IOChapter0113二維傅里葉變換

19世紀(jì)初，傅里葉在向巴黎科學(xué)院呈交的關(guān)于熱傳導(dǎo)的著名論文中提出了傅里葉級數(shù)．傅里葉分析方法已經(jīng)廣泛用于物理學(xué)及工程學(xué)科的各個領(lǐng)域．1.3二維傅里葉變換(2-dfouriertransform,ft)lordkelvinonfourier’stheoremfourier’stheoremisnotonlyoneofthemostbeautifulresultsofmodernanalysis,butitmaybesaidtofurnishanindispensableinstrumentinthetreatmentofnearlyeveryreconditequestioninmodernphysics.lordkelvinjosephfourier,ourherofourierwasobsessedwiththephysicsofheatanddevelopedthefourierseriesandtransformtomodelheat-flowproblems.三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)t在一個周期內(nèi)，n=0,1,...,由積分可知1.三角函數(shù)集是一個完備的正交函數(shù)集1.3.1傅里葉級數(shù)(fourierseries)在滿足狄氏條件時，可展成稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)2．級數(shù)形式直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)3．系數(shù)利用復(fù)變函數(shù)的正交特性也可寫為fn1．復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集2．級數(shù)形式說明周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式三角形式指數(shù)形式都是離散求和的形式，表明

(1)

一個隨時間或空間變化的周期函數(shù)(信號)

,可以看作是許多具有不同頻率的基元簡諧波信號的疊加．各簡諧波分量的頻率為,是離散的，取值為0,,,,,為直流分量，為基頻，其余為高次諧波分量．

(2)是其中一個簡諧波成分，或是該簡諧波成分的權(quán)重，它是頻率的函數(shù)，稱為傅里葉頻譜(簡稱頻譜)—fourierspectrum．一維傅里葉變換：周期信號非周期信號連續(xù)譜，幅度無限??；離散譜0再用

表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù).0單位頻帶上的頻譜值頻譜密度函數(shù)(spectrumdensityfunction)，簡稱頻譜函數(shù)w傅里葉變換傅里葉逆變換1.3.2傅里葉變換1.直角坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅里葉變換二元函數(shù)的傅里葉變換(即傅里葉譜或頻譜)定義為其傅里葉逆變換定義為非周期函數(shù)可分解為連續(xù)頻率的余弦分量的積分，是各頻率成分的權(quán)重因子(weightingfactor)．在電信號處理、通信中，一般是1d的時間信號，經(jīng)常用到一維傅里葉級數(shù)和傅里葉變換.在光學(xué)中，多數(shù)情況下研究的對象是2d或3d

圖像處理或成像，一般是二維或三維空間分布(可表示為二維或三維空間函數(shù)).

可分離變量函數(shù)的傅里葉變換ifthetwo-dimensionalfunctionisseparable,itsftistheproductoftwoone-dimensionalfts.

letandthen2.極坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅里葉變換或1)定義式對于具有圓對稱的函數(shù)，采用極坐標(biāo)形式比較方便.

2)傅里葉－貝塞爾變換(ftforthecaseof

circularsymmetry)圓對稱函數(shù)，有

其中，利用了貝塞爾函數(shù)關(guān)系式式中是第一類零階貝塞爾函數(shù)(isabesselfunctionoffirstkind,zeroorder)．與無關(guān)，表明圓對稱函數(shù)的傅里葉變換和逆變換仍為圓對稱，可表示為圓對稱函數(shù)的傅里葉正變換和逆變換的運(yùn)算形式相同，常稱之為傅里葉－貝塞爾變換(fourier-besseltransform)．3.傅里葉變換存在及其應(yīng)用條件(requirements)tousefouriertransform(ft),therearerequirementson:systemandsignal.1)systemrequirements

touseftthesystemmustbe:

a.linear:nonlinearsystemsoftenusespecializedmethodsuniquetoeachsystem.nogeneraltheoryexistsfornonlinearsystems.

b.timeorspaceinvariant.

c.memoryless.2).signalrequirements(絕對可積及狄里赫利條件)touseftthesignalmustbe:a.

mustbeabsolutelyintegrableoverthe

infinitexyplane;b.musthaveonlyafinitenumberofdiscontinuitiesandafinitenumberofmaximaandminimainanyfiniterectangle;c.musthavenoinfinitediscontinuities.說明：(1)物理上的可能性是保證傅里葉變換存在的充分條件．即物理上實(shí)際存在的物理量(如各種隨時間或空間變化的函數(shù))，其傅里葉變換總是存在的．r.n.bracewell曾指出：物理上的可能是一個變換存在的有效的充分條件(physicalpossibilityisavalidsufficientfortheexistenceofatransform)．(2)物理上，為了數(shù)學(xué)描述的方便，常引入一些理想化的函數(shù)(idealizedmathematicalfunctions)(物理上不能嚴(yán)格存在)，如正余弦函數(shù)、常數(shù)、階躍函數(shù)、δ函數(shù)等，盡管它們的經(jīng)典意義下的傅里葉變換不存在，但可以引入廣義傅里葉變換．引入廣義傅里葉變換(generalizedft)后，不僅在理論上成立、自洽，在應(yīng)用上也能得出符合實(shí)際的結(jié)果．1.3.3廣義傅里葉變換1.極限意義下的傅里葉變換無經(jīng)典意義下的傅里葉變換．但和一個函數(shù)序列具有以下關(guān)系而函數(shù)序列中的每一個函數(shù)，其狹義傅里葉變換都存在，而且在時，函數(shù)序列也有確定的極限，則定義(1)可先定義一個函數(shù)序列可見例如：不滿足絕對可積條件，無經(jīng)典意義下的傅里葉變換．(2)求的傅里葉變換(3)的極限即為傅里葉變換2．函數(shù)的傅里葉變換即的傅里葉變換是常數(shù)1．那么常數(shù)1的傅里葉逆變換是否成立呢？根據(jù)函數(shù)的廣義定義，只要證明在積分中的作用相當(dāng)于函數(shù)即可．根據(jù)函數(shù)的定義式，可直接求出它的傅里葉變換設(shè)有一個函數(shù)，它在處連續(xù)，并且其傅里葉變換存在，即有：．證明：可見在積分中的作用相當(dāng)于函數(shù)，所以有，即存在：類似的有