原子的量子理論(修改)

大學(xué)物理電子教案大學(xué)物理教研組編寫(xiě)：李紹新文德華范素芹盧義剛趙純近代物理原子的量子理論本章教學(xué)要求：

理解氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律及玻爾的氫原子理論。了解波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋。了解一維坐標(biāo)動(dòng)量不確定關(guān)系。了解一維定態(tài)薛定諤方程。了解如何用駐波觀點(diǎn)說(shuō)明能量量子化．了解角動(dòng)量量子化及空間量子化。了解施特恩－蓋拉赫實(shí)驗(yàn)及微觀粒子的自旋。了解描述原子中電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的四個(gè)量子數(shù)。了解泡利不相容原理和原子的電子殼層結(jié)構(gòu)。本章重點(diǎn)：氫原子理論,波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋,能量量子化,角動(dòng)量量子化及空間量子化。微觀粒子的自旋。本章難點(diǎn)：薛定諤方程。波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋返回目錄下一頁(yè)上一頁(yè)第二十章原子的量子理論§20.1氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律§20.2玻爾的氫原子理論§20.3量子力學(xué)基本概念薛定諤方程§20.4一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子§20.5氫原子的量子力學(xué)處理§20.6原子的電子殼層結(jié)構(gòu)返回總目錄第二十章原子的量子理論

湯姆孫實(shí)驗(yàn)（1897年，卡文迪許實(shí)驗(yàn)室）：在陽(yáng)極A和陰極K之間加上數(shù)千伏特的電壓，管內(nèi)殘存氣體中的離子高速轟擊陰極K表面，使電子獲得能量從表面逸出。電子動(dòng)能：陰極射線管電子通過(guò)陽(yáng)極后的速度滿足+++++++++++++--------------電子速度選擇器（電場(chǎng)向下，磁場(chǎng)向內(nèi)）-e1897年，J.J.湯姆孫(J.J.Thomson)實(shí)驗(yàn)，電子荷質(zhì)比（電子所帶電量與質(zhì)量之比）的測(cè)定電子通過(guò)狹縫中心的條件：從陰極中發(fā)出的電子經(jīng)電場(chǎng)加速后速度為v電子束打在屏幕中央的條件：電子的荷質(zhì)比：12年后，密立根在油滴實(shí)驗(yàn)中，成功地測(cè)出電子的電荷量，由此可以確定電子的質(zhì)量：電子動(dòng)能：§20.1氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律一、原子結(jié)構(gòu)模型均勻分布正電荷下一頁(yè)上一頁(yè)1897年，J.J.湯姆孫發(fā)現(xiàn)電子（帶負(fù)電）,原子是電中性的，由于原子內(nèi)有電子，原子內(nèi)一定存在帶正電的部分。下一頁(yè)上一頁(yè)盧瑟福為證明老師的原子模型，與蓋-馬做粒子散射實(shí)驗(yàn)。粒子是二次電離的氦原子核，以1/15倍光速運(yùn)動(dòng)。粒子是二次電離的氦原子。以1/15倍的光速高速運(yùn)動(dòng)均勻分布正電荷下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)+在粒子散射實(shí)驗(yàn)中，有少數(shù)粒子能進(jìn)入到離原子核很近的地方，受核的排斥力較大，故他們的散射角較大。盧瑟福（E.Rutherford）

J.J湯姆孫的研究生，他既有才能又刻苦工作，精力充沛又非常自信。1895年，盧瑟福成為卡文笛什實(shí)驗(yàn)室主任。下一頁(yè)上一頁(yè)1908年盧瑟福研究衰變獲諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)，盡管他高興得到諾貝爾獎(jiǎng)，但他不喜歡該獎(jiǎng)是化學(xué)獎(jiǎng)，而不是物理學(xué)獎(jiǎng)。

我觀察到許多由一種物質(zhì)變?yōu)榱硪环N物質(zhì)的嬗變現(xiàn)象，但從來(lái)沒(méi)有看到過(guò)象我這樣變化得這么快，一夜之間由一個(gè)物理學(xué)家轉(zhuǎn)變?yōu)榛瘜W(xué)家。

