三年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)試題競賽專題：第八講行程問題相遇問題(含答案解析)人教版

行程問題（一）知識(shí)概述1、行程問題中的時(shí)間（t）、速度（v）和路程（s）三個(gè)基本量，它們關(guān)系如下：（1）路程=速度×?xí)r間

簡記為：s=v×t（2）時(shí)間=路程÷速度

簡記為：t=s÷v（3）速度=路程÷時(shí)間

簡記為：v=s÷t2、相遇問題的意義：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體（人）分別以一定的速度，從兩地同時(shí)出發(fā)，相向（面對(duì)面）而行，經(jīng)過一段時(shí)間后在途中相遇，這類行程問題叫做“相遇問題”。它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體（人）在相遇時(shí)間內(nèi)共同走完的路程等于它們?cè)瓉硐嗑嗟穆烦獭?、相遇問題的基本量：速度和：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體（人）在單位時(shí)間(秒、分、時(shí))所走的路程和；相遇時(shí)間：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體（人）同時(shí)出發(fā)到相遇所用的時(shí)間；總路程：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體（人）同時(shí)出發(fā)到相遇所走的路程；4、解答相遇問題通用公式：。路程和＝速度和×相遇時(shí)間速度和=路程和÷相遇時(shí)間相遇時(shí)間=路程和÷速度和

行程問題是反映物體勻速運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用題。由于變化較多，而且又紛繁復(fù)雜，所以對(duì)于學(xué)習(xí)者而言，相對(duì)比較難以掌握。在解決行程問題時(shí)，要關(guān)注幾個(gè)要素：時(shí)間、地點(diǎn)、方向、移動(dòng)物體的個(gè)數(shù)和路線。但是歸納起來，不管是怎樣的行程問題，在找清楚對(duì)應(yīng)量后，最終的數(shù)量關(guān)系還是：速度×?xí)r間=路程。名師點(diǎn)題例1

甲、乙兩輛客車同時(shí)從東城開往西城，甲客車每小時(shí)行60千米，4小時(shí)到達(dá)西城，乙客車比甲客車遲1小時(shí)到達(dá)。問：

（1）乙客車的速度是多少？

（2）如果要使乙客車比甲客車提前1小時(shí)到達(dá)西城，那么乙客車的速度應(yīng)是多少？

【解析】

（1）顯然甲和乙走的路程都一樣，而要求乙的速度，就必須知道路程和乙的時(shí)間，

路程=甲的速度×?xí)r間=60×4=240

乙的時(shí)間=甲的時(shí)間1=5小時(shí)

那么：乙的速度=240÷5=48（千米/小時(shí)）

（2）現(xiàn)在乙要比甲快1小時(shí)。也就是3小時(shí)達(dá)到。

那么：乙的速度=240÷3=80（千米/小時(shí)）

例2

龜兔賽跑，烏龜每分鐘爬20米，兔子每分鐘跑300米，全程1500米。兔子自以為能得第一，在途中睡了一覺，結(jié)果烏龜?shù)浇K點(diǎn)時(shí)，兔子還差了300米。兔子睡了幾分鐘？

【解析】

烏龜跑完全程的時(shí)間：1500÷20=75分鐘

兔子離終點(diǎn)還差300米，也就是跑了1200米，用的時(shí)間：1200÷300=4分鐘

那么兔子睡覺的時(shí)間：75-4=71分鐘

例3

小豪和哥哥同時(shí)從家出發(fā)，小豪去離家500米的學(xué)校，哥哥去比學(xué)校遠(yuǎn)280米的圖書館，小豪每分鐘走50米，哥哥每分鐘走60米。問：小豪到學(xué)校后，哥哥還要走幾分鐘到圖書館？

