人教版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)第16章二次根式課件

16.1二次根式第一課時(shí)第二課時(shí)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊二次根式有意義的條件和非負(fù)性第一課時(shí)返回

電視塔越高，從塔頂發(fā)射的電磁波傳播得越遠(yuǎn)，從而能收看到電視節(jié)目的區(qū)域越廣，電視塔高h(yuǎn)（單位：km）與電視節(jié)目信號(hào)的傳播半徑r（單位：km）之間存在近似關(guān)系

，其中地球半徑R≈6400km．如果兩個(gè)電視塔的高分別是h1km、h2km，那么它們的傳播半徑之比是.公式中中的表示什么意義？式子表示什么？導(dǎo)入新知1.理解二次根式的概念.

2.

掌握二次根式有意義的條件，能運(yùn)用二次根式的概念求被開方數(shù)中字母的取值范圍.素養(yǎng)目標(biāo)3.會(huì)利用二次根式的雙重非負(fù)性解決相關(guān)問題.（1）面積為3

的正方形的邊長為_______，面積為S

的正方形的邊長為_______．（2）一個(gè)長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為______m．（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t（單位：s）與開始落下時(shí)離地面的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，則t為_____．探究新知知識(shí)點(diǎn)1二次根式的定義和有意義的條件用帶根號(hào)的式子填空，看一看寫出的結(jié)果有何特點(diǎn)（1）這些式子分別表示什么意義？分別表示3，S，65，的算術(shù)平方根．①根指數(shù)都為2;②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).（2）這些式子有什么共同特征？探究新知在前面的問題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．

根據(jù)你的理解，猜想一下二次根式的定義應(yīng)該有哪些條件？

我們知道，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根；0的平方根為0；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)沒有平方根.因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開平方的時(shí)候，被開方數(shù)只能是正數(shù)或0.

探究新知

一般地，我們把形如

的式子叫做二次根式.“”稱為二次根號(hào).兩個(gè)必備特征①外貌特征：含有“”②內(nèi)在特征：被開方數(shù)a≥0注意：a可以是數(shù)，也可以是式.探究新知?dú)w納總結(jié)例1

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4屬于“非負(fù)數(shù)+正數(shù)”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根號(hào)被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù)二次根式不是二次根式是是否否分析：探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1利用二次根式的定義識(shí)別二次根式（1）；（2）81；（3）；（4）（5）（6）

；（7）1.下列各式是二次根式嗎?是是是是是鞏固練習(xí)（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）不是不是不是不是不是例2

當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：由x-2≥0，得x≥2.當(dāng)x≥2時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.【思考】1.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：由題意得x-1＞0，∴x＞1.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2利用二次根式有意義的條件求字母的取值范圍（1）解：∵被開方數(shù)需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.歸納小結(jié)：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)≥0，列不等式求解即可.若二次根式為分式的分母時(shí)，應(yīng)同時(shí)考慮分母不為零.探究新知（2）【思考】2.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：(1)∵無論x為任何實(shí)數(shù)，∴當(dāng)x=1時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.(2)∵無論x為任何實(shí)數(shù)，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴無論x為任何實(shí)數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都無意義.探究新知?dú)w納小結(jié)：被開方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，需要對(duì)組成多項(xiàng)式的項(xiàng)進(jìn)行恰當(dāng)分組湊成含完全平方的形式，再進(jìn)行分析討論.（1）（2）(1)單個(gè)二次根式如有意義的條件：A≥0；(3)多個(gè)二次根式相加如有意義的條件：(2)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：A＞0；(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：

A≥0且B≠0.探究新知

歸納總結(jié)二次根式有意義的條件應(yīng)用的不同類型：

2.

x取何值時(shí),下列二次根式有意義?鞏固練習(xí)（1）（2）x≥1x≤0（3）（4）x為全體實(shí)數(shù)x>0（5）（6）x≥0x≠0x≥-1且x≠2(7)（9）x>0x為全體實(shí)數(shù)(8)【新知思考】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？探究新知知識(shí)點(diǎn)2二次根式的雙重非負(fù)性【回顧思考】二次根式的被開方數(shù)a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？因?yàn)閤2≥0，所以x可以為任意實(shí)數(shù).要使x3≥0，必須x≥0.

當(dāng)a＞0時(shí)，表示a的算術(shù)平方根，因此；當(dāng)a=0時(shí)，表示0的算術(shù)平方根，因此.這就是說，當(dāng)a≥0時(shí)，

.呢？

二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個(gè)非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對(duì)于任意一個(gè)二次根式，必須滿足以下兩條：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a≥0；（2）表示一個(gè)數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.

