第一章自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)極限

第三 函數(shù)的極 第 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極函 自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極數(shù)極限 函數(shù)極限的性-1第三 函數(shù)的極—自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的觀察函數(shù)sin—自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的 11 續(xù)-2第三 函數(shù)的極問(wèn)題:函數(shù)yfx)x的過(guò)程中對(duì)應(yīng)函數(shù)值fx無(wú)限趨近于確定值A(chǔ).第 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:章 當(dāng)x無(wú)限增大時(shí) f(x)sinx無(wú)限接近于 限 問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”限連 f(x)A表示f(x)A任意小x 表示x的過(guò)程-3

第三 函數(shù)的極設(shè)函數(shù)fx)在區(qū)間(a)有定義,為定常數(shù),如果對(duì)任意給定的正 ~章第X(a),使當(dāng)xX時(shí),~章|f(x)A|函數(shù)則稱(chēng)A為函數(shù)f(x)在 極限記作limf(x) 或f(x) (x ""X"定義limf(x)A0,X0,使當(dāng)xX時(shí),恒有fxA-4第三 函數(shù)的極x ~章函A數(shù)A 限Ao

f(

XX -5第三 函數(shù)的極例 證明limex 由于|ex0|ex,要使|ex0|,第0ex,不妨設(shè)1,由于0ex ~章xlnXln數(shù) 0(不妨設(shè)1),取Xln,當(dāng)x數(shù)極時(shí),限 |e續(xù)

0|exeXelnlimex-6第三 函數(shù)的極例 證明

x2 2x 2證 X第~

,當(dāng)x |

11

2 函數(shù)

x2

X極

x2 x 同理可給出x,x時(shí)函數(shù)的極限的定

設(shè)函數(shù)fx)(,b)有定義, -7第三 函數(shù)的極總存在正數(shù)X(bxX時(shí),|f(x)A|則稱(chēng)A為函數(shù)f(x)在 ~第記作limf(x) 或f(x) (x~ 函數(shù)為定常數(shù)極

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間|x|a有定義 限X(a),使當(dāng)|x|X時(shí),續(xù) |f(x)A|續(xù)則稱(chēng)A為函數(shù)f(x)在x 記作limf(x)A f(x)A (x).x-8第三 函數(shù)的極 證明limsinxsinx sinx~章

x sinx0sinx

1 x 0,sinsinx

X1

則當(dāng)

X時(shí)恒有 限連續(xù)故limsinx

1|x x -9第三 函數(shù)的極 證明limarctanx 0(不妨設(shè)第當(dāng)xX時(shí) ~

),取X |arctanx()|arctanxarctan(X arctanX()限 限連 limarctanx

limarctanx

-10第三 函數(shù)的極定理 函數(shù)f(x)在x時(shí)以A為極限的

f(

當(dāng)xx

第都等于~ 例

說(shuō)明limarctanx不存在x數(shù) 數(shù)限 limarctanx限 連 limarctanx x所以limarctanx不存在x-11第三 函數(shù)的極二、自變量趨向有限值時(shí)函問(wèn)題:函數(shù)yfx)在xx0的過(guò)程中,對(duì)應(yīng)函數(shù)fx)A~章 f(x)A表示f(x)A任意;數(shù); 0限

x

表示x

x0的過(guò)程x0

x0 點(diǎn)x0的去心鄰域 體現(xiàn)x接近x0程度-12

第三 函數(shù)的極 設(shè)函數(shù)f(x)在x0某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)有定義A為常數(shù),如果對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多么第0小),總存在正數(shù),使得對(duì)適合不等式0x 0章函x,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值fx極 f(x)A極連限那末常數(shù)Afx在xx0時(shí)的極限,連 limf(x)A f(x)A(當(dāng)xx0x""0,0""恒有fxA-13

x

時(shí)第三 函數(shù)的極注意：1.函數(shù)極限與f(x)在點(diǎn)x0是否有定義無(wú)關(guān)與任意給定的正數(shù)有關(guān)第幾何解釋: 當(dāng)x在x0的去心數(shù) 域時(shí),函數(shù)yf( 圖形完全落在以續(xù) 線yA為中心線續(xù)寬為2的帶形區(qū)域內(nèi)

