4自動(dòng)控制原理

會(huì)計(jì)學(xué)14自動(dòng)控制原理本章主要內(nèi)容本章闡述了控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法。包括根軌跡的基本概念、繪制系統(tǒng)根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,參量根軌跡和零度根軌跡的概念和繪制方法，以及利用根軌跡如何分析計(jì)算控制系統(tǒng)的性能（穩(wěn)定性、暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)等）。本章重點(diǎn)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容,應(yīng)重點(diǎn)掌握根軌跡的基本概念、繪制根軌跡的條件、系統(tǒng)根軌跡的繪制規(guī)則和利用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性能,參量根軌跡的概念和繪制方法,理解零度根軌跡的基本概念和繪制方法。第1頁(yè)/共69頁(yè)4-1根軌跡的基本概念根軌跡的主要內(nèi)容當(dāng)系統(tǒng)的某一參數(shù)變化時(shí)，利用已知的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，繪制閉環(huán)系統(tǒng)的特征根的軌跡。下面結(jié)合具體的例子來(lái)說(shuō)明什么是根軌跡。控制系統(tǒng)框圖如圖4-1-1所示，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為圖4-1-1控制系統(tǒng)框圖第2頁(yè)/共69頁(yè)將上式化為即為根軌跡所用傳函的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中由式(4-1-2)解得兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：p1=0，

p2=-2畫于圖4-1-2中。由式(4-1-2)求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為(4-1-1)(4-1-2)(4-1-3)第3頁(yè)/共69頁(yè)于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程下面說(shuō)明，當(dāng)k從0→∞，特征根即閉環(huán)極點(diǎn)如何變化。(4-1-4)解得(4-1-5)當(dāng)k=0時(shí)，，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)0<k<1時(shí)，均為負(fù)實(shí)數(shù)，在(-2,0)一段負(fù)實(shí)軸上。當(dāng)k=1時(shí)，，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)重合在一起。當(dāng)1<k<∞時(shí)，兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)變?yōu)橐粚?duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)第4頁(yè)/共69頁(yè)

的實(shí)部不隨k變化，說(shuō)明位于(-1,j0)點(diǎn)且平行于虛軸的直線上。當(dāng)k→∞時(shí)，將趨向于無(wú)限遠(yuǎn)處。圖4-1的控制系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-1-2所示。圖4-1-2二階系統(tǒng)的根軌跡第5頁(yè)/共69頁(yè)根軌跡控制系統(tǒng)的某一參數(shù)由零變化到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在[s]平面上形成的軌跡。繪制根軌跡依據(jù)的條件設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s),其中G(s)為控制系統(tǒng)前向通路傳遞函數(shù)，H(s)是控制系統(tǒng)主反饋通路的傳遞函數(shù)，則負(fù)反饋系統(tǒng)的特征方程為(4-1-6)(4-1-7)將上式改寫成第6頁(yè)/共69頁(yè)幅值條件相角條件(4-1-8)(4-1-9)(4-1-10)第7頁(yè)/共69頁(yè)4-2根軌跡的繪制規(guī)則繪制根軌跡時(shí)，需將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)化為用極點(diǎn)、零點(diǎn)表示的標(biāo)準(zhǔn)形式，即(4-2-1)式中為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)第8頁(yè)/共69頁(yè)k稱為根軌跡增益或根軌跡放大倍數(shù)。設(shè)系統(tǒng)為v型，即有s=0的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，將式(4-2-1)改寫為(4-2-2)第9頁(yè)/共69頁(yè)為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)。-式中無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)時(shí)取根軌跡的分支數(shù)規(guī)則一

