《點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系》設(shè)計(jì)

《點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)一、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：各知識點(diǎn)間的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系；難點(diǎn)：在空間如何實(shí)現(xiàn)平行關(guān)系、垂直關(guān)系、垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化。二、考點(diǎn)及考試要求（1）空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系；（2）直線、平面平行的判定及性質(zhì)；（3）直線、平面垂直的判定及性質(zhì)。三、教學(xué)內(nèi)容知識框架1．刻畫平面的四個(gè)公理是立體幾何公理體系的基石，是研究空間圖形問題，進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)。公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)——判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面——提供確定平面最基本的依據(jù)；公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線——判定兩個(gè)平面交線位置的依據(jù)；公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行——判定空間直線之間平行的依據(jù)。我們把不同人任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線空間中兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種共面直線1相交直線：同一個(gè)平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)2平行直線：同一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)異面直線3不在一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們說這兩條異面直線垂直。2．空間問題解決的重要思想方法：化空間問題為平面問題；3．空間平行、垂直之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系：平面與平面平行直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行直線與直線平行直線與平面平行平面與平面垂直直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直直線與直線垂直直線與平面垂直4.觀察和推理是認(rèn)識世界的兩種重要手段，兩者相輔相成，缺一不可。本章知識結(jié)構(gòu)框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關(guān)系空間直線、平面的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系 考點(diǎn)1：空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系；典型例題第1題.下列命題正確的是（）A．經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．四邊形確定一個(gè)平面D．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面第2題.如圖，空間四邊形中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．求證：四邊形是平行四邊形．第3題.如圖，已知長方體中，，，．（１）和所成的角是多少度？（２）和所成的角是多少度？第4題.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則．若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行．如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行．若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)．A． B．1 C．2 D．3第5題.若直線不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（）A．內(nèi)的所有直線與異面 B．內(nèi)不存在與平行的直線C．內(nèi)存在唯一的直線與平行 D．內(nèi)的直線與都相交第6題.已知，，是三條直線，角，且與的夾角為，那么與夾角為．第7題.如圖，是長方體的一條棱，這個(gè)長方體中與垂直的棱共條．第8題.如果，是異面直線，直線與，都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有個(gè)．第9題.已知兩條相交直線，，則與的位置關(guān)系是．第10題.如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條確定一個(gè)平面，一共可以確定幾個(gè)平面？如果三條直線相交于一點(diǎn)，它們最多可以確定幾個(gè)平面？第11題.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中：與平行． 與是異面直線．與成角． 與垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是（）A．，， B．，C．， D．，，第12題.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為（）①兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；②平行移動(dòng)兩條異面直線中的任何一條，它們所成的角不變；③過空間四邊形的頂點(diǎn)引的平行線段，則是異面直線與所成的角；④四邊相等，且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形A．0 B．1 C．2 D．3第13題.在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，則與的大小關(guān)系是．第14題.已知是一對異面直線，且成角，為空間一定點(diǎn)，則在過點(diǎn)的直線中與所成的角都為的直線有條．第15題.已知平面，是平面外的一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與平面分別交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與平面分別交于兩點(diǎn)，若，則的長為．第16題.空間四邊形中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，若，且與所成的角為，則四邊形的面積是．知識概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析四個(gè)定理的理解、認(rèn)識與運(yùn)用，空間感覺的形成針對性練習(xí)1.已知下列四個(gè)命題：很平的桌面是一個(gè)平面；一個(gè)平面的面積可以是m；平面是矩形或平行四邊形；兩個(gè)平面疊在一起比一個(gè)平面厚．其中正確的命題有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2.給出下列命題：和直線都相交的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；兩兩平行的三條直線確定三個(gè)平面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．3.直線，在上取點(diǎn)，上取點(diǎn)，由這點(diǎn)能確定的平面有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)4.三條直線相交于一點(diǎn)，可能確定的平面有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)或個(gè)5.下列命題中，不正確的是（）①一條直線和兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；②每兩條都相交但不共點(diǎn)的四條直線一定共面；③兩條相交直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；④兩條互相垂直的直線共面．A．①與② B．③與④ C．①與③ D．②與④6.分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是（）A．異面直線 B．相交直線 C．不相交直線 D．不平行直線7.在長方體中，點(diǎn)，分別是四邊形，的對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別是四邊形，的對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別是四邊形，的對角線的交點(diǎn)．求證：．8.若，是異面直線，，也是異面直線，則與的位置關(guān)系是（）A．異面 B．相交或平行 C．平行或異面 D．相交或平行或異面9.，是異面直線，，是上兩點(diǎn)，，是上的兩點(diǎn)，，分別是線段和的中點(diǎn)，則和的位置關(guān)系是（）A．異面直線 B．平行直線 C．相交直線 D．平行、相交或異面10.如下圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成角；④與垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④11.直線與平面平行的條件是這條直線與平面內(nèi)的（）A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．任意一條直線不相交D．無數(shù)條直線不相交12.如果直線平行于平面，則（）A．平面內(nèi)有且只有一直線與平行B．平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平行C．平面內(nèi)不存在與平行的直線D．平面內(nèi)的任意直線與直線都平行考點(diǎn)2：異面直線夾角典型例題１．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分別是棱AB、BC、CD、CC1的中點(diǎn)，直線MN與PQ所成的度數(shù)是

