圓的垂徑定理

九年級數學(下)第三章

圓2.圓對稱性(1)垂徑定理圓的對稱性圓是軸對稱圖形嗎？想一想P881駛向勝利的彼岸如果是,它的對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸？●O你是用什么方法解決上述問題的?圓是中心對稱圖形嗎？如果是,它的對稱中心是什么?你能找到多少條對稱軸？你又是用什么方法解決這個問題的?圓的對稱性圓是軸對稱圖形.想一想P882駛向勝利的彼岸圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線,它有無數條對稱軸.●O可利用折疊的方法即可解決上述問題.圓也是中心對稱圖形.它的對稱中心就是圓心.用旋轉的方法即可解決這個問題.圓的相關概念圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.直徑將圓分成兩部分,每一部分都叫做半圓(如弧ABC).讀一讀P883駛向勝利的彼岸連接圓上任意兩點間的線段叫做弦(如弦AB).●O經過圓心弦叫做直徑(如直徑AC).AB⌒以A,B兩點為端點的弧.記作,讀作“弧AB”.AB⌒小于半圓的弧叫做劣弧,如記作(用兩個字母).⌒AmB大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,如記作(用三個字母).ABC⌒mD③AM=BM,垂徑定理AB是⊙O的一條弦.你能發(fā)現圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由.做一做P894駛向勝利的彼岸作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.●O右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?小明發(fā)現圖中有:ABCDM└⌒AmB由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂徑定理如圖,小明的理由是:連接OA,OB,做一做P905駛向勝利的彼岸●OABCDM└則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點A和點B關于CD對稱.∵⊙O關于直徑CD對稱,∴當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂徑定理三種語言定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.老師提示:垂徑定理是圓中一個重要的結論,三種語言要相互轉化,形成整體,才能運用自如.想一想P906駛向勝利的彼岸●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.②CD⊥AB,垂徑定理的逆定理AB是⊙O的一條弦,且AM=BM.你能發(fā)現圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由.做一做P917駛向勝利的彼岸過點M作直徑CD.●O右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?小明發(fā)現圖中有:CD⌒AmB由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.你可以寫出相應的命題嗎?相信自己是最棒的!垂徑定理的逆定理如圖,在下列五個條件中:只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論.想一想P918駛向勝利的彼岸●OABCDM└①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂徑定理及逆定理想一想P919駛向勝利的彼岸●OABCDM└條件結論命題①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,并且平分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,并且垂直平分弦.挑戰(zhàn)自我垂徑定理的推論

如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所平的弧相等嗎?老師提示:這兩條弦在圓中位置有兩種情況:隨堂練習P9210駛向勝利的彼岸●OABCD1.兩條弦在圓心的同側●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側垂徑定理的推論圓的兩條平行弦所夾的弧相等.試一試P9311駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我畫一畫如圖,M為⊙O內的一點,利用尺規(guī)作一條弦AB,使AB過點M.并且AM=BM.●O●M試一試P9312駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷：⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.（）⑵平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧.（）⑶經過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（ ）⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.（）⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧.（）試一試P9313駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我畫一畫2.已知：如圖,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點F.圖中相等的線段有:

.圖中相等的劣弧有:

.試一試P9314駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我畫一畫3、已知：如圖，⊙O中，AB為弦，C為AB的中點，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半徑OA.試一試P9315駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我畫一畫4.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F