《平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算》設(shè)計(jì)

《平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)分析1.前面學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是平面向量的代數(shù)表示.在引入了平面向量的坐標(biāo)表示后可使向量完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，這就可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.2.本小節(jié)主要是運(yùn)用向量線(xiàn)性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律，推導(dǎo)兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)、差的坐標(biāo)以及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算.推導(dǎo)的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用向量線(xiàn)性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律.3.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后，向量的線(xiàn)性運(yùn)算可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，一個(gè)自然的想法是向量的某些關(guān)系，特別是向量的平行、垂直，是否也能通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究呢?前面已經(jīng)找出兩個(gè)向量共線(xiàn)的條件(如果存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb，那么a與b共線(xiàn))，本節(jié)則進(jìn)一步地把向量共線(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示.這種轉(zhuǎn)化是比較容易的，只要將向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，再運(yùn)用向量相等的條件就可以得出平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示.要注意的是，向量的共線(xiàn)與向量的平行是一致的.二、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2.過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)共線(xiàn)向量坐標(biāo)關(guān)系的探究，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。3情感態(tài)度與價(jià)值觀：學(xué)會(huì)用坐標(biāo)進(jìn)行向量的相關(guān)運(yùn)算，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確.四、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課思路1.向量具有代數(shù)特征，與平面直角坐標(biāo)系緊密相聯(lián).那么我們?cè)趯W(xué)習(xí)直線(xiàn)和圓的方程以及點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的平行是一種重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時(shí)為零)何時(shí)所體現(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行？向量的共線(xiàn)用代數(shù)運(yùn)算如何體現(xiàn)？思路2.對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a，過(guò)定點(diǎn)O作向量=a，則點(diǎn)A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn)A的位置可通過(guò)其坐標(biāo)來(lái)反映，從而向量a也可以用坐標(biāo)來(lái)表示，這樣我就可以通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究向量問(wèn)題了.事實(shí)上，向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，這就可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后，向量的線(xiàn)性運(yùn)算可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，那么向量的平行、垂直，是否也能通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究呢？（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題①我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示，現(xiàn)在已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a-b，λa的坐標(biāo)表示嗎?②如圖1，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎樣表示的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-x1，y2-y1)的P點(diǎn)嗎?標(biāo)出點(diǎn)P后，你能總結(jié)出什么結(jié)論?活動(dòng):教師讓學(xué)生通過(guò)向量的坐標(biāo)表示來(lái)進(jìn)行兩個(gè)向量的加、減運(yùn)算，教師可以讓學(xué)生到黑板去板書(shū)步驟.可得:圖1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2).同理a-b=(x1-x2，y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1，λy1).教師和學(xué)生一起總結(jié)，把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為:兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向量的關(guān)系:將向量平移，使得點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，則平移后的B點(diǎn)位置就是P點(diǎn).向量的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的，這樣就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.學(xué)生通過(guò)平移也可以發(fā)現(xiàn):向量的模與向量的模是相等的.由此，我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式:||=||=.教師對(duì)總結(jié)完全的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng)，并鼓勵(lì)學(xué)生，只要善于開(kāi)動(dòng)腦筋，勇于創(chuàng)新，展開(kāi)思維的翅膀，就一定能獲得意想不到的收獲.討論結(jié)果:①能.②=-=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1).結(jié)論:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).提出問(wèn)題①如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線(xiàn)向量?②若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么是向量a、b共線(xiàn)的什么條件?活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比直線(xiàn)平行的特點(diǎn)來(lái)推導(dǎo)向量共線(xiàn)時(shí)的關(guān)系.此處教師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥:設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0.我們知道，a、b共線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb.如果用坐標(biāo)表示，可寫(xiě)為(x1，y1)=λ(x2，y2)，即消去λ后得x1y2-x2y1=0.這就是說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時(shí)向量a、b(b≠0)共線(xiàn).又我們知道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價(jià)的，但這與是不等價(jià)的.因?yàn)楫?dāng)x1=x2=0時(shí)，x1y2-x2y1=0成立，但均無(wú)意義.因此是向量a、b共線(xiàn)的充分不必要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性，更簡(jiǎn)捷、實(shí)用，讓學(xué)生仔細(xì)體會(huì)這點(diǎn).討論結(jié)果:①x1y2-x2y1=0時(shí)，向量a、b(b≠0)共線(xiàn).②充分不必要條件.提出問(wèn)題a與非零向量b為共線(xiàn)向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得a=λb，那么這個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？活動(dòng):教師引導(dǎo)推證:設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠a，由a=λb，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，得x1y2-x2y1=0.討論結(jié)果:a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1=0.教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟:1°消去λ時(shí)不能兩式相除，∵有可能為0，而b≠0，∴中至少有一個(gè)不為0.2°充要條件不能寫(xiě)成(∵有可能為0).3°從而向量共線(xiàn)的充要條件有兩種形式:a∥b(b≠0)（三）應(yīng)用示例思路1例1已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標(biāo).