二元一次方程組與一次函數(shù)-教師講義

青藍教育教師輔導講義年級：八年級課時數(shù)：3 學員姓名： 輔導科目：數(shù)學學科教師:課程主題二元一次方程（組）與一次函數(shù)授課類型T理解二元一次方程與次函數(shù)的關(guān)系C能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解T能利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達式授課日期時段年月日A段（8：00--10：00）教學內(nèi)容【學習目標】.理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系；.能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解；.能利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達式.【要點梳理】要點一、二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系ac.任何一個二元一次方程ax+by=c（a、b豐0,c為常數(shù)）都可以變形為y=--x+?。╝、b豐0,c為常數(shù)）bb即為一個一次函數(shù)，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數(shù)..我們知道每個二元一次方程都有無數(shù)組解，例如：方程x+y=5我們列舉出它的幾組整數(shù)解有fx=0,fx=5,fx=2, _〈 〈〈 八1 °,我們發(fā)現(xiàn)以這些整數(shù)解為坐標的點（0,5）,（5,0）,（2,3）恰好在一次函數(shù)丫=—x+5Iy=5;Iy=0;Iy=3的圖像上，反過來，在一次函數(shù)y=5-x的圖像上任取一點，它的坐標也適合方程x+y=5.要點詮釋：.以二元一次方程的解為坐標的點都在相應的函數(shù)圖像上；.一次函數(shù)圖像上的點的坐標都適合相應的二元一次方程；.以二元一次方程的解為坐標的所有點組成的圖像與相應一次函數(shù)的圖像相同要點二、二元一次方程組與一次函數(shù).二元一次方程組與一次函數(shù)每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.要點詮釋：.兩個一次函數(shù)圖象的交點與二元一次方程組的解的聯(lián)系是：在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交

x=2O就是二元一次方程組y=3點坐標就是相應的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點一定是相應的兩個一次函數(shù)的圖象的交點.如一次函數(shù)y=5—，與yx=2O就是二元一次方程組y=3.當二元一次方程組無解時，方程組中兩方程未知數(shù)的系數(shù)對應成比例，相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線就平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應的二元一次方程樂一尸二5,組就無解.如二元一次方程組w 1無解，則一次函數(shù)y=3x-5與y=3x+1的圖象就平行，反之也成立.I3^-^=-1.當二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線重合，反之也成立.圖像法解二元一次方程組求二元一次方程組的解，可以轉(zhuǎn)化為求兩條直線的交點的橫縱坐標（即二元一次方程組的圖像解法.）所以，解二元一次方程組的方法有：代入消元法、加減消元法和圖像法三種.要點詮釋：利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解,要得到準確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組相反，求兩條直線的交點坐標可以轉(zhuǎn)化為求這兩條直線對應的函數(shù)表達式聯(lián)立的二元一次方程組的解要點三、用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達式，再根據(jù)所給的條件確定表達式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達式的方法，叫做待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法解決問題的步驟：.確定所求問題含有待定系數(shù)解析式..根據(jù)所給條件，列出一組含有待定系數(shù)的方程..解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.【典型例題】類型一、二元一次方程與一次函數(shù)在1、一次函數(shù)的圖象如圖所示，則與此一次函數(shù)對應的二元一次方程為（）A.x-3y=3 B.x+3y=3 C.3x-y=1 D.3x+y=1【答案】A【解析】直線過點(3,0),(0,-1).代入丫=卜乂+仄

