及定義域可求得，對(duì)分類討論，結(jié)合最大值為10即可由最值求得a的取值范圍.【詳解】當(dāng)，由打勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)可化為，則由，所以當(dāng)時(shí)恒成立；當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，滿足最大值為10，解得，即；當(dāng)時(shí)，函數(shù)可化為，所以最大值為，解得，（舍）；綜上所述，a的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了含絕對(duì)值不等式的解法，由基本不等式及定義域確定函數(shù)的值域，分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.四、解答題17．函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?(1)記，其中為整數(shù)集，寫出的所有子集；(2)且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，，，.(2)【分析】（1）計(jì)算得到，，再計(jì)算交集得到，得到答案.（2）考慮和兩種情況，根據(jù)端點(diǎn)的位置解得答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域滿足，即，即，，，即，.故集合M的所有子集為，，，.（2），且，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，或，解得.綜上所述：.18．命題：“，”，命題：“，”.(1)寫出命題的否定命題，并求當(dāng)命題為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若和中有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)全稱命題的否定形式寫出，當(dāng)命題為真時(shí)，可轉(zhuǎn)化為，當(dāng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）可得為真命題時(shí)的取值范圍，再求解為真命題時(shí)的取值范圍，分真和假，假和真兩種情況討論，求解即可【詳解】（1）由題意，命題：“，”，根據(jù)全稱命題的否定形式，：“，”當(dāng)命題為真時(shí)，，當(dāng)二次函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即故實(shí)數(shù)的取值范圍是（2）由（1）若為真命題，若為假命題若命題：“，”為真命題則，解得故若為假命題由題意，和中有且只有一個(gè)是真命題，當(dāng)真和假時(shí)，且，故；當(dāng)假和真時(shí)，且，故；綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是或19．濟(jì)南市地鐵項(xiàng)目正在加火如荼的進(jìn)行中，通車后將給市民出行帶來便利，已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場調(diào)研測算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，記列車載客量為.(1)求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量；(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.【答案】(1)；(2)發(fā)車時(shí)間間隔為4分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為132元.【分析】（1）由題設(shè)，有且，求k值，進(jìn)而寫出其分段函數(shù)的形式即可.（2）由（1）寫出解析式，討論、求最大值即可.【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，令，又發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，∴，解得.∴，故時(shí)，，所以當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量為人.（2）由（1）知：，∵時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，∴上，而上，單調(diào)遞減，則，綜上，時(shí)間間隔為4分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為132元.20．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若在區(qū)間上的最大值為，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）區(qū)間應(yīng)在對(duì)稱軸右端；（2）分，，三種情況討論即可.【詳解】（1）由題知函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則，解得；（2）由（1）知函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，最大值為，解得，與矛盾；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間的最大值為，解得，舍去；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值為，解得，與矛盾。綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，分類討論二次函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生分類討論的思想，是一道中檔題.21．已知函數(shù)，.(1)若，求不等式的解集；(2)若函數(shù)有唯一的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式；（2）由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為方程(*)且，只有一解．分類討論即可．【詳解】（1）由題意為定義域上的增函數(shù)，所以原不等式為，解得，解集為；（2）因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以有唯一解，即有唯一解，所以有唯一解，(*)且，若，即，(*)的解為，滿足，符合題意，若，，恒成立，時(shí)，(*)的解為，滿足，符合題意，且時(shí)，(*)有兩不等實(shí)根，，，要使原方程只有一個(gè)解，則中只有一個(gè)滿足，，解得，或，解得，綜上，的取值范圍是．22．已知且，是定義在上的一系列函數(shù)，滿足：（1）求的解析式;（2）若為定義在上的函數(shù)，且.①求的解析式;②若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）①，②【解析】（1）由已知遞推式，即可寫出的解析式；