探究新知二次根式的雙重非負(fù)性二次根式的被開方數(shù)非負(fù)二次根式的值非負(fù)

歸納總結(jié)解：

由題意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得a=-3,b=2,c=1.所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1利用二次根式的雙重非負(fù)性求字母的值例3

若，求2a-b+3c的值.提示：多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則可得每個(gè)非負(fù)數(shù)均為零.初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對(duì)值、偶次冪及二次根式.3.已知|3x-y-1|和互為相反數(shù)，求x+4y的平方根．解：由題意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根為±3.鞏固練習(xí)探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2二次根式的雙重非負(fù)性和不等式求字母的值例4已知實(shí)數(shù)x、y滿足等式，求x2-2xy+y2的值.解：由題意得解得：x=3把x=3,代入得y=-5所以x2-2xy+y2=（x-y)2=(3+5)2=64總結(jié)：若，則根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，可得a=0.4.

已知y

=

,求3x+2y的算術(shù)平方根.解：由題意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=3×3＋2×8=25.∵25的算術(shù)平方根為5，∴3x+2y的算術(shù)平方根為5．鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)連接中考C1.（2018?揚(yáng)州）使有意義的x的取值范圍是（）A．x＞3

B．x＜3

C．x≥3

D．x≠3A2.（2019?黃石）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1連接中考鞏固練習(xí)3.（2018?蘇州）若

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A．

B． C．

D．DAD-13.當(dāng)x=____時(shí)，二次根式

取最小值，其最小值為______．0課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題1.下面的式子是二次根式的是()A.B.

C.

D.

a2.（2018?達(dá)州）二次根式中的x的取值范圍是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2

4.(1)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_______;(2)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題5.(1)若二次根式有意義，求m的取值范圍．解：由題意得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，(2)無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式

都有意義，求m的取值范圍．解：由題意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題∴m＞2．∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.已知a，b為等腰三角形兩條邊長，且a，b滿足

，求此三角形的周長．解：由題意得∴a=3，∴b=4.當(dāng)a為腰長時(shí)，三角形的周長為3+3+4=10；當(dāng)b為腰長時(shí)，三角形的周長為4+4+3=11．能力提升題課堂檢測

先閱讀，后回答問題：當(dāng)x為何值時(shí)，有意義？解：由題意得x(x-1)≥0由乘法法則得解得x≥1或x≤0即當(dāng)x≥1或x≤0時(shí)，有意義.課堂檢測拓廣探索題體會(huì)解題思想后，試著解答：當(dāng)x為何值時(shí)，有意義？解：由題意得則

解得x≥2或x＜，即當(dāng)x≥2或x＜

時(shí)，有意義．課堂檢測拓廣探索題二次根式定義帶有二次根號(hào)在有意義條件下求字母的取值范圍抓住被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，從而建立不等式或不等式組求出其解集.被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)二次根式的雙重非負(fù)性二次根式中,a≥0且

≥0課堂小結(jié)

二次根式化簡第二課時(shí)返回【思考】下列數(shù)字誰能順利通過下面兩扇門進(jìn)入客廳？算術(shù)平方根之門平方之門0

-4

-1

a

a≥01

導(dǎo)入新知我們都是非負(fù)數(shù)喲！【思考】若下列數(shù)字想從客廳出來，誰能順利通過兩扇門出來呢？算術(shù)平方根之門平方之門

0

-4

-1

1

16

4

1

a

a為任意數(shù)【想一想】

你發(fā)現(xiàn)了什么？導(dǎo)入新知我們都是非負(fù)數(shù)，可出來之前我們有正數(shù)，零和負(fù)數(shù).2.會(huì)運(yùn)用二次根式的兩個(gè)性質(zhì)進(jìn)行化簡計(jì)算.素養(yǎng)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索性質(zhì)

=a（a≥0）和=a（a≥0）的過程，并理解其意義，體驗(yàn)歸納、猜想的思想方法.（2）什么是一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根？如何表示？（1）什么叫做一個(gè)數(shù)的平方根？如何表示？一般地，若一個(gè)數(shù)的平方等于a，則這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根.若一個(gè)正數(shù)的平方等于a，則這個(gè)數(shù)就叫做a的算術(shù)平方根.a的平方根是用

(a≥0)表示.知識(shí)點(diǎn)1

（a≥0)

性質(zhì)探究新知（1）填空：（2）通過（1）的思考，你能確定(

)2（a≥0）的化簡結(jié)果嗎？說說你的理由.40探究新知2是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有(

)2

=4.