AAAAAo

yf( 顯然找到一個(gè)后,越小越好-14第三 函數(shù)的極 證明limCC,(C為常數(shù)x 任取 0

x

時(shí) f(x)函

C

0成立

limCCx 證明limxx0. x 證∵f(x)Axx0 取連0

x

時(shí)f(x)A

x

成立limxx0x

-15第三 函數(shù)的極 證明

x2

x 函數(shù)在點(diǎn)x1處沒(méi)有定義 0,取章0x1時(shí) 恒數(shù) x2數(shù)2 x限

x

x2 x x-16

第三 函數(shù)的極limsinxsinx0x取,當(dāng)0|xx0|

|sinxsin

|2|

x

||cosxx0章數(shù)函數(shù)

|xx0|極限

limsinxsinx0x續(xù) limcosxcosx續(xù)x limexex0xlimlnxln (x0x-17第三 函數(shù)的極

證明:當(dāng)x00時(shí), xxx 章

0,取min{x0 x0},0x0x0xx0x0x

x

時(shí) xx xx 極x x x續(xù)

-18第三 函數(shù)的極

y22 f(x)

2 x2x x章

x

y 當(dāng)x0且x0時(shí)f(x)數(shù) 當(dāng)x0且x0時(shí)，f(x)限連 x從左側(cè)無(wú)限趨近x0,記作x

0或xx x從右側(cè)無(wú)限趨近x0記作xx0或xx -19第三 函數(shù)的極定義4設(shè)函數(shù)fx)在區(qū)間x0,b有定義,A為常數(shù),如果對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多么小總存第在正數(shù)(bx0使得對(duì)適合不等式0xx0~章x,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值fx數(shù) f(x)A數(shù)極那末常數(shù)Afx在xx0時(shí)的右極限限連 f(x)A f(x)A(xx0xx0或fx00-20第三 函數(shù)的極定義5設(shè)函數(shù)fx)在區(qū)間(ax0有定義,A為常數(shù),如果對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多么小總存第在正數(shù)(x0a使得對(duì)適合不等式0x0x~章x,fx數(shù) f(x)A數(shù)0極那末常數(shù)Afx在xx時(shí)的左極限0限連 f(x)A f(x)A(xx0xx0或fx00-21第三 函數(shù)的極{x0xx0{x0xx0}{xxx0~ 定理 函數(shù)f(x)在xx0時(shí)以A為極限當(dāng)且~章當(dāng)在x 函0 f(0極

0)f(

0)限 證

驗(yàn)證limx

不存在xxx

limxlimx

左右極限存在但不相等,limfx)不存在-22第三 函數(shù)的極x2 x例

設(shè)fxx

x2確定常數(shù)alimfx)存在第章 x2是分段函數(shù)f(x)的分段點(diǎn),所章函limf(x)Af(20)f(20)函 極 limf(x)lim(x21) x2 limf(x)lim(xa)2x2 x2所以52a,即a-23第三 函數(shù)的極limf(n)n第 limf(x) x limf(x)

limf(x)xlimf(x)

limf(x)xlimf(x) x xx

xx0 limf(x)A0,在自變量的變化過(guò)程中0限 |f(x)A|-24第三 函數(shù)的極 n nxxx Nnxxxf(f(x)A xxx0xx0 0xx00xx0xx0f(f(x)A-25第三 函數(shù)的極

f(

當(dāng)x

x或x)A 的充要條件是:對(duì)于任意一個(gè)收斂于x0的數(shù)列xn 第章 xn(或)x0(n1,2,"), 其對(duì)應(yīng)的數(shù)列f(xn),章 limf(xn)數(shù)n數(shù) 極

設(shè) f(x)x

限0,0使當(dāng)0連

x

時(shí),

f(x)

∵limxn

且xnx0對(duì)上述0,N0nN時(shí),恒有0故limfxnx

xn

.-26

f(xn)

函數(shù)的極例13證明limsin 不存在 第ysinx n章 ysinx n章 函 limxn n

且xn 取

4n

,lim

且x

-27第三 函數(shù)的極三、函數(shù)極限的定理4(唯一性 若limf(x)存在,則極限唯一 以x為例.若limf(x)a,limf(x) 章且ab,不妨設(shè)ba,則對(duì)ba 存在X, 函當(dāng) x當(dāng) 限連

時(shí)恒有|fxa|,3abf(x)b 續(xù)當(dāng)xX2時(shí)恒有|fxb|,abf(x)3b -28第三 函數(shù)的極取Xmax{X1,X2 當(dāng)xX時(shí),恒abf(x)ab2 表明a章 章

fx)有極限函則存在一個(gè)時(shí)刻

fx)有界 以xx0為例證明.設(shè)limf(x)A,則對(duì) x限存在0,則當(dāng)0|xx0|連

時(shí),恒有|fxA|續(xù) A1f(x)A取M|A|1,則當(dāng)0|xx0|時(shí),恒有|fx|M所以當(dāng)0|xx0|時(shí),fx)有界-29第三