信號與系統(tǒng)第1-4章復(fù)習題綱

《信號與系統(tǒng)》1-4章復(fù)習提綱緒論（基本概念）線性非時變系統(tǒng)的時域描述信號與線性非時變系統(tǒng)的傅里葉描述混合類型信號中的傅里葉描述的應(yīng)用（頻域）1.1-1.3 基本概念1.4-1.5 信號的分類和基本運算1.6、1.11 基本信號1.7-1.8 系統(tǒng)1.9-1.10 噪聲及主題范例

第一章緒論2.1信號的時域描述與分解2.2-2.8沖激響應(yīng)描述法卷積和、卷積積分LTI系統(tǒng)的互聯(lián)：滿足交換、分配、結(jié)合律不同特性的LTI系統(tǒng)：對應(yīng)沖激響應(yīng)的表征2.9-2.11常系數(shù)線性微分方程描述法第二章線性非時變（LTI）系統(tǒng)的時域描述3.1-3.2 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)：頻率響應(yīng)3.3-3.8 4種信號的傅里葉描述及對比3.9-3.18 傅里葉表示的特性（只考FT的情況、不考3.13/3.18節(jié)）4.1 引言4.2-4.4 建立4種信號的FT表示4.5-4.7 信號分析的基本原理：抽樣及重構(gòu)（只考連續(xù)時間信號與離散時間信號之間的處理）第四章混合類型信號中傅里葉描述的應(yīng)用第三章信號與線性非時變系統(tǒng)的傅里葉描述1.1-1.3基本概念信號：是信息的載體，即信息的表現(xiàn)形式。通過信號傳遞和處理信息，傳達某種物理現(xiàn)象（事件）特性的一個函數(shù)。 系統(tǒng)：由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。系統(tǒng)依賴于信號來表現(xiàn)，而系統(tǒng)對信號有選擇做出的反應(yīng)。本課程主要討論以時間為自變量的一維單值函數(shù)信號。信號可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，但自變量一般總是實數(shù)。第一章緒論1.4信號的分類通常把信號分為五種：1、連續(xù)信號與離散信號2、偶信號和奇信號3、周期信號與非周期信號4、確定信號與隨機信號5、能量信號與功率信號——噪聲是一種典型的隨機信號。連續(xù)/離散時間信號能量、平均功率的定義；能量信號的平均功率為零，功率信號的能量為無窮大。1.5信號的基本運算一、對因變量進行的運算1、幅度變換（幅度壓擴）：2、加法：同一時刻的兩個信號的疊加運算。3、乘法：同一時刻兩個信號的乘積。4、微分（差分）：5、積分（求和）：1.5信號的基本運算——對自變量的運算二、對自變量進行的基本運算（線性）1、時間坐標的變換（時間壓擴）2、反折3、時移運算（考慮a,k>1、0<a,k<1、的兩種情況）