根軌跡在[s]平面上的分支數(shù)等于控制系統(tǒng)特征方程式的階次，即等于閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)目，亦等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。根軌跡的連續(xù)性與對(duì)稱性規(guī)則二根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的曲線。第10頁(yè)/共69頁(yè)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)是指k=0時(shí)的特征根在[s]平面上的位置，根軌跡的終點(diǎn)是指k→∞時(shí)的特征根在[s]平面上的位置。由式(4-2-3)當(dāng)k=0時(shí)，解得第11頁(yè)/共69頁(yè)此時(shí)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)就是閉環(huán)極點(diǎn)，說(shuō)明根軌跡起于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。將式(4-2-3)改寫為可見(jiàn)，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)是根軌跡的終點(diǎn)。當(dāng)n>m時(shí)，式(4-2-3)改寫為當(dāng)k→∞時(shí)(4-2-4)(4-2-5)第12頁(yè)/共69頁(yè)

可見(jiàn)，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處都是根軌跡的終點(diǎn)。若稱系統(tǒng)有n-m個(gè)無(wú)窮大的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，則系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同了。規(guī)則三

根軌跡起于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)目m小于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目n，則有(n-m)條根軌跡終止于[s]平面無(wú)窮遠(yuǎn)處。根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線就是確定當(dāng)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)目m小于極點(diǎn)數(shù)目n時(shí)，(n-m)條根軌跡沿什么方向趨于[s]平面無(wú)窮遠(yuǎn)處。由式(4-1-7)及式(4-2-1)求得第13頁(yè)/共69頁(yè)圖4-2-1(4-2-6)第14頁(yè)/共69頁(yè)當(dāng)s→∞時(shí)，可以認(rèn)為分子分母中各個(gè)一次因式項(xiàng)相等，即對(duì)于漸近線上的點(diǎn)，有(4-2-7)式中，是實(shí)數(shù)，如圖4-2-1所示。將上式代入式（4-2-6）可得式(4-2-8)就是漸近線應(yīng)滿足的方程。由此式可得(4-2-8)第15頁(yè)/共69頁(yè)有無(wú)數(shù)個(gè)解，但這些解由上式可知實(shí)際上只表示過(guò)點(diǎn)的n-m個(gè)不同位置的直線，因此可認(rèn)為只有n-m個(gè)不同的解。故有下面求σa利用多項(xiàng)式乘法和除法，由式(4-2-6)可得(4-2-9)第16頁(yè)/共69頁(yè)利用二項(xiàng)式定理將入上式左邊展開(kāi)后得可得將式(4-2-8)代入上式可得第17頁(yè)/共69頁(yè)上式兩邊的系數(shù)應(yīng)相等，故有(4-2-10)若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，取第18頁(yè)/共69頁(yè)規(guī)則四

如果控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)目m小于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目n，當(dāng)k→∞時(shí)，伸向無(wú)窮遠(yuǎn)處根軌跡的漸近線共有(n-m)條。這些漸近線在實(shí)軸上交于一點(diǎn)，其坐標(biāo)是而漸近線與實(shí)軸正方向的夾角是第19頁(yè)/共69頁(yè)實(shí)軸上的根軌跡設(shè)其中是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)在[s]平面上的位置。如圖(4-2-2)所示第20頁(yè)/共69頁(yè)圖4-2-2確定實(shí)軸上的根軌跡第21頁(yè)/共69頁(yè)說(shuō)明s2不是根軌跡上的點(diǎn)。說(shuō)明s1是根軌跡上的點(diǎn)。其次，在(-∞，z1)中間取試驗(yàn)點(diǎn)s2，則有在[s]平面實(shí)軸上取試驗(yàn)點(diǎn)，用相角條件檢查該試驗(yàn)點(diǎn)是不是根軌跡上的點(diǎn)。首先在z1、p3之間選試驗(yàn)點(diǎn)s1，則有第22頁(yè)/共69頁(yè)規(guī)則五