（

）（A）

（B）

（C）

（D）2．下列命題中，正確的命題是

（

）（A）直線a、b異面，過空間任一點(diǎn)O，作OA∥a，OB∥a，則∠AOB叫做異面直線a和b所成的角（B）如果∠CBA＝∠BAD，那么BC∥AD（C）和兩條異面直線都垂直的直線，叫做這兩條異面直線的公垂線（D）兩條異面直線所成的角只能是銳角或直角知識概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析先把異面直線平移成共面的針對性練習(xí)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則BD1與CC1所成角的正切值為＿＿＿＿＿，BD1與CC1的距離為＿＿＿＿＿．長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2a，AA1＝a，Ｍ、Ｎ分別是A1B1、BB1的中點(diǎn)，則A1D與ＭＮ所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．鞏固作業(yè)正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分別為AB、BC、CC的中點(diǎn)，則EF與BG所成角的余弦值為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）－考點(diǎn)3：直線與平面平行的求法典型例題例1如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面ABCD.證明方法一分別過E，F(xiàn)作EM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥BC于N，連接MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，F(xiàn)N∥BB1，∴EM∥FN.又∵B1E＝C1F，∴EM＝FN，故四邊形MNFE是平行四邊形，∴EF∥MN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.方法二過E作EG∥AB交BB1于G，連接GF，則，∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴，∴FG∥B1C1∥BC，又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.例2已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，G1、G2、G3分別是△PAB、△PCB、△PAC的重心.（1）求證：平面G1G2G3∥平面ABC；（2）求S△∶S△ABC.（1）證明如圖所示，連接PG1、PG2、PG3并延長分別與邊AB、BC、AC交于點(diǎn)D、E、F，連接DE、EF、FD，則有PG1∶PD＝2∶3，PG2∶PE＝2∶3，∴G1G2∥DE.又G1G2不在平面ABC內(nèi)，∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC.又因?yàn)镚1G2∩G2G3＝G2，∴平面G1G2G3∥平面ABC.（2）解由（1）知＝，∴G1G2＝DE.又DE＝AC，∴G1G2＝AC.同理G2G3＝AB，G1G3＝BC.∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比為1∶3，∴S△∶S△ABC＝1∶9.例3（16分）如圖所示，平面∥平面，點(diǎn)A∈，C∈，點(diǎn)B∈，D∈,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.（1）求證：EF∥;（2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長.（1）證明①當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，由∥，平面∩平面ABDC＝AC，平面∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD， ∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD，又EF,BD,∴EF∥. ②當(dāng)AB與CD異面時(shí)，設(shè)平面ACD∩＝DH，且DH＝AC.∵∥，∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，∴四邊形ACDH是平行四邊形， 在AH上取一點(diǎn)G，使AG∶GH＝CF∶FD，又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面.∵EF平面EFG，∴EF∥.綜上，EF∥. （2）解如圖所示，連接AD，取AD的中點(diǎn)M，連接ME，MF.∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2，∴∠EMF為AC與BD所成的角（或其補(bǔ)角），∴∠EMF＝60°或120°， ∴在△EFM中由余弦定理得，EF＝＝＝，即EF＝或EF＝. 