2022-2023學(xué)年湖南省常德市鼎城區(qū)高一實(shí)驗(yàn)班上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省常德市鼎城區(qū)第一中學(xué)高一實(shí)驗(yàn)班上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．定義集合的一種運(yùn)算：，若，，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的新定義確定集合中的元素.【詳解】因?yàn)?，，，所以，故集合中的元素個(gè)數(shù)為3，故選：C.2．命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)命題是真命題，由，恒成立求解.【詳解】因?yàn)槊}“，”是真命題，所以，恒成立，所以，結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個(gè)充分不必要條件是，故選：B3．已知，且是方程的兩實(shí)數(shù)根，則，，m，n的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像特點(diǎn)，結(jié)合圖像平移變換即可得到答案.【詳解】∵，為方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，為函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，令，∴m，n為函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易知函數(shù)的圖像可由的圖像向上平移2022個(gè)單位長度得到，所以.故選:C.4．若函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)沒有最值，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，故可先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間的子集得到關(guān)于的不等式組，解不等式組可得所求．【詳解】解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，由，得．函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)沒有最值，函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，，解得由，得．當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，又，故，綜上得的取值范圍是故選A5．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及區(qū)間單調(diào)性可得上單調(diào)遞增且，進(jìn)而確定的區(qū)間符號，討論、求解集即可.【詳解】由題設(shè)，上單調(diào)遞增且，所以、上，上，對于，當(dāng)，即或，可得；當(dāng)，即，可得；綜上，解集為.故選：A6．對于函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足下列條件：①在內(nèi)是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是時(shí)，的值域也是，則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”若函數(shù)存在“和諧區(qū)間”，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)的，由，可得、是方程的兩個(gè)同號的不等實(shí)數(shù)根，由，解不等式即可.【詳解】由題意可得若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)的，所以，或，，則，，故、是方程的兩個(gè)同號的不等實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)同號的不等實(shí)數(shù)根，注意到，故只需，解得，結(jié)合，可得.故選：D7．已知銳角終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)定義得正切值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解【詳解】，又，為銳角，∴

，故選：A.8．設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由最多有2個(gè)根，可得至少有4個(gè)根，分別討論當(dāng)和時(shí)兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.【詳解】最多有2個(gè)根，所以至少有4個(gè)根，由可得，由可得，（1）時(shí)，當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)，有5個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)，有6個(gè)零點(diǎn)，即；（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；所以若時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足或或，則可解得a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是分成和兩種情況分別討論兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.二、多選題9．下列選項(xiàng)中，正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合基本不等式、對勾函數(shù)的單調(diào)性判斷．【詳解】，所以，A正確；因?yàn)椋?，即，B錯(cuò)誤；，C正確；由于對勾函數(shù)在上是減函數(shù)，，所以，即，D正確．故選：ACD．10．已知，關(guān)于x的不等式的解集可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】分，利用一元二次不等式的解法求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得；當(dāng)時(shí)，不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得或．故選:BCD．11．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是B．，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是C．，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D．，，【答案】AC【分析】對于選項(xiàng)A，B，C求出函數(shù)和的最值，即可判斷出正誤；對于選項(xiàng)D，根據(jù)函數(shù)和函數(shù)值域間的包含關(guān)系判斷正誤．【詳解】解：對于A選項(xiàng)，，恒成立，又為減函數(shù)，所以，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，恒成立，即，又為減函數(shù)，所以，B選項(xiàng)不正確；對于C選項(xiàng)，函數(shù)的圖像為開口向上的拋物線，所以在對稱軸處取最小值，在離對稱軸最遠(yuǎn)處取最大值，所以，若，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域?yàn)?，值域?yàn)?，不滿足要求，D選項(xiàng)不正確；故選：AC.12．如圖，已知函數(shù)（其中，，）的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，.則下列說法正確的有（

）A．的最小正周期為12 B．C．的最大值為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】由題意可得：，，可得，，，的坐標(biāo)，根據(jù)，可得方程，進(jìn)而解出，，．判斷出結(jié)論．【詳解】由題意可得：，，，，，，，，，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不對，，，解得，函數(shù)，可知正確.時(shí)，，可得：函數(shù)在單調(diào)遞增.綜上可得：ACD正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用兩點(diǎn)間距離表示等量關(guān)系后，求解各點(diǎn)的坐標(biāo)，問題迎刃而解.三、填空題13．已知集合，集合，如果命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】####【分析】先由題意得到“，”為真命題，討論和兩種情況，即可求出結(jié)果.【詳解】命題“，”為假命題，則其否定“，”為真命題.當(dāng)時(shí)，集合，符合.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以由，，得對于任意恒成立，又，所?綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.14．已知函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___．【答案】【分析】問題轉(zhuǎn)化為ax＞對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，然后對x分類，再由配方法求最值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：∵函數(shù)的定義域是R，∴+ax＞0對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，即ax＞對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，當(dāng)x＝0時(shí)，上式化為0＞﹣1，此式對任意實(shí)數(shù)a都成立；當(dāng)x＞0時(shí)，則a＞＝，∵x＞0，∴，則≥，則≤，可得a＞；當(dāng)x＜0時(shí)，則a＜，∵x＜0，∴，則＞1，則＞1，可得a≤1．綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．15．已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是_______________【答案】【分析】由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷可得到在上單調(diào)遞增，由偶函數(shù)性質(zhì)知其在上單調(diào)遞減，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由，解得：或，故函數(shù)的定義域?yàn)?，又，為上的偶函?shù)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，設(shè)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減；由可知，解得．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，解決此類問題中，奇偶性和單調(diào)性的作用如下：（1）奇偶性：統(tǒng)一不等式兩側(cè)符號，同時(shí)根據(jù)奇偶函數(shù)的對稱性確定對稱區(qū)間的單調(diào)性；（2）單調(diào)性：將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系.16．若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對任意能構(gòu)成三角形三邊長的實(shí)數(shù)，均有，，也能構(gòu)成三角形三邊長，則m的最大值為______．（是自然對數(shù)的底）【答案】##【分析】不妨設(shè)三邊的大小關(guān)系為：，利用函數(shù)的單調(diào)性，得出，，的大小關(guān)系，作為三角形三邊則有任意兩邊之和大于第三邊，再利用基本不等式求出邊的范圍得出的最大值即可.【詳解】在上嚴(yán)格增，所以，不妨設(shè)，因?yàn)閷θ我饽軜?gòu)成三角形三邊長的實(shí)數(shù)，均有，，也能構(gòu)成三角形三邊長，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)閷θ我舛汲闪?，所以，所以，所以，所以，所以m的最大值為．故答案為：.四、解答題17．已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，將兩邊同時(shí)平方先求出，再求出；（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合立方差公式求；（3）由和（1）的結(jié)論聯(lián)立求出和，求出，將原式弦化切后再代入求值．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，又，∴，，∴；（2）由（1）可知，，∴；（3）∵，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)關(guān)系以及齊次式的化簡求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．已知函數(shù)=logax，=loga(2x+m2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.（1）若m=6且函數(shù)F=+的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值.（2）當(dāng)a>1時(shí)，不等式<2在x∈[1,3]時(shí)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題設(shè)可得，討論、，結(jié)合已知最大值求參數(shù)a，注意判斷a值是否符合題設(shè).（2）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求不等式右邊的最小值，即可得m的取值范圍.【詳解】（1），，則，.當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，不合題意.綜上，.（2）要使在上有意義，則，解得.由，即，又，∴，即，得.令，，記，對稱軸，∴，故.綜上，.19．已知冪函數(shù)（）是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍；（3）若實(shí)數(shù)，（，）滿足，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）2．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求得，由單調(diào)性和偶函數(shù)求得得解析式；（2）由偶函數(shù)定義變形不等式，再由單調(diào)性去掉函數(shù)符號“”，然后求解；（3）由基本不等式求得最小值．【詳解】解析：（1）．，，（）即或在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)即（2），，，∴（3）由題可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立．所以的最小值是2．20．2020年春節(jié)前后，一場突如其來的新冠肺炎疫情在武漢出現(xiàn)并很快地傳染開來（已有證據(jù)表明2019年10月、11月國外已經(jīng)存在新冠肺炎病毒），對人類生命形成巨大危害．在中共中央、國務(wù)院強(qiáng)有力的組織領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民萬眾一心抗擊、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已經(jīng)得到了非常好的控制（累計(jì)病亡人數(shù)人），然而國外因國家體制、思想觀念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越來越嚴(yán)重．疫情期間造成醫(yī)用防護(hù)用品短缺，某廠家生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)用品需投入年固定成本為萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入成本為．當(dāng)年產(chǎn)量不足萬件時(shí)，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于萬件時(shí)，（萬元）．通過市場分析，若每件售價(jià)為元時(shí)，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完．（利潤銷售收入總成本）（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?并求出利潤的最大值．【答案】（1）；（2）年產(chǎn)量為萬件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，利潤的最大值為萬元．【分析】(1)由利潤銷售收入總成本寫出分段函數(shù)的解析式即可；（2）利用配方法和基本不等式分別求出各段的最大值，再取兩個(gè)中最大的即可.【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，．當(dāng)，時(shí)，．．（2）當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值（萬元）當(dāng)，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．即時(shí)，取得最大值萬元．綜上，所以即生產(chǎn)量為萬件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大為萬元．21．已知，函數(shù)，其中.（1）設(shè)，求的取值范圍，并把表示為的函數(shù)；（2）求函數(shù)的最大值（可以用表示）；（3）若對區(qū)間內(nèi)的任意，，若有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）由題設(shè)得，則，代入可得.（2）由（1）知，的最大值即為的最大值，討論、、時(shí)在上的單調(diào)性，即可得對應(yīng)的最大值.（3）將問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合（2）所得單調(diào)性，求的范圍.【詳解】（1）由題意，，而，則，∴，顯然，則，且，∴，；（2）的最大值，即的最大值.①時(shí)，在遞減，；②時(shí)，在遞增，；③時(shí)，在遞增，遞減，；綜上，（3）由題意，，即，；①時(shí)，在遞減，則：；②時(shí)，在遞增，則：；③時(shí)，在遞增，遞減，，則：：綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，要求的最大值，即求的最大值，討論參數(shù)a結(jié)合的區(qū)間單調(diào)性寫出最大值；第三問，將問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合所得單調(diào)性求參數(shù)范圍即可.22．對于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．（1）已知函數(shù)，試問是否為“偽奇函數(shù)”？說明理由；（2）若冪函數(shù)使得為定義在上的“偽奇函數(shù)”，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，若存在，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）不是；（2）；（3）．【分析】（1）先假設(shè)為“偽奇函數(shù)”，然后推出矛盾即可說明；（2）先根據(jù)冪函數(shù)確定出的解析式，然后將問題轉(zhuǎn)化為“在上有解”，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域以及對勾函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍；（3）將問題轉(zhuǎn)化為“在上有解”，通過換元法結(jié)合二次函數(shù)的零點(diǎn)分布求解出的取值范圍.【詳解】（1）假設(shè)為“偽奇函數(shù)”，存在滿足，有解，化為，無