【解析】

畫線段圖來幫助理解。小豪與哥哥走的路程和速度是不一樣，但時(shí)間是同步的。

先看小豪的情況：小豪到校的時(shí)間：500÷50=10分鐘，那么這時(shí)哥哥也走了10分鐘哥哥走了10分鐘的路程=哥哥的速度×10=60×10=600米而學(xué)校圖書館的路程=500280=780米，也就是離圖書館還有：780-600=180米哥哥還需走的時(shí)間：剩余路程÷速度=180÷60=3分鐘【鞏固拓展】1、小明騎自行車到郊外的外婆家，他每小時(shí)騎15千米，原計(jì)劃4小時(shí)可到達(dá)，可路上因?yàn)楦鞣N原因耽誤了，遲到了1小時(shí)才到外婆家。問：小明騎車的速度實(shí)際是多少？【解析】（1）要求騎車的速度，就必須知道路程和時(shí)間，路程=速度×?xí)r間=15×4=60新的時(shí)間=原時(shí)間1=5小時(shí)那么：新的速度=60÷5=12（千米/小時(shí)）2、一輛貨車從甲地經(jīng)乙地到丙地，從甲地到乙地每小時(shí)行40千米，共行了280千米，從乙地到丙地每小時(shí)提速5千米，到達(dá)丙地一共行了12小時(shí)。求甲地到丙地的距離。_丙_乙_甲【解析】280÷40=7小時(shí)

12-7=5小時(shí)（405）×5=225千米總距離：280225=505千米3、一輛貨車從甲城開往乙城每小時(shí)行50千米，預(yù)計(jì)6小時(shí)到達(dá)，行了一半路程，貨車發(fā)生故障，花了1小時(shí)進(jìn)行修理。如果仍要求貨車在預(yù)計(jì)時(shí)間到達(dá)，那么余下的路程貨車每小時(shí)應(yīng)行多少千米？【解析】先求路程=50×6=300千米一半路程是150千米，中路花去了1小時(shí)，也就是要2小時(shí)到達(dá)，所以：余下路程÷剩余時(shí)間=新的速度150÷2=75（千米/小時(shí)）4、甲乙兩車從某日上午7:00整由南京出發(fā)到外地，甲車每小時(shí)行60千米，10小時(shí)到達(dá)外地，乙車每小時(shí)行50千米。如果要讓乙車和甲車同時(shí)到達(dá)，那么乙車要幾時(shí)出發(fā)？【解析】路程=60×10=600所以乙需要的時(shí)間：600÷50=12小時(shí)也就是乙比甲晚了2小時(shí)，要同時(shí)達(dá)到的話必須提前2小時(shí)出發(fā)。也就是5：00點(diǎn)出發(fā)例1

喜羊羊和懶羊羊同時(shí)駕車從甲乙兩城相對(duì)開出，喜羊羊的車每小時(shí)行55千米，懶羊羊的車每小時(shí)行45千米，經(jīng)過3小時(shí)相遇，問甲乙兩城之間相距多少千米？

【解析】畫線段圖喜洋洋懶洋洋相遇問題：路程=速度和×相遇時(shí)間=（5545）×3=300千米【鞏固拓展】甲、乙兩列火車從兩個(gè)車站同時(shí)相向出發(fā)，甲車每小時(shí)行62千米，乙車每小時(shí)行78千米，經(jīng)過2小時(shí)兩車相遇。兩個(gè)車站之間的鐵路長多少千米？【解析】本題是已知速度和時(shí)間求解路程，其中速度為每小時(shí)6278=140（千米），因此，總路程=速度×?xí)r間。解答：（6278）×2=280（千米）答：兩個(gè)車站之間的鐵路長280千米。例2至慧兔每分鐘走60米，迷你貓每分鐘走80米。兩人同時(shí)從家里出發(fā)向?qū)Ψ阶呷ィ?分鐘后兩人相遇。至慧兔家距迷你貓家多少米？還需要走幾分鐘才能達(dá)到迷你貓家？至慧兔迷你貓【解析】畫線段圖展示行走過程，至慧兔到迷你貓家的距離：60×380×3=420米相遇后至慧兔繼續(xù)走，而繼續(xù)走的路程正好是迷你貓相遇前走的路程80×3=240米知道路程后，時(shí)間=240÷6=4（分鐘）【鞏固拓展】甲、乙兩人分別從相距40千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走3千米，乙每小時(shí)走5千米，問：兩人幾小時(shí)后相遇？【解析】出發(fā)時(shí)兩人相距40千米，兩人的速度和為35=8千米/小時(shí)解：路程÷速度和=相遇時(shí)間40÷(35)=5（小時(shí)）答：兩人5小時(shí)后相遇。例3

