《平面向量應(yīng)用舉例》同步練習(xí) 省賽一等獎(jiǎng) 省賽一等獎(jiǎng)

《平面向量應(yīng)用舉例》同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．若向量eq\o(OF1,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)分別表示兩個(gè)力eq\o(F1,\s\up6(→))、eq\o(F2,\s\up6(→))，則|eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→))|為()A．(5,0) B．(－5,0)C．eq\r(5) D．－eq\r(5)[答案]C[解析]∵eq\o(OF1,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)，∴|eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→))|＝eq\r(1－32＋1－22)＝eq\r(5)，故選C．2．在△ABC中，AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則()A．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→)) B．eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(CE,\s\up6(→))共線C．eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線[答案]D[解析]∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，即eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線．3．(2022·濟(jì)南模擬)已知點(diǎn)A(－2,0)，B(0,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2，則點(diǎn)P的軌跡是()A．x2＋y2＝1 B．x2－y2＝1C．y2＝2x D．y2＝－2x[答案]D[解析]eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－y)則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x)(－x)＋y2＝x2，∴y2＝－2x.4．在△ABC中，∠C＝90°，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(k,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,3)，則k的值是()A．5 B．－5C．eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)[答案]A[解析]由題意，得eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．∵∠C＝90°，∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.∴2(2－k)＋3×2＝0.∴k＝5.5．點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，則點(diǎn)O是△ABC的()A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn)D．三條高線的交點(diǎn)[答案]D[解析]由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(OB,\s\up6(→))⊥eq\o(CA,\s\up6(→)).同理可證eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)).∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即點(diǎn)O是△ABC的三條高線的交點(diǎn)．6．兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1、F2，當(dāng)它們的夾角為90°時(shí)，合力大小為20N，當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，合力大小為()A．40N B．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)N D．40eq\r(2)N[答案]B[解析]如圖，以F1、F2為鄰邊作平行四邊形，F(xiàn)為這兩個(gè)力的合力．由題意，易知|F|＝eq\r(2)|F1|，|F|＝20N，∴|F1|＝|F2|＝10eq\r(2)N.當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，以F1、F2為鄰邊作平行四邊形，此平行四邊形為菱形，此時(shí)|F合|＝|F1|＝10eq\r(2)N.二、填空題7．力eq\o(F,\s\up6(→))＝(－1，－2)作用于質(zhì)點(diǎn)P，使P產(chǎn)生的位移為eq\o(s,\s\up6(→))＝(3,4)，則力eq\o(F,\s\up6(→))對質(zhì)點(diǎn)P做功的是________．[答案]－11[解析]∵W＝eq\o(F,\s\up6(→))·eq\o(s,\s\up6(→))＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，則力eq\o(F,\s\up6(→))對質(zhì)點(diǎn)P做的功是－11.8．(浙江高考)若平面向量α、β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β為鄰邊的平行四邊形的面積為eq\f(1,2)，則α與β的夾角θ的取值范圍是____________．[答案][eq\f(π,6)，eq\f(5,6)π][解析]以α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為：S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝eq\f(1,2)，所以sinθ＝eq\f(1,2|β|)，又因?yàn)閨β|≤1，所以eq\f(1,2|β|)≥eq\f(1,2)，即sinθ≥eq\f(1,2)且θ∈[0，π]，所以θ∈[eq\f(π,6)，eq\f(5,6)π]．三、解答題9．在△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中點(diǎn)，用向量法證明CD＝eq\f(1,2)AB．[證明]如圖，設(shè)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，則a與b的夾角為90°，∴a·b＝0.又eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|a＋b|＝eq\f(1,2)eq\r(a＋b2)＝eq\f(1,2)eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\f(1,2)eq\r(|a|2＋|b|2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|b－a|＝eq\r(b－a2)＝eq\r(|b|2－2a·b＋|a|2)＝eq\r(|a|2＋|b|2).∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|.∴CD＝eq\f(1,2)AB．10．已知在靜水中船速為5m/s，且知船速大于水速，河寬為20m，船從A點(diǎn)垂直到達(dá)對岸的B點(diǎn)用的時(shí)間為5s，試用向量法求水流的速度大?。