同理，分別是的算術(shù)平方根.因此,

,(

)2=2(

)2=(

)2=0探究新知

的性質(zhì)：一般地，＝a(a

≥0).即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0這一限制條件.這是使二次根式有意義的前提條件.探究新知?dú)w納：例1

計(jì)算：解：積的乘方：（ab）2=a2b2探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1利用的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算（1）（2）（1）（2）(2)可以用到冪的哪條基本性質(zhì)呢？解:鞏固練習(xí)

1.計(jì)算：

（1）（2）（1）（2）解：

探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2利用的性質(zhì)分解因式總結(jié)：本題逆用了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.例2

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）4x2-5

(2)m4-6m2+9（1）（2）鞏固練習(xí)2.

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x2-11

(2)x4-14x2+49解：（1）x2-11

=(x+)(x-

)

(2)

x4-14x2+49

=(x2-7)2

=(x-

)2(x+

)220.10化簡下列根式，想一想知識(shí)點(diǎn)2的性質(zhì)探究新知化簡后，你能確定的化簡結(jié)果嗎？...平方運(yùn)算算術(shù)平方根20.1

0...a(a≥0)2

...觀察兩者有什么關(guān)系？

填一填：

＝a(a≥0).探究新知...平方運(yùn)算算術(shù)平方根-2-0.1

...2

...觀察兩者有什么關(guān)系？

a(a＜0)【猜一猜】當(dāng)a＜0時(shí)，=？-a探究新知a(a≥0)-a(a＜0)即任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.探究新知?dú)w納：

的性質(zhì)：解：探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1利用的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算

警示：

而3.14＜π，要注意a的正負(fù)性.例3

化簡：（1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)【討論】（1）在

中，可否去掉“a≥0”？如果去掉“a≥0”,結(jié)論將會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

（2）第二小題中的能否直接使用性質(zhì)

進(jìn)行化簡？

探究新知探究新知方法點(diǎn)撥

計(jì)算一般有兩個(gè)步驟:①去根號(hào)及被開方數(shù)的指數(shù),寫成絕對(duì)值的形式,即;②去掉絕對(duì)值符號(hào),即3.請(qǐng)同學(xué)們快速分辨下列各題的對(duì)錯(cuò)．（）××√√鞏固練習(xí)（）（）（）37481鞏固練習(xí)

4.化簡：（1）=

;

（2）=

;

（3）=

;

（4）=

;（5）=______

;

（6）=_______

.0.610-3【議一議】如何區(qū)別與？從運(yùn)算順序看從取值范圍看從運(yùn)算結(jié)果看先開方,后平方先平方，后開方a≥0a取任何實(shí)數(shù)a|a|意義表示一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根探究新知解：由數(shù)軸可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.例4

實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，請(qǐng)你化簡:ab探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2幾何圖形與的性質(zhì)相結(jié)合的題目-1012a5.

實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是

.1鞏固練習(xí)6.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,化簡的結(jié)果是()

A.-2a+b

B.2a-b

C.-b

D.bAab0（1）含有數(shù)或表示數(shù)的字母；（2）用基本運(yùn)算符號(hào)連接數(shù)或表示數(shù)的字母．

（a≥0）

回顧我們學(xué)過的式子，如，這些式子有哪些共同

特征？

知識(shí)點(diǎn)3代數(shù)式的定義探究新知

用基本運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把

或

連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.數(shù)表示數(shù)的字母

【想一想】到現(xiàn)在為止，初中階段所學(xué)的代數(shù)式主要有哪幾類？代數(shù)式整式分式二次根式探究新知?dú)w納：探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1利用代數(shù)式的定義判斷代數(shù)式例5下列式子:(1)x;(2)a-b;(3);(4);(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代數(shù)式的有(

)A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè) D.7個(gè)B7.下列式子是代數(shù)式的有(

)①a2+b2;②;③13;④x=2;⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0;

⑦10x+5y=15;

⑧A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)C鞏固練習(xí)

解：（1）船在這條河中順?biāo)旭偟乃俣仁莐m/h，逆水行駛的速度是km/h．例5（1）一條河的水流速度是2.5km/h，船在靜水中的速度是vkm/h，用代數(shù)式表示船在這條河中順?biāo)旭偤湍嫠旭倳r(shí)的速度；（2）如圖，小語要制作一個(gè)長與寬之比為5:3的長方形賀卡，若面積為S，用代數(shù)式表示出它的長.