歡歡、喜喜同時(shí)駕車從相距480千米的兩城相對(duì)開出，經(jīng)過4小時(shí)相遇，歡歡的車每小時(shí)行50千米，喜喜的車每小時(shí)行多少千米？

【解析】

求此類題思路：求其中一個(gè)的速度，必須先求出他們的速度和。

而速度和=路程÷相遇時(shí)間

=480÷4

=120（千米/小時(shí)）喜喜的速度=速度和-歡歡的速度=120-50=70（千米/小時(shí)）【鞏固拓展】熊貓胖胖家距離迷你貓家310米，他們約好兩人某一天要碰頭。這天他們準(zhǔn)備出發(fā)，相向而行。胖胖先行了70米后迷你貓才出發(fā)的。迷你貓出發(fā)3分鐘后兩人相遇了。胖胖每分鐘行30米，迷你貓每分鐘行多少米？【解析】畫線段圖展示此題行走過程解題思路同上題一樣，但熊貓胖胖先走了70，減去這70米的路程才是他們同時(shí)走的路程，滿足相遇問題的條件。速度和=路程÷相遇時(shí)間=（310-70）÷3=80（米/分鐘）迷你貓的速度=速度和-熊貓胖胖的速度=80-30=50（米/分鐘）例4甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離？【解析】“兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇時(shí)間=（甲比乙多走的路程）÷（甲-乙的速度）=（3×2）÷（15-13）=3（小時(shí)）兩地距離=（1513）×3=84（千米）答：兩地距離是84千米?！眷柟掏卣埂啃∶骱托∪A從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。小明步行每分鐘走60米，小華騎自行車每分鐘行190米，當(dāng)他們相遇時(shí)，恰好離中點(diǎn)650米，求甲乙兩地的距離？【解析】如同上題思路相遇時(shí)間=（甲比乙多走的路程）÷（甲-乙的速度）=（650×2）÷（190-60）=1300÷130=10（小時(shí)）兩地距離=（19060）×10=2500（米）答：兩地距離是2500米。例1（走美杯初賽）兩輛汽車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，沿同一條公路行進(jìn)．速度分別為80千米/小時(shí)和60千米/小時(shí)，在距兩地中點(diǎn)30千米的某處相遇．兩地相距（）千米．【解析】兩輛車在中間相遇時(shí)的時(shí)間是：30×2÷（80-60）=3（小時(shí)），那么兩地的距離是：（8060）×3=420（千米）。例2

（中環(huán)杯初賽）

有一條圓形跑道長600米，小明和小林在同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿跑道背向而行。小明每分鐘前行90米，小林每分鐘前行60米。他們幾分鐘第一次相遇，第二次相遇呢？經(jīng)過20分鐘后，兩人相遇了多少次？

【解析】

本題考察的是環(huán)形跑道上的相遇問題。相遇1次的路程為環(huán)形跑道一周的長度。

根據(jù)相遇問題：相遇時(shí)間=總路程÷速度和

相遇1次的時(shí)間：600÷（9060）=4（分鐘）

第2次相遇：如同重新開始背向行走，一樣也是4分鐘相遇。

20分鐘相遇次數(shù)：20÷4=5（次）

答：經(jīng)過20分鐘后，兩人相遇了5次。

例3

（走美杯決賽）

可可、樂樂兩人繞周長240米的湖邊跑步．他們從一棵大樹下同時(shí)出發(fā)背向而行，可可每秒跑4米、樂樂每秒跑5米．他們第3次相遇時(shí)．可可離大樹米．

【解析】

相遇3次，也就是說他們2人一共走了3圈，所以總路程=240×3=720米

那么他們一起走的時(shí)間：720÷（45）=80秒

可可走的路程：80×4=320米

那么可可離大樹：320-240=80米。

例4

（希望杯全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）

王老師每天早上晨練，他第一天跑步1000米，散步1600米，共用25分鐘；第二天跑步2000米，散步800米，共用20分鐘。假設(shè)王老師跑步的速度和散步的速度保持不變。求：王老師散步的速度；

【解析】

觀察第一天與第二天跑步米數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)得到正好是2倍的關(guān)系，

