原子的量子理論(修改)

大學(xué)物理電子教案大學(xué)物理教研組編寫：李紹新文德華范素芹盧義剛趙純近代物理原子的量子理論本章教學(xué)要求：

理解氫原子光譜的實驗規(guī)律及玻爾的氫原子理論。了解波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋。了解一維坐標動量不確定關(guān)系。了解一維定態(tài)薛定諤方程。了解如何用駐波觀點說明能量量子化．了解角動量量子化及空間量子化。了解施特恩－蓋拉赫實驗及微觀粒子的自旋。了解描述原子中電子運動狀態(tài)的四個量子數(shù)。了解泡利不相容原理和原子的電子殼層結(jié)構(gòu)。本章重點：氫原子理論,波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋,能量量子化,角動量量子化及空間量子化。微觀粒子的自旋。本章難點：薛定諤方程。波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋返回目錄下一頁上一頁第二十章原子的量子理論§20.1氫原子光譜的實驗規(guī)律§20.2玻爾的氫原子理論§20.3量子力學(xué)基本概念薛定諤方程§20.4一維無限深勢阱中的粒子§20.5氫原子的量子力學(xué)處理§20.6原子的電子殼層結(jié)構(gòu)返回總目錄第二十章原子的量子理論

湯姆孫實驗（1897年，卡文迪許實驗室）：在陽極A和陰極K之間加上數(shù)千伏特的電壓，管內(nèi)殘存氣體中的離子高速轟擊陰極K表面，使電子獲得能量從表面逸出。電子動能：陰極射線管電子通過陽極后的速度滿足+++++++++++++--------------電子速度選擇器（電場向下，磁場向內(nèi)）-e1897年，J.J.湯姆孫(J.J.Thomson)實驗，電子荷質(zhì)比（電子所帶電量與質(zhì)量之比）的測定電子通過狹縫中心的條件：從陰極中發(fā)出的電子經(jīng)電場加速后速度為v電子束打在屏幕中央的條件：電子的荷質(zhì)比：12年后，密立根在油滴實驗中，成功地測出電子的電荷量，由此可以確定電子的質(zhì)量：電子動能：§20.1氫原子光譜的實驗規(guī)律一、原子結(jié)構(gòu)模型均勻分布正電荷下一頁上一頁1897年，J.J.湯姆孫發(fā)現(xiàn)電子（帶負電）,原子是電中性的，由于原子內(nèi)有電子，原子內(nèi)一定存在帶正電的部分。下一頁上一頁盧瑟福為證明老師的原子模型，與蓋-馬做粒子散射實驗。粒子是二次電離的氦原子核，以1/15倍光速運動。粒子是二次電離的氦原子。以1/15倍的光速高速運動均勻分布正電荷下一頁上一頁下一頁上一頁+在粒子散射實驗中，有少數(shù)粒子能進入到離原子核很近的地方，受核的排斥力較大，故他們的散射角較大。盧瑟福（E.Rutherford）

J.J湯姆孫的研究生，他既有才能又刻苦工作，精力充沛又非常自信。1895年，盧瑟福成為卡文笛什實驗室主任。下一頁上一頁1908年盧瑟福研究衰變獲諾貝爾化學(xué)獎，盡管他高興得到諾貝爾獎，但他不喜歡該獎是化學(xué)獎，而不是物理學(xué)獎。

我觀察到許多由一種物質(zhì)變?yōu)榱硪环N物質(zhì)的嬗變現(xiàn)象，但從來沒有看到過象我這樣變化得這么快，一夜之間由一個物理學(xué)家轉(zhuǎn)變?yōu)榛瘜W(xué)家。