（2）設(shè)賀卡的長為5x,則寬為3x.依題意得15x2=S，所以所以它的長為探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2列代數(shù)式探究新知

歸納總結(jié)列代數(shù)式的要點(diǎn)：①要抓住關(guān)鍵詞語，明確它們的意義以及它們之間的關(guān)系，如和、差、積、商及大、小、多、少、倍、分、倒數(shù)、相反數(shù)等；②理清語句層次明確運(yùn)算順序；③牢記一些概念和公式．7.如圖，是一個(gè)圓形掛鐘，正面面積為S，用代數(shù)式表示出鐘的半徑為__________.鞏固練習(xí)1.（2019?黃岡）計(jì)算

的結(jié)果是____．鞏固練習(xí)連接中考42.（2018?無錫）下列等式正確的是（）A．

B． C．

D．A1.（2018?臨安區(qū)）化簡

的結(jié)果是（）A．﹣2

B．±2

C．2

D．4C2.

當(dāng)1<x<3時(shí)，的值為（）A.3B.-3C.1D.-1D課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3.在下列各式中，不是代數(shù)式的是（）A.7

B.3＞2

C.

D．B

4.計(jì)算：

解:課堂檢測（1）（2）（3）

（4）（1）（2）（3）（4）基礎(chǔ)鞏固題5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：解：

課堂檢測（1）x2-3(2)y4-4y2+4（1）x2-3=(2)y4-4y2+4=(y2-2)2==基礎(chǔ)鞏固題

實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡：.解：根據(jù)數(shù)軸可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，則=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．能力提升題課堂檢測ab0

已知a、b、c是△ABC的三邊長，化簡：解：∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．分析：利用三角形三邊關(guān)系三邊長均為正數(shù)，a+b+c＞0兩邊之和大于第三邊，b+c-a＞0，c-b-a＜0課堂檢測拓廣探索題二次根式性質(zhì)

(a

≥0).拓展性質(zhì)課堂小結(jié)

（a為全體實(shí)數(shù)）課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊練習(xí)16.2二次根式的乘除第一課時(shí)第二課時(shí)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊

二次根式的乘法第一課時(shí)返回導(dǎo)入新知蘋果ios手持操作系統(tǒng)的圖標(biāo)為圓角矩形，長為

cm，寬為cm，則它的面積是多少呢？如何計(jì)算？1.掌握二次根式乘法法則.

2.會(huì)運(yùn)用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行簡單運(yùn)算.素養(yǎng)目標(biāo)(1)

=___×___=____;=_________;計(jì)算下列各式:23645205630觀察兩者有什么關(guān)系？

探究新知知識(shí)點(diǎn)1二次根式的乘法(2)

=___×___=____;(3)

=___×___=____;=_________;=_________.觀察三組式子的結(jié)果，我們得到下面三個(gè)等式：(1)

(2)

(3)

你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？猜測：

探究新知不成立！探究新知【思考】成立嗎？

沒有意義！因此被開方數(shù)a，b需要滿足什么條件？a，b是非負(fù)數(shù)，即a≥0,b≥0語言表述：算術(shù)平方根的積等于各個(gè)被開方數(shù)積的算術(shù)平方根.二次根式的乘法法則是:二次根式相乘，________不變，________相乘.根指數(shù)被開方數(shù)注意：a,b都必須是非負(fù)數(shù).

在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)．探究新知例1

計(jì)算:解:探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1簡單的二次根式的乘法運(yùn)算（1）（2）(1)(2)【想一想】下邊的式子如何運(yùn)算？解:探究新知總結(jié)：只需其中兩個(gè)結(jié)合就可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化進(jìn)行計(jì)算，說明二次根式乘法法則同樣適合三個(gè)及三個(gè)以上的二次根式相乘（）可先用乘法結(jié)合律，再運(yùn)用二次根式的乘法法則A.B.C.D.1.計(jì)算

的結(jié)果是(

)

A.B.4C.

D.2C2.下面計(jì)算結(jié)果正確的是(

)

B3.計(jì)算：____.

20鞏固練習(xí)【思考】你還記得單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則嗎？試回顧如何計(jì)算4a2·5a4=

.20a6探究新知例2

計(jì)算:解:探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2因數(shù)不是1二次根式的乘法運(yùn)算總結(jié)：當(dāng)二次根式根號(hào)外的因數(shù)不為1時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則計(jì)算，即（1）（2）(1)可類比前面的計(jì)算哦！(2)探究新知

歸納總結(jié)二次根式的乘法法則的推廣：①多個(gè)二次根式相乘時(shí)此法則也適用，即②當(dāng)二次根號(hào)外有因數(shù)(式)時(shí)，可以類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則計(jì)算，即根號(hào)外的因數(shù)(式)的積作為根號(hào)外的因數(shù)(式)，被開方數(shù)的積作為被開方數(shù)，即4.計(jì)算：鞏固練習(xí)解：=20×18=360(1)

