方差分析及回歸分析

第九章方差分析及回歸分析

關(guān)鍵詞：

單因素試驗雙因素試驗交互作用一元線性回歸多元線性回歸1§1單因素試驗的方差分析

例

假設(shè)某藥物研究者為檢驗a,b兩種化學(xué)物質(zhì)的抗癌效果，要做動物試驗。通常的作法如下所述：他將一些患有某種癌的白鼠隨機地分成三組。其中兩組分別注射a,b兩種化學(xué)物質(zhì)，而第三組則不作處理，作為對照。記第一組：注射a物質(zhì)，第二組：注射b物質(zhì)，第三組：不做處理。經(jīng)過一段時間觀察后，他得到壽命數(shù)據(jù)（一）單因素試驗2設(shè)第j組有只老鼠壽命分別為

這是一個典型的最簡單分組試驗方案。分組的依據(jù)為藥物：a,b,無。通常，分組的依據(jù)稱為“因素”，因素的不同狀態(tài)稱為因素的“水平”。此例因素（藥物）有三個水平：a,b,無。只有一個因子，按因子的不同水平來分組的試驗稱為“單因素試驗”。在試驗中，對試驗對象所觀測記錄的變量稱為“響應(yīng)變量”（例中的壽命）3一般地，對一個單因素試驗，假設(shè)因素有s(s>2)個水平，n個對象參與了試驗。假定對應(yīng)于因素第j個水平的組中有個試驗對象，響應(yīng)變量數(shù)據(jù)為通常假定4檢驗假設(shè)假設(shè)等價于5（二）平方和分解6證明：

789方差來源平方和自由度均方F比因素As-1誤差n-s總和n-1單因素試驗方差分析表1011

例1設(shè)有5種治療蕁麻疹的藥，要比較它們的療效。假設(shè)將30個病人分成5組，每組6人，令同組病人使用一種藥，并記錄病人從使用藥物開始到痊愈所需時間，得到下面的記錄：(=0.05)藥物x治愈所需天數(shù)y15，8，7，7，10，824，6，6，3，5，636，4，4，5，4，347，4，6，6，3，559，3，5，7，7，612這里藥物是因子，共有5個水平，這是一個單因素方差分析問題，要檢驗的假設(shè)是“所有藥物的效果都沒有差別”。

方差分析表方差來源平方和自由度均方F比因素A36.466749.1167

3.90誤差58.5000252.3334總和94.96672913未知參數(shù)的估計1415§2雙因素試驗的方差分析

例

假設(shè)某藥物研究者為檢驗a,b兩種化學(xué)物質(zhì)的抗癌效果，要做動物試驗。通常的作法是：將一些患有某種癌的白鼠隨機地分成三組。其中兩組分別注射a,b兩種化學(xué)物質(zhì)，而第三組不作處理，作為對照。記第一組：注射a物質(zhì)，第二組：注射b物質(zhì)，第三組：不做處理。經(jīng)過一段時間觀察后，得到壽命數(shù)據(jù)。在這個藥物試驗中，如果白鼠的性別有可能對其壽命有顯著的影響。這時應(yīng)該考慮將“性別”作為一個因素——“雙因素試驗”。因素A：藥物，三個水平；因素B：性別，二個水平；兩個因素共有2×3＝6種組合。16

（一）

雙因素等重復(fù)試驗的方差分析

因素B因素A1718分別檢驗假設(shè)1920212223雙因素試驗的方差分析表方差來源平方和自由度均方F比因素A因素B交互作用誤差總和24例3為了比較3種松樹在4個不同的地區(qū)的生長情況有無差別，在每個地區(qū)對每種松樹隨機地選取5株，測量它們的胸徑，得到的數(shù)據(jù)列表如下。

松樹數(shù)據(jù)表松樹種類地區(qū)1234123,15,26,13,2125,20,21,16,1821,17,16,24,2714,17,19,20,24228,22,25,19,2630,26,26,20,2819,24,19,25,2917,21,18,26,23318,10,12,22,1315,21,22,14,1223,25,19,13,2218,12,23,22,1925這是一批等重復(fù)的兩種方式分組數(shù)據(jù)，記樹種因素為A，地區(qū)因素為B，則A因素有3個水平，B因素有4個水平，總共有12個水平組合，每個組合（單元）有5個重復(fù)觀測。

將樹的胸徑作為度量樹的生長情況是否良好的數(shù)值指標，我們的目標是：由以上數(shù)據(jù)來判斷不同樹種及不同地區(qū)對松樹的生長情況是否有影響（好或壞）？

這里要考慮的影響有三種：樹種的單獨影響（A因素主效應(yīng)），地區(qū)的單獨影響（B因素主效應(yīng)），以及不同樹種和不同地區(qū)的結(jié)合所產(chǎn)生的交互影響（AB因素的交互效應(yīng)）。這是一個典型的等重復(fù)雙因素方差分析模型。

26輸出各單元總和及因素水平總和：

松樹數(shù)據(jù)的總和表單元總和B1B2B3B4水平總和A19810010594397A2120130116105471A3758410294355水平總和293314323293122327方差來源平方和自由度均方F比F值α=0.05因素A344.93332172.46679.453.19因素B46.0500315.35000.842.80交互作用113.6000618.93331.042.30誤差875.60004818.2417總和1380.183359雙因素方差分析表28

進一步考查A因素不同水平的均值。注意到A因素的第二水平為最大：23.55，而第三水平的均值為最?。?7.65，可以認為樹種2的生長情況優(yōu)于樹種3。能夠得出這個結(jié)論，得益于觀測的等重復(fù)性。

然后再來看B因素的主效應(yīng)，即在扣除松樹種類的效應(yīng)后，不同地區(qū)對樹的胸徑的影響。由方差分析表知，B因素的主效應(yīng)不顯著，即不同的地區(qū)對樹的胸徑?jīng)]有顯著影響。最后來看AB因素的交互效應(yīng)，即在扣除兩種效應(yīng)后，由不同樹種和不同地區(qū)的結(jié)合而產(chǎn)生的對樹的胸徑的影響，這種影響可以解釋為某些地區(qū)特別適合（或特別不適合）某個樹種的生長。結(jié)果也不顯著。

首先來看A因素主效應(yīng)，即在扣除地區(qū)效應(yīng)后，松樹的不同種類對樹的胸徑的影響。由方差分析表可以看出，A因素主效應(yīng)是顯著的，即松樹的不同種類對樹的胸徑有顯著影響。29

（二）

雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析

因素B因素A3031分別檢驗假設(shè)32333435雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析表方差來源平方和自由度均方F比因素A因素B誤差總和36例4假定對3個小麥品種和3塊試驗地塊進行區(qū)組設(shè)計試驗，得到如下的數(shù)據(jù)：

表

小麥品種區(qū)組試驗數(shù)據(jù)

小麥品種（A）試驗地塊（B）總和B1B2B3A1258279242779A2302314336952A3321318327966總和881911905269737在這個問題中我們關(guān)心的是小麥的不同品種之間在產(chǎn)量上的差異。由于地塊不同對小麥的產(chǎn)量也會有影響，因此在比較試驗結(jié)果時，要扣除地塊的影響之后再來比較品種的差異。假定品種與地塊之間無交互效應(yīng)，則可對上述數(shù)據(jù)進行雙因素可加效應(yīng)模型的方差分析。

38雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析表方差來源平方和自由度均方F比F值α=0.05因素A7232.666723616.333312.506.94因素B168.0000284.0000

0.296.9