實(shí)軸上的根軌跡只能是那些在其右側(cè)開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)、實(shí)數(shù)零點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)的線段。共軛復(fù)數(shù)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)對(duì)確定實(shí)軸上的根軌跡無(wú)影響。圖4-2-3分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)第23頁(yè)/共69頁(yè)特征方程為圖4-2-3的根軌跡中的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。顯然分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)是特征方程的實(shí)數(shù)重根。設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為(4-2-11)其中，(4-2-12)第24頁(yè)/共69頁(yè)設(shè)特征方程有2重根，則有式中，p(s)是s的n-2次多項(xiàng)式所以重根及分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)滿足下述方程(4-2-13)及(4-2-14)第25頁(yè)/共69頁(yè)由式(4-2-12)得k=-D(s)/N(s)，代入式(4-2-14)得規(guī)則六

根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足方程(4-2-13)或(4-2-15)。(4-2-15)例4-2-1

已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。第26頁(yè)/共69頁(yè)解

令s(s+1)(s+2)=0，解得三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)1）根軌跡分支數(shù)等于3。2）三條根軌跡的起點(diǎn)分別為：(0,j0)、(-1,j0)、(-2,j0)，終點(diǎn)均為無(wú)窮遠(yuǎn)處。3）根軌跡的漸近線：由于n=3,m=0，所以該系統(tǒng)的根軌跡共有三條漸近線，它們?cè)趯?shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)是第27頁(yè)/共69頁(yè)漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是4）實(shí)軸上的根軌跡：(-∞，-2]段及[-1，0]段。5）根軌跡與實(shí)軸的分離點(diǎn)坐標(biāo)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為第28頁(yè)/共69頁(yè)由前邊分析得知，

不是根軌跡上的點(diǎn)，故舍去。是根軌跡與實(shí)軸分離點(diǎn)坐標(biāo)。最后畫出根軌跡如圖4-2-4所示。第29頁(yè)/共69頁(yè)圖4-2-4例4-2-1的跟軌跡圖第30頁(yè)/共69頁(yè)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)規(guī)則七根軌跡與虛軸相交，說(shuō)明控制系統(tǒng)有位于虛軸上的閉環(huán)極點(diǎn)，即特征方程含有純虛根，將s=jω代入特征方程式(4-1-6)中，得到或(4-2-16)將上式分為實(shí)部、虛部?jī)蓚€(gè)方程，即(4-2-17)第31頁(yè)/共69頁(yè)解式(4-2-17)兩個(gè)方程，可以求得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)ω值及與交點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的參數(shù)k的臨界值。例4-2-2求例4-2-1系統(tǒng)根軌跡與虛軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及參數(shù)臨界值解控制系統(tǒng)的特征方程是令s=jω，代入上式，得寫出實(shí)部和虛部方程第32頁(yè)/共69頁(yè)求得參數(shù)k的臨界值kc=6。當(dāng)k>kc時(shí)，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。由虛部方程解得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為代入實(shí)部方程，第33頁(yè)/共69頁(yè)根軌跡的出射角與入射角出射角根軌跡離開(kāi)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，如圖4-2-5中的。入射角根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，如圖4-2-5中的第34頁(yè)/共69頁(yè)圖4-2-5根軌跡的出射角與入射角第35頁(yè)/共69頁(yè)圖4-2-6出射角的求取第36頁(yè)/共69頁(yè)因?yàn)橄旅嬉詧D4-2-6所示開(kāi)環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)分布為例，說(shuō)明如何求取出射角。在圖4-2-6所示的根軌跡上取一試驗(yàn)點(diǎn)S1，使S1無(wú)限地靠近開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1，即認(rèn)為這時(shí)依據(jù)相角條件由上式求得出射角為第37頁(yè)/共69頁(yè)推向一般，計(jì)算根軌跡出射角的一般表達(dá)式為同理可求出根軌跡入射角的計(jì)算公式為(4-2-18)(4-2-19)