(2)(2)(1)解：(1)方法一：∵

，，方法二：∵

，

，探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)3二次根式的大小比較例3

比較大小:（1）與∴，∴

，即.又∵20＜27，又∵20＜27，即.解：(2)∵

，，

又∵52＜54，

∴，∴,即探究新知兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而?。?）與探究新知方法點(diǎn)撥比較兩個(gè)二次根式大小的方法：(1)被開方數(shù)比較法，即先將根號(hào)外的非負(fù)因數(shù)移到根號(hào)內(nèi)，當(dāng)兩個(gè)二次根式都是正數(shù)時(shí)，被開方數(shù)大的二次根式大．(2)平方法，即把兩個(gè)二次根式分別平方，當(dāng)兩個(gè)二次根式都是正數(shù)時(shí)，平方大的二次根式大．(3)計(jì)算器求近似值法，即先利用計(jì)算器求出兩個(gè)二次根式的近似值，再進(jìn)行比較．鞏固練習(xí)5.比較下列各組數(shù)的大小.(1)和;(2)和;解：∵>0,>0,且（

）2=98,（

）2=99,(1)∴（

）2<（

）2,又∵98<99,即<

.(2)∵

=,=,又∵>

∴

>

.反過來，就得到：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般地：我們可以運(yùn)用它來進(jìn)行二次根式的化簡.語言表述：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.探究新知知識(shí)點(diǎn)2二次根式的乘法法則的逆用例4

化簡：（1）；（2）．(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，這樣開的盡方的因數(shù)或因式，把它們開方后移到根號(hào)外.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1利用二次根式的乘法法則的逆用計(jì)算=解：（1）

=

4×9=36（2）===6.化簡:

提示：

化簡二次根式，就要把被開方數(shù)中的平方數(shù)（或平方式）從根號(hào)里開出來。鞏固練習(xí)（1）（2）（3）解:（1）（2）（3）例5

計(jì)算：（1）；（2）；（3）．探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2利用二次根式的乘法法則及逆用計(jì)算

解：（1）（2）（3）探究新知方法點(diǎn)撥化簡二次根式的步驟：1.把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；2.把各因式(或因數(shù))積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式(或因數(shù))的算術(shù)平方根的積；3.如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應(yīng)用關(guān)系式

把這個(gè)因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡

.鞏固練習(xí)7.計(jì)算：（1）解：原式==30（2）解：原式=鞏固練習(xí)連接中考B（2019?株洲）＝（

）A．

B．4

C．

D．1.下面計(jì)算結(jié)果正確的是()

A.B.C.D.D基礎(chǔ)鞏固題2.若，則（）

A．x≥6

B．x≥0

C．0≤x≤6

D．x為一切實(shí)數(shù)A課堂檢測4.

比較下列兩組數(shù)的大?。ㄔ跈M線上填“＞”“＜”或“=”）：＞＜

3.

計(jì)算：（1）=______（2）=______（3）=______（1）___（2）___基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測5.

計(jì)算：解：

（1）（2）（1）=12×13=156=a2基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測（2）6.計(jì)算：課堂檢測（1）（2）解：（1）（2）基礎(chǔ)鞏固題1.下面是意大利藝術(shù)家列奧納多·達(dá)·芬奇所創(chuàng)作世界名畫，若長為，寬為，求出它的面積.解：它的面積為能力提升題課堂檢測2.設(shè)長方形的面積為S，相鄰兩邊分別為a,b.(1)已知,，求S；

解：S=ab=

（2）已知

,

，求S.

課堂檢測能力提升題=

（1）

S

=ab

=

（2）=240

=

=

=

=

（1）；（2）．

1.

化簡：解：（1）

拓廣探索題課堂檢測（2）

2.已知試著用a,b表示.解：課堂檢測拓廣探索題又二次根式乘法法則性質(zhì)拓展法則課堂小結(jié)

二次根式的除法和最簡二次根式

第二課時(shí)返回站在水平高度為h米的地方看到可見的水平距離為d米，它們近似地符合公式為.解：問題1

某一登山者爬到海拔100米處，即

時(shí)，他看到的水平線的距離d1是多少？導(dǎo)入新知問題2

該登山者接著爬到海拔200米的山頂，即時(shí)，此時(shí)他看到的水平線的距離d2是多少？問題3

他從海拔100米處登上海拔200米高的山頂，那么他看到的水平線的距離是原來的多少倍？解：解：【思考】乘法法則是如何得出的？二次根式的除法該怎樣算呢？除法有沒有類似的法則？導(dǎo)入新知2.會(huì)運(yùn)用除法法則及商的算術(shù)平方根進(jìn)行簡單運(yùn)算.1.

掌握二次根式的除法法則，會(huì)用法則進(jìn)行計(jì)算.素養(yǎng)目標(biāo)3.