（注：當k>1時會丟失信息）自變量線性變換的順序：先時間平移，后時間變換做縮放。對離散信號做自變量線性變換會產(chǎn)生信息的丟失！。指數(shù)信號正弦信號：滿足周期信號的條件正弦信號與復(fù)指數(shù)信號的關(guān)系指數(shù)衰減的正弦信號階躍信號沖激信號斜升信號1.6基本（典型）信號矩形脈沖信號：1.6基本（典型）信號——沖激（impulse）信號6.單位沖激（impulse）信號看做單位面積矩形脈沖的極限擴展：任意寬度為Δ、面積為1，且為時間t的偶函數(shù)脈沖的極限：——持續(xù)時間極短、幅度極大的實際信號的數(shù)學近似。（3）時間變換特性：（1）時間t的偶函數(shù)：（2）篩選特性（取樣性）：性質(zhì)沖激信號的導(dǎo)數(shù)、積分沖激偶：即單位沖激信號的一階導(dǎo)數(shù)，包含一對沖激信號，一個位于t=0-處，強度正無窮大；另一個位于t=0+處，強度負無窮大。1.7系統(tǒng)的數(shù)學化描述1.7系統(tǒng)的數(shù)學表示一、系統(tǒng)與算符系統(tǒng)H輸入信號輸出信號二、系統(tǒng)分析和系統(tǒng)綜合的基本思想根據(jù)工程實際應(yīng)用，對系統(tǒng)建立數(shù)學模型，通常表現(xiàn)為描述輸入-輸出關(guān)系的方程。建立求解這些數(shù)學模型的方法。各類系統(tǒng)大多數(shù)都可以分解為若干簡單系統(tǒng)的組合，通過對簡單系統(tǒng)（子系統(tǒng)）的分析，并通過系統(tǒng)互聯(lián)而達到分析復(fù)雜系統(tǒng)的目的。三、系統(tǒng)的互聯(lián)1、級聯(lián)ⅡⅠ2、并聯(lián)ⅡⅠ3、級聯(lián)、并聯(lián)混合4、反饋聯(lián)結(jié)ⅡⅠ-ⅡⅠⅢⅣ1.8系統(tǒng)的特性1.8系統(tǒng)的特性系統(tǒng)具有六個方面的特性：1、穩(wěn)定性（P46）2、記憶性（P49）3、因果性（P50）4、可逆性（P51）5、時變性與非時變性（P52）6、線性性（P54）——BIBO意義下的穩(wěn)定系統(tǒng)1.8.2系統(tǒng)的記憶性（P49）記憶系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸出取決于過去或?qū)淼妮斎?。非記憶系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸出只取決于現(xiàn)在的輸入有關(guān)，而與現(xiàn)時刻以外的輸入無關(guān)。*記憶延伸的廣度問題系統(tǒng)的因果性決定了系統(tǒng)的實時性：因果系統(tǒng)可以實時方式工作，而非因果系統(tǒng)不能以實時方式工作.1.8.3系統(tǒng)的因果性（P50）因果系統(tǒng)：輸出只取決于現(xiàn)在或過去的輸入信號，而與未來的輸入無關(guān)。非因果系統(tǒng)：輸出與未來的輸入信號相關(guān)聯(lián)。1.8.4系統(tǒng)的可逆性（P51）可逆系統(tǒng)：可以從輸出信號復(fù)原輸入信號的系統(tǒng)。不可逆系統(tǒng)：對兩個或者兩個以上不同的輸入信號能產(chǎn)生相同的輸出的系統(tǒng)。可逆系統(tǒng)對任何不同的輸入都必須產(chǎn)生不同的輸出，即輸入與輸出必須是一一對應(yīng)的。H系統(tǒng)Hinv逆系統(tǒng)、逆算符1.8系統(tǒng)的特性1.8系統(tǒng)的特性如果一個系統(tǒng)當輸入信號僅發(fā)生時移時，輸出信號也只產(chǎn)生同樣的時移，除此之外，輸出響應(yīng)無任何其他變化，則稱該系統(tǒng)為非時變系統(tǒng)；即非時變系統(tǒng)的特性不隨時間而改變，否則稱其為時變系統(tǒng)。1.8.5系統(tǒng)的時變性（P51）對于系統(tǒng)：對于任意輸入信號，若發(fā)生時移：1）系統(tǒng)對已時移的輸入信號的輸出響應(yīng)：2）系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生時移：非時變系統(tǒng)1.8系統(tǒng)的特性檢驗一個系統(tǒng)時不變性的步驟：令輸入為，根據(jù)系統(tǒng)的描述，確定此時的輸出。將輸入信號變?yōu)?，再根?jù)系統(tǒng)的描述確定輸出。令，根據(jù)自變量變換，檢驗是否等于。HSt。HSt。1.8系統(tǒng)的特性1.8系統(tǒng)的特性1.8.5系統(tǒng)的線性性（P54）同時滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。18第二章線性非時變系統(tǒng)的時域描述

（LTIsystem：lineartime-invariantsystem）2.1 信號的時域描述與分解2.2-2.8 沖激響應(yīng)描述法卷積和、卷積積分LTI系統(tǒng)的互聯(lián)：滿足交換、分配、結(jié)合律不同特性的LTI系統(tǒng)：對應(yīng)沖激響應(yīng)的表征2.9-2.11 常系數(shù)線性微分或差分方程描述法完全響應(yīng)=自然響應(yīng)+強迫響應(yīng)（只考常系數(shù)微分方程）2.12 方框圖表示（與輸入-輸出方程的對應(yīng)）2.13 狀態(tài)變量描述（狀態(tài)方程+輸出方程）1、四種描述方法:利用沖激響應(yīng)進行描述：輸入信號分解為時移單位沖激信號（序列）的加權(quán)疊加，輸出信號是時移的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的加權(quán)疊加。常系數(shù)線性微分方程或差分方程描述LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系；方框圖法：由乘法器、加法器和延遲器等基本運算單元來描述系統(tǒng)內(nèi)部是如何組織并按次序的對輸入信號進行運算。狀態(tài)變量描述法從不同的角度描述同一個LTI系統(tǒng)——可系統(tǒng)研究和設(shè)計系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)外部法2.1信號的時域描述與分解202、信號的分解——基本思想信號與系統(tǒng)分析的基本理論和方法對于一個線性系統(tǒng)，若可以把任意輸入信號分解成若干個基本信號的線性組合，只要得到該系統(tǒng)對每一個基本信號的響應(yīng)，就可以根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)基表示為系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)的線性組合。