得到二元一次方程組

解方程組得到k1Q=3k+b得到二元一次方程組

解方程組得到k1Q=3k+b-l=O-k+bb=-1，一次函數(shù)解析式為尸2*一1,移向，并將系數(shù)化為1得到所對應的二元一次方程X-3y=3.【總結(jié)升華】每個二元一次方程都對應一個一次函數(shù)，因此當求出一次函數(shù)的解析式時即也就求出了相應二元次方程.舉一反三：【變式】已知X=3,y=—2和X=0,y=1是二元一次方程ax+by+3=0的兩個解，則一次函數(shù)y=ax+b的解析式為（）A.、y=-2X—3 B、y=xC.、y=-X+3 D、y=-3X—3【答案】D類型二、二元一次方程組與一次函數(shù)次函數(shù)y=-x次函數(shù)y=-x-1的圖象如圖所示，則關(guān)于X、y的方程組2、若一次函數(shù)y=-x--的圖象與的解為 【解析】找兩條直線的交點坐標(1,—2)為二元一次方程組的解.【總結(jié)升華】兩個一次函數(shù)的關(guān)系式就是方程組中的兩個方程，所以它們的交點的坐標就是方程組的解舉一反三：fX—y—2, fx--3,【變式】若方程組1 1的解為| 〈你能說出一次函數(shù)y-X-2與y-2X+1的圖象的交點坐標嗎?[y-2x+1 [y--5；【答案】(-3,-5)fy=2x―2,3、利用圖象解方程組1 u〔x+y=一5.【思路點撥】畫出圖象，兩條直線的交點就是方程組的解.【答案與解析】fx——1解：如圖：兩條直線的交點為(—1,—4)所以方程組的解為《 /Iy——4【總結(jié)升華】用一次函數(shù)圖象解方程是解二元一次方程組的又一解法，反映了一次函數(shù)與二元一次方程組之間的聯(lián)系，能直觀地看到怎樣用圖形來表示方程組的解.類型三、用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式4、某游泳池內(nèi)現(xiàn)存水1890(：^),已知該游泳池的排水速度是灌水速度的2倍.假設(shè)在換水時需要經(jīng)歷“排水--清洗--灌水”的過程，其中游泳池內(nèi)剩余的水量y(m3)與換水時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.根據(jù)圖象解答下列問題：(1)根據(jù)圖中提供的信息，求排水的速度及清洗該游泳池所用的時間；(2)求灌水過程中的y(m3)與換水時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出函數(shù)的定義域.05 》【向【思路點撥(1)由圖象可知，該游泳池5個小時排水1890(m3),根據(jù)速度公式求出即可，求出灌水的速度和時間即可求出清洗該游泳池所用的時間；(2)設(shè)灌水過程中的y(m3)與換水時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=kt+b.將(11,0),(21,1890)代入y=kt+b求出即可.【答案與解析】解：(1);由圖象可知，該游泳池5個小時排水1890(m3),???該游泳池排水的速度是1890-5=378(m3/h),由題意得該游泳池灌水的速度是378x-1=189(m3/h),由此得灌水1890m3需要的時間是1890-189=10(h),?清洗該游泳池所用的時間是21-5-10=6(h),(2)設(shè)灌水過程中的y(m3)與換水時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=kt+b.

Llk+bR21k+b=1890將(11,0),(21,1890)代入y=kt+b,得解得：k=189,b=-2079,即灌水過程中的y(m3)與時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=189t-2079,(11<tV1).Llk+bR21k+b=1890【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)的應用，主要考查學生能否把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，題目比較典型，是一道比較好的題目.舉一反三：【變式】為保護學生視力，課桌椅的高度都是按一定的關(guān)系配套設(shè)計的，研究表明：假設(shè)課桌的高度為ycm,椅子的高度為xcm,則y應是x的一次函數(shù)，下表列出兩套符合條件的課桌椅的高度：第一套 第二套椅子高度xcm 40.0 37.0桌子高度ycm 75.0 70.2(1)請確定y與x的函數(shù)關(guān)系式？(2)現(xiàn)有一把高39cm的椅子和一張高為78.2的課桌，它們是否配套？為什么？75=40k+b:70.2=37k+b.解得k=l.675=40k+b:70.2=37k+b.解得k=l.6比二11/.y=1.6x+11；(2)椅子和課桌不配套.???當x=39時，y=1.6X39+11=73.4W78.2,???椅子和課桌不配套.【鞏固練習】一.選擇題1.【鞏固練習】一.選擇題1.將方程x+3y=7全部的解寫成坐標(xy)的形式，那么用全部的坐標描出的點都在直線( )上.1 7y1 7y=-x--3 31 7y=-x+-3 31 7D.y=--x--3 32.函數(shù)y=ax2.函數(shù)y=ax+b與函數(shù)y=ex+d的圖象是兩條直線只有一個交點，則二元一次方程組y=ax+b，有y=ex+d( )解.A.0個B.1個C.2個D.3個3.下面四條直線，其中直線上每個點的坐標都是二元一次方程x-2y=2的解是( )4.如圖，已知函數(shù)y=4.如圖，已知函數(shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點P,則根據(jù)圖象可得，關(guān)于％、y的二元一次方程組y=ax+by二kx的解是（）C.x=1yC.x=1y=-3D.5.6.A.4B.一4D.+4如圖，過點A的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于點5.6.A.4B.一4D.+4如圖，過點A的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于點B能表示這個一次函數(shù)所對應的二元一次方程為（ ）x-y-3=0C.2y-x+3=0 D.填空題7.把方程x+2y=-3化成一次函數(shù)的形式：y=8.直線y=x-1和y=x+3的位置關(guān)系是,由此可知方程組y=x-1。解的情況為y=x+3若函數(shù)y=—X+a與y=4x-1的圖象交于了軸上一點，則a的值為（9.如果一次函數(shù)y—ax+b和y—ex+d在同一坐標系內(nèi)的圖象如圖，并且方程組y—ax+b〃的解y—ex9.如果一次函數(shù)y—ax+b和y—ex+d在同一坐標系內(nèi)的圖象如圖，并且方程組y—ax+b〃的解y—ex+d11.12.10. — 7，一 1的解，那么一次函數(shù)y=7；x-w和y=8-2x的交點坐標是,