理解最簡二次根式的概念，能熟練地將二次根式化為最簡二次根式.(1)

___÷___=____;=_____;計(jì)算下列各式:(2)

___÷___=____;(3)

___÷___=____;=_____;=_____.234567觀察兩者有什么關(guān)系？

探究新知知識(shí)點(diǎn)1

二次根式的除法觀察三組式子的結(jié)果，我們得到下面三個(gè)等式：(1)

(2)

(3)

猜想

通過上述二次根式除法運(yùn)算結(jié)果，聯(lián)想到二次根式乘法運(yùn)算法則，你能說出二次根式的結(jié)果嗎？特殊一般探究新知

在前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律中，a,b的取值范圍有沒有限制呢？a,b同號(hào)就可以啦探究新知你們都錯(cuò)啦，a≥0，b＞0,b=0時(shí)等式兩邊的二次根式就沒有意義啦不對(duì)，同乘法法則一樣，a,b都為非負(fù)數(shù).二次根式的除法法則:文字?jǐn)⑹?算術(shù)平方根的商等于被開方數(shù)商的算術(shù)平方根.當(dāng)二次根式根號(hào)外的因數(shù)(式)不為1時(shí)，可類比單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則，易得探究新知例1

計(jì)算：解:探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1

利用二次根式的除法法則計(jì)算根號(hào)外因數(shù)是1的二次根式提示：像（2）中除式是分?jǐn)?shù)或分式時(shí)，先要轉(zhuǎn)化為乘法再進(jìn)行運(yùn)算.（1）（2）（1）（2）1.計(jì)算：解：鞏固練習(xí)（1）（2）（3）（1）（2）（3）解:探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2提示：類似(2)中被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再運(yùn)用二次根式除法法則進(jìn)行運(yùn)算.

利用二次根式的除法法則計(jì)算根號(hào)外因數(shù)不是1的二次根式例2

計(jì)算:（1）（2）（1）（2）2.計(jì)算，看誰算的既對(duì)又快.鞏固練習(xí)（1）（2）（3）（4）我們可以運(yùn)用它來進(jìn)行二次根式的化簡.語言表述：商的算術(shù)平方根，等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.我們知道，把二次根式的乘法法則反過來就得到積的算術(shù)平方根的性質(zhì).類似地，把二次根式的除法法則反過來，就得到二次根式的商的算術(shù)平方根的性質(zhì):探究新知知識(shí)點(diǎn)2

商的算術(shù)平方根的性質(zhì)解:補(bǔ)充解法：探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1

商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的應(yīng)用例3

化簡:（1）（2）（1）（2）還有其它解法嗎?解：探究新知提示：像（5）可以先用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，再運(yùn)用積的算術(shù)平方根性質(zhì).（3）（4）（5）（3）（4）（5）C鞏固練習(xí)

3.能使等式成立的條件是

()A.x≥0

B.－3＜x≤0C.x＞3

D.x＞3或x＜04.化簡：（1）=_____（2）=_____（3）=_____（4）=_____解：（1）（2）

問題1計(jì)算：（1）（2）（3）．（3）．探究新知知識(shí)點(diǎn)3

最簡二次根式問題2觀察上面各小題計(jì)算的最后結(jié)果并思考：（1）你覺得這些結(jié)果能否再化簡，它們是否已經(jīng)最簡了？（2）這些結(jié)果有什么共同特點(diǎn)，類比最簡分?jǐn)?shù)，你認(rèn)為一個(gè)二次根式滿足什么條件就可以說它是最簡了？探究新知探究新知

歸納總結(jié)

最簡二次根式應(yīng)滿足的條件：(1)被開方數(shù)不含分母或分母中不含____________；(2)被開方數(shù)中不含____________的因數(shù)或因式.注：當(dāng)被開方數(shù)是整式時(shí)要先判斷是否能夠分解因式，然后再觀察各個(gè)因式的指數(shù)是否是2(或大于2的整數(shù))，若是則說明含有能開方的因式，不滿足條件，不是最簡二次根式.二次根式開得盡方解:探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1

分母有理化總結(jié)：分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根號(hào).例4

計(jì)算:(1)(2)(3)（2）（3）（1）探究新知方法點(diǎn)撥化成最簡二次根式的一般方法(1)將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或者因式進(jìn)行開方,如

;(2)若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù),應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù),再去分母,并將能開得盡方的因數(shù)或者因式進(jìn)行開方,如;(3)若被開方數(shù)中含有小數(shù),應(yīng)先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后再進(jìn)行化簡,如

.5.在下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？對(duì)不是最簡二次根式的進(jìn)行化簡．解：只有(3)是最簡二次根式；鞏固練習(xí)（1）（2）（3）（4）（5）(1)(4)(2)(5)

設(shè)長方形的面積為S,相鄰兩邊長分別為a,b.已知，求a的值.解:∵知識(shí)點(diǎn)4

二次根式的應(yīng)用探究新知∴

6.