活動(dòng):本例是向量代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用，讓學(xué)生根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算進(jìn)行向量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，再根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算律和向量的坐標(biāo)概念得出的結(jié)論.若已知表示向量的有向線(xiàn)段的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，那么終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo)，從而使得向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.可由學(xué)生自己完成.解:a+b=(2，1)+(-3，4)=(-1，5);a-b=(2，1)-(-3，4)=(5，-3);3a+4b=3(2，1)+4(-3，4)=(6，3)+(-12，16)=(-6，19).點(diǎn)評(píng):本例是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題，目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式.變式訓(xùn)練1.(2022海南高考，4)已知平面向量a=(1，1)，b=(1，-1)，則向量ab等于()A.(-2，-1)B.(-2，1)C.(-1，0)D.(-1，2)答案:D2.(2022全國(guó)高考，3)已知向量a=(-5，6)，b=(6，5)，則a與b…()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A圖2例2如圖2，已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).活動(dòng):本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個(gè)向量相等，則它們的坐標(biāo)相等”，解題過(guò)程中應(yīng)用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).解題過(guò)程中，關(guān)鍵是充分利用圖形中各線(xiàn)段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系)，數(shù)形結(jié)合地思考，將頂點(diǎn)D的坐標(biāo)表示為已知點(diǎn)的坐標(biāo).解:方法一:如圖2，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y).∵=(-1-(-2)，3-1)=(1，2)，=(3-x，4-y).由=，得(1，2)=(3-x，4-y).∴∴∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，2).方法二:如圖2，由向量加法的平行四邊形法則，可知=(-2-(-1)，1-3)+(3-(-1)，4-3)=(3，-1)，而=+=(-1，3)+(3，-1)=(2，2)，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，2).點(diǎn)評(píng):本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.變式訓(xùn)練圖3如圖3，已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn).解:當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí)，仿例二得:D1=(2，2);當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，仿例二得:D2=(4，6);當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí)，仿上得:D3=(-6，0).例3已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線(xiàn)來(lái)判斷.首先要探究三個(gè)點(diǎn)組合成兩個(gè)向量，然后根據(jù)兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件來(lái)判斷這兩個(gè)向量是否共線(xiàn)從而來(lái)判斷這三點(diǎn)是否共線(xiàn).教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)形式來(lái)判斷向量之間的關(guān)系.讓學(xué)生通過(guò)觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標(biāo)系中作出A、B、C三點(diǎn)，觀察圖形，我們猜想A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn).下面給出證明.∵=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-(-1)，5-(-1))=(3，6)，又2×6-3×4=0，∴∥，且直線(xiàn)AB、直線(xiàn)AC有公共點(diǎn)A，∴A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn).點(diǎn)評(píng):本例的解答給出了判斷三點(diǎn)共線(xiàn)的一種常用方法，其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線(xiàn)，則這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線(xiàn).這是從平面幾何中判斷三點(diǎn)共線(xiàn)的方法移植過(guò)來(lái)的.變式訓(xùn)練已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.解:∵a∥b，∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2例2設(shè)點(diǎn)P是線(xiàn)段P1P2上的一點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是(x1，y1)、(x2，y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).活動(dòng):教師充分讓學(xué)生思考，并提出這一結(jié)論可以推廣嗎?即當(dāng)=λ時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么?師生共同討論，一起探究，可按照求中點(diǎn)坐標(biāo)的解題思路類(lèi)比推廣，有學(xué)生可能提出如下推理方法:由=λ，知(x-x1，y-y1)=λ(x2-x，y2-y)，即這就是線(xiàn)段的定比分點(diǎn)公式，教師要給予充分肯定，鼓勵(lì)學(xué)生的這種積極探索，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì).時(shí)間允許的話(huà)，可以探索λ的取值符號(hào)對(duì)P點(diǎn)位置的影響，也可鼓勵(lì)學(xué)生課后探索.圖4解:(1)如圖4，由向量的線(xiàn)性運(yùn)算可知=(1+2)=().所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是()(2)如圖5，當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即=或=2.如果=，那么圖5=+=+=+(-)=+=().即點(diǎn)P的坐標(biāo)是().同理，如果=2，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是點(diǎn)評(píng):本例實(shí)際上給出了線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線(xiàn)段的三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式.變式訓(xùn)練在△ABC中，已知點(diǎn)A(3，7)、B(-2，5).若線(xiàn)段AC、BC的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo).解:(1)若AC的中點(diǎn)在y軸上，則BC的中點(diǎn)在x軸上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得∴x=-3，y=-5，即C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，-5).(2)若AC的中點(diǎn)在x軸上，則BC的中點(diǎn)在y軸上，則同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-7).綜合(1)(2)，知C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，-5)或(2，-7).例2已知點(diǎn)A(1，2)，B(4，5)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，=+t.若點(diǎn)P在第二象限，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的相等，把已知條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)再進(jìn)行求解.教師以提問(wèn)的方式來(lái)了解學(xué)生組織步驟的能力，或者讓學(xué)生到黑板上去板書(shū)解題過(guò)程，并對(duì)思路清晰過(guò)程正確的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng)，同時(shí)也要對(duì)組織步驟不完全的同學(xué)給與提示和鼓勵(lì).教師要讓學(xué)生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點(diǎn)是，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式(組)，那么變量的取值范圍就是這個(gè)不等式(組)的解集.解:由已知=(4，5)-(1，2)=(3，3).∴=(1，2)+t(3，3)=(3t+1，3t+2).若點(diǎn)P在第二象限，則故t的取值范圍是(，).點(diǎn)評(píng):此題通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將點(diǎn)P的坐標(biāo)用t表示，由點(diǎn)P在第二象限可得到一個(gè)關(guān)于t的不等式組，這個(gè)不等式組的解集就是t的取值范圍.變式訓(xùn)練已知=(cosθ，sinθ)，=(1+sinθ，1+cosθ)，其中0≤θ≤π，求||的取值范圍.解:∵=-=(1+sinθ，1+cosθ)-(cosθ，sinθ)=(1+sinθ-cosθ，1+cosθ-sinθ).∴||2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-