第7講數(shù)學(xué)物理方程

會計(jì)學(xué)1第7講數(shù)學(xué)物理方程第二章分離變量法§1傅里葉級數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)其中第1頁/共44頁基本思想：首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動(dòng)問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場問題等特點(diǎn)：a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學(xué)上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化?！?齊次方程齊次邊界條件的定解問題第2頁/共44頁代入方程：令代入邊界條件1求兩端固定的弦自由振動(dòng)的規(guī)律一有界弦的自由振動(dòng)令(4)(6)(7)（5）第3頁/共44頁本征（固有）值問題：含有待定常數(shù)常微分方程在一定條件下的求解問題本征（固有）值：使方程有非零解的常數(shù)值本征（固有）函數(shù)：和特征值相對應(yīng)的非零解分情況討論：1）2）3）令，為非零實(shí)數(shù)（8）（9）第4頁/共44頁把（8）式代入（6）式，得（10）其中Cn和Dn是任意常數(shù)。將(9)(10)代入(4)式，得(11)式滿足方程(1)和邊界條件(2)，但一般不滿足初始條件(3)。為了滿足(3)式，按照解的疊加原理，將(11)式對n求和，即（11）（12）第5頁/共44頁將(12)式代入(3)式，得到第6頁/共44頁故定解問題的解為其中第7頁/共44頁?分離變量?求特征值和特征函數(shù)?求另一個(gè)函數(shù)?求通解?確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。第8頁/共44頁2解的性質(zhì)

x=x0時(shí)：其中：駐波法t=t0時(shí)：第9頁/共44頁例1：設(shè)有一根長為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移。解：(1)分離變量第10頁/共44頁(2)求本征值和本征函數(shù)第11頁/共44頁(3)求另一個(gè)微分方程(4)求通解第12頁/共44頁(5)確定常量第13頁/共44頁解：例2求下列定解問題(1)分離變量第14頁/共44頁(2)求本征值和本征函數(shù)第15頁/共44頁(3)求另一個(gè)微分方程(4)求通解第16頁/共44頁初始條件(5)確定常量第17頁/共44頁二有限長桿上的熱傳導(dǎo)令帶入方程：解：第18頁/共44頁第19頁/共44頁第20頁/共44頁令第21頁/共44頁令帶入方程：令例3

求下列定解問題解：第22頁/共44頁第23頁/共44頁第24頁/共44頁例4

求下列定解問題解：第25頁/共44頁第26頁/共44頁第27頁/共44頁若則u為多少？為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？思考第28頁/共44頁分離變量流程圖第29頁/共44頁三拉普拉斯方程的定解問題解：第30頁/共44頁第31頁/共44頁第32頁/共44頁第33頁/共44頁例5

求下列定解問題解：第34頁/共44頁第35頁/共44頁第36頁/共44頁第37頁/共44頁例6

求下列定解問題解：第38頁/共44頁第39頁/共44頁第40頁/共