知識概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析定理見解總結(jié)針對性練習(xí)判斷下列命題是否正確，若正確，請簡述理由，若不正確，請給出反例:如果a、b是兩條直線，且a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面；如果直線a和平面α滿足a∥α,那么a與α內(nèi)的任何直線平行如果直線a、b和平面α滿足a∥α,b∥α,那么a∥b;如果直線a、b和平面α滿足a∥b,a∥α,bα,那么b∥α;過平面外一點(diǎn)和這個(gè)平面平行的直線只有一條1.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是.①若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l∥;②若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行；③如果兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行；④若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).2.下列條件中，不能判斷兩個(gè)平面平行的是（填序號）.①一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面②一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面③一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面④一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面3.對于平面和共面的直線m、n，下列命題中假命題是（填序號）.①若m⊥，m⊥n，則n∥②若m∥，n∥，則m∥n③若m，n∥，則m∥n④若m、n與所成的角相等，則m∥n4.已知直線a,b,平面，則以下三個(gè)命題：①若a∥b,b,則a∥;②若a∥b,a∥,則b∥;③若a∥,b∥,則a∥b.其中真命題的個(gè)數(shù)是.5.如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點(diǎn).求證：MN∥平面AA1C1.鞏固作業(yè)1.下列命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為.①直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥；②若直線a在平面外，則a∥;③若直線a∥b,直線b,則a∥；④若直線a∥b,b,那么直線a就平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線.2.對于不重合的兩個(gè)平面與，給定下列條件：①存在平面，使得，都垂直于;②存在平面，使得，都平行于;③存在直線l,直線m,使得l∥m;④存在異面直線l、m，使得l∥,l∥,m∥,m∥.其中，可以判定與平行的條件有（寫出符合題意的序號）.3.已知平面⊥平面,∩＝l,點(diǎn)A∈,Al,直線AB∥l,直線AC⊥l,直線m∥,m∥,則下列四種位置關(guān)系中,一定成立的是.①AB∥m ②AC⊥m③AB∥ ④AC⊥4.設(shè)有直線m、n和平面、.下列命題不正確的是（填序號）.①若m∥,n∥,則m∥n②若m，n,m∥,n∥,則∥③若⊥，m，則m⊥④若⊥,m⊥,m,則m∥5.下列關(guān)于互不相同的直線m,l,n和平面，的四個(gè)命題：①若m,l∩＝A,點(diǎn)Am，則l與m不共面；②若m,l是異面直線，l∥,m∥,且n⊥l,n⊥m,則n⊥;③若l∥,m∥,∥,則l∥m;④若l,m,l∩m＝A,l∥,m∥,則∥.其中假命題的序號是.考點(diǎn)4：二面角典型例題DPCAB1.如圖三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝，D是BC的中點(diǎn)，且△ADC是邊長為2的正三角形，求二面角P－ABDPCAB解：由已知條件，D是BC的中點(diǎn)∴CD＝BD＝2又△ADC是正三角形∴AD＝CD＝BD＝2∴D是△ABC之外心又在BC上∴△ABC是以∠BAC為直角的三角形，∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC∴PA⊥AB（三垂線定理）∴∠PAC即為二面角P－AB－C之平面角，易求∠PAC＝30°2.如圖在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于D、E，又SA＝AB，BS＝BC，求以BD為棱，BDE與BDC為面的二面角的度數(shù)。解：∵BS＝BC，又DE垂直平分SCEDBASC∴BE⊥EDBASC∴BD⊥SC，又SA⊥面ABC∴SA⊥BD，BD⊥面SAC∴BD⊥DE，且BD⊥DC則∠EDC就是所要求的平面角設(shè)SA＝AB＝a，則BC＝SB＝a且AC＝易證△SAC∽△DEC∴∠CDE＝∠SAC＝60°SRNMOBDPAC3.如圖：ABCD是矩形，AB＝8，BC＝4，AC與BD相交于O點(diǎn)，P是平面ABCD外一點(diǎn)，PO⊥面ABCD，PO＝4，MSRNMOBDPAC解：取OC之中點(diǎn)N，則MN∥PO∵PO⊥面ABCD∴MN⊥面ABCD且MN＝PO/2＝2，過N作NR⊥BD于R，連MR，則∠MRN即為二面角M－BD－C的平面角過C作CE⊥BD于S則RN＝CE在Rt△BCD中，CD·BC＝BD·CE∴∴∴4.如圖△ABC與△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝，求二面角A