微積分課件及其答案-第3章

3.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.對數(shù)求導(dǎo)法4.相關(guān)變化率3.由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定

y

是

x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定

y

是

x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對

x

求導(dǎo)(注意

y=y(x))(含導(dǎo)數(shù)

的方程)1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,注意例解1將方程兩邊對x求導(dǎo),得解2將方程兩邊求微分,得例

雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導(dǎo)數(shù)求出來了,當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量y.允許在的表達(dá)式中含有變量y.一般來說,隱函數(shù)求導(dǎo),解切線方程法線方程通過原點(diǎn).練一練例解將上面方程兩邊再對解確定,練一練2.對數(shù)求導(dǎo)法作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個(gè)簡單應(yīng)用,介紹(1)許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).對數(shù)求導(dǎo)法,它可以利用對數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的求導(dǎo)變得更為簡單.適用于方法先在方程兩邊取對數(shù),--------對數(shù)求導(dǎo)法

然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).在對數(shù)求導(dǎo)的過程中，允許不加絕對值注例解等式兩邊取對數(shù)得例解1等式兩邊取對數(shù)得解2解1等式兩邊取對數(shù)得練一練解2例解兩邊取對數(shù)兩邊對x求導(dǎo)解練一練解3.由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得t例解

所求切線方程為

參數(shù)方程所確定的函數(shù),它的導(dǎo)數(shù)仍用參數(shù)t表示的，所以依然看成參數(shù)方程所確定的函數(shù).拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻

t

的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向.

解水平速度為垂直速度為故速度大小速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則例拋射體軌跡的參數(shù)方程水平速度垂直速度拋射角為達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻高度落地時(shí)刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向(即

t=0)設(shè)由方程確定函數(shù)求方程組兩邊對t

求導(dǎo),得解練一練例解將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成則曲線的切線斜率為所以法線斜率為又切點(diǎn)為故法線方程為即參數(shù)方程如:注求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式,只要理解其含義,這樣對求更高階的導(dǎo)數(shù)也容易處理.例解4.相關(guān)變化率之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率例解(1)(2)仰角增加率(3)相關(guān)變化率解法三步驟找出相關(guān)變量的關(guān)系式對t求導(dǎo)相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率之間的關(guān)系式

代入指定時(shí)刻的變量值及已知變化率,(1)(2)(3)水面例解橋面20mxy(1)在此人的正下方有一條小船以的速度在與橋垂直的方向航行,求經(jīng)5s后,人與小船相分離的速度.對t求導(dǎo)(2)(3)解練一練設(shè)自開始充氣以來的時(shí)間t,解體積為在t時(shí)刻氣體的半徑為設(shè)氣體以100立方厘米/秒的速度注入球狀的氣球,求在半徑為10厘米時(shí),氣球半徑增加的速率(假定氣體壓力不變).氣球半徑與體積的關(guān)系練一練小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法:利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,將方程兩邊對x求導(dǎo)，并注意到其中變量y是x的函數(shù).2.參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法:3.相關(guān)變化率:

利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，通過函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴的變化率之間的關(guān)系,作業(yè)：P751(6)(8)，2(1)，3(2),45(4)，6(1)(6)，7(2)8(1),9(3)(4),11,12,18拓展思考題求螺線在對應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程.解

化為參數(shù)方程當(dāng)時(shí)對應(yīng)點(diǎn)斜率∴切線方程為思考題思考題解答不對．思考題(是非題)正確解答試問對嗎?非解練一練解等式兩邊取對數(shù)練一練解2（微分思想）——（以直代曲）設(shè)自開始充氣以來的時(shí)間t,解1體積為在t時(shí)刻氣體的半徑為練一練設(shè)自開始充氣以來的解2體積為t時(shí)刻氣體的半徑為練一練例解可由切線的斜率來反映.即解練一練對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo):按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式一般地注意例解3例解1試求當(dāng)容器內(nèi)水有一底半徑為

Rcm,高為

hcm的圓錐容器,今以