JJ一次函數(shù)y—kx+b與y—x+a的圖象如圖，則方程kx+b=x+a的解是.i2如圖，L甲，1乙分別表示甲走路與乙騎自行車(在同一條路上)行走的路程s與時間t的關(guān)系，觀察圖象并回答下列問題:乙出發(fā)時與甲相距千米;走了一段路程后，乙的自行車發(fā)生故障，停下來修理，修車的時間為乙從出發(fā)起，經(jīng)過小時與甲相遇;甲行車的路程s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式是5千米,小時;505O2LZ(二三.解答題[-2x+y—3.方程組| ,的解是什么？兩個方程對應的兩個一次函數(shù)的圖象有怎樣的位置關(guān)系？你能從中悟出14x—2y―-6些什么？.兩個一次函數(shù)的圖象如圖所示，(1)分別求出兩個一次函數(shù)的解析式；(2)求出兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標；(3)求這兩條直線與y軸圍成三角形的面積..甲、乙兩人分別乘不同的沖鋒舟同時從A地逆流而上前往B地.甲所乘沖鋒舟在靜水中的速度為\千米/分JL乙7鐘，甲到達B地立即返回.乙所乘沖鋒舟在靜水中的速度為百千米/分鐘.已知人、B兩地的距離為20千米，JL乙水流速度為1T千米/分鐘，甲、乙乘沖鋒舟行駛的距離J（千米）與所用時間》（分鐘）之間的函數(shù)圖象如JL乙圖所示.（1）求甲所乘沖鋒舟在行駛的整個過程中，y與》之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）甲、乙兩人同時出發(fā)后，經(jīng)過多少分鐘相遇？【答案與解析】一.選擇題.【答案】C；cr 1 7【解析］將1+3y=7變形為y=-31+-..【答案】B；【解析】函數(shù)所表示的直線的交點即為函數(shù)所組成的方程組的解，方程組有幾個解就是要看有幾個交點..【答案】C；【解析】??,x-2y=2,，y="^x-1，，當x=0,y=-1,當y=0,x=2,，一次函數(shù)y=^x-1,與y軸交于點（0,-1）,與x軸交于點（2,0）..【答案】B；【解析】方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖象的交點坐標..【答案】C；【解析】函數(shù)y=-》+a與y=4》-1的圖象交于》軸上一點，令兩方程中y=0,即1》=a=—.4.【答案】D；