甗解析]設(shè)水流的速度為v水，船在靜水中的速度為v0，船的實(shí)際行駛速度|v|＝eq\f(20,5)＝4(m/s)，則v水＋v0＝v，v0＝v－v水，且v與v水垂直，v·v水＝0，∴25＝|v－v水|2＝|v|2＋|v水|2＝|v水|2＋16∴|v水|＝3，即水流速度為3m/s.能力提升一、選擇題1．(2022·煙臺(tái)模擬)若M為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))·(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))－2eq\o(MA,\s\up6(→)))＝0，則△ABC為()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形[答案]B[解析]由(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))·(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))－2eq\o(MA,\s\up6(→)))＝0，可知eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，故eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(CB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→)).又D為BC中點(diǎn)，故△ABC為等腰三角形．2．(2022·福建文)在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，則該四邊形的面積為()A．eq\r(5) B．2eq\r(5)C．5 D．10[答案]C[解析]本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積、模等．由題意知AC，BD為四邊形對角線，而eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1×(－4)＋2×2＝0∴AC⊥BD．∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)×|eq\o(AC,\s\up6(→))|×|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(12＋22)×eq\r(－42＋22)＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(20)＝5.3．已知點(diǎn)O、N、P在△ABC所在的平面內(nèi)，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則點(diǎn)O、N、P依次是△ABC的()A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心[答案]C[解析]由|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，已知點(diǎn)O為△ABC的外心，由eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，知點(diǎn)N為△ABC的重心；由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，得(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，即eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，故eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→)).同理，AP⊥BC，故P為△ABC的垂心，選C．4．在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝()A．2 B．4C．5 D．10[答案]D[解析]將△ABC各邊及PA，PB，PC均用向量表示，則eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝eq\f(\o(PA,\s\up6(→))2＋\o(PB,\s\up6(→))2,\o(PC,\s\up6(→))2)＝eq\f(\o(PC,\s\up6(→))＋\o(CA,\s\up6(→))2＋\o(PC,\s\up6(→))＋\o(CB,\s\up6(→))2,\o(PC,\s\up6(→))2)＝eq\f(2|\o(PC,\s\up6(→))|2＋2\o(PC,\s\up6(→))·\o(CA,\s\up6(→))＋\o(CB,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))2,|\o(PC,\s\up6(→))|2)＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|2,|\o(PC,\s\up6(→))|2)－6＝42－6＝10.二、填空題5．某人從點(diǎn)O向正東走30m到達(dá)點(diǎn)A，再向正北走30eq\r(3)m到達(dá)點(diǎn)B，則此人的位移的大小是________m，方向是東偏北________．[答案]6060°[解析]如圖所示，此人的位移是eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，則|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(|OA→|2＋|AB→|2)＝60(m)，tan∠BOA＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(OA,\s\up6(→))|)＝eq\r(3).∴∠BOA＝60°.6．(2022·廣東韶關(guān)模擬)作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力F1、F2的夾角為eq\f(2π,3)，且|F1|＝3，|F2|＝5，則F1＋F2的大小為____________．[答案]eq\r(19)[解析]|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝Feq\o\al(2,1)＋2F1·F2＋Feq\o\al(2,2)＝32＋2×3×5×coseq\f(2π,3)＋52＝19，所以|F1＋F2|＝eq\r(19).三、解答題7．如圖所示，已知?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝eq\f(π,3)，求對角線AC和BD的長．[解析]設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，a與b的夾角為θ，則|a|＝3，|b|＝1，θ＝eq\f(π,3).∴a·b＝|a||b|cosθ＝eq\f(3,2).又∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(AC→2)＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(13)，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(DB,\s\up6(→))2)＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(7).∴AC＝eq\r(13)，DB＝eq\r(7).8．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD，延長BE交AC于F，連接DF，求證：∠ADB＝∠FDC．[解析]如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2,0)，C(0,2)，則D(0,1)，于是e