2023年江西省九江市2023年第一次高考模擬統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)含解析

九江市2023年第一次高考模擬統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)試題（理科）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)號(hào)、姓名等項(xiàng)內(nèi)容填寫在答題卡上.2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，第II卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無(wú)效.3.考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第Ⅰ卷（選擇題60分）一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則(A)A. B. C. D.解：，，故選A.2.復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（A）A. B. C. D.解:，虛部為，故選A.3.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為(D)A. B. C. D.解：由約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示.易知目標(biāo)函數(shù)的最大值在處取得，.故選D.4.巴塞爾問(wèn)題是一個(gè)著名的級(jí)數(shù)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題首先由皮耶特羅·門戈利在1644年提出，由\t"/item/%E5%B7%B4%E5%A1%9E%E5%B0%94%E9%97%AE%E9%A2%98/_blank"萊昂哈德·歐拉在1735年解決.歐拉通過(guò)推導(dǎo)得出：.某同學(xué)為了驗(yàn)證歐拉的結(jié)論，設(shè)計(jì)了如右算法計(jì)算的值來(lái)估算，則判斷框填入的是(D)A. B.C. D.解：由程序框圖可知，最后一次進(jìn)入判斷框時(shí)，，執(zhí)行最后一次循環(huán)體，，，輸出sum，故選D.5.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（B）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解：若，，則為遞減數(shù)列.若為遞增數(shù)列，則，，.所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選B.6.已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的球面上.若球的表面積為，則到平面的距離為（B）A. B. C. D.解:，球的半徑，設(shè)的外心為，從而，所求距離，故選B.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，且，，則(A)A. B. C. D.解：由，令得.令，得，，.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，即，曲線關(guān)于直線對(duì)稱.又，圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，的周期.，，.故選A.8.已知雙曲線()，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，若與的面積相等(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則的離心率為（C）A. B. C. D.解:與的面積相等，為的中點(diǎn)，故為等腰直角三角形，,，，即，，，故選C.9.在正方體中，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則與平面所成角的取值范圍為（C）A. B. C. D.解：設(shè)，連接，平面，即為與平面所成角.設(shè)，，，，，故選C.10.已知為單位向量，則向量與夾角的最大值為(A)A. B. C. D.解：設(shè)，則，令，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，向量與夾角的最大值為.故選A.11.為了學(xué)習(xí)、宣傳和踐行黨的二十大精神，某班組織全班學(xué)生開(kāi)展了以“學(xué)黨史、知國(guó)情、圓夢(mèng)想”為主題的黨史暨時(shí)政知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).已知該班男生20人，女生30人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，男生組成績(jī)和女生組成績(jī)的方差分別為.記該班成績(jī)的方差為，則下列判斷正確的是（D） A. B. C. D.解:記男生組成績(jī)和女生組成績(jī)的平均分分別為，則，，,，，，故選D.12.若對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(C)A. B. C. D.解：由已知得：，，.令，則，求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，.,，，由及的圖象可知，恒成立，即成立，而，，故選C.二.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則7.解：依題意得，解得，.14.2022年11月8日，江西省第十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在九江市體育中心公園主體育場(chǎng)開(kāi)幕，這是九江市舉辦的規(guī)模最大、規(guī)格最高的綜合性體育賽事.賽事期間，有3000多名志愿者參加了活動(dòng).現(xiàn)將4名志愿者分配到跳高、跳遠(yuǎn)2個(gè)項(xiàng)目參加志愿服務(wù)活動(dòng)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則“恰好有一個(gè)項(xiàng)目分配了3名志愿者”的概率為.解：.15.已知函數(shù)()的最小正周期為，的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，.若在上存在最大值2，則實(shí)數(shù)的最小值是.解：，，，即，又，，，時(shí)，，畫圖可知：，解得，即.16.已知點(diǎn)分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為.解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，，，即的最小值為.三、解答題:本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知，.(1)求角的值；(2)求邊上高的最大值.解:(1)由，得………1分由正弦定理，得………3分又，………4分即………5分，………6分(2)解法一：設(shè)邊上高為，由余弦定理,得………7分即………8分，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立………10分………11分又，，邊上高的最大值為………12分解法二：設(shè)邊上高為，由正弦定理得，，………7分………8分因?yàn)?