LTI系統(tǒng)：滿足線性特性（齊次性、疊加性），非時變性。More，這種分析方法也可擴展至頻域或其他變換域。21§2.2-2.5LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)描述—非時變性—卷積和線性性2、任意離散時間信號1、LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)—卷積積分3、任意連續(xù)時間信號§2.6LTI系統(tǒng)的互聯(lián)—卷積和、卷積積分的性質(zhì)1、LTI系統(tǒng)的并聯(lián)——分配性+一個互聯(lián)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與組成這個互聯(lián)系統(tǒng)的各LTI子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)之間的關(guān)系。2、LTI系統(tǒng)的級聯(lián)——交換性、結(jié)合律離散時間LTI系統(tǒng)及其卷積和滿足類似關(guān)系?！?.7不同特性LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)表征1、無記憶LTI系統(tǒng)：其輸出只與現(xiàn)在的輸入信號有關(guān)。充要條件2、因果LTI系統(tǒng)：其輸出只與過去和現(xiàn)在的輸入信號有關(guān)。實際意義：輸入為單位沖激信號時，因果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)不可能在零時刻之前出現(xiàn)。離散： 連續(xù)：若只關(guān)心沖激響應(yīng)的形式時，可得：243、有界輸入有界輸出（BIBO）意義下的穩(wěn)定系統(tǒng)，滿足：4、可逆LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)滿足：§2.8階躍響應(yīng)§2.9-2.11LTI系統(tǒng)的微分方程描述ak和bk是與時間無關(guān)的常系數(shù)N是方程的階數(shù)1、連續(xù)時間系統(tǒng)，常系數(shù)線性微分方程描述：1）建立微分方程2、常系數(shù)線性微分方程解的形式和求解步驟2）求方程的齊次解3）求給定輸入情況下的特解4）求方程的通解5）求自然響應(yīng)——滿足初始條件的齊次解6）求強迫響應(yīng)——初始條件為零的通解7）求完全響應(yīng)——滿足初始條件的通解求解的核心，是將求解微分方程化為求解代數(shù)方程！3、初始條件-自然響應(yīng)（齊次方程、齊次解）初始條件：指系統(tǒng)在過去的輸出信息，它隱含了會影響未來輸出的、關(guān)于系統(tǒng)過去歷史的全部信息，代表了系統(tǒng)對過去的“記憶”。一般來說，確定輸出所需的初始條件的數(shù)目等于方程的階數(shù)。在零輸入（即與輸入信號直接有關(guān)的變化均為零）的前提下，由系統(tǒng)的非零初始條件（即某一時刻該方程的狀態(tài)）所決定的解，稱為滿足初始條件的齊次解；此時方程所對應(yīng)的系統(tǒng)輸出信號稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)，描述系統(tǒng)中由非零初值條件所代表的儲能或過去存儲值耗散的方式。齊次解：代表滿足齊次方程的系統(tǒng)的各種可能的狀態(tài)！