盧瑟福諾貝爾領(lǐng)獎(jiǎng)演說(shuō)盧瑟福的學(xué)生有14人獲諾貝爾獎(jiǎng)，其中之一玻爾的學(xué)生有7人獲諾貝爾獎(jiǎng)。二、原子光譜規(guī)律性下一頁(yè)上一頁(yè)氫原子光譜下一頁(yè)上一頁(yè)656.28486.13434.05410.17364.56nm1880年發(fā)表的氫原子光譜下一頁(yè)上一頁(yè)1889年，里德伯提出了一個(gè)普遍的方程，將上式中的“22”換成其它整數(shù)k的平方,還可得到其它譜線系.巴爾末公式1）穩(wěn)定問(wèn)題-經(jīng)典理論得出原子是“短命”的經(jīng)典理論：電子繞核運(yùn)動(dòng)是加速運(yùn)動(dòng),必向外輻射能量，電子軌道半徑越來(lái)越小，直到掉到原子核與正電荷中和，這個(gè)過(guò)程時(shí)間<10-12秒，因此不可能有穩(wěn)定的原子存在。2）經(jīng)典理論得出原子光譜是連續(xù)光譜經(jīng)典理論：原子發(fā)光頻率等于電子饒核運(yùn)動(dòng)頻率，因此電磁波頻率r-3/2，由于半徑的連續(xù)變化，必導(dǎo)致產(chǎn)生連續(xù)光譜。三、經(jīng)典理論解釋氫原子光譜的困難下一頁(yè)上一頁(yè)§20.2玻爾的氫原子理論1912年N·Bohr當(dāng)?shù)弥R瑟福從α粒子散射實(shí)驗(yàn)提出了原子的有核模型（太陽(yáng)系模型）后，深感敬佩，也理解該模型遇到的困難。于是來(lái)到盧瑟福的實(shí)驗(yàn)室求學(xué)，并參與α粒子散射實(shí)驗(yàn)工作，他堅(jiān)信盧瑟福原子模型的正確性，認(rèn)為要解決該原子模型的穩(wěn)定問(wèn)題，必須用量子概念對(duì)經(jīng)典物理理論進(jìn)行改造。終于于1913年發(fā)表了《論原子結(jié)構(gòu)和分子結(jié)構(gòu)》等三篇論文。為解決原子的穩(wěn)定問(wèn)題提出了三條假設(shè)，成功地解釋了H原子光譜的規(guī)律。下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)玻爾的三個(gè)假設(shè)下一頁(yè)上一頁(yè)玻爾量子化條件的駐波解釋：德布羅意在1924年認(rèn)為，電子以半徑r作穩(wěn)定的圓軌道運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于電子波在圓周上形成穩(wěn)定的駐波。這里，λ為德布羅意波長(zhǎng)稱為玻爾半徑下一頁(yè)上一頁(yè)說(shuō)明下一頁(yè)上一頁(yè)k=4k=3k=2k=1r=r1r=4r1r=9r1r=16r1賴曼系巴耳末系帕邢系里德伯常數(shù)的理論值：下一頁(yè)上一頁(yè)126534賴曼系巴耳末系帕邢系布喇開(kāi)系En=E1/n2E5=E1/25E4=E1/16E3=E1/9=-1.51eVE2=E1/4=-3.39eVE1=-13.6eV氫原子能級(jí)圖下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)-0.85ev-13.6ev下一頁(yè)上一頁(yè)五、玻爾理論的成功與局限成功：解釋了H光譜，爾后有人推廣到類H原子（）也獲得成功（只要將電量換成Ze）

（Z為原子序數(shù)）。他的定態(tài)躍遷的思想至今仍是正確的。并且它是導(dǎo)致新理論的跳板。1922年獲諾貝爾獎(jiǎng)。局限：1理論不嚴(yán)密，自相矛盾（把經(jīng)典理論與非經(jīng)典理論混雜起來(lái)）2只能解釋H及類H原子的譜線波長(zhǎng)，不能解釋各譜線的相對(duì)強(qiáng)度及禁戒躍遷，也解釋不了原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)。3僅對(duì)單電子原子成功，對(duì)兩個(gè)電子的中性原子的處理糟糕透了。下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)原因：它是半經(jīng)典半量子理論的產(chǎn)物。還應(yīng)用了經(jīng)典物理的軌道和坐標(biāo)的概念因此，玻爾理論稱為舊量子論,它是經(jīng)典理論與量子理論之間的一座橋梁