規(guī)則八始于開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的根軌跡的出射角按式(4-2-18)計(jì)算，止于開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的根軌跡的入射角按式(4-2-19)計(jì)算。第38頁(yè)/共69頁(yè)例4-2-3已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為1)根軌跡的分支數(shù)等于2；2)二條根軌跡起點(diǎn)分別是。終點(diǎn)是z1即無(wú)窮遠(yuǎn)處；3)根軌跡的漸近線：因?yàn)閚=2，m=1，所以只有一條漸近線，是負(fù)實(shí)軸；4)實(shí)軸上的根軌跡：(-∞，-1];試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。解令令s+1=0，解得z1=-1第39頁(yè)/共69頁(yè)5)根軌跡與實(shí)軸會(huì)合點(diǎn)坐標(biāo)解得不是根軌跡上的點(diǎn)，故舍去，是根軌跡與實(shí)軸的會(huì)合點(diǎn)。6)求出射角第40頁(yè)/共69頁(yè)最后畫出根軌跡圖，如圖4-2-7所示。圖4-2-7例4-2-3系統(tǒng)根軌跡圖第41頁(yè)/共69頁(yè)例4-2-4負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。解由已知的G(s)H(s)1)漸近線分支數(shù)等于4。2)四條根軌跡分別是p1、p2、p3、p4，終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。3)根軌跡的漸近線：根軌跡有四條漸近線，它們?cè)趯?shí)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)是第42頁(yè)/共69頁(yè)

漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是第43頁(yè)/共69頁(yè)解得：，這是起源于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的兩條根軌跡脫離實(shí)軸時(shí)的分離點(diǎn)坐標(biāo)。4)實(shí)軸上的根軌跡：(-2.73,0)。5)根軌跡與實(shí)軸的分離點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)式(4-2-15)6)根軌跡的出射角。根據(jù)式(4-2-18)可求得出射角第44頁(yè)/共69頁(yè)7)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。起源于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p2、p3的兩條根軌跡與虛軸相交，其交點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)式(4-2-17)求得的實(shí)部方程與虛部方程進(jìn)行計(jì)算，即由虛部方程解得第45頁(yè)/共69頁(yè)將ω=1.07代入實(shí)部方程求得參數(shù)k的臨界值kc=7.23。給定系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，根據(jù)式(4-2-25)可求得該系統(tǒng)的臨界開(kāi)環(huán)放大系數(shù)kvc

最后繪出該系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-2-8所示。8)閉環(huán)極點(diǎn)的和與積。系統(tǒng)的特征方程為求得四個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)之和為第46頁(yè)/共69頁(yè)四個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)之積為已知系統(tǒng)在臨界狀態(tài)時(shí)兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為及kc=7.23利用前邊兩個(gè)關(guān)系式可求得此時(shí)對(duì)應(yīng)的另外兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)s3、s4。第47頁(yè)/共69頁(yè)圖4-2-8例4-2-4系統(tǒng)根軌跡圖第48頁(yè)/共69頁(yè)例4-2-5已知單位負(fù)反饋的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為解將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)化為在根軌跡法中常用的形式用根軌跡分析開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K對(duì)系統(tǒng)性能的影響，并計(jì)算K=5時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。按根軌跡圖分析，K為任意值時(shí)，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。當(dāng)0<K<0.5(1<k<1)時(shí)，系統(tǒng)具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根。第49頁(yè)/共69頁(yè)于是得系統(tǒng)的性能指標(biāo)第50頁(yè)/共69頁(yè)第51頁(yè)/共69頁(yè)圖4-2-9例4-2-5系統(tǒng)的根軌跡第52頁(yè)/共69頁(yè)例4-2-6已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為解系統(tǒng)的特征方程為要求繪制系統(tǒng)的根軌跡，并求其穩(wěn)定臨界狀態(tài)的開(kāi)環(huán)增益。第53頁(yè)/共69頁(yè)漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為第54頁(yè)/共69頁(yè)根軌跡之分離點(diǎn)必須滿足下列方程系統(tǒng)的根軌跡如圖4-2-10所示。系統(tǒng)處于穩(wěn)定臨界狀態(tài)時(shí)的開(kāi)環(huán)增益為第55頁(yè)/共69頁(yè)圖4