§2.10微分和差分方程的求解方法當與輸入信號直接有關(guān)的變化不全為零時，該方程稱為非齊次方程，滿足非齊次方程的解可能不止一個。其中，對于給定輸入的、滿足非齊次方程的任意一個解稱為其特解。4、初始條件為零、給定輸入——強迫響應(yīng)（非齊次方程及特解）當系統(tǒng)的初始條件為零（即自然響應(yīng)為零）時，只由輸入信號引起的系統(tǒng)響應(yīng)，稱為強迫響應(yīng)，即描述當系統(tǒng)處于零狀態(tài)時受輸入信號“推動”的結(jié)果。——滿足初始條件為零的完全解。§2.10微分和差分方程的求解方法在給定輸入信號后，任何時候都能夠滿足微分或差分方程的解，稱為常系數(shù)線性微分方程或差分方程的通解。滿足初始條件的非齊次方程的通解是完全解，完全解所對應(yīng)的系統(tǒng)的輸出信號就是完全響應(yīng)。5、非齊次方程的通解、完全解與完全響應(yīng)非齊次常系數(shù)線性微分方程或差分方程的通解，由其齊次解和一個特解完全確定。完全響應(yīng)就是自然響應(yīng)與強迫響應(yīng)的疊加。29第三章信號與線性非時變系統(tǒng)的傅里葉描述3.1-3.2 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)：頻率響應(yīng)3.3-3.8 4種信號的傅里葉描述及對比建立概念：傅里葉變換與傅里葉逆變換4種信號的計算方法與應(yīng)用3.9-3.18 傅里葉描述的特性（只考FT的情況、不考3.13/3.18節(jié)）30§3.1-3.2復(fù)正弦信號及LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)輸入信號：輸出信號：LTI系統(tǒng)對頻率ω的復(fù)正弦輸入信號的頻率響應(yīng)：正弦響應(yīng)復(fù)正弦函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)；其對應(yīng)的特征值只是頻率的函數(shù)。相關(guān)概念：頻率響應(yīng)函數(shù)、頻譜、幅度響應(yīng)、相位響應(yīng)31§3.2正弦信號、復(fù)指數(shù)信號及LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)LTI系統(tǒng)對表征為特征函數(shù)線性組合的輸入信號的響應(yīng)輸出信號：輸入信號：M個復(fù)正弦特征函數(shù)的加權(quán)和（線性組合）1）輸出信號也是M個復(fù)指數(shù)特征函數(shù)的加權(quán)和；2）卷積運算變成了輸入權(quán)重與頻率響應(yīng)的乘積運算；3）輸入與輸出權(quán)重：信號由時域表示轉(zhuǎn)換為頻域表示；

與每個頻率的復(fù)正弦信號相聯(lián)系的權(quán)重表示該頻率的正弦信號對整個信號的貢獻。特點：32§3.3-3.8四種信號的傅里葉表示一、從傅里葉分析的角度，信號可分為4種類型連續(xù)時間周期信號離散時間周期信號連續(xù)時間非周期信號離散時間非周期信號—傅里葉變換（Fouriertransform,

FT）—離散時間傅里葉變換（discrete-timeFouriertransform,DTFT）——傅里葉級數(shù)（Fourierseries,FS）——離散時間傅里葉級數(shù)（discrete-timeFourierseries,DTFS）傅里葉分析：利用復(fù)正弦信號，通過傅里葉級數(shù)及傅里葉變換，分析信號與系統(tǒng)在頻域范圍內(nèi)性質(zhì)的方法。33§3.3四種信號的傅里葉表示狄里赫利（Dirichlet）條件：1、信號是有界且單值的；2、任何區(qū)間內(nèi)絕對可積（或絕對可和）；3、信號在任何有限區(qū)間內(nèi)只有有限個極大值和極小值；4、信號在任何有限區(qū)間內(nèi)只有有限個不連續(xù)點。二、

傅里葉分析：信號所需滿足的條件狄里赫利條件是充分條件，但不是必要條件。即：滿足狄里赫利條件就一定可以用傅里葉分析方法對信號進行分析；有一些不滿足狄里赫利條件的信號，也還是可以用傅里葉分析方法分析—例如沖激信號。34三、四種信號傅里葉表示的總結(jié)（P235，§3.8）一個域中為連續(xù)的表示，在另一個域中就是非周期性的表示;一個域中為離散的表示，在另一個域中就是周期性的表示。35連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)時域—頻域連續(xù)、周期—離散、非周期離散周期信號的傅里葉級數(shù)時域—頻域離散、周期—離散、周期離散非周期信號的傅里葉變換時域—頻域離散、非周期—連續(xù)、周期連續(xù)非周期信號的傅里葉變換時域—頻域連續(xù)、非周期—連續(xù)、非周期