1924年德布羅意（DeBroglie）提出了波粒二象性，爾后由德國(guó)的薛定諤（Schr¨dinger）與海森伯（Heisenbeng）等建立了量子力學(xué)。o玻爾(N·Bohr)其人：它是盧瑟福的學(xué)生，在其影響下具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，勤奮好學(xué)，平易近人，后來(lái)很多的科學(xué)家都有紛紛來(lái)到他身邊工作。當(dāng)有人問(wèn)他，為什么能吸引那么多科學(xué)家來(lái)到他身邊工作時(shí)，他回答說(shuō)：“因?yàn)槲也慌略谇嗄昝媲氨┞蹲砸训挠薮馈?。這種坦率和實(shí)事求是的態(tài)度是使當(dāng)時(shí)他領(lǐng)導(dǎo)的哥本哈根理論研究所永遠(yuǎn)充滿活力，興旺發(fā)達(dá)的原因。愛(ài)因斯坦評(píng)價(jià)說(shuō)：“作為一個(gè)科學(xué)家和思想家，玻爾具有那么驚人的吸引力，在于他具有大膽和謙遜兩種品德難得的結(jié)合”下一頁(yè)上一頁(yè)1947年丹麥女皇授予玻爾“寶象勛章”，玻爾親自設(shè)計(jì)了以中國(guó)陰陽(yáng)圖（太極圖）為圖案的族徽，銘文是

contrariasuntcomplementa(互斥即互補(bǔ))下一頁(yè)上一頁(yè)§20.3量子力學(xué)基本概念薛定諤方程問(wèn)題下一頁(yè)上一頁(yè)要求：波函數(shù)的頻率和波長(zhǎng)必須遵從德布羅意的物質(zhì)波的關(guān)系式下一頁(yè)上一頁(yè)猜想下一頁(yè)上一頁(yè)猜想下一頁(yè)上一頁(yè)余弦表達(dá)式（a)式是復(fù)數(shù)表達(dá)式(b)式的實(shí)部下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)電子的單縫衍射：1）大量電子的一次性行為：U極大值極小值中間值較多電子到達(dá)較少電子到達(dá)介于二者之間波強(qiáng)度大，大小波強(qiáng)度小，波強(qiáng)介于二者之間粒子的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)下一頁(yè)上一頁(yè)2）讓粒子一個(gè)一個(gè)地通過(guò)單縫較長(zhǎng)時(shí)間以后U極大值極小值中間值較多電子到達(dá)較少電子到達(dá)介于二者之間單個(gè)粒子出現(xiàn)的概率大粒子出現(xiàn)的概率介于二者之間粒子的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)在某處的概率正比于單個(gè)粒子出現(xiàn)的概率小下一頁(yè)上一頁(yè)因積分發(fā)散，自由粒子的波函數(shù)不能用上述的方式歸一。下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)自由粒子的波函數(shù)上式對(duì)x求兩次導(dǎo)數(shù)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)上式為不含時(shí)間因子的自由粒子的波函數(shù)滿足的方程在不考慮相對(duì)論效應(yīng)的條件下下一頁(yè)上一頁(yè)自由粒子的波函數(shù)滿足的方程下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)1926年，歐文·薛定諤在一次學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)上宣布：“我的朋友德拜要求有個(gè)波動(dòng)方程，諾，我找到了一個(gè)?！倍ΧΥ竺难Χㄖ@方程就由此誕生了。當(dāng)時(shí)的物理學(xué)界，紛紛議論薛定諤神秘的波函數(shù)ψ(psi)，年輕的講師許克耳對(duì)大教授頗為不恭地編了一首打油詩(shī)：歐文用他的psi，計(jì)算起來(lái)真靈通；但psi真正代表什么，沒(méi)人能夠說(shuō)的清。問(wèn)題是薛定諤自己也說(shuō)不清，兩年以后，玻恩才給psi一個(gè)統(tǒng)計(jì)解釋,ψ(psi)與粒子的關(guān)系才得以確定。§一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子設(shè)粒子的質(zhì)量為m,其勢(shì)能函數(shù)為:下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)根據(jù)邊界條件，有：也就是說(shuō)，當(dāng)粒子處于無(wú)限深勢(shì)阱中時(shí)，只有當(dāng)能量E滿足上式，取離散值En時(shí)，相應(yīng)的波函數(shù)Ψn(x)才滿足邊界條件，才是物理上可接受的。下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)所以，本征能量（本征值）為：n=1,2,3,…..所以，本征能量（本征值）為：n=1,2,3,…..概率密度為：下一頁(yè)上一頁(yè)討論下一頁(yè)上一頁(yè)狀態(tài)本征能量本征函數(shù)概率密度下一頁(yè)上一頁(yè)從波函數(shù)圖可以看出，勢(shì)阱寬度為德布羅意半波長(zhǎng)的整數(shù)倍。波函數(shù)圖概率密度圖下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)一維方勢(shì)壘勢(shì)能函數(shù)如圖ⅠⅡⅢ