高空拋物現(xiàn)象被稱為“懸在城市上空的痛”．據(jù)報(bào)道：一個(gè)30g的雞蛋從18樓拋下來就可以砸破行人的頭骨，從25樓拋下可以使人當(dāng)場死亡．據(jù)研究從高空拋物時(shí)間t和高度h近似的滿足公式

.從100米高空拋物到落地所需時(shí)間t2是從50米高空拋物到落地所需時(shí)間t1的多少倍？解:由題意得鞏固練習(xí)1.（2018?綿陽）等式

成立的x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（）A．

B．

C．

D．鞏固練習(xí)連接中考B2.（2019?河池）下列式子中，為最簡二次根式的是（）A．

B．

C．

D．B1.化簡的結(jié)果是（）A．9

B．3

C．D．B2.下列根式中，最簡二次根式是（）A.

B.

C.

D.C課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3.能使等式成立的x的取值范圍是（）

A.x≠2

B.x≥0

C.x＞2

D.x≥2C4.化簡：解：課堂檢測（1）（3）（2）（1）（2）（3）基礎(chǔ)鞏固題

在物理學(xué)中有公式W=I2Rt，其中W表示電功(單位：焦耳)，I表示電流(單位：安培)，R表示電阻(單位：歐姆)，t表示時(shí)間(單位：秒)，如果已知W、R、t，求I，則有

.若W=2400焦耳，R=100歐姆，t=15秒．試求電流I．解：當(dāng)W=2400，R=100，t=15時(shí)，課堂檢測能力提升題（安培）自習(xí)課上，張玉看見同桌劉敏在練習(xí)本上寫的題目是“求二次根式中實(shí)數(shù)a的取值范圍”，她告訴劉敏說：你把題目抄錯(cuò)了，不是“”，而是“

”劉敏說：哎呀，真抄錯(cuò)了，好在不影響結(jié)果，反正a和a-3都在根號(hào)內(nèi)．試問：劉敏說得對(duì)嗎？按計(jì)算，則a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；課堂檢測拓廣探索題解：劉敏說得不對(duì)，結(jié)果不一樣．理由如下：而按

計(jì)算，則a≥0，a-3＞0,解得a＞3．二次根式除法法則性質(zhì)拓展法則相關(guān)概念分母有理化最簡二次根式課堂小結(jié)課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊練習(xí)16.3二次根式的加減第一課時(shí)第二課時(shí)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊二次根式的加減運(yùn)算第一課時(shí)返回

有八只小白兔，每只身上都標(biāo)有一個(gè)最簡二次根式，你能根據(jù)被開方數(shù)的特征將這些小白兔分到四個(gè)不同的柵欄里嗎？

導(dǎo)入新知1.理解二次根式可以合并的條件.

3.能熟練地進(jìn)行二次根式的加減法運(yùn)算.素養(yǎng)目標(biāo)2.類比整式的合并同類項(xiàng)，掌握二次根式的加減運(yùn)算法則.

aaaaaaaaaa=+在七年級(jí)我們就已經(jīng)學(xué)過單項(xiàng)式加單項(xiàng)式的法則.觀察下圖并思考.由上圖，易得2a+3a=5a.當(dāng)a=時(shí)，分別代入左右得;當(dāng)a=時(shí)，分別代入左右得;......知識(shí)點(diǎn)1二次根式可以合并的條件探究新知你發(fā)現(xiàn)了什么？因?yàn)?，由前面知兩者可以合?當(dāng)a=,b=

時(shí)，得2a+3b=.a2a+3bb=+bba前面依次往下推導(dǎo)，由特殊到一般易知二次根式的被開方數(shù)相同可以合并.繼續(xù)觀察下面的過程：探究新知這兩個(gè)二次根式可以合并嗎？你又有什么發(fā)現(xiàn)嗎?

探究新知

歸納總結(jié)將二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式可以合并.

注意：1.判斷幾個(gè)二次根式是否可以合并，一定都要化為最簡二次根式再判斷.2.合并的方法與合并同類項(xiàng)類似，把根號(hào)外的因數(shù)(式)相加，根指數(shù)和被開方數(shù)(式)不變.如：1.下列各式中，與是同類二次根式的是（）

A.

B.

C.