四種信號傅里葉表示的特性：時域、頻域?qū)Ρ葧r域采樣時域采樣頻域采樣頻域采樣課上例題：4種信號的時、頻域變換計算與應(yīng)用364、頻移性3、

時移性小結(jié)：頻移與時移兩種特性是對偶關(guān)系：一個域內(nèi)的移動，對應(yīng)于另一個域內(nèi)乘以一個復(fù)正弦函數(shù)。1、線性特性2、對稱特性時域?qū)嵭盘枺侯l域?qū)嵅浚ǚ茸V）偶、虛部（相位譜）奇頻域?qū)嵅浚ǚ茸V）奇、虛部（相位譜）時域虛信號：時域?qū)嵟夹盘枴l域?qū)嵟肌r域?qū)嵠嫘盘枴l域虛奇——4種信號及對應(yīng)的傅里葉表示均滿足上述特性（表3.4）§3.9-3.18傅里葉描述的特性（只考FT的情況）375、微分和積分特性——適用于連續(xù)變量函數(shù)的運算1）時域微分：適用于連續(xù)時間信號（FT,FS）非周期信號——消除零頻分量增強高頻成分2）頻域微分：適用于連續(xù)頻譜分布信號（FT，DTFT）連續(xù)時間信號：3）積分：適用于FT和FS的時域、FT和DTFT的頻域

時域積分——僅適用于時間均值為0的信號擴展：加入沖激解決0頻處對應(yīng)的FT，不影響高頻成分386、時域的卷積特性時域非周期信號——可變換為頻域傅里葉表示的乘積。——提供了對LTI系統(tǒng)進行頻域分析的理論基礎(chǔ)，可用于求系統(tǒng)輸入-輸出關(guān)系的頻率響應(yīng)、頻域濾波效應(yīng)。——經(jīng)常用于信號的分析和處理情況中。7、時域的相乘特性連續(xù)時間非周期信號：——可變換為頻域傅里葉表示的卷積?！l域非周期卷積——可用于研究調(diào)制信號對載波信號頻域特性的影響。398、尺度變換（時—頻壓擴）特性——時域信號的尺度變換，引起頻域表示的尺度反變換，同時引起幅度的變化。連續(xù)時間非周期信號：——時間翻轉(zhuǎn)性9、時寬-帶寬乘積——信號的時寬與頻寬之間存在倒數(shù)關(guān)系。——利用尺度變換特性解釋：信號在時域上的壓縮導(dǎo)致頻域上的擴展，反之亦然。信號帶寬的定義

不定性原理：不可能同時減小信號的持續(xù)時間和帶寬。4010、帕斯瓦爾(Parseval)關(guān)系——各類信號的能量或功率在時域與頻域中是守恒的。連續(xù)時間非周期信號（FT）的能量能量譜11、對偶特性——信號的時域和頻域表示之間的對稱性。一個域的卷積運算?另一個域的乘積運算；一個域的微分?另一個域內(nèi)乘以一個獨立變量；信號的時寬與頻寬之間存在倒數(shù)關(guān)系；信號在時、頻兩域中對應(yīng)函數(shù)形式的對稱性；414種信號的FT表示，為各類信號的綜合及運算提供前提；如何用連續(xù)時間信號的離散時間樣本來表示原始連續(xù)時間信號——采樣定理；（防止“頻譜混疊”）如何從離散時間樣本不失真地重構(gòu)原始連續(xù)時間信號理想重構(gòu)：理想帶限插值法實際重構(gòu)：零階保持+反像濾波器第四章混合類型信號中傅里葉描述的應(yīng)用42§4.2周期信號的傅里葉變換4.2.1FT與FS的關(guān)系FS連續(xù)時域周期信號FT4.2.2DTFT與DTFS的關(guān)系離散時域周期信號DTFSDTFT利用頻移的沖激序列的加權(quán)疊加，實現(xiàn)周期信號頻域表示：傅里葉級數(shù)（離散頻譜）→傅里葉變換（連續(xù)頻譜）。43§4.3周期與非周期混合信號的卷積及相乘——解決周期與非周期混合信號（運算）問題：連續(xù)時域信號統(tǒng)一利用FT分析；離散時域信號統(tǒng)一利用DTFT分析。4.3.1

周期與非周期信號的卷積1、連續(xù)時域信號應(yīng)用：利用沖激響應(yīng)h(t)?H(jω)實現(xiàn)頻譜濾波。2、離散時域信號：444.3.2

周期與非周期信號的相乘1、連續(xù)時域信號——FT對應(yīng)頻譜：是由G(jω)的頻移模式的加權(quán)和所構(gòu)成連續(xù)頻譜；各頻移模式的頻移量為kω0

，權(quán)重為X[k]。2、離散時域信號——DTFT對應(yīng)頻譜：是由的頻移模式的加權(quán)和構(gòu)成;各頻移模式的頻移量為kΩ0