粒子沿方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)粒子可以通過(guò)勢(shì)壘。

當(dāng)，根據(jù)經(jīng)典理論，粒子不可能出現(xiàn)在Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)，但實(shí)驗(yàn)證明粒子能以一定的概率通過(guò)勢(shì)壘Ⅱ區(qū)到達(dá)Ⅲ區(qū),這只能由量子力學(xué)得到解釋?！煲痪S方勢(shì)壘隧道效應(yīng)下一頁(yè)上一頁(yè)設(shè)三個(gè)區(qū)域的波函數(shù)分別為在各區(qū)域薛定諤方程分別為令

為實(shí)數(shù)粒子的能量下一頁(yè)上一頁(yè)ⅠⅡⅢ解為：下一頁(yè)上一頁(yè)從左方入射的粒子，在各區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)圖隧道效應(yīng)，各區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)圖

可以證明，貫穿勢(shì)壘的概率定義為在處透射波的強(qiáng)度與在x=0處入射波的強(qiáng)度之比：貫穿概率與勢(shì)壘寬度與高度有關(guān)。勢(shì)壘寬度a越寬，U0-E越大，透射波的強(qiáng)度越小。下一頁(yè)上一頁(yè)

粒子的總能量雖不足以超越勢(shì)壘,但在勢(shì)壘中似乎有一個(gè)隧道,能使少量粒子穿過(guò)勢(shì)壘而進(jìn)入的區(qū)域,所以人們形象地稱之為隧道效應(yīng)

.隧道效應(yīng)的本質(zhì):

來(lái)源于微觀粒子的波粒二相性.1981年賓尼希和羅雷爾利用電子的隧道效應(yīng)制成了掃描遂穿顯微鏡(STM),可觀測(cè)固體表面原子排列的狀況.1986年賓尼希又研制了原子力顯微鏡.1986年，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的一半授予賓尼希和羅雷爾，另一半授予電子顯微鏡的發(fā)明者魯斯卡。

應(yīng)用

下一頁(yè)上一頁(yè)在聊齋志異中，嶗山道士可以穿墻而過(guò)，也許是量子效應(yīng)。掃描隧道顯微鏡(STM)原理：利用電子的隧道效應(yīng)。金屬表面存在勢(shì)壘，由于隧道效應(yīng)，電子有一定的概率出現(xiàn)在表面外，電子的概率密度隨著與表面距離的增大呈指數(shù)形式衰減。將原子線度的極細(xì)的金屬探針靠近樣品(小于1nm)，針尖和樣品作為兩個(gè)電極，并在它們之間加上微小的電壓Ub，由于它們的表面都有電子逸出，其間就存在隧道電流，隧道電流對(duì)針尖與表面的距離極其敏感，其關(guān)系式為：下一頁(yè)上一頁(yè)掃描隧道顯微鏡(STM)其中，I是隧道電流，Φ是樣品表面勢(shì)壘的高度，s是針尖與樣品表面之間的距離，A是常量。當(dāng)針尖在被測(cè)表面上方恒定高度掃描時(shí)（等高模式），即使固體表面僅有原子尺度的起伏，隧道電流會(huì)有超出10倍的變化。將針尖裝在壓電陶瓷上，控制陶瓷上的電壓以保持隧道電流恒定（穩(wěn)流模式），針尖在掃描時(shí)隨樣品表面起伏上下移動(dòng)，此時(shí)陶瓷上電壓的變化就反映出樣品表面的起伏。下一頁(yè)上一頁(yè)STM還可以用探針尖吸住一個(gè)孤立的原子，把它放到另一個(gè)位置，這是IBM公司在4K溫度下用48個(gè)Fe原子制作的“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波。

STM的橫向分辨率已達(dá)，縱向分辨達(dá),STM的出現(xiàn)，使人類第一次能夠適時(shí)地觀察單個(gè)原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及表面電子行為有關(guān)性質(zhì)。下一頁(yè)上一頁(yè)1926年，歐文·薛定諤在一次學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)上宣布：“我的朋友德拜要求有個(gè)波動(dòng)方程，諾，我找到了一個(gè)?！倍ΧΥ竺难Χㄖ@方程就由此誕生了。當(dāng)時(shí)的物理學(xué)界，紛紛議論薛定諤神秘的波函數(shù)ψ(psi)，年輕的講師許克耳對(duì)大教授頗為不恭地編了一首打油詩(shī)：歐文用他的psi（ψ），計(jì)算起來(lái)真靈通；但psi真正代表什么，沒(méi)人能夠說(shuō)的清。長(zhǎng)期以來(lái)，量子力學(xué)中的波函數(shù)ψ一直停留在理論的概念上，沒(méi)有實(shí)際的觀測(cè)。1993年，M.F.Crommie等人用掃瞄隧道顯微鏡所做的量子圍欄工作，第一次看到了波函數(shù)。玻恩給psi一個(gè)統(tǒng)計(jì)解釋,ψ(psi)與粒子的關(guān)系得以確定。1993年，掃瞄隧道顯微鏡做量子圍欄，溫度4K，超高真空，用電子束將0.005單層的鐵原子蒸發(fā)到清潔的單晶Cu(111)