所以我們假設(shè)第二天只運(yùn)動(dòng)了一半的時(shí)間，也就變成了跑步1000米，散步400米，花了10分鐘

和第一天跑步1000米，散步1600米，共用25分鐘比較得出多出來的25-10=15分鐘是因?yàn)槎嗌⒉搅?600-400=1200米。也就是15分鐘散步了1200米。所以散步的速度：1200÷15=80米/分鐘例5甲、乙兩車同時(shí)從A，B兩地相對(duì)開出，甲車速為57千米/小時(shí)，乙車速為69千米/小時(shí)。甲、乙兩車第一次相遇后繼續(xù)前進(jìn)，各自到達(dá)B，A兩地后，立即按原路返回，兩車從開始到第二次相遇共行了4小時(shí)。求A，B兩地相距多少千米？【解析】甲、乙兩車同時(shí)從A，B兩地相對(duì)開出，第一次相遇，兩人行的總路程是一個(gè)AB的距離，繼續(xù)前進(jìn)，到達(dá)B，A兩地后，立即返回再相遇，也就是第二次相遇，甲乙兩車又行的路程增加了兩個(gè)A，B的距離。也就是說從開始到第二次相遇，兩車行的總路程相當(dāng)于三倍的A，B距離。(5769)×4÷3=168（千米）。答：A，B兩地相距168千米。例6

（走美杯決賽）

甲、乙二人同時(shí)分別從A、B兩地出發(fā)，相向勻速而行。甲到達(dá)B地后立即往回走，乙到達(dá)A地后也立即往回走。已知他們第一次相遇在離A，B中點(diǎn)2千米處靠B一側(cè)，第二次相遇在離A地4千米處。A、B兩地相距________千米。

【解析】

第一次相遇：甲、乙合走了1個(gè)全程，甲比乙多走了2×2=4千米,

第二次相遇：從出發(fā)開始算起，甲、乙合走了3個(gè)全程，

第一次相遇：甲走了半個(gè)全程2千米那么第二次相遇：甲應(yīng)該走了3個(gè)“半全程”6千米，而實(shí)際他走了2個(gè)全程-4千米。即4個(gè)“半全程”-4千米。因此

半個(gè)全程長：64=10千米

那么A.B兩地相距10×2=20千米。

1、人民廣場在小明與小亮家之間，一天，小明和小亮約好在人民廣場見面，小明每分鐘走150米，小亮每分鐘走100米，他們同時(shí)從家出發(fā)，出發(fā)10分鐘后還相距500米，則小明和小亮家之間的距離是多少米？

【解析】

兩家距離=兩人所行路程和相距距離

路程和=速度和×同時(shí)走的時(shí)間

=（150100）×10=2500米則總距離=2500500=3000米2、甲、乙兩列貨車從相距450千米的兩地相向開出，甲車每小時(shí)行38千米，乙車每小時(shí)行40千米，同時(shí)行駛4小時(shí)后，還相差多少千米沒有相遇？【解析】(3840)×4=312千米450-312=138千米3、李琳騎自行車、何英騎摩托車分別A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。3小時(shí)后相遇，自行車比摩托車少走120千米。摩托車每小時(shí)行50千米。問：A、B相距多少千米？【解析】3小時(shí)少走了120千米，那么1小時(shí)少走了：120÷3=40千米所以自行車的速度：50-40=10千米/小時(shí)A.B相距：（5010）×3=180千米4、甲、乙兩車同時(shí)從A，B兩地相向而行，在距A地40千米處兩車相遇。相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)對(duì)方出發(fā)地后立即返回，返回途中兩車又在距A地84千米處第二次相遇。求A，B兩地相距多少千米？【解析】只要考慮在第一次相遇時(shí)，也就是在一倍的總路程里，甲車行了40千米，那么在隨后的兩倍的總路程里，應(yīng)該又行了80千米。因此甲車從A到B再掉頭到第二次相遇的地點(diǎn)一共行了120千米。(40×384)÷2＝102(干米)答：A，B兩地相距102千米。5、在周長為400米的環(huán)形跑道的起跑線上，甲、乙兩輛自行車同時(shí)同地出發(fā)背向而行，甲車6米/秒，乙車4米/秒，幾秒后第一次相遇？兩車出