，，……?0分，，，………11分又，，邊上高的最大值為………12分18.(本小題滿分12分)如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；DABCHDBFC(2)為線段上一點(diǎn)，若二面角DABCHDBFC解:(1)，，，平面，平面………1分又平面，………2分由直角梯形，，，，，得………3分又，平面，平面………4分又平面，平面平面………5分(2)取的中點(diǎn)，連接，，BDHFCEzyx，，又平面平面，BDHFCEzyx為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，又，………6分故以所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則………7分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，，令，得，，即………9分平面的一個(gè)法向量為………10分，解得或(舍)………11分即為的中點(diǎn)，故線段的長(zhǎng)為………12分19.(本小題滿分12分)飛行棋是一種競(jìng)技游戲，玩家用棋子在圖紙上按線路行棋，通過(guò)擲骰子決定行棋步數(shù).為增加游戲樂(lè)趣，往往在線路格子中設(shè)置一些“前進(jìn)”“后退”等獎(jiǎng)懲環(huán)節(jié)，當(dāng)骰子點(diǎn)數(shù)大于或等于到達(dá)終點(diǎn)的格數(shù)時(shí)，玩家順利通關(guān).已知甲、乙兩名玩家的棋子已經(jīng)接近終點(diǎn)，其位置如圖所示：終點(diǎn)終點(diǎn)后退3步甲乙前進(jìn)1步(1)求甲還需拋擲2次骰子才順利通關(guān)的概率；(2)若甲、乙兩名玩家每人最多再投擲3次，且第3次無(wú)論是否通關(guān)，該玩家游戲結(jié)束.設(shè)甲、乙兩玩家再投擲骰子的次數(shù)為，分別求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)甲第1次拋擲未到達(dá)終點(diǎn)，其點(diǎn)數(shù)應(yīng)小于4………1分若第1次擲出的點(diǎn)數(shù)為1，根據(jù)游戲規(guī)則，棋子前進(jìn)1步后可再前進(jìn)1步，到達(dá)距離終點(diǎn)差2步的格子，第2次擲出的點(diǎn)數(shù)大于1，即可順利通關(guān)，其概率為………2分若第1次擲出的點(diǎn)數(shù)為2，棋子到達(dá)距離終點(diǎn)差2步的格子，第2次擲出的點(diǎn)數(shù)大于1，即可順利通關(guān)，其概率為…………3分若第1次擲出的點(diǎn)數(shù)為3，根據(jù)游戲規(guī)則，棋子到達(dá)距離終點(diǎn)差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，第2次擲出的點(diǎn)數(shù)大于3，可順利通關(guān)，其概率為………4分故甲拋擲2次骰子順利通關(guān)的概率為………5分(2)依題意得……7分………10分123123，………12分20.(本小題滿分12分)MNABPF1F2xNyNON如圖，已知橢圓()的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(非左右頂點(diǎn))，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，MNABPF1F2xNyNON面積的最大值為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，且與的離心率相等，為與異于的交點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，證明：為定值.解:(1)的周長(zhǎng)為，由橢圓的定義得，即………1分又面積的最大值為2，，即………2分，，，解得………3分橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為………4分(2)由(1)可知，，………5分設(shè)，，，點(diǎn)在曲線上，………6分依題意，可設(shè)直線，的斜率分別為，則的方程分別為，，于是………7分聯(lián)立方程組，消去整理，得，，………8分………9分同理可得：………10分，………11分為定值………12分21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)().(1)求證：曲線在處的切線斜率恒大于0；(2)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).解:(1)(),………1分令()，則，，易知在上單調(diào)遞增，且………2分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增………3分，，即曲線在處的切線斜率恒大于0………4分(2)令(),則，顯然在上單調(diào)遞增，由，得………5分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，………6分①當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)………7分②當(dāng)時(shí)，，，，所以存在唯一的，使得，即………8分當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減.是的極大值點(diǎn)………9分又，由(1)知，且當(dāng)時(shí)，，，，，即，，所以存在唯一的，使得，即………10分當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞曾，是的極小值點(diǎn)………11分綜上所述，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).………12分請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.(本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以為極點(diǎn)軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系直線的極坐標(biāo)方程為(為直線的傾斜角).(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；(2)設(shè)，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的最大值.解:(1)由，得………1分由，，得直線的直角坐標(biāo)方程為………2分由(為參數(shù))，兩式相除得………3分，整理得曲線的普通方程為()………4分(2)解法一：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的參數(shù)方程為(為參數(shù))，代入中，得………5分由，得………6分，………7分………8分,，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立………9分故的最大值為………10分解法二：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，………5分由切割線定