)表面,然后用掃描隧穿顯微鏡(STM)操縱這些鐵原子,將它們排成一個(gè)由48個(gè)原子組成的圓圈.圓圈的平均半徑為7.13nm,相鄰鐵原子之間的平均距離0.95nm。表面電子在鐵原子上強(qiáng)烈反射，被禁錮在這個(gè)量子圍欄，它們的波函數(shù)形成同心圓形駐波。

STM針尖與樣品間的隧穿電流正比于樣品該處的電子出現(xiàn)于此處的概率密度，用恒定電流模式就可以將電子的概率密度描繪出來(lái)，如圖所示。下一頁(yè)上一頁(yè)§20.5氫原子的量子力學(xué)處理下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)1.玻爾理論得出角動(dòng)量最小值為h/2π，而量子力學(xué)l=0得出軌道角動(dòng)量最小值為0，在此條件下，波函數(shù)僅與r有關(guān)，呈球?qū)ΨQ分布。實(shí)驗(yàn)表明，量子力學(xué)的結(jié)果是正確的。2.量子力學(xué)得出，角量子數(shù)受主量子數(shù)的限制。如當(dāng)主量子數(shù)n=1時(shí)，l只能取0；n=2時(shí)，l只能取0和1。3.玻爾理論中，第n能級(jí)

只有一個(gè)角動(dòng)量值；但量子力學(xué)中，有n個(gè)不同的角動(dòng)量值。下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)電子具有自旋運(yùn)動(dòng)及具有自旋磁矩是電子的基本屬性下一頁(yè)上一頁(yè)三、電子的空間概率密度分布其解：波函數(shù)是由三個(gè)量子數(shù)決定的，下面給出n、l、ml取不同的值的定態(tài)波函數(shù)下一頁(yè)上一頁(yè)=5.2910-11m玻爾半徑……………….下一頁(yè)上一頁(yè)4）概率密度與電子云電子在體元中的概率：XYZ下一頁(yè)上一頁(yè)將上式對(duì)θ從0到π積分，對(duì)φ從0到2π進(jìn)行積分，并注意到是歸一化的，我們得到在r--r+dr的球面內(nèi)電子出現(xiàn)的概率：XYZ4）概率密度與電子云稱徑向概率密度下面列出了一些徑向概率密度：下一頁(yè)上一頁(yè)是電子出現(xiàn)在r處單位長(zhǎng)度中的概率246810XYZ下面列出了一些徑向概率密度：……………..下一頁(yè)上一頁(yè)立體角定義：d=dS/r2dSrd單位：球面度(sr)r下一頁(yè)上一頁(yè)閉合球面對(duì)球心所張的立體角：下面求一立體角內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率--粒子角分布下一頁(yè)上一頁(yè)將上式對(duì)r從0到∞積分,并注意到是歸一化的，我們得到在立體角內(nèi)電子出現(xiàn)的概率：XYZ是電子在單位立體角中的概率d內(nèi)出現(xiàn)粒子的概率：下面列出幾種不同量子數(shù)的角分布p態(tài)ml=0S態(tài)ml=-1ml=1ml=0下一頁(yè)上一頁(yè)ml=0角分布S態(tài)(l=0)p態(tài)(l=1)ml=-1ml=1ml=0徑向分布有了這些徑向分布與角分布，加上一點(diǎn)想象力，就可知電子在哪些地方出現(xiàn)的幾率大，哪些地方出現(xiàn)的少。

在坐標(biāo)圖中，在電子出現(xiàn)概率大的地方多畫(huà)一些“點(diǎn)”，概率小的地方少畫(huà)一些“點(diǎn)”，并構(gòu)成了一幅能說(shuō)明電子概率空間分布圖—“電子云”圖下一頁(yè)上一頁(yè)ml=0XYZ246810下一頁(yè)上一頁(yè)1sml=02pml=±11sml=02pml=03dml=±2注意：1）“電子云”是概率分布，只知電子在何處出現(xiàn)的概率大小，要問(wèn)電子在何處，答曰2）電子沒(méi)有確定的軌道，所謂“軌道”大致是電子出現(xiàn)概率最大的地方。以n=1，的基態(tài)電子為