盧瑟福諾貝爾領(lǐng)獎演說盧瑟福的學(xué)生有14人獲諾貝爾獎，其中之一玻爾的學(xué)生有7人獲諾貝爾獎。二、原子光譜規(guī)律性下一頁上一頁氫原子光譜下一頁上一頁656.28486.13434.05410.17364.56nm1880年發(fā)表的氫原子光譜下一頁上一頁1889年，里德伯提出了一個普遍的方程，將上式中的“22”換成其它整數(shù)k的平方,還可得到其它譜線系.巴爾末公式1）穩(wěn)定問題-經(jīng)典理論得出原子是“短命”的經(jīng)典理論：電子繞核運動是加速運動,必向外輻射能量，電子軌道半徑越來越小，直到掉到原子核與正電荷中和，這個過程時間<10-12秒，因此不可能有穩(wěn)定的原子存在。2）經(jīng)典理論得出原子光譜是連續(xù)光譜經(jīng)典理論：原子發(fā)光頻率等于電子饒核運動頻率，因此電磁波頻率r-3/2，由于半徑的連續(xù)變化，必導(dǎo)致產(chǎn)生連續(xù)光譜。三、經(jīng)典理論解釋氫原子光譜的困難下一頁上一頁§20.2玻爾的氫原子理論1912年N·Bohr當?shù)弥R瑟福從α粒子散射實驗提出了原子的有核模型（太陽系模型）后，深感敬佩，也理解該模型遇到的困難。于是來到盧瑟福的實驗室求學(xué)，并參與α粒子散射實驗工作，他堅信盧瑟福原子模型的正確性，認為要解決該原子模型的穩(wěn)定問題，必須用量子概念對經(jīng)典物理理論進行改造。終于于1913年發(fā)表了《論原子結(jié)構(gòu)和分子結(jié)構(gòu)》等三篇論文。為解決原子的穩(wěn)定問題提出了三條假設(shè)，成功地解釋了H原子光譜的規(guī)律。下一頁上一頁下一頁上一頁玻爾的三個假設(shè)下一頁上一頁玻爾量子化條件的駐波解釋：德布羅意在1924年認為，電子以半徑r作穩(wěn)定的圓軌道運動，相當于電子波在圓周上形成穩(wěn)定的駐波。這里，λ為德布羅意波長稱為玻爾半徑下一頁上一頁說明下一頁上一頁k=4k=3k=2k=1r=r1r=4r1r=9r1r=16r1賴曼系巴耳末系帕邢系里德伯常數(shù)的理論值：下一頁上一頁126534賴曼系巴耳末系帕邢系布喇開系En=E1/n2E5=E1/25E4=E1/16E3=E1/9=-1.51eVE2=E1/4=-3.39eVE1=-13.6eV氫原子能級圖下一頁上一頁下一頁上一頁-0.85ev-13.6ev下一頁上一頁五、玻爾理論的成功與局限成功：解釋了H光譜，爾后有人推廣到類H原子（）也獲得成功（只要將電量換成Ze）

（Z為原子序數(shù)）。他的定態(tài)躍遷的思想至今仍是正確的。并且它是導(dǎo)致新理論的跳板。1922年獲諾貝爾獎。局限：1理論不嚴密，自相矛盾（把經(jīng)典理論與非經(jīng)典理論混雜起來）2只能解釋H及類H原子的譜線波長，不能解釋各譜線的相對強度及禁戒躍遷，也解釋不了原子的精細結(jié)構(gòu)。3僅對單電子原子成功，對兩個電子的中性原子的處理糟糕透了。下一頁上一頁下一頁上一頁原因：它是半經(jīng)典半量子理論的產(chǎn)物。還應(yīng)用了經(jīng)典物理的軌道和坐標的概念因此，玻爾理論稱為舊量子論,它是經(jīng)典理論與量子理論之間的一座橋梁

