新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)：專題九 考點(diǎn)25 數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用（A卷）

新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)：專題九考點(diǎn)25數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用（A卷）1.古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中曾出現(xiàn)過高息借貸的題目：“今有舉取他絹，重作券；要過限一日，息絹一尺；二日息二尺；如是息絹，日多一尺.今過限一百日，問息絹幾何？”題目的意思是：債主拿欠債方的絹?zhàn)龅盅浩?，每過期一天便加納一天利息，債務(wù)過期一天要納利息一尺絹，過期二天則第二天便再納利息二尺，這樣，每天利息比前一天增加一尺.若過期100天，欠債方共納利息為()A.100尺 B.4950尺 C.5000尺 D.5050尺2.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜仍然前于他10米.當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，烏龜仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.根據(jù)這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為102米時(shí)，烏龜爬行的總距離為()A. B. C. D.3.某公司今年獲利5000萬元，如果以后每年的利潤(rùn)都比上一年增加，那么總利潤(rùn)達(dá)3億元時(shí)大約還需要()

(參考數(shù)據(jù):，，，)

A.4年 B.7年 C.12年 D.50年4.《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)北魏時(shí)期大數(shù)學(xué)家張丘建所著，約成書于公元466~485年間.其中記載著這么一道“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，且每日增加的數(shù)量相同，已知第一日織布5尺，30日共織布390尺，則該女子織布每日增加的尺數(shù)為()A. B. C. D.5.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.則使得的值為()A. B. C. D.6.定義為n個(gè)正數(shù)，，，…，的“快樂數(shù)”.若已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)的“快樂數(shù)”為，則數(shù)列的前2021項(xiàng)和為()A. B. C. D.7.在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則下列說法中，正確的是()①數(shù)列是等比數(shù)列；②；③數(shù)列是等比數(shù)列；④數(shù)列是等差數(shù)列A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④8.(多選)已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是()A.為等比數(shù)列 B.的通項(xiàng)公式為C.為遞增數(shù)列 D.的前n項(xiàng)和9.(多選)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則下列說法中正確的是()A.此人第二天走了96里路B.此人第三天走的路程占全程的C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里D.此人后三天共走了42里路10.(多選)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若存在兩項(xiàng)，，使得，則下列結(jié)論中正確的是()A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列為等差數(shù)列C.為定值D.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則數(shù)列為等差數(shù)列11.設(shè)，且，則____________.12.《塵劫記》是在元代的《算學(xué)啟蒙》和明代的《算法統(tǒng)宗》的基礎(chǔ)上編撰的一部古典數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個(gè)這樣的問題：假設(shè)每對(duì)老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個(gè)月后，有一對(duì)老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2個(gè)月后，每對(duì)老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此類推，假設(shè)n個(gè)月后共有老鼠只，則__________.13.若數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)公式為__________；若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則滿足的n的最小值為_____________.14.已知在數(shù)列中，且，設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)任意正整數(shù)n不等式均成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________.15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）若，，證明：；（2）在（1）的條件下，若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證.

答案以及解析1.答案：D解析：由題意知，每天的利息構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以共納利息為尺.2.答案：B解析：根據(jù)條件，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列，公比為當(dāng)阿基里斯和烏龜?shù)乃俣惹『脼槊讜r(shí)，烏龜爬行的總距離為故選B.3.答案：A解析：根據(jù)題意，每年的利潤(rùn)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，公比，.于是得到，整理，得，

兩邊取對(duì)數(shù)得，解得，故還需要4年.4.答案：B解析：由題意可知該女子每日織布的數(shù)量成等差數(shù)列，記為，則.記的前n項(xiàng)和為，則.設(shè)的公差為d，所以，解得，故選B.5.答案：B解析：數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，則，所以.故選B.6.答案：B解析：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則根據(jù)題意，得，，，當(dāng)時(shí)也滿足上式，所以，所以，所以的前2021項(xiàng)和為.7.答案：C解析：由題意，為等比數(shù)列，，，由等比數(shù)列的性質(zhì)得，，，或，又公比q為整數(shù)，，，，，，，數(shù)列，，，且，因此數(shù)列為等比數(shù)列，故①正確；，故②不正確；數(shù)列，，，且，因此數(shù)列為等比數(shù)列，故③正確；數(shù)列，，，因此數(shù)列為等差數(shù)列，故④正確；故選C.8.答案：AD解析：，，又，是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即，，，為遞減數(shù)列，的前n項(xiàng)和.故選AD.9.答案：ACD解析：設(shè)此人第n天走里路，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，解得，則此人第二天走了96里路，故A正確；此人第三天走48里路，，故B錯(cuò)誤；此人后五天走的路程是，則第一天走的路程比后五天多6里，故C正確；此人后三天走的路程，故D正確.故選ACD.10.答案：ACD解析：數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，整理，得，即（常數(shù)），所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)也符合，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；由于，故存在兩項(xiàng)，，使得，即，則，故C正確；由題意，得，所以，所以符合一次函數(shù)的形式，故該數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確.故選ACD.11.答案：10解析：，則，解得.12.答案：解析：由題意可得1個(gè)月后老鼠的只數(shù)，2個(gè)月后老鼠的只數(shù)，3個(gè)月后老鼠的只數(shù)，…，n個(gè)月后老鼠.13.答案：；11解析：因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，.令，即，解得，又，