D.D2.下列二次根式，不能與合并的是________(填序號(hào)）.②鞏固練習(xí)⑤例1

若最簡二次根式與可以合并，求的值.解：由題意得即探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1利用二次根式可以合并的條件求字母的值提示：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被開方數(shù)相同，根指數(shù)都為2列關(guān)于字母的方程（組）求解即可.解得1（1）

與最簡二次根式能合并，則m=_____.1鞏固練習(xí)（2）若兩個(gè)最簡二次根式與可以合并,則a=_____，b=_______.3.完成下列各題：1現(xiàn)有一塊長7.5dm、寬5dm的木板，能否采用如圖的方式，在這塊木板上截出兩個(gè)面積分別是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm【討論】

1.怎樣列式求兩個(gè)正方形邊長的和?S=8dm2S=18dm2知識(shí)點(diǎn)2二次根式的加減探究新知【討論】2.所列算式能直接進(jìn)行加減運(yùn)算嗎?如果不能,把式中各個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，再試一試(說出每步運(yùn)算的依據(jù)）.（化成最簡二次根式）（逆用分配律）∴在這塊木板上可以截出兩個(gè)分別是8dm2和18dm2的正方形木板．解：列式如下：在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運(yùn)算律，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.探究新知化為最簡二次根式用分配律合并整式加減二次根式性質(zhì)分配律

整式加減法則依據(jù)：二次根式的性質(zhì)、分配律和整式加減法則.

基本思想：把二次根式加減問題轉(zhuǎn)化為整式加減問題．探究新知探究新知

歸納總結(jié)二次根式的加減法法則:一般地，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.(1)化——將非最簡二次根式的二次根式化簡；加減法的運(yùn)算步驟：(2)找——找出被開方數(shù)相同的二次根式；(3)并——把被開方數(shù)相同的二次根式合并.

“一化簡二判斷三合并”解：例2

計(jì)算:素養(yǎng)考點(diǎn)1二次根式的加減計(jì)算（3）（4）（1）（1）（2）（2）（3）（4）探究新知4.下列計(jì)算正確的是（）

A.

B.C.

D.

C5.已知一個(gè)矩形的長為,寬為，則其周長為______.鞏固練習(xí)例3

計(jì)算:解：探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2二次根式的加減混合運(yùn)算（1）（2）（1）（2）計(jì)算時(shí)，有括號(hào)，一定要先去括號(hào)！6.計(jì)算

(1)；

解：原式解：原式（2）.鞏固練習(xí)例4

有一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為，求其周長.解：①當(dāng)腰長為時(shí)，∵∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，周長為

②當(dāng)腰長為時(shí)，∵∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，周長為

素養(yǎng)考點(diǎn)3二次根式的綜合性題目探究新知

7.如圖，兩個(gè)圓的圓心相同，它們的面積分別是8cm2和18cm2，求圓環(huán)的寬度d(兩圓半徑之差).鞏固練習(xí)解：答：圓環(huán)的寬度d為cm.R-r1.（2018?曲靖）下列二次根式中能與

合并的是（）

A．

B．

C．

D．鞏固練習(xí)連接中考B2.（2019?蘭州）計(jì)算：＝（）A． B．

C．3 D．AD基礎(chǔ)鞏固題1.

與能合并的二次根式是()A.

B.

C.D.2.下列計(jì)算正確的是（）A.

B.

C.

D.

C課堂檢測3.三角形的三邊長分別為則這個(gè)三角形的周長為__________.

4.計(jì)算:（1）=___（2）=___（3）=___（4）=_________基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測解：5.計(jì)算:(1)(2)(1)(2)基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測6.如果最簡二次根式與可以合并，那么要使式子有意義，求x的取值范圍.解：由題意得3a-8=17-2a,∴a=5，∴∴20-2x≥0，x-5＞0，∴5＜x≤10.基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測已知a,b,c滿足.(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c為三邊長能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，求出其周長；若不能，請(qǐng)說明理由.解：(1)由題意得

；(2)能.理由如下：課堂檢測能力提升題∵即a＜c＜b，又∵∴a+c＞b，∴能夠成三角形，周長為

已知a，b都是有理數(shù)，現(xiàn)定義新運(yùn)算：a*b=

，求（2*3）－（27*32）的值．解：∵a*b=，∴（2*3）－（27*32）===拓廣探索題課堂檢測二次根式加減法則注意運(yùn)算順序運(yùn)算原理一般地，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.運(yùn)算律仍然適用與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣課堂小結(jié)

二次根式的混合運(yùn)算

第二課時(shí)返回如何進(jìn)行單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算？你能用字母表示這一結(jié)論嗎？思路：單×多轉(zhuǎn)化分配律單×單m(a+b+c)

=ma+mb+mc導(dǎo)入新知【討論】若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每個(gè)同學(xué)任選一組)，然后對(duì)比歸納，你們發(fā)現(xiàn)了什么？2.掌握二次根