1924年德布羅意（DeBroglie）提出了波粒二象性，爾后由德國的薛定諤（Schr¨dinger）與海森伯（Heisenbeng）等建立了量子力學(xué)。o玻爾(N·Bohr)其人：它是盧瑟福的學(xué)生，在其影響下具有嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度，勤奮好學(xué)，平易近人，后來很多的科學(xué)家都有紛紛來到他身邊工作。當有人問他，為什么能吸引那么多科學(xué)家來到他身邊工作時，他回答說：“因為我不怕在青年面前暴露自已的愚蠢”。這種坦率和實事求是的態(tài)度是使當時他領(lǐng)導(dǎo)的哥本哈根理論研究所永遠充滿活力，興旺發(fā)達的原因。愛因斯坦評價說：“作為一個科學(xué)家和思想家，玻爾具有那么驚人的吸引力，在于他具有大膽和謙遜兩種品德難得的結(jié)合”下一頁上一頁1947年丹麥女皇授予玻爾“寶象勛章”，玻爾親自設(shè)計了以中國陰陽圖（太極圖）為圖案的族徽，銘文是

contrariasuntcomplementa(互斥即互補)下一頁上一頁§20.3量子力學(xué)基本概念薛定諤方程問題下一頁上一頁要求：波函數(shù)的頻率和波長必須遵從德布羅意的物質(zhì)波的關(guān)系式下一頁上一頁猜想下一頁上一頁猜想下一頁上一頁余弦表達式（a)式是復(fù)數(shù)表達式(b)式的實部下一頁上一頁下一頁上一頁電子的單縫衍射：1）大量電子的一次性行為：U極大值極小值中間值較多電子到達較少電子到達介于二者之間波強度大，大小波強度小，波強介于二者之間粒子的觀點波動的觀點下一頁上一頁2）讓粒子一個一個地通過單縫較長時間以后U極大值極小值中間值較多電子到達較少電子到達介于二者之間單個粒子出現(xiàn)的概率大粒子出現(xiàn)的概率介于二者之間粒子的觀點波動的觀點統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)在某處的概率正比于單個粒子出現(xiàn)的概率小下一頁上一頁因積分發(fā)散，自由粒子的波函數(shù)不能用上述的方式歸一。下一頁上一頁下一頁上一頁自由粒子的波函數(shù)上式對x求兩次導(dǎo)數(shù)下一頁上一頁下一頁上一頁上式為不含時間因子的自由粒子的波函數(shù)滿足的方程在不考慮相對論效應(yīng)的條件下下一頁上一頁自由粒子的波函數(shù)滿足的方程下一頁上一頁下一頁上一頁1926年，歐文·薛定諤在一次學(xué)術(shù)報告會上宣布：“我的朋友德拜要求有個波動方程，諾，我找到了一個。”鼎鼎大名的薛定諤方程就由此誕生了。當時的物理學(xué)界，紛紛議論薛定諤神秘的波函數(shù)ψ(psi)，年輕的講師許克耳對大教授頗為不恭地編了一首打油詩：歐文用他的psi，計算起來真靈通；但psi真正代表什么，沒人能夠說的清。問題是薛定諤自己也說不清，兩年以后，玻恩才給psi一個統(tǒng)計解釋,ψ(psi)與粒子的關(guān)系才得以確定。§一維無限深勢阱中的粒子設(shè)粒子的質(zhì)量為m,其勢能函數(shù)為:下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁根據(jù)邊界條件，有：也就是說，當粒子處于無限深勢阱中時，只有當能量E滿足上式，取離散值En時，相應(yīng)的波函數(shù)Ψn(x)才滿足邊界條件，才是物理上可接受的。下一頁上一頁下一頁上一頁所以，本征能量（本征值）為：n=1,2,3,…..所以，本征能量（本征值）為：n=1,2,3,…..概率密度為：下一頁上一頁討論下一頁上一頁狀態(tài)本征能量本征函數(shù)概率密度下一頁上一頁從波函數(shù)圖可以看出，勢阱寬度為德布羅意半波長的整數(shù)倍。波函數(shù)圖概率密度圖下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁一維方勢壘勢能函數(shù)如圖ⅠⅡⅢ

