微積分3sadfa-第一次習題課題解

第一次討論課參考1（1）

（（2）x2x2y21

|x||y||x||y|

.（p1存在2 x2y2xy(x,y注釋：二元函數求極限的常用思路（一般是計算題，不要用方法證明先

limf(xy是否存在．如果發(fā)現沿不同的路徑（例如當(xy沿不同射線）于零時，f(xy（例如（1）（2（3）x2y22解（3x2y2)x2y2x2y2x2y2xy

，注意在x,y)(0,0x2y

[1(x

y

x2yx2y20。

0x2y

x2y 所

x2y0(x,y)(0,0)x2y (x2y2)xylimt

limet

1（可化成一元極限的問題(x,y

t

t2所 (x2y2)xy [(x

x2yx2y2)(22x2y2

0(x,y xy（１）ux

xy（

（２）u x

y2（0（３）已知f

x2y,

axy2,求a提示：利用混合偏導數到順序無關（a1

(x,y)二元函數fx,y)x2

在點(0,0處[C (x,y)(A)連續(xù)且偏導數存在 (C)不連續(xù)但偏導數存在 (D)不連續(xù)且偏導數不存在設f(xy)|xy|(xy)，其中(xy在原點O(0,0連續(xù)．求證f(xy在原點可微的充分必要條件是：(0,0)0．充分性

flim|x0|(x,0)0，flim|0y|(0,y)

．（ x0,

(x,y)0fxy

x

y

x

xy)(x,

x2y2|f(xx2y2

(x,

(xy)0．于是f(xy必要性f(xy在原點可微，則fx(0,0和fy(0,0f(0,0)

f(x,0)f(0,0)lim|x|(x,0)

x0如果這個極限存在，則必有l(wèi)im(x,0)0，所以(0,0)0．5

xsinf(x,y)|x|2|y

(x,y)

證明f(x,y)在(0,0)點可微，并求

(x,y)注釋：研究f(xy在點(x0y0(x)2 兩個偏導數fx(x0y0和fy(x)2

f(x0x,y0y)f(x0,y0)0．f(xy(xy

xsinx1以xsinx |x|2|y

x2y0dfx2y6．設二元函數

f(xy)有連續(xù)偏導數，且

f(0,1．求證在單位圓周Lx2y21PP，滿足y

x

0 （提示：在單位圓周上f(x,y化為參數t的函數(t)

f(cost,sint)，題目條件推出(0)()(2)．對于(t)應 2z

f(xyDxx(ty

(tD光滑曲線（x(t)2y(t)20的端點為AB．若f(A

f(B)M(xy，使f(M0)0．其中是M 0, 證：在上二元函數變成tz(t)f(x(ty(t．Ax(y(B(x(),y())．于是()()． 定理，存在(,)，使得()0由復合函數求導法則得到(

令 (x(),y())．則f(M0)fx()fy()()0 z

f(xy在點(aa

f(a,a)a,

b,

(a,a)b令(x)

f(x,f(x,f(xx)))

d2(x)

xa

2a(bb22b3)）f1和f2分別表示函數f對于第一個變量和第二個變量的偏導數.理清函數的復合d2(x)2(x)d

(x)d(x)ff

f(x,f(x, 2df(x,f(x,x))ff(ff d2(x)2(x)[f

f(ff(ff

當xaya代入題目條(a

f(a,f(a,f(a,a)))a

f(aa)b.得到

2

2a(bb22b3)．

zz(xy),zsiny

1

分析：利用公式f(x,y) fdxg(y),其中g(y)為待定函數,可以利用條 zzdxg(y)xsiny1ln(1xy)g( x1z(1ysiny1ln(1ygyz(1ysinyysiny1ln(1ygy)sinygy)1ln(1y),最后求得 zxsiny1ln(1xy)1ln(1y)y設函數f(x,y在點

y

j,

2求df(x0y0)

f(x0,y0)

f(x0,y0)解題思路解：因為函數f(x,yM(x0,y0f(x0,y0)

,y0

1fy2

,y0)12f(x0,y0)f(x,y)1f(x,y)2

1fy(x0,y02

1 5 55fx(x0,y05

fy(x0,y0)25解 fx(x0,y0)5

4

fy(x0,y0)

52555255df(x0,y0)

4

22)dy設zf(xyxy)，且函數f的二階偏導數連續(xù)，求xy解題思路求復合函數的偏導數時，首先要將函數的復合結構分析清楚，找出變量之間的關解：令uxy,vxyz

f(u,v)f(u,v)y 注意到fu(uv),fv(uvxy2z

fuv(u,v)x

fv(u,v)

若fx,y的偏導數在點x0,y0的某鄰域內存在且有界，則fx,y在點x0,y0分析：利用題目條件證明f證：f(x,y)f(x0,y0f(x,y)f(x0,y)

f(x0,y)f(x0,y0fx(,

x

fy(x0,)M(xy)2MXM為fx,fy的界設fxx0,y0存在，fyx0,y0在點x0,y0處連續(xù)，證明fx,y在點x0,y0處分析:證明函數fxyf

f(

x,

y)f(

,y表示成AxBy,其中當x2y2x20時, 比較是高階無窮小量.或者x20AxByxyx2y20時,00f

f(x0x,y0y)f(x0,y0f(x0x,y0y)f(x0x,y0)

f(x0x,y0)f(x0,y0

因為fy(x,y)在點(x0,y0)連續(xù)，所以，根據一元函數 f(x0x,y0y)f(x0x,y0fy(x0x,y0y)y[fy(x0,y0)()]

x2其中， ，()為當x2又由已知，fxx0,y0

f(x0x,y0)f(x0,y0)

,y0f(x0x,