【解析】過點A的一次函數(shù)的圖象過點A(0,3),與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于點8(1,2),代入一次函數(shù)解析式，即可求出.二.填空題1 37.8.【答案】y=--x--7.8.【答案】平行，無解；【解析】直線y=x-1和y=x+3的x的系數(shù)相等，可以得出直線y=x-1和y=x+3的位置關(guān)系是平行，9.10.11.從而得出方程組解的情況.9.10.11.從而得出方程組解的情況.【答案】m>0,n>0；【解析】方程組的解實際上是兩個一次函數(shù)圖象的交點的橫縱坐標，而交點在一象限，從而得到m,n的范圍.【答案】(2,4)；【解析】根據(jù)變形可知，兩個一次函數(shù)即為方程組中的兩個方程，因此交點坐標即為方程組的解【答案】3；【解析】一次函數(shù)y=kx+b與y=x+a的圖象的交點的橫坐標是3,故方程的解是：x=3.12.【答案】(1)10；(2)1；(3)3；(4)s號t+1012.6【解析】(4)設(shè)直線解析式為$=卜乂+卜因為圖象過點(0,10)和(3,22.5),所以,b=10即所以,b=10即s=^t+10.三.解答題.【解析】解：(1)方程組無解.(2)兩個方程對應的兩個一次函數(shù)的圖象的位置關(guān)系是平行(3)當二元一次方程組無解時，相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線就沒有交點，即平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應的二元一次方程組就無解..【解析】解：(1)設(shè)所求的一次函數(shù)為y=kx+b，把點(一2,0)(0,—3)代入得TOC\o"1-5"\h\z,, 30=-2k+b,b=一3,k=——27 3c所以直線l的解析式為y=--x-31 21 .同理可求得直線/2的解析式為y-4x+116x-16x--二9卜-5-2x-31 ，解方程組得《-1x+14

所以兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標是（3）設(shè)直線/2與y軸交于點N,則N點坐標為（0,1）所求面積為5x（l+3）x—=.15.【解析】TOC\o"1-5"\h\z（11 1） 5解：（1）甲由A地到B地的函數(shù)解析式是：y=--—x，即y=-x；、1212） 6（11 1、甲到達B地所用時間是：20；---=24分鐘、1212）甲由B地到A地所用時間是：20；—+—=20分鐘卜1212J設(shè)甲由B地到A地的函數(shù)解析式是：y=kx+b,???點（24,20）與（44,0）在此函數(shù)圖象上，24k+b=2044k+b=0解得:k解得:k=-1b=44??????甲由B地到A地函數(shù)解析式是：y=-x+44,（2）乙由A地到B（2）乙由A地到B地的函數(shù)解析式是:—(1212)根據(jù)題意得：〈y=-x+441 ,y二x2解得：解得：x=88,則經(jīng)過838分鐘相遇.【鞏固練習】

【鞏固練習】一.選擇題1.如圖所示,圖中兩條直線八/2的交點坐標可以看做是方程組（）的解.A.C.B.A.C.-4-3-2-113Li-4-3-2-113Li2.A.有一個交點 2.A.有一個交點 B.有無數(shù)個交點C.沒有交點D.以上都有可能以一個二元一次方程組中的兩個方程作為一次函數(shù)畫圖象，所得的兩條直線（ ）3.無論m、n為何實數(shù)，直線y=-3x+1與y=mx+n的交點不可能在（ ）3.A.第一象限B.第二象限A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4.一次函數(shù)y4.一次函數(shù)y=3x+p和j=x+q的圖象都經(jīng)過點A（-20）,且與y軸分別交于B、C兩點，那么4ABC的面積是（ ）24積是（ ）24C.6D.85.在直角指標系中，橫縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點，設(shè)k為整數(shù)，當直線y=x—3與y=kx+k的交點為整數(shù)5.時，k的值可以取（ ）A.2個B.4個A.2個B.4個C.6個D.8個.體育課上，20人一組進行足球比賽，每人射點球5次，已知某一組的進球總數(shù)為49個，進球情況記錄如下表，其中進2個球的有x人進3個球的有其中進2個球的有x人進3個球的有y人(xy）恰好是兩條直線的交點坐標，則這兩條直線的解析式是（進球數(shù)0人數(shù)A.y=x+9與yx人數(shù)A.y=x+9與yx22C.y=—x+9與y=—32 22——x+—3 3B.D.y=—x+9與y=y=x+9與y=—2 22——xH 3 32 22——x+—3 3二.填空題.分別用f（X）和g（x）表示兩個關(guān)于X的代數(shù)式，在坐標系中，如果函數(shù)y=f（X）與y=g（x）的圖象有4個交y=f(x),點，那么方程組I、的解的個數(shù)是