粒子沿方向運動,當粒子可以通過勢壘。

當，根據(jù)經(jīng)典理論，粒子不可能出現(xiàn)在Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)，但實驗證明粒子能以一定的概率通過勢壘Ⅱ區(qū)到達Ⅲ區(qū),這只能由量子力學(xué)得到解釋。§一維方勢壘隧道效應(yīng)下一頁上一頁設(shè)三個區(qū)域的波函數(shù)分別為在各區(qū)域薛定諤方程分別為令

為實數(shù)粒子的能量下一頁上一頁ⅠⅡⅢ解為：下一頁上一頁從左方入射的粒子，在各區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)圖隧道效應(yīng)，各區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)圖

可以證明，貫穿勢壘的概率定義為在處透射波的強度與在x=0處入射波的強度之比：貫穿概率與勢壘寬度與高度有關(guān)。勢壘寬度a越寬，U0-E越大，透射波的強度越小。下一頁上一頁

粒子的總能量雖不足以超越勢壘,但在勢壘中似乎有一個隧道,能使少量粒子穿過勢壘而進入的區(qū)域,所以人們形象地稱之為隧道效應(yīng)

.隧道效應(yīng)的本質(zhì):

來源于微觀粒子的波粒二相性.1981年賓尼希和羅雷爾利用電子的隧道效應(yīng)制成了掃描遂穿顯微鏡(STM),可觀測固體表面原子排列的狀況.1986年賓尼希又研制了原子力顯微鏡.1986年，諾貝爾物理學(xué)獎的一半授予賓尼希和羅雷爾，另一半授予電子顯微鏡的發(fā)明者魯斯卡。

應(yīng)用

下一頁上一頁在聊齋志異中，嶗山道士可以穿墻而過，也許是量子效應(yīng)。掃描隧道顯微鏡(STM)原理：利用電子的隧道效應(yīng)。金屬表面存在勢壘，由于隧道效應(yīng)，電子有一定的概率出現(xiàn)在表面外，電子的概率密度隨著與表面距離的增大呈指數(shù)形式衰減。將原子線度的極細的金屬探針靠近樣品(小于1nm)，針尖和樣品作為兩個電極，并在它們之間加上微小的電壓Ub，由于它們的表面都有電子逸出，其間就存在隧道電流，隧道電流對針尖與表面的距離極其敏感，其關(guān)系式為：下一頁上一頁掃描隧道顯微鏡(STM)其中，I是隧道電流，Φ是樣品表面勢壘的高度，s是針尖與樣品表面之間的距離，A是常量。當針尖在被測表面上方恒定高度掃描時（等高模式），即使固體表面僅有原子尺度的起伏，隧道電流會有超出10倍的變化。將針尖裝在壓電陶瓷上，控制陶瓷上的電壓以保持隧道電流恒定（穩(wěn)流模式），針尖在掃描時隨樣品表面起伏上下移動，此時陶瓷上電壓的變化就反映出樣品表面的起伏。下一頁上一頁STM還可以用探針尖吸住一個孤立的原子，把它放到另一個位置，這是IBM公司在4K溫度下用48個Fe原子制作的“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波。

STM的橫向分辨率已達，縱向分辨達,STM的出現(xiàn)，使人類第一次能夠適時地觀察單個原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及表面電子行為有關(guān)性質(zhì)。下一頁上一頁1926年，歐文·薛定諤在一次學(xué)術(shù)報告會上宣布：“我的朋友德拜要求有個波動方程，諾，我找到了一個?！倍ΧΥ竺难Χㄖ@方程就由此誕生了。當時的物理學(xué)界，紛紛議論薛定諤神秘的波函數(shù)ψ(psi)，年輕的講師許克耳對大教授頗為不恭地編了一首打油詩：歐文用他的psi（ψ），計算起來真靈通；但psi真正代表什么，沒人能夠說的清。長期以來，量子力學(xué)中的波函數(shù)ψ一直停留在理論的概念上，沒有實際的觀測。1993年，M.F.Crommie等人用掃瞄隧道顯微鏡所做的量子圍欄工作，第一次看到了波函數(shù)。玻恩給psi一個統(tǒng)計解釋,ψ(psi)與粒子的關(guān)系得以確定。1993年，掃瞄隧道顯微鏡做量子圍欄，溫度4K，超高真空，用電子束將0.005單層的鐵原子蒸發(fā)到清潔的單晶Cu(111)

)表面,然后用掃描隧穿顯微鏡(STM)操縱這些鐵原子,將它們排成一個由48個原子組成的圓圈.圓圈的平均半徑為7.13nm,相鄰鐵原子之間的平均距離0.95nm。表面電子在鐵原子上強烈反射，被禁錮在這個量子圍欄，它們的波函數(shù)形成同心圓形駐波。

STM針尖與樣品間的隧穿電流正比于樣品該處的電子出現(xiàn)于此處的概率密度，用恒定電流模式就可以將電子的概率密度描繪出來，如圖所示。下一頁上一頁§20.5氫原子的量子力學(xué)處理下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁1.玻爾理論得出角動量最小值為h/2π，而量子力學(xué)l=0得出軌道角動量最小值為0，在此條件下，波函數(shù)僅與r有關(guān)，呈球?qū)ΨQ分布。實驗表明，量子力學(xué)的結(jié)果是正確的。2.量子力學(xué)得出，角量子數(shù)受主量子數(shù)的限制。如當主量子數(shù)n=1時，l只能取0；n=2時，l只能取0和1。3.玻爾理論中，第n能級

只有一個角動量值；但量子力學(xué)中，有n個不同的角動量值。下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁下一頁上一頁電子具有自旋運動及具有自旋磁矩是電子的基本屬性下一頁上一頁三、電子的空間概率密度分布其解：波函數(shù)是由三個量子數(shù)決定的，下面給出n、l、ml取不同的值的定態(tài)波函數(shù)下一頁上一頁=5.2910-11m玻爾半徑……………….下一頁上一頁4）概率密度與電子云電子在體元中的概率：XYZ下一頁上一頁將上式對θ從0到π積分，對φ從0到2π進行積分，并注意到是歸一化的，我們得到在r--r+dr的球面內(nèi)電子出現(xiàn)的概率：XYZ4）概率密度與電子云稱徑向概率密度下面列出了一些徑向概率密度：下一頁上一頁是電子出現(xiàn)在r處單位長度中的概率246810XYZ下面列出了一些徑向概率密度：……………..下一頁上一頁立體角定義：d=dS/r2dSrd單位：球面度(sr)r下一頁上一頁閉合球面對球心所張的立體角：下面求一立體角內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率--粒子角分布下一頁上一頁將上式對r從0到∞積分,并注意到是歸一化的，我們得到在立體角內(nèi)電子出現(xiàn)的概率：XYZ是電子在單位立體角中的概率d內(nèi)出現(xiàn)粒子的概率：下面列出幾種不同量子數(shù)的角分布p態(tài)ml=0S態(tài)ml=-1ml=1ml=0下一頁上一頁ml=0角分布S態(tài)(l=0)p態(tài)(l=1)ml=-1ml=1ml=0徑向分布有了這些徑向分布與角分布，加上一點想象力，就可知電子在哪些地方出現(xiàn)的幾率大，哪些地方出現(xiàn)的少。

在坐標圖中，在電子出現(xiàn)概率大的地方多畫一些“點”，概率小的地方少畫一些“點”，并構(gòu)成了一幅能說明電子概率空間分布圖—“電子云”圖下一頁上一頁ml=0XYZ246810下一頁上一頁1sml=02pml=±11sml=02pml=03dml=±2注意：1）“電子云”是概率分布，只知電子在何處出現(xiàn)的概率大小，要問電子在何處，答曰2）電子沒有確定的軌道，所謂“軌道”大致是電子出現(xiàn)概率最大的地方。以n=1，的基態(tài)電子為