y=g(x)點，那么方程組.如圖，點A的坐標可以看成是方程組的解..在同一坐標系中，對于函數(shù)①y=—X-1,②y=X+1,③y=—x+1,④y=—2(x+1)的圖象，通過點(一1,0)的是，相互平行的是，交點在y軸上的是.(填寫序號).一次函數(shù)y=kx+b的圖象上一部分點的坐標見下表：X…一10123…y…-7—4—125…Iy=kx+b正比例函數(shù)的關(guān)系式為y=X，則方程組f 的解為X= .Iy=x.若m、n為全體實數(shù)，那么任意給定m、n，兩個一次函數(shù)1=mx+n和y2=nx+m(mWn)的圖象的交點組成的圖象方程是.，二m.某二元一次方程的解是 …(m為常數(shù)).若把x看做平面直角坐標系中一個點P的橫坐標，y看做點:F-2icH-lP的縱坐標，下列4種說法：①點P(x,y)一定不在第三象限；②點P(x,y)可能是坐標原點；③點P(x,y)的縱坐標y隨橫坐標x增大而增大；④點P(x,y)的縱坐標y隨橫坐標x增大而減小.其中正確的是—.(寫出序號)三.解答題.如圖，直線I/y=x+1與直線12：y=mx+n相交于點P(1,b).(1)求b的值；Iy=x+1(2)不解關(guān)于x,y的方程組，| ，請你直接寫出它的解；[y=mx+n(3)直線13：y=nx+m是否也經(jīng)過點P?請說明理由..在直角坐標系中直接畫出函數(shù)y=|x|的圖象；若一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別過點A(-1,1),B(2,2),請你依據(jù)這兩個函數(shù)的圖象寫出方程組產(chǎn)的解.命1--10 1215.小明從家騎自行車出發(fā)，沿一條直路到相距2400m的郵局辦事，小明出發(fā)的同時，他的爸爸以96m/min速度從郵局同一條道路步行回家，小明在郵局停留2min后沿原路以原速返回，設(shè)他們出發(fā)后經(jīng)過/min時，小明與家之間的距離為［m，小明爸爸與家之間的距離為s2m,圖中折線OABD、線段EF分別表示［、s2與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象.(1)求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；2(2)小明從家出發(fā)，經(jīng)過多長時間在返回途中追上爸爸？這時他們距離家還有多遠？【答案與解析】一.選擇題.【答案】B；【解析】將點(0,—2)代入方程組驗證..【答案】D；【解析】二元一次方程組中的兩個方程的解的個數(shù)可能有一個，或無數(shù)個解，或無解，因而以一個二元一次方程組中的兩個方程作為一次函數(shù)畫圖象，所得的兩條直線有一個交點或有無數(shù)個交點或沒有交點..【答案】C；【解析】由直線y=-3x+1的解析式可以看出，此直線必過一二四象限，不經(jīng)過第三象限.因此兩直線若相交，交點無論如何也不可能在第三象限..【答案】B；【解析】由題意解得p=6,q=2,則函數(shù)的解析式是y=3x+6,y=x+2，這兩個函數(shù)與y軸的交點是B(0,6),C(0,2).因而CB=4,因而4ABC的面積是1X2X4=4.5.【答案】c；【解析】解方程組得《5.【答案】c；【解析】解方程組得《k+3x= 1-k4ky=1-ky=-4+???交點為整數(shù)，，k可取的整數(shù)解有0,2,3,5,—1,一3共6個.6.【答案】C；【解析】根據(jù)進球總數(shù)為49個得：2x+3y=49-5-3X4-2X5=22,整理得：y二-￡x普，?二20人一組進行足球比賽，...1+5+x+y+3+2=20,整理得：y=-x+9.二.填空題.【答案】4個；【解析】函數(shù)圖象交點的個數(shù)反映了方程組解的個數(shù).